Mathematische Grundlagen für Wirtschaftswissenschaftler Tutorium 1

Größe: px

Ab Seite anzeigen:

Download "Mathematische Grundlagen für Wirtschaftswissenschaftler Tutorium 1"

Hannelore Berger
vor 7 Jahren
Abrufe

1 Prof. Dr. Jörg Rambau Dipl. Math. Sascha Kurz Lehrstuhl für Wirtschaftsmathematik Universität Bayreuth WS 2005/06 Aufgabe 1:Einkommensteuer 2004 Mathematische Grundlagen für Wirtschaftswissenschaftler Tutorium 1 Die Berechnungsformel der Einkommensteuer ist in 32 a Abs. 1 EStG festgelegt: Die tarifliche Einkommensteuer bemisst sich nach dem zu versteuernden Einkommen. Sie beträgt vorbehaltlich der 32b, 34, 34b und 34c jeweils in Euro für zu versteuernde Einkommen bis Euro (Grundfreibetrag): 0 Euro von Euro bis Euro: (793, 10 y )y von Euro bis Euro: (265, 78 z )z von Euro an: 0, 45x y ist ein Zehntausendstel des Euro übersteigenden Teils des auf einen vollen Euro-Betrag abgerundeten zu versteuernden Einkommens. z ist ein Zehntausendstel des Euro übersteigenden Teils des auf einen vollen Euro-Betrag abgerundeten zu versteuernden Einkommens. x ist das auf einen vollen Euro-Betrag abgerundete zu versteuernde Einkommen. Der Einfachheit halber wird angenommen, dass sich das zu versteuernde Einkommen aus den Erwerbserlösen vermindert um eine Pauschale von 600 Euro ergibt. (a) Geben Sie die zu zahlende Steuer in Abhängigkeit des Erwerbserlöses als (zusammengesetzte) Funktion f(x) an. (b) Zeichnen Sie die Funktion mit Hilfe einer Wertetabelle. (c) Was ist das Urbild von 0? (d) Was ist der Werte- und der Definitionsbereich von f? (e) Ab welchen Erwerbserlösen zahlt man einen realen Steuersatz (= mindestens 40 %? bezahlte Steuern Erwerbserlöse )von Aufgabe 2: Berechnen Sie jeweils beide möglichen Verknüpfungen der beiden Funktionen: a) f(x) := 2x + 1, g(x) := 3x 1 c) f(x) := 2x 2 + 3x 5, g(x) := 3 e) f(x) := x 2 + 2x 1, g(x) := 4x 1 b) f(u) := u 3, g(u) := u 7 d) x(y) := sin(y), s(t) := t Aufgabe 3: Vereinfachen Sie so weit wie möglich: a) 3 4 1, b) cos x tan x, c) a9 b 5 a3, d) ln (a 2 b) 5 2 a 2 +ln b b 2

2 Aufgabe 4: Prozentrechnung (a) Bei dem aktuellen Mehrwertsteuersatz von 16% kostet eine Jeans 23,20e. Was würde die Jeans kosten, wenn sich die Mehrwertsteuer auf 18% erhöht? (b) Um wieviel Prozent erhöht sich die Steuer? (c) Was ist der Unterschied zwischen einer zweiprozentigen Steuererhöhung und einer Erhöhung um 2 Prozentpunkte? (Allgemeinbildung) (d) Um wieviel Prozent würden sich die Preise verändern? Aufgabe 5: surjektiv, injektiv, bijektiv Sind folgende Funktionen surjektiv, injektiv bzw. bijektiv? f : R R, x x 2, f : R + 0 R, x x 2, f : R + 0 R + 0, x x 2 Aufgabe 6: Umkehrabbildung Durch die Zuordnung (u, v) = f(x, y) = (1 + 2x y, 4 + 3x + y) ist eine Abbildung f : R 2 R 2 erklärt, die dem Paar (x, y) ein Paar (u, v) zuordnet. Geben Sie eine Formel für die Umkehrabbildung (x, y) = f 1 (u, v) an.

3 Prof. Dr. Jörg Rambau Dipl. Math. Sascha Kurz Lehrstuhl für Wirtschaftsmathematik Universität Bayreuth WS 2005/06 Mathematische Grundlagen für Wirtschaftswissenschaftler Hausaufgabenblatt 1 Aufgabe 1: In letzter Zeit wurde in Politsendungen viel über mögliche Steuerreformen diskutiert. Es wurden mehrere Modelle vorgeschlagen und viel mit Zahlen jongliert. Einen wirklichen Überblick, welche Einkommensgruppen bei welchem Modell besser oder schlechter wegkommen, hat man aber nicht wirklich bekommen. (a) Wie lauten die Steuerfunktionen für die drei Modelle (siehe Anhang)? (b) Stellen Sie die drei Steuerfunktionen in einer Abbildung graphisch dar. (c) Bei welchen Erwerbserlösen zahlt man beim Merz-Modell genauso viel Steuern, wie beim Solms-Modell? bezahlte Steuern (d) Stellen Sie die jeweiligen realen Steuersätze (= Erwerbserlöse ) in einer Abbildung graphisch dar. (e) Welche Darstellung (Gesetz, Formel, Graph Steuerfunktionen, Graph Realer Steuersatz) ist nach Ihrer Meinung die klarste? Zum Bearbeiten dieser Aufgabe dürfen alle zur Verfügung stehenden Mittel wie z. B. Excel oder Maple benutzt werden. Aufgabe 2: Betrachten Sie folgende Funktionen f : R R und g : R R mit f(x) := 2x 2 + 3x + 1, g(x) := 5x + 2 für alle x R. Wie lauten die Verknüpfungen f g und g f? Aufgabe 3: Vereinfachen Sie folgende Ausdrücke so weit wie möglich: a) b) u v 1 2u c) 2x+1 + x+3 5x2 +3x d) 1 v 2 x 2x 2x 2 9 2n 3 n+2 e) Aufgabe 4: (xy) n x 2 y n 1 x n 3 Die Kugellager GmbH hat ein temporäres Liquiditätsproblem. Um kurzfristig Geld einzusparen schlägt die Geschäftsführung dem Betriebsrat folgendes vor: Im November 2005 werden die Löhne der Angestellten um 20% gekürzt. Als kleiner Ausgleich für die Lohnkürzung sollen die Löhne im März 2006 nicht um 20%, sondern um 21% erhöht werden.

4 (a) Der Vorsitzende des Betriebsrats hat seine Schulkenntnisse in Mathematik bereits allesamt wieder vergessen und ist vollkommen ratlos. Soll er auf das Angebot eingehen oder nicht einfach aus Prinzip eine Erhöhung um 22% im März 2006 fordern? (b) Wie lautet die reale Lohnveränderung eines Angestellten zwischen September 2005 und März 2006 beim Vorschlag der Geschäftsführung? (c) Um wieviel Prozent müßten die Löhne im März 2006 erhöht werden, damit der Angestellte letztendlich genauso viel Geld in der Tasche hat, wie im September 2005? Aufgabe 5: Sie schreiben zu zweit an einer Seminararbeit über Automobilkonzerne und ihre Zulieferer. Der Schwerpunkt liegt dabei auf den Zulieferern Brose Fahrzeugteile GmbH & Co KG, Albert Weber GmbH und Continental Teves AG & Co ohg. Ihr Partner hat durch Internetrecherchen einige der Kunden dieser drei Firmen herausgefunden: Brose Fahrzeugteile GmbH & Co KG Albert Weber GmbH Continental Teves AG & Co ohg GM, Fiat, BMW, Peugot, Nissan, Honda Audi, Citöen, Fiat, VW Proton, Ssang Yong, Nissan, Fiat, Steyr Puch (a) Kann man diesen Zusammenhang als eine Funktion von der Menge der Automobilhersteller in die Menge der drei Automobilzulieferern darstellen? (b) Geben Sie eine surjektive aber nicht injektive Funktion an. Aufgabe 6: Durch die Zuordnung (u, v) = f(x, y) = (1 + 2x + 3y, 2 + 3x 2y) ist eine Abbildung f : R 2 R 2 erklärt, die dem Paar (x, y) ein Paar (u, v) zuordnet. Geben Sie eine Formel für die Umkehrabbildung (x, y) = f 1 (u, v) an. (Zum Bearbeiten dieser Aufgabe wird Schulwissen über das Lösen von Gleichungssystemen benötigt.)

5 Anhang Steuermodelle Benutzen Sie folgende leicht vereinfachten Angaben. Von den Erwerbserlösen (=Jahresbruttoeinkommen) werden bei allen drei Modellen Pauschalbeträge abgezogen. Der übrig bleibende Betrag wird als (zu versteuerndes) Einkommen bezeichnet und entsprechend besteuert. Siehe auch: merz solms kirchhof.html Steuermodell von Prof. Dr. Paul Kirchhof: Der Steuersatz beträgt einheitlich 25% (auf die um Abzüge geminderten Erwerbserlöse). 5. Von den Erwerbserlösen werden Euro abgezogen werden (Vereinfachungspauschale). 6. Vom zu versteuernden Einkommen werden Euro für gegenwärtige existenzsichernde Aufwendungen abgezogen (Grundfreibetrag). 7. Nach ihrem Grundfreibetrag wird das zu versteuernde Einkommen um einen Sozialausgleichsbetrag reduziert. D. h. von den nächsten Euro werden nur 60 % und von weiteren Euro nur 80 % besteuert. Steuermodell von Friedrich Merz, CDU: Jede Person erhält einen einheitlichen Grundfreibetrag von Euro. Der Eingangssteuersatz wird auf 12 % gesenkt. Der linear-progressive Tarif wird durch zwei weitere Steuerstufen von 24 % ab einem (zu versteuernden) Einkommen von Euro und von 36 % ab einem (zu versteuernden) Einkommen von Euro ersetzt. Von den Erwerbserlösen können einheitlich Euro abgezogen werden. Steuermodell von Dr. Hermann Otto Solms, FDP: Die Einkommensteuer beträgt 15 % des zu versteuernden Einkommens bis einschließlich Euro. Für zu versteuerndes Einkommen von mehr als Euro bis einschließlich Euro erhöht sich die berechnete Einkommensteuer auf 25 % und für den zu versteuerndes Einkommensanteil über Euro werden 35 % Steuer berechnet. Vom zu versteuernden Einkommen wird für jede Person ein Grundfreibetrag von Euro zur Freistellung des Existenzminimums abgezogen. Von den Erwerbserlösen können einheitlich Euro abgezogen werden. Beispiel: Bei Erwerbserlösen von Euro werden beim Modell von Friedrich Merz zunächst Euro abgezogen. Somit verbleiben Euro. Hiervon werden Euro mit 12 % und Euro mit 24 % besteuert. Es müssen also Euro 0, Euro 0,24 = Euro Steuern bezahlt werden. Dies entspricht einem realen Steuersatz von Euro Euro 0, 104 = 10, 4 %

Ähnliche Dokumente

Institut für Stochastik, Fernstudienzentrum

Institut für Stochastik, Fernstudienzentrum Vorkurs Mathematik für die Fachrichtung Wirtschaftswissenschaften im Herbst 2014 Präsenzwoche Übungsaufgaben zum Thema Abbildungen Aufgabe 8 Es seien Ω := {0,