Elektrizitätslehre und Magnetismus

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1 Elektrizitätslehre und Magnetismus Othmar Marti Institut für Experimentelle Physik Physik, Wirtschaftsphysik und Lehramt Physik

2 Seite 2 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Homogene Stromverteilung Magnetfeld einer homogenen Stromverteilung in einer dünnen Platte. Links: die Geometrie zur Berechnung, Mitte: das Magnetfeld eines homogenen Stromflusses und Rechts: das Magnetfeld zweier antiparallel von Strom durchflossener Platten.

3 Seite 3 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Homogene Stromverteilung Wir definieren eine lineare Stromdichte j = lim y 0 I( y) y. Das Stromfeld können wir uns als Parallelschaltung vieler linearer Leiter vorstellen. Aus dem Superpositionsprinzip folgt, dass in der z-richtung B z 0 Das resultierende Feld dieser Superposition muss in der xy-ebene liegen. Auf den beiden Seiten senkrecht zur Platte finden sich immer zwei Stromfäden, die die x-komponente kompensieren. Wenn wir später das Ampèresche Gesetz auf diese beiden Seiten anwenden, gibt es keine Komponente von B parallel zur Seite: dieser Teil des Linienintegrals ist null. Wir betrachten weiter die Komponenten B x (x) und B y (x) des Feldes B im Abstand x von der Platte.

4 Seite 4 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Homogene Stromverteilung Wir werden zwei Symmetrieoperationen an: Wir drehen die Platte um π um die z-achse. Die neue Situation (Ströme) ist identisch mit der Ursprungssituation. Deshalb muss B(x) = B( x) sein. Wir drehen die Platte um π um die y-achse und drehen gleichzeitig die Flussrichtung des Stromes um j j. Die Endsituation ist ununterscheidbar von der am Anfang. Also gilt auch B x ( x) = B x (x) und. B y ( x) = B y (x)

5 Seite 5 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Homogene Stromverteilung Mit den beiden Symmetrieüberlegungen folgt: B x (x) 0 Um B y zu bestimmen, nehmen wir an, dass unser Integrationspfad S symmetrisch bezüglich der Platte ist. Das Ampèresche Gesetz sagt B ds = 2B y (x) b = µ 0 ida = µ 0 j b s A(s) Das Resultat ist unabhängig von x und homogen im Raum. Die Magnetfeldlinien sind parallel zur Platte und links und rechts antiparallel (siehe Abbildung 2, Mitte). B y = µ 0 2 j

6 Seite 6 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Homogene Stromverteilung Bei zwei antiparallel von Strom durchflossenen Platten ist das Magnetfeld auf den Raum zwischen den Platten beschränkt. B = µ 0 j Anwendungsbeispiele: Streifenleiter, Koaxialkabel, Modell für eine Spule

7 Seite 7 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Quellenfreiheit der magnetischen Induktion Integrationsfläche zur Analyse der Quellenfreiheit des Magnetfeldes B da = 0 A

8 Seite 8 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Quellenfreiheit der magnetischen Induktion Integration über die Mantelfläche.

9 Seite 9 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Ampèresches Durchflutungsgesetz Quellenfreiheit des Magnetfeldes 0 = B da = divb dv A V (A) oder in differentieller Form divb = 0

10 Seite 10 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Vektorpotential In diesem Abschnitt wollen wir die Frage lösen: wie konstruiere ich eine magnetische Induktion B möglichst bequem? Das Rezept stammt aus der Elektrizitätslehre. Dort wurde gezeigt, dass aus einem beliebigen Potential U(r) durch E(r) = gradu(r) eindeutig ein elektrisches Feld E(r) konstruiert werden kann, das dem Gesetz der Elektrostatik rote(r) = 0 genügt. Grundlage war die Vektoridentität rot ( gradf(r)) 0 die für beliebige Funktionen F(r) gilt.

11 Seite 11 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Vektorpotential Es gibt unter den Rechneregeln für Vektorableitungen eine weiter Identität mit dem Nullvektor. div ( rotf) = 0 Jedes Magnetfeld muss das Ampèresche Gesetz rotb = µ 0 i und die Quellenfreiheit divb = 0 erfüllen. Analog zur Poissongleichung soll auch für das Magnetfeld eine Potentialgleichung gelten. Wir müssen also ein beliebiges Vektorfeld A wählen und die magnetische Induktion B gleich der Rotation von A setzten: dann ist die Divergenzfreiheit von B gewährleistet. Mit dem Vektorpotential A F B (x; y; z) = rota (x; y; z) werden beide Gleichungen erfüllt.

12 Seite 12 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Vektorpotential Wegen der Vektoridentität div ( rota) = 0 ist die Quellenfreiheit bei beliebiger Wahl von A garantiert. Mit der zweiten Vektoridentität rot ( rota) = grad ( diva) A bekommen wir aus dem Ampèrschen Gesetz A grad ( diva) = µ 0 i Das Vektorpotential A kann immer so gewählt werden, dass diva = 0 gilt. Das Vektorpotential ist nicht eindeutig bestimmt. Nehmen wir an, dass ein Vektorpotential mit diva = f 0 existiert.

13 Seite 13 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Vektorpotential Dann existiert auch ein Vektorfeld V = gradφ mit divv = f rotv = 0 mit einer eindeutigen Lösung, denn die obigen Gleichungen sind formal äquivalent zur Elektrostatik. Wir definieren ein Vektorpotential A = A V Wegen Gleichung (??) gilt dann rota = rota rotv = rota Dies bedeutet, dass das neue Vektorpotential das gleiche B-Feld erzeugt wie das ursprüngliche. Es gilt auch diva = diva divv = f f = 0

14 Seite 14 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Vektorpotential Zu jedem Vektorpotential A kann ein Vektorpotential A gefunden werden, so dass diva = 0 ist. Das zu einer realen physikalischen Situation gehörende Vektorpotential A ist nicht eindeutig bestimmt. Die Wahl eines der zur gleichen Lösung von B gehörenden Potentiale nennt man Eichung

15 Seite 15 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Vektorpotential In der Relativitätstheorie und in der Quantenmechanik rechnet man bevorzugt mit dem Vektorpotential. Aus der Gleichung für das Vektorpotential einer Stromverteilung A(x; y; z) = µ 0 i(x; y, z) kann man die Umkehrfunktion berechnen und erhält, analog zur Elektrostatik, A (r) = µ 0 i (r) 4π r r dv

16 Seite 16 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Vektorpotential Wenn wir mit ρ = r r den Abstand von einem Beobachtungspunkt r zu einem Punkt r mit der Stromdichte i(r ) eines linearen Leiterstückes dl bezeichnen und ρ = r r setzen, ist der Beitrag zum magnetischen Feld db = µ 0I 4π dl ρ ρ 3 Durch Integration der Formel von Laplace oder des Gesetzes von Biot-Savart bekommt man B(r) = µ 0I dl ρ 4π ρ 3 Leiter Mit diesem Gesetz kann man das Magnetfeld einer beliebigen Spule berechnen. Achtung: nur die integrale Form hat eine physikalische Bedeutung! Die Formel von Laplace wird über das Vektorpotential berechnet.

17 Seite 17 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Vektorpotential Beispiel: Wir hatten in Abbildung 2 gesehen, dass ein homogener Strom in die +z-richtung homogene magnetische Induktionen links und rechts erzeugt. Die Magnetfelder haben die Form { B0, wenn x < 0; B y (x, y, z) = B 0, wenn x > 0. Für x = 0 ist B y nicht definiert.

18 Seite 18 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Vektorpotential Darstellung von B in einer (z = const)-ebene. Die Strom-Ebene liegt bei x = 0.

19 Seite 19 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Vektorpotential Das dazugehörige Vektorpotential ist A x (x, y, z) = 0 A y (x, y, z) = 0 { B0 x, für x < 0; A z (x, y, z) = B 0 x, für x > 0. Wieder ist A für x = 0 nicht definiert. Aus B = rota bekommt man B x B y B z = Az y = Ax z = Ay x Ay z = 0 Az x = Ax y = 0 { B0, für x < 0; B 0, für x > 0.

20 Seite 20 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Vektorpotential A z 6 8 Vektorpotential x z-komponente des Vektorpotentials einer unendlichen Stromdichte in z-richtung in der (x = 0)-Ebene.

21 Seite 21 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Halleffekt Hall-Effekt

22 Seite 22 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Bewegte Magnetfelder Bewegte Magnetfelder und elektrische Felder.

23 Seite 23 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Transformation des transversalen elektrischen Feldes Das elektrische Feld beider Platten im Bezugssystem S ist E z = σ ɛ 0 wenn σ die Ladungsdichte in diesem Bezugssystem ist. Das Magnetfeld ist B x = µ 0 j = µ 0 σ v 0 = v 0 σ ɛ 0 c 2 Die entsprechenden Felder im Bezugssystem S müssen nun berechnet werden. Auch in S sind die Platten homogen geladen. Also haben wir E z = σ ɛ 0 und B x = v 0 σ ɛ 0 c 2

24 Seite 24 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Transformation des transversalen elektrischen Feldes Wir brauchen die Transformationsgesetze für σ und v 0 v 0 = v 0 v 1 v v 0 c 2 σ 0 = σ γ 0 σ 0 = σ γ 0 wenn σ 0 das Ruhesystem der Ladungen und γ 0 = Wir bekommen σ = σ γ 0 γ 0 = σ 1 v 2 0 /c2 1 v 2 0 /c2 ( 1 v 2 0 c 2 ) 1/2 ist.

25 Seite 25 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Transformation des transversalen elektrischen Feldes σ 1 v = σ 0 2 ( /c2 ) 2 1 /c 2 v 0 v 1 v v 0 c 2 ( ) 1 v 20 /c2 1 v v 0 c = σ 2 ( ) 1 v v 2 0 c (v0 v) 2 /c 2 2 = σ ( ) 1 v 20 /c2 1 v v 0 c v v 0 + v2 v2 c 2 0 v 2 c 4 0 /c2 v 2 /c 2 + 2vv 0 /c 2 ( ) 1 v 20 /c2 1 v v 0 c = σ 2 1 v0 2/v 2 1 v 2 /c 2 ( = σ γ 1 v v ) 0 c 2

26 Seite 26 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Transformation des transversalen elektrischen Feldes Mit v 0 = v 0 v 1 v v 0 c 2 berechnet man ( v 0 σ = σ γ 1 v v ) 0 c 2 v 0 Damit ist und ( = σ γ = σγ (v 0 v) 1 v v 0 c 2 ) v0 v 1 v v 0 c 2 ( E z = σ σ = γ σv v ) 0 ɛ 0 ɛ 0 ɛ 0 c 2 = γ (E z v B x ) B x = v 0 ( σ σ ɛ 0 c 2 = γ v0 ɛ 0 c 2 σ v ) ( ɛ 0 c 2 = γ B x v ) c 2 E z

27 Seite 27 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Transformation des transversalen elektrischen Feldes Damit sind die transversalen Felder B x und E z in S Linearkombinationen der Felder B x und E z in S. Die Transformationseigenschaften von B z und E x erhält man, indem man die obige Anordnung um π/2 um die y-achse dreht. Dann gehen E z E x B x B z über. Die Transformationsgleichungen sind dann E x = γ (E x + v B z ) ( B z = γ B z + v ) c 2 E x

28 Seite 28 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Transformation des longitudinalen elektrischen Feldes Skizze zur Transformation eines longitudinale E-Feldes (links) und des B-Feldes (rechts).

29 Seite 29 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Transformation des longitudinalen elektrischen Feldes Die Transformation des longitudinalen E-Feldes ergibt sich aus der Erkenntnis, dass transversal zur Geschwindigkeit keine Längenkontraktion auftritt und dass das Elektrische Feld eines Plattenkondensators, oder jeder anderen Anordnung von zwei parallelen, homogenen Flächenladungen, nicht vom Plattenabstand abhängt. Also ist E y = σ ɛ 0 E y = σ ɛ 0 σ = σ Also ist auch E y = E y

30 Seite 30 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Transformation des longitudinalen elektrischen Feldes Die Transformationseigenschaften des Magnetfeldes können mit der in der obigen Abbildung rechts angedeuteten Spule berechnet werden. Das Magnetfeld in der Spule ist B y = µ 0 I N L wobei N die Anzahl Windungen und L die Länge der Spule ist. Wir machen dabei die Annahme, dass die Spule sehr lang im Vergleich zum Durchmesser sei. Mit I = Q ist N dq B y = µ 0 L dt Die Anzahl Windungen N und die Ladung sind relativistisch invariant. Das transformierte Feld ist dann B y = µ N dq 0 L dt Mit der Längenkontraktion L = γl und der Zeitdilatation dt = dt/γ folgt, dass sich die relativistischen Effekte kompensieren und damit ist. B y = B y

31 Seite 31 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Lorentztransformation der Felder Bei einer Bewegung in die y-richtung mit v = (0; v y ; 0) (γ = 1/ 1 v 2 /c 2 ) werden die elektrischen und magnetischen Felder wie E x = γ (E x + v B z ) E y = E y E z = γ (E z v B x B x = γ ( ) B x v E c 2 z B y = B y B z = γ ( ) B z + v E c 2 x

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