3.7 Gesetz von Biot-Savart und Ampèresches Gesetz [P]

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1 3.7 Gesetz von Biot-Savart und Ampèresches Gesetz [P] B = µ 0 I 4 π ds (r r ) r r 3 a) Beschreiben Sie die im Gesetz von Biot-Savart vorkommenden Größen (rechts vom Integral). b) Zeigen Sie, dass das Biot-Savartsche und das Ampèresche Gesetz für einen unendlich langen Leiter die gleiche Lösung liefern. Hinweise: Verwenden Sie Zylinderkoordinaten (r, ϕ, z) T dx (a 2 + x 2 ) = x 3 a 2 a 2 + x 2 lim x ± x a2 + x 2 = ±1 c) Berechnen Sie die magnetische Flussdichte im Zentrum einer Rechteckspule mit den Seitenlängen a und b, die vom Strom I durchflossen wird (mit dem Biot-Savartschem Gesetz). d) Betrachten Sie nun die einzelnen Teile der Rechteckspule als (unendlich) lange Leiter und berechnen Sie so die magnetische Flussdichte im Zentrum der Rechteckspule (mit dem Ampèreschen Gesetz). e) Wie unterscheiden sich die Lösungen aus den Punkten c) und d) wenn a = b gilt? Welche Lösung ist die richtigere, warum? 3.8 Biot-Savart, Kraft auf einen Leiter [P] Institut für Mikroelektronik und Mikrosensorik, JKU 25

2 Gegeben sei ein Stück einer Leiterschleife, wie in obiger Grafik (a) gezeigt, welches von einem Strom I durchflossen wird. Das Leiterstück besteht aus 2 sehr langen, geraden Stücken mit Längen L und einem viertelkreisförmigen Stück mit Radius R. Hinweis: Der Rest der Leiterschleife, also die Zuleitungen zur zugehörigen Stromquelle, wurde aus Gründen der Übersichtlichkeit nicht eingezeichnet und kann für sämtliche Berechnungen in diesem Beispiel vernachlässigt werden. a) Berechnen Sie Richtung und Amplitude der durch den stromführenden Leiter hervorgerufenen magnetischen Flussdichte B im Punkt P =(0, 0, 0) (siehe Abb. (a)). Hinweis: Zur Lösung dieser Aufgabe kann das Gesetz von Biot-Savart verwendet werden. b) Welche Kraft wirkt auf ein Elektron (Ladung q = C) das sich im Punkt P in Ruhe befindet? c) Der Leiter befinde sich nun in einem homogenen, konstanten Magnetfeld B =(0, 0, B) (siehe Abb. (b)). Welche Kraft F wirkt auf den Leiter? Geben Sie Amplitude und Richtung an. Hinweis: Für diesen Teil der Aufgabe ist es möglicherweise von Vorteil kartesische Koordinaten zu verwenden. d) Gegeben sei nun der in Abb. (c) gezeigte Leiter. Das viertelkreisförmige Stück wurde durch ein rechtwinkeliges ersetzt. Berechnen Sie für diese Anordnung die Kraft F welche auf den Leiter wirkt. Was fällt Ihnen auf? 3.9 Magnetische Felder an Grenzflächen a) Leiten Sie aus der ersten und der vierten Maxwellgleichung das Verhalten von H- und B- Feld an der Grenzfläche zweier Medien mit verschiedenen Permeabilitäten her. Zeigen Sie dabei: Die Tangentialkomponenten des H-Feldes bleiben konstant, d.h.: H t1 = H t2. Die Normalkomponenten des B-Feldes bleiben konstant, d.h.: B n1 = B n2. b) Betrachten Sie zwei Medien mit sehr hoher und sehr niedriger (relativer) Permeabilität (z.b. Eisen und Luft). Wie verlaufen B- und H- Feld in (unmittelbarer) Nähe der Grenzfläche im Eisen? in der Luft? 3.10 Magnetischer Fluss und (magnetische) Durchflutung a) Wie hängen die magnetische Flussdichte B und der magnetische Fluss Φ zusammen? b) Geben Sie die Durchflutung einer Spule mit N Windungen an, durch die der Strom I fließt. c) Ein Elektromagnet (N =1000, I =0.1 A) erzeugt eine magnetische Flussdichte B =1T. Bestimmen Sie den magnetischen Fluss Φ, der auf einer Querschnittsfläche von A =100cm 2 erzeugt wird, wenn B die Fläche senkrecht durchdringt. Institut für Mikroelektronik und Mikrosensorik, JKU 26

3 d) Berechnung des magnetischen Fluss in einem inhomogenen Magnetfeld: Berechnen Sie den von einem langen, geraden mit dem Strom I durchflossenen Leiter in einer rechteckigen Drahtschleife erzeugten magnetischen Fluss unter der Voraussetzung, dass die Drahtschleife in der gleichen Ebene wie der Leiter und parallel zu ihm liegt. Lösungshinweis: Veranschaulichen Sie zunächst das Problem! 3.11 Eisenkreis a) Berechnen Sie den magnetischen Fluss Φ für einen allgemeinen Eisenkreis mit Luftspalt und leiten Sie daraus die Beziehungen für eine netzwerktheoretische Beschreibung her. (Annahme: Das B-Feld ist im Eisen konzentriert.) b) Vergleichen Sie die magnetischen Widerstände für Eisen und Luft. (Annahme: Gleiche Flächen und Homogenität des Magnetfeldes.) c) Berechnen Sie den magnetischen Widerstand (Reluktanz) für einen Hohlzylinder, der vertikal von einem Magnetfeld durchflutet wird. d) Berechnen Sie den magnetischen Widerstand (Reluktanz) für einen Hohlzylinder, der radial von einem Magnetfeld durchflutet wird Eisenkreis Drehstromtransformator 1. Für den magnetischen Kreis im nachfolgenden Bild (Drehstromtransformator) gilt: R m,1 = R m,2 = H 1 w 1 =700 i 1 = i 2 =0.1A R m,3 = H 1 w 2 = w 3 =500 i 3 =0.2A Ermitteln Sie die magnetischen Flüsse mit Hilfe der Netzwerkbeschreibung oder der Feldmethode Spannungsinduktion I Bewegte Leiter im (homogenen) Magnetfeld a) Spannungsinduktion in einem bewegten Leiter Gegeben ist ein elektrisch leitfähiger Stab der Länge l, der sich mit der Geschwindigkeit v im homogenen Magnetfeld B bewegt. Berechnen Sie die im Stab induzierte Spannung. (Annahme: Rechter Winkel zwischen v und B) Institut für Mikroelektronik und Mikrosensorik, JKU 27

4 b) Spannungsinduktion in einem rotierender Stab und in einer rotierenden Scheibe im Magnetfeld Die nachstehende Abbildung zeigt Stromkreise mit einem rotierenden, metallischen Stab (a) sowie mit einer rotierenden, metallischen, Barlowschen Scheibe (b) im ruhenden Magnetfeld. Der Achsenradius ist vernachlässigbar und eine ständige Kontaktgabe der rotierenden Teile wird garantiert. Berechnen Sie die induzierten Spannungen in beiden Anordnungen in Abhägngigkeit von der Winkelgeschwindigkeit ω Spannungsinduktion II Spannungsinduktion in einer starren Leiterschleife a) Eine starre Leiterschleife befindet sich in einem (zeitlich) veränderlichen Magnetfeld. Wie groß ist die induzierte Spannung in der in der Leiterschleife? b) Wie groß ist die Spannung an einer Spule mit N Windungen, die sich in einem zeitlich veränderlichen Magnetfeld befindet? c) Gegeben ist ein unbelasteter Trafo bestehend aus zwei Spulen mit den Windungszahlen N 1 und N 2, die durch ein Eisen (µ Fe,l Fe,A Fe ) ideal gekoppelt sind. (Vernachlässigung der Streuflüsse.) Berechnen Sie die Spannung in Abhängigkeit des Spulenstromes I 1, die in Spule 2 (unbelastet) induziert wird. Institut für Mikroelektronik und Mikrosensorik, JKU 28

5 3.15 Induktion in einer bewegten Leiterschleife Die in der Abbildung gezeigte Drahtschleife wird mit konstanter Geschwindigkeit v nach rechts bewegt. Ein konstanter Strom I fließt wie eingezeichnet durch den (als unendlich lang) angenommenen Draht. 1. Berechnen Sie den Betrag der induzierten Spannung in der Drahtschleife auf zwei verschiedene Arten: a) Verwenden Sie das Faraday sche Induktionsgesetz (Maxwell II). b) Summieren Sie für alle Bereiche des Drahtes die jeweiligen Beiträge der Lorentzkraft, welche aufgrund der Bewegung der Drahtschleife resultiert, zur induzierten Spannung auf. 2. Bestimmen Sie die Richtung des induzierten Stromes in der Drahtschleife a) durch Verwendung der Lenzschen Regel. b) durch Betrachtung der magnetischen Kräfte auf die Ladungen in der Schleife. 3. Kontrollieren Sie anhand von Spezialfällen, ob Ihr Ergebnis aus 1 Sinn ergibt. Betrachten Sie die Fälle: Die Drahtschleife bewegt sich nicht. Die Schleife ist sehr dünn, also a 0. Die Schleife ist sehr weit vom stromführenden Draht entfernt Eisenkern mit 3 Schenkeln und 2 Spulen Zu berechnen sind die Induktivitäten L 1 und L 2 sowie die Gegeninduktivität M für die gegebene Anordnung. Institut für Mikroelektronik und Mikrosensorik, JKU 29

6 3.17 Spulen, Induktion, Koppelfaktoren 1. Magnetisch verkoppelte Spulen. Für zwei Spulen werden die Induktivitäten L 1 =10mH und L 2 =20mH sowie ein Koppelfaktor k =0.9 angegeben. Zu berechnen sind die induzierten Spannungen u i1,u i2 für i 1 = I 1 + î sin ωt mit I 1 =10A, î =5A, ω =2π 50 Hz und i 2 =0(leerlaufende Spule). 2. Zwei koaxiale magnetisch verkoppelte Zylinderspulen. Berechnen Sie für zwei Zylinderspulen in Luft mit den Radien r 1 und r 2 (r 2 <r 1 ), den Längen l 1 = l 2 = l und den Windungszahlen w 1 und w 2 für den Fall, daß sich Spule 2 koaxial in Spule 1 befindet, die Induktivitäten L 1 und L 2, die Koppelfaktoren k 1 und k 2 sowie die Gegeninduktivität M 12 = M 12 = M. 3. Reihenschaltung magnetisch verkoppelter Spulen - bifilare Wicklung: Berechnen Sie für die abgebildeten Anordnungen die Ersatzschaltung für das i, u-verhalten und diskutieren Sie das Ergebnis. Institut für Mikroelektronik und Mikrosensorik, JKU 30

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