Primzahlen Primzahlsatz Der Satz von Green und Tao Verschlüsselung mit RSA. Primzahlen. Ulrich Görtz. 3. Mai 2011

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1 Primzahlen Ulrich Görtz 3. Mai 2011

2 Sei N := {1, 2, 3,... } die Menge der natürlichen Zahlen. Definition Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl > 1, die nur durch 1 und durch sich selbst teilbar ist. Beispiel 2, 3, 5, 7, 11,..., ,...

3 Satz (Euklid) Es gibt unendlich viele Primzahlen.

4 Satz (Euklid) Es gibt unendlich viele Primzahlen. Sogar: = p Primzahl 1 p divergiert.

5 Satz (Euklid) Es gibt unendlich viele Primzahlen. Sogar: = p Primzahl 1 p divergiert. Theorem (Eindeutige Primfaktorzerlegung) Jede natürliche Zahl lässt sich als Produkt von Primzahlen schreiben, und diese Darstellung ist eindeutig bis auf die Reihenfolge der Faktoren.

6 Offene Fragen Viele andere Fragen über die Struktur der Menge der Primzahlen sind offen, zum Beispiel Vermutung Es gibt unendlich viele Primzahlzwillinge, also Primzahlen p, so dass auch p + 2 eine Primzahl ist. Vermutung (Goldbach) Jede gerade Zahl > 2 lässt sich als Summe von zwei Primzahlen schreiben.

7 Der Primzahlsatz Sei π(x) = {p N; p Primzahl, p x}.

8 Der Primzahlsatz Sei π(x) = {p N; p Primzahl, p x}.

9 Der Primzahlsatz Sei π(x) = {p N; p Primzahl, p x}. Theorem (Hadamard, de la Vallée-Poussin 1896) π(x) x log x.

10 Der Primzahlsatz Sei π(x) = {p N; p Primzahl, p x}. Theorem (Hadamard, de la Vallée-Poussin 1896) π(x) x log x.

11 Definition Eine arithmetische Progression von Primzahlen der Länge k ist eine Folge p 1, p 2,..., p k von Primzahlen, derart dass je zwei aufeinander folgende Glieder der Folge den gleichen Abstand haben: p 2 p 1 = p 3 p 2 = = p k p k 1 0

12 Definition Eine arithmetische Progression von Primzahlen der Länge k ist eine Folge p 1, p 2,..., p k von Primzahlen, derart dass je zwei aufeinander folgende Glieder der Folge den gleichen Abstand haben: p 2 p 1 = p 3 p 2 = = p k p k 1 0 Beispiel 5, 11, 17, 23, 29 (Länge 5, Abstand 6) i, i = 0, 1,..., 4. April 2010 (Perichon, Wroblewski, Reynolds): i, i = 0, 1,..., 25

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15 Theorem (Green, Tao 2004) Zu jeder natürlichen Zahl k gibt es unendlich viele arithmetische Progressionen von Primzahlen der Länge k.

16 Theorem (Green, Tao 2004) Zu jeder natürlichen Zahl k gibt es unendlich viele arithmetische Progressionen von Primzahlen der Länge k. Vorher bekannte Resultate: van der Corput 1939: Es gibt unendlich viele arithmetische Progressionen von Primzahlen der Länge 3.

17 Offensichtliche Einschränkungen: Ist p, p + r,..., p + (k 1)r eine AP von Primzahlen der Länge k, mit Abstand r, so gilt Alle Primzahlen q k, q p, teilen r.

18 Offensichtliche Einschränkungen: Ist p, p + r,..., p + (k 1)r eine AP von Primzahlen der Länge k, mit Abstand r, so gilt Alle Primzahlen q k, q p, teilen r. Beispiel (k=23) r = Frind, Jobling, Underwood: r =

19 Offensichtliche Einschränkungen: Ist p, p + r,..., p + (k 1)r eine AP von Primzahlen der Länge k, mit Abstand r, so gilt Alle Primzahlen q k, q p, teilen r. Beispiel (k=23) r = Frind, Jobling, Underwood: r = Abschätzung nach oben Green, Tao: möglich ist p + (k 1)r k Vermutung: möglich ist p + (k 1)r k! + 1, für k = 23: 23! + 1 =

20 Die Vermutung von Erdös Statt nach der Struktur der Menge aller Primzahlen zu fragen, kann man auch fragen, unter welchen Bedingungen eine Teilmenge A N arithmetische Progressionen beliebiger Länge enthalten muss.

21 Die Vermutung von Erdös Statt nach der Struktur der Menge aller Primzahlen zu fragen, kann man auch fragen, unter welchen Bedingungen eine Teilmenge A N arithmetische Progressionen beliebiger Länge enthalten muss. Vermutung (Erdös) Ist A N eine Teilmenge, so dass a A 1 a divergiert, dann enthält A arithmetische Progressionen beliebiger Länge.

22 Verschlüsselung mit RSA I Für a, b, N Z schreibe a b mod N, falls a und b bei Division mit Rest durch N denselben Rest lassen. Satz (Kleiner Fermatscher Satz) Seien p eine Primzahl, a Z. Dann gilt a p a mod p. Variante: p q Primzahlen, N = pq, d Z mit Dann gilt a d a mod p. d 1 mod (p 1)(q 1).

23 Verschlüsselung mit RSA II Wähle große Primzahlen p q, N = pq, e teilerfremd zu (p 1)(q 1). Berechne f so dass ef 1 mod (p 1)(q 1).

24 Verschlüsselung mit RSA II Wähle große Primzahlen p q, N = pq, e teilerfremd zu (p 1)(q 1). Berechne f so dass ef 1 mod (p 1)(q 1). K Klartext (als Zahl < N), C verschlüsselter Text. Verschlüsselung C := K e (bzw. Rest bei Division durch N)

25 Verschlüsselung mit RSA II Wähle große Primzahlen p q, N = pq, e teilerfremd zu (p 1)(q 1). Berechne f so dass ef 1 mod (p 1)(q 1). K Klartext (als Zahl < N), C verschlüsselter Text. Verschlüsselung C := K e (bzw. Rest bei Division durch N) Entschlüsselung K := C f = K ef K mod N.