Übungen zur Klassischen Physik II (Elektrodynamik) SS 2016

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1 Institut für Experimentelle Kernphysik, KIT Übungen zur Klassischen Physik II Elektrodynamik) SS 206 Prof. Dr. T. Müller Dr. F. Hartmann 2tes und letztes Übungsblatt - Spulen, Wechselstrom mit komplexen Zahlen und Transformatoren Bearbeitung: Induktivität einer Spule, Dynamisches Verhalten einer Spule plus Widerstand Gegeben ist eine lange Zylinderspule mit N=00 Windungen, der Querschnittsfläche A = 2.6cm 2 und der Länge l = 20 cm. a) Leiten Sie die Induktivität L mit Hilfe des Induktionsgesetzes ab. Fläche A - rot; Umlauf s - grün Amperesches Gesetz : im Innern der Spule Bd s = µ 0 N I = B l ) Stromlauf I wird N mal gesehen Fluss : Φ = Bd A = B A 2) P nach B aufgelöst in 3 Vergleich; ergo U i = N dφ dt = N d BA) = NAdB dt dt = LdI dt U i = NA µ 0N l L = N 2 Aµ 0 l di dt = LdI dt Hier: L = m) 2 4π 0 7 V sa m 0.2m = H 8µH 3) 4) 5)

2 b) Die Spule liegt in eihe mit einem Widerstand und einer Spannungsquelle der Spannung U 0. Berechnen Sie den Einschaltstrom und die Spannung über der Spule als Funktion der Zeit. Maschenregel U 0 = U L + U = L di + I 6) dt Inhomogene DGL: Zu lösen mit Ansatz oder Trennung der Veränderlichen - beide Lösungen hier. Trennung der Veränderlichen: andbedingung: t muss I = U0 Spannung über der Spule Und nun mit Ansatz: Maschenregel Ansatz: Einsetzen: Nebendingung II: di dt = U 0 I di L U 0 I = dt L di U 0 I = L dt 7) ) ln U0 I = L t + C U 0 I = C 2 e L t 8) I = U 0 C 2e t τ ; mit τ = L gelten und It = 0) = 0 erfordert C 2 = U0 It) = U 0 ) e t τ 9) 0) U L = L di dt = LU 0 τ e t τ = U0 e t τ ) U 0 = U L + U = L di + I 2) dt It) = k e t τ + k2 ; Nebenbedingung I : It = 0) = 0 k = k 2 3) U 0 Spannung siehe oben - ableiten! = L k τ e t τ + k e t τ + k2 τ = L It ) = U 0 k 2 = U 0 k = U 0 It) = U 0 4) 5) e L t) 6)

3 2. Induktivitäten parallel - Induktivitäten seriell Gegeben seien zwei Induktivitäten L und L 2, die in grossem Abstand von einander parallel/seriell geschaltet sind. Was ist die Gesamtinduktivität der beiden? Einfach zum merken: seriell : L ges = L + L2; allgemein : L ges = ΣL i 7) Parallel : L ges = L + L 2 + allgemein : L ges = Σ L i 8) 3. Und meine Leuchtstoffröhre funktioniert doch! Eine Leuchtstoffröhre benötigt eine Spannung von U=50V und eine Stromstärke I=0.2A Effektivwerte) und kann als ohmscher Widerstand betrachtet werden. Welche Induktivität L muss eine, in eihe geschaltete Spule haben, damit die Leuchtstoffröhre an die Netzspannung 230V,50Hz) angeschlossen werden kann? Der ohmsche Widerstand der Spule sei vernachlässigbar. Lösung: L ~ U Betrage: U0 I 0 = z = 2 + ω 2 L 2 z = + iωl U 0 = U eff 2 = U eff = I 0 I eff 2 I 2 + ω 2 L 2 eff ) 2 ω 2 L 2 Ueff = 2, = 50V I eff Ueff ) 2 50V L = ω I eff = 2π50Hz 0.2A L = 5, 96H 4. Darf es heute etwas komplex sein - Wechselstromkreise I eff I eff ) Ein Stromkreis aus Kapazitäten, ohmschen Widerständen und Induktivitäten sei wie in der Abbildung gegeben. a) Berechnen Sie den Gesamtwiderstand der Schaltung, wenn von Aussen eine Wechselspannung Ut) = U 0 sin ωt angelegt wird. b) Wie groß ist der Maximalstrom, der im Kreis fließen kann, wenn man die Frequenz ω variiert, die Amplitude U 0 aber konstant hält? c) Was ist bei Variation von ω bei konstantem U 0 der minimale Strom? Bei welchen Frequenzen kann dieser Minimalstrom beobachtet werden? Ut) L C C L

4 Lösung a) LC in Serie mit C, L parallel. Ohmscher Widerstand: X = komplexer induktiver Widerstand: X L = iωl komplexer Widerstand der Kapazität: X C = i Komplexer Widerstand: Z = + iωl + i Sein Betrag wird Impedanz genannt: Z = 2 + ) ωl 2 Z 2 = ZZ = + iωl + ) iωl ) = i i = [ + i ωl )] [ i ωl [ + i ωl )] [ i ωl )] = 2 + ωl ) 2 20) )] 9) Anwendung auf Schaltkreis der Aufgabe: Zω) = + iωl + i + i iω =... = + i ωl ) + iωl + ωl ω 2 L C i 2) b) komplexer Strom It) = Ut)/Z It) = folgt Amplitude I 0 = U0 Z also c) Ut) ) mit Ut) = U 0 sin ωt); U 0 = konstant 22) + i ωl + ωl ω 2 L C I 0 = 2 + U 0 ) 23) 2 ωl + ωl ω 2 L C variiere ω I max, I min I max = U0 I min für ωl + ωl ω 2 L C triviale Lösungen für ω = 0 und ω = I 0 = I 0 ω) 24) ω 2 C L = 0 ω = d.h. Parallelschaltung blockiert für ω = C L C L 25) den Stromfluss volständig.

5 5. Transformator I Bei einem Transformator TAFO) gilt: 2 Spulen, welche denselben Fluss Φ erfahren. U ind = L di dφ dt = N dt = U und U 2 = N 2 dφ dt Schlussendlich: U2 U = N2 N Welche Aussagen sind richtig? a) ichtig Die Spannungen verhalten sich genauso wie die Windungszahlen Verhältnisse) b) Nein, man braucht eine Stromänderung. Das System funktioniert mit Gleichstrom c) ichtig Um hohe Spannungen zu erzeugen muss die Sekundärspule deutlich mehr Windungen haben, als die Primärspule d) Nein, umgekehrt Um hohe Ströme zu erzeugen muss die Sekundärspule deutlich mehr Windungen haben, als die Primärspule e) Nein, Energieerhaltung Durch geschickte Wahl vieler Spulen kann man höhere Ströme und gleichzeitig höhere Spannungen erzeugen f) ichtig Der Wirkungsgrad eines realen Trafo ist nicht 00%; es wird Leistung/Energie in Wärme umgewandelt. 6. Transformator II Ein idealer Trafo Wirkungsgrad 00%) an Netzspannung V = 230V mit Windungszahlen N = 500 und N 2 = 3. Welche Aussagen sind richtig? a) Die Sekundärspannung ist V b) ichtig Die Sekundärspannung ist 6V c) Am am Sekundärkreis angeschlossenem Motor mit Widerstand = 60Ω fliessen 0 ma Strom d) ichtig Am am Sekundärkreis angeschlossenem Motor mit Widerstand = 60Ω fliessen 00 ma Strom e) Am am Sekundärkreis angeschlossenem Motor mit Widerstand = 60Ω fliessen A Strom f) Im Primärkreis fließen ma Strom g) ichtig im Primärkreis fließen 2.6 ma Strom zu b: zu d zu g U = N U 2 = U N 2 230V 3 = = 5.98V 26) U 2 N 2 N 500 U = I I = U = 6V = 00mA 27) 60Ω P = U I = U 2 I 2 = P 2 I = U 2 I 2 U = 2.6mA 28)

6 7. Schwingkreis Ein Schwingkreis bestehe aus der Serienschaltung einer Spule Induktivität L), einem Kondensator Kapazität C) und einem ohmschen Widerstand. Er wird von einer Wechselspannungsquelle mit der Spannung Ut) = U 0 sinωt) gespeist. Dieser Schwingkreis soll durch einen Zusatzkondensator der Kapazitat C2 so abgestimmt werden, dass seine esonanzfrequenz f r mit der Generatorfrequenz f = ω/2n übereinstimmt. Kapazität parallel oder in Serie?? a) Berechnen Sie die Kapazität C2 des zusätzlichen Kondensators. b) Im abgestimmten Schwingkreis wird im Widerstand eine Wärmeleistung P umgesetzt. Wie groß ist? c) Bestimmen Sie den Scheinwiderstand und den Phasenwinkel für den Schwingkreis aus, C und L bei der Generatorfrequenz f. Ut) L C2?? C C2?? d) Bestimmen Sie für den Schwingkreis in c) die Scheinleistung, Wirkleistung und Blindleistung. Zahlenwerte: U 0 = 5 V; f = khz; C =90 nf; L =300 mh; P =2.5 W. Lösung: f = khz ω = 2πf = 6283s Bedingung ω r ω; ω r = LC für kleine Dämpfung. C r = ωr 2L = s F = 94.4nF < C 3 C 2 muss in eihe zu C stehen. C 2 = CrC C C r = nF =.36µF b) Blindwiderstand =0 im esonanzfall P = U eff I eff = Uo 2 Io 2 = 2 U 0I 0 = U 2 0 = U 2 0 2P = 52 V W = 45Ω c) Scheinwiderstand Z = 2 + X 2 mit X = X L X C = ω r L ω rc = 6.5Ω Z = Ω = 25Ω Phasenwinkel tan Φ = X = 2.6 Φ = 69o d) Scheinleistung S = U eff I eff = 2 U 0I 0 = U 2 0 2Z = 0.9V A Wirkleistung P = U eff I eff cos Φ = S cos Φ = 0.32W Blindleistung Q = U eff I eff sin Φ = S sin Φ = 0.84W 8. Wechselspannung Eine Wechselspannung ist gegegen durch: Ut) = U 0 sin ωt + ϕ) Welche Aussagen sind richtig? a) korrekt. Integral über Sin =Null. Der Mittelwert der Spannung ist NULL b) korrekt. Der Quotient aus Gesamtspannung und Gesamtstrom heißt Scheinwiderstand oder Impedanz Z = Uges I ges c) falsch Effektivwert U eff = U0 3 d) korrekt.effektivwert U eff und It) in Phase = U0 2 item korrekt.bei einem Widerstand schwingt/wechselt Ut) e) falsch Bei einer Kapazität eilt die Spannung Ut) dem Strom It) vorraus f) korrekt - Nomenklatur. Bei einer Induktivität eilt die Spannung Ut) dem Strom It) vorraus g) falsch Die mittlere Leistung ist immer < P >= U 0 I 0 h) korrekt Impedanz ist der Widerstand gegenüber einer Wechselspannung

7 i) Die Impedanz eines Widerstands ist ω; NEIN, nur j) Die Impedanz eines Kondensators ist - Nein, ωc k) korrekt Die Impedanz einer Spule ist ωl l) korrekt Spule blockiert hohe Frequenzen, läßt Gleichstrom durch m) falsch Kondensator blockiert hohe Frequenzen, läßt Gleichstrom durch X L = ωl für ω X C = 0 für ω 0 Spule blockiert hohe Frequenzen und läßt Gleichstrom durch X L = ωl o für ω X L = ωl für ω 0 Kondensator läßt hohe hohe Frequenzen durch und blockiert Gleichstrom durch Virtuelles echnen - Aufteilung: a b a, b 7c, d Übungsleiter: Frank Hartmann, IEKP, CN, KIT Tel.: ; Mobil - immer Tel.: ab und zu Frank.Hartmann@kit.edu www-ekp.physik.uni-karlsruhe.de/ hartmann/edyn.htm

8 Zum Spass: Karussell im Magnetfeld - Induktion und Bezugssysteme Eine kreisförmige Kunststoffscheibe rotiert mit der Winkelgeschwindigkeit ω = 0 3 s in einem homogenen Magnetfeld der Stärke B = 0.5V s/m 2 um eine Achse durch den Mittelpunkt der Scheibe. Die Vektoren der Winkelgeschwindigkeit und des Magnetfeldes sind parallel. a) Wie gross ist das elektrische Feld Er), das ein Beobachter im System der rotierenden Scheibe messen kann? uhender Beobachter sieht bewegte Ladung im B-Feld: F L = q v B 29) otierender Beobachter sieht die Ladung in uhe bemerkt aber eine elektrische Kraft auf die Ladung q: F el = q E mit E = v B 30) und damit beide Situaionen gleich sind ist das elektrische Feld auch wenn es empirisch gemessen würde) elativität der Felder E = ω r B = 0 3 r 0.5T = 500 V m 2 r r 3) b) Welche Spannung besteht zwischen zwei Punkten auf der Scheibe, die sich bei adien r = 2cm und r 2 = 4cm befinden? Spannung = intergration des Potentials U = 2 Ed r = 2 [ ] r 2 2 ω r Bdr = ωb = 0.3V 32) 2