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1 Übung zur Vorlesung PN II Physik für Chemiker Sommersemester 2012 Prof. Tim Liedl, Department für Physik, LMU München Lösung zur Probeklausur (Besprechungstermin ) Aufgabe 1: Elektrostatik Elektrische Ladungen erzeugen elektrische Felder. a) Welche Kraft F wirkt auf eine Probeladung q die sich in einem elektrischen Feld E befindet? b) Zwei positive Ladungen q 1 und q 2 befinden sich im Abstand d zueinander- Zeichnen Sie die Feldlinien in die Skizze für den Fall, dass q 1 = q 2. c) Beschreiben Sie qualitativ das Verhalten eines Elektrons e, das in dasd Feld aus Aufgabe b) gebracht wird. Wie groß ist die resultierende Kraft, die auf ein Elektron wirkt, das sich auf der gestrichelten Verbindungslinie in der Mitte (d/2) zwischen q 1 und q 2 befindet? d) Betrachten Sie nun die Situation einer einzelnen Ladung q 1 (vergessen Sie q 2 ). Geben Sie das Feld E(r) dieser Ladung an. e) Bestimmen Sie den Verlauf des elektrischen Potentials U(r ), indem Sie das Integral U(r )= berechnen. Skizzieren Sie dieses Potential. E(r) dr (1) f) Berechnen Sie für q = e (positive Elementarladung) den Wert des Potentials im Abstand des Bohrradius r =0, 5Å. Aufgabe 1: Elektrostatik - Lösung a) Auf die Probeladung wirkt die Kraft F = E q. b) Feldlinien werden als Pfeile, die von einer positiven Ladung weg (zu einer negativen Ladung hin) zeigen dargestellt und die in alle Raumrichtungen zeigen (siehe Skizze 1). c) Kommt das Elektron in die Nähe von einer der Ladungen, so wird es von dieser angezogen. Befindet sich das Elektron genau in der Mitte zwischen den beiden Ladungen auf der gestrichelten Linie, so heben sich die Kräfte gerade auf und in der Summe wirkt auf das Elektron keine Kraft. d) Das Feld einer einzelnen Punktladung q 1 wird durch das Coulombgesetz beschrieben. Für die Feldstärke gilt: E(r) = q 1 1 ˆ r (2) 4πɛ 0 r 2

2 e) Das Coulombpotential berechnet sich zu: U(r )= r E(r) dr = Die Skizze des Coulombpotentials ist in Abbildung 2 dargestellt. r q 1 4πɛ 0 ɛ r 1 r 2 dr = q 1 4πɛ 0 1 r (3) f) Das Potential für q = e ergibt sich zu U(r) = 1, C 4π 8, C Vm 1 0, m = 28, 8V. Aufgabe 2: Ladungstransport a) Elektronen, die im Vakuum einem elektrischen Feld ausgesetzt werden, erfahren eine Beschleunigung. Wie groß ist diese für ein Feld der Stärke e =1 kv m? b) Warum zeigen Ladungsträger ein einem ohmschen Leiter hingegen eine konstante Driftgeschwindigkeit? c) Skizzieren Sie graphisch den Zusammenhang zwischen Spannung U und Strom I für zwei unterschiedlich große ohmsche Widerstände R 1 und R 2 (R 1 <R 2 ). Unter welchen Umständen gild dieser Zusammenhang nicht mehr? d) Eine Waschmaschine nimmt während des Gebrauchs die Leistung 1 kw auf. Sie wird mit der Spannung 230 V betrieben. Wie groß ist der Strom I, der durch den Heizstab fließt und wie groß ist dessen Widerstand R? Nehmen Sie an, dass 80% der Leistung für die Heizung des Wassers verbraucht wird. Aufgabe 2: Ladungstransport - Lösung a) Die Beschleunigung von Elektronen in einem elektrischen Feld der Stärke E =1 kv m berechnet sich wie folgt: F el = F (4) Damit a = E e m = 1000 V m 1, As 9, kg =1, m s 2 E q = m a (5) b) Ladungsträger in einem ohmschen Leiter zeigen eine konstante Driftgeschwindigkeit, da sie ständig mit Atomrümpfen und anderen Elektronen kollidieren und dadurch abgebremst bzw. gestreut werden. c) In Abbildung 3 ist die Spannung gegen den Strom für verschieden große ohmsche Widerstände aufgetragen. Je steiler die Gerade, desto kleiner ist der Widerstand (hier R1 < R2 <R3). Der lineare Zusammenhang zwischen Spannung und Strom gilt bei hohen Temperaturen (Glühbirne) und bei Halbleitermaterialien nur eingeschränkt. d) Der durch den Heizstab fließende Strom ist gegeben durch I = P = 800W U 230V Widerstand beträgt R = U = 66, 3Ω. I =3, 47A. Der Aufgabe 3: Elektrodynamik Bewegte Ladungen erfahren in einem Magnetfeld eine Kraft.

3 a) Ein Stab der Länge L =0, 1m und der Massem =0, 01kg liegt auf einem U-förmigen Metallrahmen (siehe Bild in der Angabe). Das magnetische Feld B = 0, 8T zeigt in die Bildebenen wie durch die Kreuze gezeigt. Nehmen Sie an, dass eine Reibung mit Reibungskoeffizient k = 0, 25 zwischen dem Stab und dem Metallrahmen existiert und bestimmen Sie den Strom der nötig ist, damit der Stab sich unter Einfluss der elektormagnetischen Kraft bewegt. (F Reibung = k m g; g =9, 81N/kg) b) In einem Generator kann Rotationsenergie in elektrische Energie umgewandelt werden indem einen Spule im Magnetfeld rotiert. Das Magnetfeld habe eine Stärke von B =2T. Die Spule habe eine Fläche von 60cm 2 und 8300 Windungen. Eine Umdrehung dauere T =0, 2s. Geben Sie den Verlauf der induzierten Spannung als Formel (mit Zahlenwerten) an und zeichnen Sie diesen in untenstehende Grafik ein. c) Im Magnetfeld befinde sich nun eine Schleife wie unten gezeigt. Diese rotiere im Uhrzeigersinn. Die Umlaufdauer betrage wieder T =0, 2s. Geben Sie die Spannung an, die an den Leiterenden A und B induziert wird (mit kurzer Begründung). Aufgabe 3: Elektrodynamik - Lösung a) Es gilt q = I t und v = L t und damit q v = I L. Womit sich die Lorentzkraft zu F L = q(v B) =I(L B) berechnet. Aus dem Kräftegleichgewicht folgt: F L = F R >I( L B)=k m g (6) und damit I = k m g L B 0, 25 0, 01kg 9, 81N/kg = 0, 1m 0, 8T =2, 5mA (7) b) Die in einem Rotationsgenerator induzierte Spannung besitzt einen sinusförmigen Verlauf. Es gilt: B A = B A N cos(ωt) (8) und damit für die induzierte Spannung U ind = dφ = ωb A N cos(ωt) mit ω = dt 2π = T 31s 1 und U 0 = ωb A N = 3090V. Der Graph ist eine Kosinusfunktion bei einer Amplitude von U 0 = 3090V startend und einer Periodendauer von T =0, 1s. c) Die Leiterschleife bildet nur eine halbe Schleife und kehrt dann entlang desselben Weges wieder zum Ausgangspunkt zurück. Es wird keine Spannung induziert, da die Spannungen in den halben Schleifen sich gegenseitig aufheben. Aufgabe 4: Wechselstromkreis mit Spule und Kondensator Eine Spule mit vernachlässigbarem ohmschen Widerstand wird an eine sinusförmige Wechselspannung U(t) angeschlossen. Entnehmen Sie den zeitlichen Verlauf der Spannung aus dem nachfolgenden Diagramm. Die effektive Stromstärke in der Spule beträgt I eff =5, 2mA. a) Wie groß ist der induktive Widerstand R L und die Induktivität L der Spule? b) Zeichnen Sie nun den Verlauf des Stroms I für das Zeitintervall zwischen t 0 =0ms und t 1 = 20ms.

4 c) Nun wird die Spule durch einen Kondensator ersetzt. Welche Kapazität C muss dieser Kondensator besitzen, damit die effektive Stromstärke wie bei der Spule I eff =5, 2mA beträgt? Aufgabe 4: Wechselstromkreis mit Spule und Kondensator - Lösung a) Es gilt: X L = U eff Ieff = U 0 2Ieff = 15V 25,210 3 A =2, 2kΩ. Für die Induktrivität gilt: X L = ωl = 2π L und damit L = X LT T 2π = 2,2 103 Ω s 2π =7, 0H. b) Die Stromstärke in der Spule hinkt der Spannung um eine viertel Periode nach. Es gilt I(t) = I 0 cos(ωt) mit ω = sπ T = 2π 20ms = 314Hz und I 0 = I eff 2 = 6, 8mA c) Wird die Spule durch einen Kondensator ersetzt so gilt nun für den Widerstand X C = 1 ωc und damit C = I 0 ωu 0 = 6,8mA =1, 4µF 3,14Hz15V Aufgabe 5: Lichtwelle Eine Lichtwelle kann durch E(x, t) = 10 3 [π( x t)] (9) beschrieben werden. Der schlampige Professor Liedl hat hier die Einheiten weggelassen. Geben Sie folgende Größen mit den dazugehörigen SI-Einheiten an: a) Wellenlänge b) Frequenz c) Periodendauer d) Amplitude Allgemein lässt sich die Wellengleichung des magnetischen Anteils der elektromagnetischen Wellen in Vakuum folgendermaßen ausdrücken. 2 B z 2 = 1 c 2 2 B t 2 (10) e) Wählen Sie einen geeigneten Ansatz um die Wellengleichung zu lösen. Zeiten Sie dabei, dass die sogenannte Dispersionsrealtin für elektromagnetische Wellen ω = k c erfüllt ist. Aufgabe 5: Lichtwellen - Lösung Die allgemeine Gleichung einer Welle lautet: E(x, t) =E 0 sin[k x ωt) =E 0 sin[2π( x λ t )] (11) T Hieraus lassen sich die gefragten Größen berechnen. a) Wellenlänge: λ = 2π k = = 666nm b) Frequenz: ν = ω 2π = =4, Hz c) Periodendauer: T = 1 ν =2, s

5 d) Amplitude: A = 10 3 V m e) Ansatz für die Lösung der Wellengleichung Für die zweiten Ableitungen gilt: B(z, t) =B 0 cos(ωt kz) (12) 2 B z 2 = B 0k 2 cos(ωt kz) (13) bzw. 2 B t = B 0ω 2 cos(ωt kz) (14) 2 Daraus ergibt sich nach Einsetzten in die Wellengleichung: B 0 k 2 cos(ωt kz) = 1 c 2 B 0ω 2 cos(ωt kz) (15) Nach Kürzung folgt die Dispersionsrelation für elektromagnetische Wellen ω = k c.

6 Abbildung 1: Skizze zu Aufgabe 1b) Abbildung 2: Skizze zu Aufgabe 1e) Abbildung 3: Skizze zu Aufgabe 2c)

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