Grundbegriffe der Informatik

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Grundbegriffe der Informatik"

Transkript

1 Grundbegriffe der Informatik Kapitel 15: Graphen Thomas Worsch KIT, Institut für Theoretische Informatik Wintersemester 2015/2016 GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 1 / 65

2 Darstellung von Zusammenhängen oft Objekte durch Linien verbunden, z. B. in dieser Vorlesung in der Vorlesung Programmieren im realen Leben nun allgemein Gegenstand der Betrachtungen GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 2 / 65

3 Königsberg, 1652 (heute Kaliningrad) GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 3 / 65

4 Königsberg, 1652 (heute Kaliningrad) GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 4 / 65

5 Königsberg, 1652 (heute Kaliningrad) Leonard Euler (1736): kein Spaziergang über jede Brücke genau einmal GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 4 / 65

6 Überblick Gerichtete Graphen Graphen und Teilgraphen Pfade und Erreichbarkeit Isomorphie von Graphen Ein Blick zurück auf Relationen Ungerichtete Graphen Übertragung der Grundbegriffe aus dem gerichteten Fall Eine Anmerkung zu Relationen Graphen mit Knoten- oder Kantenmarkierungen Gewichtete Graphen GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 5 / 65

7 Wo sind wir? Gerichtete Graphen Graphen und Teilgraphen Pfade und Erreichbarkeit Isomorphie von Graphen Ein Blick zurück auf Relationen Ungerichtete Graphen Graphen mit Knoten- oder Kantenmarkierungen GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 6 / 65

8 Wo sind wir? Gerichtete Graphen Graphen und Teilgraphen Pfade und Erreichbarkeit Isomorphie von Graphen Ein Blick zurück auf Relationen Ungerichtete Graphen Graphen mit Knoten- oder Kantenmarkierungen GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 7 / 65

9 Gerichteter Graph Paar G = (V, E) Knotenmenge V endlich, nichtleer (Knoten: engl. vertex) Kantenmenge E V V (Kante: engl. edge) also auch endlich darf leer sein statt V = {0, 1, 2, 3, 4, 5} E = {(0, 1), (0, 3), (1, 2), (1, 3), (4, 5), (5, 4)} lieber GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 8 / 65

10 Gerichteter Graph Paar G = (V, E) Knotenmenge V endlich, nichtleer (Knoten: engl. vertex) Kantenmenge E V V (Kante: engl. edge) also auch endlich darf leer sein statt V = {0, 1, 2, 3, 4, 5} E = {(0, 1), (0, 3), (1, 2), (1, 3), (4, 5), (5, 4)} lieber oder GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 9 / 65

11 Man kann den gleichen Graphen verschieden hinmalen Anordnung der Knoten in der Darstellung irrelevant zwei Darstellungen des gleichen Graphen: GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 10 / 65

12 Bäume kamen schon mehrfach vor G = (V, E) mit V = {1} ( i Z 3 {0, 1} ) i = {1, 10, 11, 100, 101, 110, 111} E = {(w,wx) x {0, 1} w V wx V } = {(1, 10), (1, 11), (10, 100), (10, 101), (11, 110), (11, 111)} GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 11 / 65

13 de Bruijn-Graphen V = {0, 1} n und Kanten (xw,wy) Beispiel n = 3: V = {0, 1} 3 = {000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111} E = {(xw,wy) x,y {0, 1} w {0, 1} 2 } = {(000, 000),..., (010, 101),... } Schlinge: (x, x) E schlingenfrei: ohne Schlingen GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 12 / 65

14 Teilgraph G = (V, E ) ist ein Teilgraph von G = (V, E), wenn V V E E V V, Endpunkte von Kanten in E müssen in V sein Teilgraph des de Bruijn-Graphen GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 13 / 65

15 Wo sind wir? Gerichtete Graphen Graphen und Teilgraphen Pfade und Erreichbarkeit Isomorphie von Graphen Ein Blick zurück auf Relationen Ungerichtete Graphen Graphen mit Knoten- oder Kantenmarkierungen GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 14 / 65

16 Pfade können über mehrere Kanten führen V (+) : Menge der nichtleeren Listen von Elementen aus V p = (v 0,...,v n ) V (+) ist Pfad wenn für jedes i Z n gilt: (v i,v i+1 ) E Länge eines Pfades: Anzahl n = p 1 der Kanten (!) v n von v 0 erreichbar, wenn Pfad p = (v 0,...,v n ) existiert Länge 0 für Pfade erlaubt: p = (v 0 ) GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 15 / 65

17 Zyklen führen zum Ausgangspunkt zurück Pfad mit v 0 = v n heißt geschlossen geschlossenener Pfad heißt Zyklus, wenn n 1 ist. Pfad (v 0,...,v n ) wiederholungsfrei, wenn Knoten v 0,..., v n 1 paarweise verschieden und Knoten v 1,..., v n paarweise verschieden v 0 und v n dürfen gleich sein einfacher Zyklus: wiederholungsfreier Zyklus azyklischer Graph: kein Teilgraph ist Zyklus GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 16 / 65

18 Beispiele für Pfade (100) ist Pfad der Länge 0 (100, 001) ist Pfad der Länge 1 (100, 000, 001) ist Pfad der Länge 2 (110, 101, 011, 111, 111, 111) ist Pfad der Länge 5 (011, 110, 101, 011) ist einfacher Zyklus der Länge 3. GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 17 / 65

19 Beispiele für Pfade (100) ist Pfad der Länge 0 (100, 001) ist Pfad der Länge 1 (100, 000, 001) ist Pfad der Länge 2 (110, 101, 011, 111, 111, 111) ist Pfad der Länge 5 (011, 110, 101, 011) ist einfacher Zyklus der Länge 3. GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 18 / 65

20 Beispiele für Pfade (100) ist Pfad der Länge 0 (100, 001) ist Pfad der Länge 1 (100, 000, 001) ist Pfad der Länge 2 (110, 101, 011, 111, 111, 111) ist Pfad der Länge 5 (011, 110, 101, 011) ist einfacher Zyklus der Länge 3. GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 19 / 65

21 Beispiele für Pfade (100) ist Pfad der Länge 0 (100, 001) ist Pfad der Länge 1 (100, 000, 001) ist Pfad der Länge 2 (110, 101, 011, 111, 111, 111) ist Pfad der Länge 5 (011, 110, 101, 011) ist einfacher Zyklus der Länge 3. GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 20 / 65

22 Beispiele für Pfade zweimal (100) ist Pfad der Länge 0 (100, 001) ist Pfad der Länge 1 (100, 000, 001) ist Pfad der Länge 2 (110, 101, 011, 111, 111, 111) ist Pfad der Länge 5 (011, 110, 101, 011) ist einfacher Zyklus der Länge 3. GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 21 / 65

23 Beispiele für Pfade (100) ist Pfad der Länge 0 (100, 001) ist Pfad der Länge 1 (100, 000, 001) ist Pfad der Länge 2 (110, 101, 011, 111, 111, 111) ist Pfad der Länge 5 (011, 110, 101, 011) ist einfacher Zyklus der Länge 3. GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 22 / 65

24 Teilpfade Teilpfad eines Pfad p = (v 0,...,v n ) V (+) entsteht durch Streiche endlich vieler Knoten am Anfang oder/und am Ende mindestens ein Knoten muss übrig bleiben GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 23 / 65

25 Strenger Zusammenhang gerichteter Graph streng zusammenhängend für jedes Knotenpaar (x,y) V 2 existiert Pfad von x nach y Beispiel: GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 24 / 65

26 Strenger Zusammenhang gerichteter Graph streng zusammenhängend für jedes Knotenpaar (x,y) V 2 existiert Pfad von x nach y Beispiel: hier existieren sogar einfache Zyklen, die alle Knoten enthalten GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 24 / 65

27 Strenger Zusammenhang gerichteter Graph streng zusammenhängend für jedes Knotenpaar (x,y) V 2 existiert Pfad von x nach y Beispiel: hier existieren sogar einfache Zyklen, die alle Knoten enthalten GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 25 / 65

28 Gerichtete Bäume es gibt eine Wurzel r V mit der Eigenschaft zu jedem Knoten x existiert genau ein Pfad gleich: Wurzel immer eindeutig GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 26 / 65

29 Eindeutigkeit der Wurzel Lemma. Die Wurzel eines gerichteten Baumes ist eindeutig. Beweis. Angenommen, r und r wären verschiedene Wurzeln Dann gäbe es einen Pfad von r nach r, weil r Wurzel ist, und einen Pfad von r nach r, weil r Wurzel ist. Hintereinanderhängen dieser Pfade der Länge > 0 ergäbe Pfad von r nach r, der vom Pfad (r ) verschieden wäre. Also wäre der Pfad von r nach r gar nicht eindeutig. GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 27 / 65

30 Knotengrad bei gerichteten Graphen A D B C Eingangsgrad eines Knoten y ist d (y) = {x (x,y) E} Ausgangsgrad eines Knoten x ist d + (x) = {y (x,y) E} Grad eines Knotens ist d(x) = d (x) + d + (x) GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 28 / 65

31 Bäume: Blätter und innere Knoten bei einem Baum sind Blätter Knoten mit Ausgangsgrad = 0 innere Knoten Knoten mit Ausgangsgrad > 0 GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 29 / 65

32 Wo sind wir? Gerichtete Graphen Graphen und Teilgraphen Pfade und Erreichbarkeit Isomorphie von Graphen Ein Blick zurück auf Relationen Ungerichtete Graphen Graphen mit Knoten- oder Kantenmarkierungen GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 30 / 65

33 Struktur eines Graphen was ist das? das, was gleich bleibt, wenn man die Knoten umbenennt GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 31 / 65

34 Struktur eines Graphen was ist das? das, was gleich bleibt, wenn man die Knoten umbenennt G 1 = (V 1, E 1 ) isomorph zu G 2 = (V 2, E 2 ), wenn Bijektion f : V 1 V 2 existiert mit der Eigenschaft x V 1 : y V 1 : (x,y) E 1 (f (x), f (y)) E 2 f heißt dann auch ein (Graph-)Isomorphismus Beispiel: und A B C D GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 31 / 65

35 Struktur eines Graphen was ist das? das, was gleich bleibt, wenn man die Knoten umbenennt G 1 = (V 1, E 1 ) isomorph zu G 2 = (V 2, E 2 ), wenn Bijektion f : V 1 V 2 existiert mit der Eigenschaft x V 1 : y V 1 : (x,y) E 1 (f (x), f (y)) E 2 f heißt dann auch ein (Graph-)Isomorphismus f (00) = A f (01) = B f (11) = C f (10) = D Beispiel: und A B C D GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 31 / 65

36 Graphisomorphie hat drei wichtige Eigenschaften Wenn G 1 isomorph zu G 2, dann auch G 2 isomorph zu G 1 : f 1 leistet das Gewünschte. GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 32 / 65

37 Graphisomorphie hat drei wichtige Eigenschaften Wenn G 1 isomorph zu G 2, dann auch G 2 isomorph zu G 1 : f 1 leistet das Gewünschte. Jeder Graph ist isomorph zu sich selbst: wähle f = I V GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 32 / 65

38 Graphisomorphie hat drei wichtige Eigenschaften Wenn G 1 isomorph zu G 2, dann auch G 2 isomorph zu G 1 : f 1 leistet das Gewünschte. Jeder Graph ist isomorph zu sich selbst: wähle f = I V Wenn G 1 isomorph zu G 2 (dank f ) und wenn G 2 isomorph zu G 3 (dank д), dann G 1 isomorph zu G 3 (dank д f ) GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 32 / 65

39 Wo sind wir? Gerichtete Graphen Graphen und Teilgraphen Pfade und Erreichbarkeit Isomorphie von Graphen Ein Blick zurück auf Relationen Ungerichtete Graphen Graphen mit Knoten- oder Kantenmarkierungen GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 33 / 65

40 Graphen sind Relationen Welche Bedeutung hat das Relationenprodukt? G = (V, E) mit E V V E binäre Relation auf V Frage: Bedeutung von E 2 = E E? E E = {(x, z) V V y V : (x,y) E (y, z) E} Pfad der Länge 2: Knotenliste p = (v 0,v 1,v 2 ) mit der Eigenschaft, dass (v 0,v 1 ) E (v 1,v 2 ) E. GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 34 / 65

41 Graphen sind Relationen Welche Bedeutung hat das Relationenprodukt? G = (V, E) mit E V V E binäre Relation auf V Frage: Bedeutung von E 2 = E E? E E = {(x, z) V V y V : (x,y) E (y, z) E} Pfad der Länge 2: Knotenliste p = (v 0,v 1,v 2 ) mit der Eigenschaft, dass (v 0,v 1 ) E (v 1,v 2 ) E. also Knotenpaar (x, z) genau dann in Relation E 2, wenn Pfad (x, y, z) der Länge 2 von x nach z existiert GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 34 / 65

42 Graphen sind Relationen Erreichbarkeit (x,y) E 2 es existiert Pfad der Länge 2 von x nach y. noch leichter (x,y) E 1 es existiert Pfad der Länge 1 von x nach y. (x,y) E 0 es existiert Pfad der Länge 0 von x nach y. GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 35 / 65

43 Graphen sind Relationen Erreichbarkeit (x,y) E 2 es existiert Pfad der Länge 2 von x nach y. noch leichter (x,y) E 1 es existiert Pfad der Länge 1 von x nach y. (x,y) E 0 es existiert Pfad der Länge 0 von x nach y. vollständige Induktion liefert Lemma. Für jeden gerichteten Graphen G = (V, E) und jedes i N 0 gilt: Knotenpaar (x,y) ist genau dann in der Relation E i, wenn in G Pfad der Länge i von x nach y vorhanden GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 35 / 65

44 Graphen sind Relationen Erreichbarkeit Korollar. Es sei G = (V, E) ein gerichteter Graph. Knotenpaar (x,y) ist genau dann in der Relation E, wenn Pfad (evtl. der Länge 0) von x nach y in G existiert. GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 36 / 65

45 Graphen sind Relationen Erreichbarkeit Korollar. Es sei G = (V, E) ein gerichteter Graph. Knotenpaar (x,y) ist genau dann in der Relation E, wenn Pfad (evtl. der Länge 0) von x nach y in G existiert. Korollar. Ein gerichteter Graph G = (V, E) ist genau dann streng zusammenhängend, wenn E = V V ist. GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 36 / 65

46 Was ist wichtig Das sollten Sie mitnehmen: gerichtete Graphen drücken Beziehungen aus (Relationen) Pfade strenger Zusammenhang Bäume Das sollten Sie üben: Benutzung der neuen Begriffe beim Reden Malen von Graphen sehen, wann Graphen isomorph sind GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 37 / 65

47 Wo sind wir? Gerichtete Graphen Ungerichtete Graphen Übertragung der Grundbegriffe aus dem gerichteten Fall Eine Anmerkung zu Relationen Graphen mit Knoten- oder Kantenmarkierungen GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 38 / 65

48 Wo sind wir? Gerichtete Graphen Ungerichtete Graphen Übertragung der Grundbegriffe aus dem gerichteten Fall Eine Anmerkung zu Relationen Graphen mit Knoten- oder Kantenmarkierungen GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 39 / 65

49 Ungerichtete Graphen mit Kanten ohne Richtung manchmal zu jeder Kante (x, y) E auch «umgekehrte Kante» (y, x) E graphische Darstellung der zwei gerichteten Kanten (x, y) und (y, x) durch einen Strich ohne Pfeilspitzen Man spricht dann auch nur von einer Kante. Beispiel GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 40 / 65

50 Ungerichtete Graphen formal definiert Ein ungerichteter Graph ist eine Struktur U = (V, E) mit V : endliche nichtleere Menge von Knoten E: Menge von Kanten mit E { {x,y} x V y V } adjazente Knoten: durch eine Kante miteinander verbunden Schlinge Kante mit identischen Start- und Zielknoten formal ergibt sich {x, y} mit x = y, also einfach {x} Graph ohne Schlingen heißt schlingenfrei GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 41 / 65

51 Beispiel V = {0, 1, 2, 3, 4, 5} E = { {0, 1}, {0, 3}, {1, 3}, {3}, {4, 5} } 4 5 GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 42 / 65

52 Beispiel V = {0, 1, 2, 3, 4, 5} E = { {0, 1}, {0, 3}, {1, 3}, {3}, {4, 5} } 4 5 GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 42 / 65

53 Teilgraph eines ungerichteten Graphen U = (V, E ) ist Teilgraph eines ungerichteten Graphen U = (V, E), wenn V V und E E { {x,y} x,y V }. Endpunkte jeder Kante von E müssen zu V gehören. GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 43 / 65

54 Wege das ungerichtete Gegenstück zu Pfaden p = (v 0,...,v n ) V (+) ist Weg in einem ungerichteten Graphen, wenn für jedes i Z n gilt: {v i,v i+1 } E Länge eines Weges: Anzahl n = p 1 der Kanten (!) v n von v 0 erreichbar, wenn Weg p = (v 0,...,v n ) existiert Weg (v 0,...,v n ) heißt wiederholungsfrei, wenn gilt: Knoten v 0,..., v n 1 paarweise verschieden und Knoten v 1,..., v n paarweise verschieden v 0 und v n dürfen gleich sein GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 44 / 65

55 Kreise das ungerichtete Gegenstück zu Zyklen geschlossener Weg oder Kreis: p = (v 0,...,v n ) mit v 0 = v n einfacher Kreis wiederholungsfreier Kreis mit mindestens drei verschiedenen Knoten GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 45 / 65

56 Ungerichtete Kanten und Relationen gerichtete Graphen E binäre Relation auf V E i und E haben anschauliche Bedeutung ungerichtete Graphen: E keine binäre Relation, aber GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 46 / 65

57 Ungerichtete Kanten und Relationen gerichtete Graphen E binäre Relation auf V E i und E haben anschauliche Bedeutung ungerichtete Graphen: E keine binäre Relation, aber zu U = (V, E) definiere Kantenrelation E д V V : E д = {(x,y) {x,y} E} G U = (V, E д ) der zu U gehörende gerichtete Graph GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 46 / 65

58 Zusammenhang in ungerichteten Graphen ungerichteter Graph U = (V, E) zusammenhängend, wenn zugehöriger gerichteter G U = (V, E д ) streng zusammenhängend GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 47 / 65

59 Von gerichteten zu ungerichteten Graphen die umgekehrte Richtung ist auch nützlich sei G = (V, E) ein gerichteter Graph definiere E u = { {x,y} (x,y) E} U G = (V, E u ) ist der zu G gehörige ungerichtete Graph U entsteht aus G durch Entfernen der Pfeilspitzen GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 48 / 65

60 Ungerichtete Bäume (ungerichteter) Baum: ungerichteter Graph U = (V, E), zu dem gerichteter Baum G = (V, E ) existiert mit E = E u GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 49 / 65

61 Ungerichtete Bäume (ungerichteter) Baum: ungerichteter Graph U = (V, E), zu dem gerichteter Baum G = (V, E ) existiert mit E = E u Beispiele a e c d b f д h GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 49 / 65

62 Ungerichtete Bäume verschiedene gerichtete Bäume induzieren gleichen ungerichteten Baum Wurzel gerichtet: Wurzel eindeutig zu identifizieren ungerichtet Von jedem Knoten führen Wege) zu jedem anderen «eigentliche» Wurzel manchmal trotzdem «irgendwie klar» notfalls explizit sagen GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 50 / 65

63 Knotengrad in ungerichteten Graphen ein heikles Thema Was macht man mit Schlingen? in der Literatur: verschiedene Vorgehensweisen Grad d(x) des Knotens x V in ungerichtetem Graph: d(x) = {y y x {x,y} E} + 2 falls {x, x} E 0 sonst GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 51 / 65

64 Wo sind wir? Gerichtete Graphen Ungerichtete Graphen Übertragung der Grundbegriffe aus dem gerichteten Fall Eine Anmerkung zu Relationen Graphen mit Knoten- oder Kantenmarkierungen GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 52 / 65

65 Symmetrische Relationen Kantenrelation eines ungerichteten Graphen hat die Eigenschaft: Wenn (x,y) E д, dann immer auch (y, x) E д. so etwas kommt öfter vor Relation R M M symmetrisch, wenn für alle x M und y M gilt: (x,y) R = (y, x) R GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 53 / 65

66 Äquivalenzrelationen Eine Relation, die reflexiv, transitiv und symmetrisch ist, heißt Äquivalenzrelation. Beispiel: Isomorphie von Graphen GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 54 / 65

67 Äquivalenzrelationen Eine Relation, die reflexiv, transitiv und symmetrisch ist, heißt Äquivalenzrelation. Beispiel: Isomorphie von Graphen Beispiel: Kongruenz modulo m es sei m N + definiere m auf Z vermöge der Festlegung x,y Z : x m y gdw. m teilt x y GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 54 / 65

68 Was ist wichtig Das sollten Sie mitnehmen: ungerichtete Graphen: Unterschiede zu gerichteten Graphen Gemeinsamkeiten mit gerichteten Graphen Das sollten Sie üben: Benutzung der Begriffe Malen von Graphen, hübsche und hässliche GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 55 / 65

69 Wo sind wir? Gerichtete Graphen Ungerichtete Graphen Graphen mit Knoten- oder Kantenmarkierungen Gewichtete Graphen GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 56 / 65

70 Graphen mit Beschriftungen manchmal mehr als nur Graphstruktur von Interesse Huffman-Bäume: Symbole an Kanten, Zahlen an Knoten Straßenkarten: Entfernungsangaben an Kanten... knotenmarkierter Graph: G = (V, E) mit Menge M V von (Knoten-)Markierungen Markierungsfunktion m V : V M V kantenmarkierter Graph: G = (V, E) mit Menge M E von (Kanten-)Markierungen Markierungsfunktion m E : E M E GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 57 / 65

71 Beispiel: Färbung von Landkarten Landkarte Quelle: europa/europa_kontinent_cia_2007.jpg GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 58 / 65

72 Beispiel: Färbung von Landkarten Landkarte Nachbarn verschieden gefärbt Quelle: europa/europa_kontinent_cia_2007.jpg GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 58 / 65

73 Beispiel: Färbung von Landkarten Landkarte als Graph jedes Land ein Knoten Quelle: europa/europa_kontinent_cia_2007.jpg GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 58 / 65

74 Beispiel: Färbung von Landkarten Landkarte als Graph jedes Land ein Knoten Kanten zwischen Nachbarn (leider fehlen im Bild welche) Quelle: europa/europa_kontinent_cia_2007.jpg GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 58 / 65

75 Beispiel: Färbung von Landkarten Landkarte als Graph jedes Land ein Knoten Kanten zwischen Nachbarn (leider fehlen im Bild welche) adjazente Knoten verschieden färben Quelle: europa/europa_kontinent_cia_2007.jpg GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 58 / 65

76 Beispiel: Färbung von Landkarten Satz (Appel/Haken, 1976) Für Landkarten reichen vier Farben. Quelle: europa/europa_karte_de.png GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 59 / 65

77 Färbungen von Graphen formal Färbung des Graphen: adjazente Knoten sollen verschiedene Farben bekommen Färbung m V : V M V legal, wenn {x,y} E = m V (x) m V (y) Wieviele Farben braucht man für eine legale Färbung? höchstens V mindestens? dieses Problem ist im Allgemeinen schwer es taucht z. B. im Compilerbau wieder auf GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 60 / 65

78 Wo sind wir? Gerichtete Graphen Ungerichtete Graphen Graphen mit Knoten- oder Kantenmarkierungen Gewichtete Graphen GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 61 / 65

79 Gewichtete Graphen (Kanten-)Markierungen sind Zahlen Beispiele GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 62 / 65

80 Gewichtete Graphen (Kanten-)Markierungen sind Zahlen Beispiele Verkehrsnetz: Kantengewichte: Entfernungen/Reisezeiten Probleme: z. B. finde kürzeste/schnellste Wege GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 62 / 65

81 Gewichtete Graphen (Kanten-)Markierungen sind Zahlen Beispiele Verkehrsnetz: Kantengewichte: Entfernungen/Reisezeiten Probleme: z. B. finde kürzeste/schnellste Wege Kabelnetz: Kantengewichte: Baukosten Probleme: z. B. finde billigste Möglichkeit, alle miteinander zu verbinden GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 62 / 65

82 Gewichtete Graphen (Kanten-)Markierungen sind Zahlen Beispiele Verkehrsnetz: Kantengewichte: Entfernungen/Reisezeiten Probleme: z. B. finde kürzeste/schnellste Wege Kabelnetz: Kantengewichte: Baukosten Probleme: z. B. finde billigste Möglichkeit, alle miteinander zu verbinden Rohrleitungsnetz: Kantengewichte: Rohrquerschnitte Problem: z. B. finde maximal möglichen Fluss GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 62 / 65

83 Eine Grenze der üblichen Formalisierung von Graphen nicht einfach als Graph formalisierbar GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 63 / 65

84 Eine Grenze der üblichen Formalisierung von Graphen nicht einfach als Graph formalisierbar zwischen Knoten höchstens eine Kante!? GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 63 / 65

85 Eine Grenze der üblichen Formalisierung von Graphen nicht einfach als Graph formalisierbar zwischen Knoten höchstens eine Kante!? Auswege andere Modellierung andere Definition Graph mit Mehrfachkanten GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 63 / 65

86 Was ist wichtig Das sollten Sie mitnehmen: vielfältige Beispiele für Knoten- und Kantenmarkierungen man stößt leicht auf diverse Optimierungsprobleme Das könnten Sie mal ausprobieren: an einfachen Beispielen Optimierungen versuchen (leicht? schwer?) GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 64 / 65

87 Zusammenfassung gerichtete und ungerichtete Graphen wichtige Begriffe (Pfad, Zyklus, Baum,...) Gemeinsamkeiten und Unterschiede Relationen symmetrische Relationen Äquivalenzrelationen GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 65 / 65

Grundbegriffe der Informatik

Grundbegriffe der Informatik Grundbegriffe der Informatik Einheit 11: Graphen Thomas Worsch Karlsruher Institut für Technologie, Fakultät für Informatik Wintersemester 2010/2011 1/59 Graphische Darstellung von Zusammenhängen schon

Mehr

15 G R A P H E N gerichtete graphen

15 G R A P H E N gerichtete graphen 15 G R A P H E N In den bisherigen Einheiten kamen schon an mehreren Stellen Diagramme und Bilder vor, in denen irgendwelche Gebilde durch Linien oder Pfeile miteinander verbunden waren. Man erinnere sich

Mehr

Algorithmen und Datenstrukturen 2

Algorithmen und Datenstrukturen 2 Algorithmen und Datenstrukturen 2 Sommersemester 2006 3. Vorlesung Peter F. Stadler Universität Leipzig Institut für Informatik studla@bioinf.uni-leipzig.de Algorithmen für Graphen Fragestellungen: Suche

Mehr

Graphen und Bäume. A.1 Graphen

Graphen und Bäume. A.1 Graphen Algorithmen und Datenstrukturen 96 A Graphen und Bäume A.1 Graphen Ein gerichteter Graph (auch Digraph) G ist ein Paar (V, E), wobei V eine endliche Menge und E eine Relation auf V ist, d.h. E V V. V heißt

Mehr

Vollständiger Graph. Definition 1.5. Sei G =(V,E) ein Graph. Gilt {v, w} E für alle v, w V,v w, dann heißt G vollständig (complete).

Vollständiger Graph. Definition 1.5. Sei G =(V,E) ein Graph. Gilt {v, w} E für alle v, w V,v w, dann heißt G vollständig (complete). Vollständiger Graph Definition 1.5. Sei G =(V,E) ein Graph. Gilt {v, w} E für alle v, w V,v w, dann heißt G vollständig (complete). Mit K n wird der vollständige Graph mit n Knoten bezeichnet. Bemerkung

Mehr

Einführung in die Graphentheorie. Monika König

Einführung in die Graphentheorie. Monika König Einführung in die Graphentheorie Monika König 8. 11. 2011 1 Vorwort Diese Seminararbeit basiert auf den Unterkapiteln 1.1-1.3 des Buches Algebraic Graph Theory von Chris Godsil und Gordon Royle (siehe

Mehr

w a is die Anzahl der Vorkommen von a in w Beispiel: abba a = 2

w a is die Anzahl der Vorkommen von a in w Beispiel: abba a = 2 1 2 Notation für Wörter Grundlagen der Theoretischen Informatik Till Mossakowski Fakultät für Informatik Otto-von-Guericke Universität Magdeburg w a is die Anzahl der Vorkommen von a in w Beispiel: abba

Mehr

Kapitel 5: Minimale spannende Bäume Gliederung der Vorlesung

Kapitel 5: Minimale spannende Bäume Gliederung der Vorlesung Gliederung der Vorlesung 1. Grundbegriffe 2. Elementare Graphalgorithmen und Anwendungen 3. Kürzeste Wege. Minimale spannende Bäume. Färbungen und Cliquen. Traveling Salesman Problem. Flüsse in Netzwerken

Mehr

Graphentheorie. Eulersche Graphen. Eulersche Graphen. Eulersche Graphen. Rainer Schrader. 14. November Gliederung.

Graphentheorie. Eulersche Graphen. Eulersche Graphen. Eulersche Graphen. Rainer Schrader. 14. November Gliederung. Graphentheorie Rainer Schrader Zentrum für Angewandte Informatik Köln 14. November 2007 1 / 22 2 / 22 Gliederung eulersche und semi-eulersche Graphen Charakterisierung eulerscher Graphen Berechnung eines

Mehr

Am Dienstag, den 16. Dezember, ist Eulenfest. 1/48

Am Dienstag, den 16. Dezember, ist Eulenfest. 1/48 Am Dienstag, den 16. Dezember, ist Eulenfest. 1/48 Grundbegriffe der Informatik Einheit 12: Erste Algorithmen in Graphen Thomas Worsch Universität Karlsruhe, Fakultät für Informatik Wintersemester 2008/2009

Mehr

Grundbegriffe der Informatik

Grundbegriffe der Informatik Grundbegriffe der Informatik Kapitel 21: Relationen Thomas Worsch KIT, Institut für Theoretische Informatik Wintersemester 2015/2016 GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik

Mehr

Bäume und Wälder. Definition 1

Bäume und Wälder. Definition 1 Bäume und Wälder Definition 1 Ein Baum ist ein zusammenhängender, kreisfreier Graph. Ein Wald ist ein Graph, dessen Zusammenhangskomponenten Bäume sind. Ein Knoten v eines Baums mit Grad deg(v) = 1 heißt

Mehr

Zentralübung zur Vorlesung Diskrete Strukturen (Prof. Esparza)

Zentralübung zur Vorlesung Diskrete Strukturen (Prof. Esparza) WS 2013/14 Zentralübung zur Vorlesung Diskrete Strukturen (Prof. Esparza) Dr. Werner Meixner Fakultät für Informatik TU München http://www14.in.tum.de/lehre/2013ws/ds/uebung/ 22. Januar 2014 ZÜ DS ZÜ XIII

Mehr

9. Übung Algorithmen I

9. Übung Algorithmen I Timo Bingmann, Christian Schulz INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK, PROF. SANDERS 1 KIT Timo Universität Bingmann, des LandesChristian Baden-Württemberg Schulz und nationales Forschungszentrum in der

Mehr

Massive Parallelität : Neuronale Netze

Massive Parallelität : Neuronale Netze Massive Parallelität : Neuronale Netze PI2 Sommer-Semester 2005 Hans-Dieter Burkhard Massive Parallelität : Neuronale Netze Knoten: Neuronen Neuronen können erregt ( aktiviert ) sein Kanten: Übertragung

Mehr

Verteilen von Bällen auf Urnen

Verteilen von Bällen auf Urnen Verteilen von Bällen auf Urnen Szenario: Wir verteilen n Bälle auf m Urnen, d.h. f : B U mit B = {b 1,..., b n } und U = {u 1,..., u m }. Dabei unterscheiden wir alle Kombinationen der folgenden Fälle

Mehr

Diskrete Mathematik. Sebastian Iwanowski FH Wedel. Kap. 6: Graphentheorie

Diskrete Mathematik. Sebastian Iwanowski FH Wedel. Kap. 6: Graphentheorie Referenzen zum Nacharbeiten: Diskrete Mathematik Sebastian Iwanowski FH Wedel Kap. 6: Graphentheorie Lang 6 Beutelspacher 8.1-8.5 Meinel 11 zur Vertiefung: Aigner 6, 7 (7.4: Algorithmus von Dijkstra) Matousek

Mehr

Isomorphie von Bäumen

Isomorphie von Bäumen Isomorphie von Bäumen Alexandra Weinberger 23. Dezember 2011 Inhaltsverzeichnis 1 Einige Grundlagen und Definitionen 2 1.1 Bäume................................. 3 1.2 Isomorphie..............................

Mehr

Fortgeschrittene Netzwerk- und Graph-Algorithmen

Fortgeschrittene Netzwerk- und Graph-Algorithmen Fortgeschrittene Netzwerk- und Graph-Algorithmen Dr. Hanjo Täubig Lehrstuhl für Eziente Algorithmen (Prof. Dr. Ernst W. Mayr) Institut für Informatik Technische Universität München Wintersemester 2007/08

Mehr

8. Übung zu Algorithmen I 15. Juni 2016

8. Übung zu Algorithmen I 15. Juni 2016 8. Übung zu Algorithmen I 15. Juni 2016 Lisa Kohl Lisa.Kohl@kit.edu (mit Folien von Julian Arz, Timo Bingmann, Sebastian Schlag, Christian Staudt und Christoph Striecks) Nachtrag: Quicksort, alternative

Mehr

1. Einleitung wichtige Begriffe

1. Einleitung wichtige Begriffe 1. Einleitung wichtige Begriffe Da sich meine besondere Lernleistung mit dem graziösen Färben (bzw. Nummerieren) von Graphen (speziell von Bäumen), einem Teilgebiet der Graphentheorie, beschäftigt, und

Mehr

Graphentheorie 1. Diskrete Strukturen. Sommersemester Uta Priss ZeLL, Ostfalia. Hausaufgaben Graph-Äquivalenz SetlX

Graphentheorie 1. Diskrete Strukturen. Sommersemester Uta Priss ZeLL, Ostfalia. Hausaufgaben Graph-Äquivalenz SetlX Graphentheorie 1 Diskrete Strukturen Uta Priss ZeLL, Ostfalia Sommersemester 2016 Diskrete Strukturen Graphentheorie 1 Slide 1/19 Agenda Hausaufgaben Graph-Äquivalenz SetlX Diskrete Strukturen Graphentheorie

Mehr

Lernmodul 2 Graphen. Lernmodul 2: Geoobjekte und ihre Modellierung - Graphen

Lernmodul 2 Graphen. Lernmodul 2: Geoobjekte und ihre Modellierung - Graphen Folie 1 von 20 Lernmodul 2 Graphen Folie 2 von 20 Graphen Übersicht Motivation Ungerichteter Graph Gerichteter Graph Inzidenz, Adjazenz, Grad Pfad, Zyklus Zusammenhang, Trennende Kante, Trennender Knoten

Mehr

Graphenalgorithmen I

Graphenalgorithmen I enalgorithmen I Tobias Pröger 21. Dezember 2016 Erklärung: Diese Mitschrift ist als Ergänzung zur Vorlesung gedacht. Wir erheben keinen Anspruch auf Vollständigkeit und Korrektheit. Wir sind froh über

Mehr

WS 2009/10. Diskrete Strukturen

WS 2009/10. Diskrete Strukturen WS 2009/10 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws0910

Mehr

3 Klassifikation wichtiger Optimierungsprobleme

3 Klassifikation wichtiger Optimierungsprobleme 3 Klassifikation wichtiger Optimierungsprobleme 3.1 Das MIN- -TSP Wir kehren nochmal zurück zum Handlungsreisendenproblem für Inputs (w {i,j} ) 1 i

Mehr

Vorlesung Diskrete Strukturen Graphen: Wieviele Bäume?

Vorlesung Diskrete Strukturen Graphen: Wieviele Bäume? Vorlesung Diskrete Strukturen Graphen: Wieviele Bäume? Bernhard Ganter Institut für Algebra TU Dresden D-01062 Dresden bernhard.ganter@tu-dresden.de WS 2013/14 Isomorphie Zwei Graphen (V 1, E 1 ) und (V

Mehr

15. Elementare Graphalgorithmen

15. Elementare Graphalgorithmen Graphen sind eine der wichtigste Modellierungskonzepte der Informatik Graphalgorithmen bilden die Grundlage vieler Algorithmen in der Praxis Zunächst kurze Wiederholung von Graphen. Dann Darstellungen

Mehr

Graphentheorie. Organisatorisches. Organisatorisches. Organisatorisches. Rainer Schrader. 23. Oktober 2007

Graphentheorie. Organisatorisches. Organisatorisches. Organisatorisches. Rainer Schrader. 23. Oktober 2007 Graphentheorie Rainer Schrader Organisatorisches Zentrum für Angewandte Informatik Köln 23. Oktober 2007 1 / 79 2 / 79 Organisatorisches Organisatorisches Dozent: Prof. Dr. Rainer Schrader Weyertal 80

Mehr

Algorithmen und Datenstrukturen

Algorithmen und Datenstrukturen Algorithmen und Datenstrukturen Datenstrukturen: Anordnung von Daten, z.b. als Liste (d.h. in bestimmter Reihenfolge) Beispiel: alphabetisch sortiertes Wörterbuch... Ei - Eibe - Eidotter... als Baum (d.h.

Mehr

Graphen. Leonhard Euler ( )

Graphen. Leonhard Euler ( ) Graphen Leonhard Euler (1707-1783) 2 Graph Ein Graph besteht aus Knoten (nodes, vertices) die durch Kanten (edges) miteinander verbunden sind. 3 Nachbarschaftsbeziehungen Zwei Knoten heissen adjazent (adjacent),

Mehr

Das Briefträgerproblem

Das Briefträgerproblem Das Briefträgerproblem Paul Tabatabai 30. Dezember 2011 Inhaltsverzeichnis 1 Problemstellung und Modellierung 2 1.1 Problem................................ 2 1.2 Modellierung.............................

Mehr

Quicksort ist ein Divide-and-Conquer-Verfahren.

Quicksort ist ein Divide-and-Conquer-Verfahren. . Quicksort Wie bei vielen anderen Sortierverfahren (Bubblesort, Mergesort, usw.) ist auch bei Quicksort die Aufgabe, die Elemente eines Array a[..n] zu sortieren. Quicksort ist ein Divide-and-Conquer-Verfahren.

Mehr

Vorlesung Diskrete Strukturen Graphen: Wieviele Bäume?

Vorlesung Diskrete Strukturen Graphen: Wieviele Bäume? Vorlesung Diskrete Strukturen Graphen: Wieviele Bäume? Bernhard Ganter WS 2009/10 Isomorphie Zwei Graphen (V 1, E 1 ) und (V 2, E 2 ) heißen isomorph, wenn es eine bijektive, Kanten erhaltende und Kanten

Mehr

Graph Paar (V,E) V: nichtleere Menge von Knoten (vertex) E: Menge von Kanten (edges): Relation (Verbindung) zwischen den Knoten

Graph Paar (V,E) V: nichtleere Menge von Knoten (vertex) E: Menge von Kanten (edges): Relation (Verbindung) zwischen den Knoten Graphentheorie Graph Paar (V,E) V: nichtleere Menge von Knoten (vertex) E: Menge von Kanten (edges): Relation (Verbindung) zwischen den Knoten gerichteter Graph (DiGraph (directed graph) E: Teilmenge E

Mehr

Kapitel 4: Minimale spannende Bäume Gliederung der Vorlesung

Kapitel 4: Minimale spannende Bäume Gliederung der Vorlesung Kapitel : Minimale spannende Bäume Gliederung der Vorlesung. Grundbegriffe 2. Elementare Graphalgorithmen und Anwendungen. Kürzeste Wege. Minimale spannende Bäume. Färbungen und Cliquen. Traveling Salesman

Mehr

Diskrete Strukturen Kapitel 2: Grundlagen (Relationen)

Diskrete Strukturen Kapitel 2: Grundlagen (Relationen) WS 2016/17 Diskrete Strukturen Kapitel 2: Grundlagen (Relationen) Hans-Joachim Bungartz Lehrstuhl für wissenschaftliches Rechnen Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www5.in.tum.de/wiki/index.php/diskrete_strukturen_-_winter_16

Mehr

Einführung in die Graphentheorie. Modellierung mit Graphen. Aufgabe

Einführung in die Graphentheorie. Modellierung mit Graphen. Aufgabe Einführung in die Graphentheorie Modellierung mit Graphen Aufgabe Motivation Ungerichtete Graphen Gerichtete Graphen Credits: D. Jungnickel: Graphen, Netzwerke und Algorithmen, BI 99 G. Goos: Vorlesungen

Mehr

Kapitel 7: Flüsse in Netzwerken und Anwendungen Gliederung der Vorlesung

Kapitel 7: Flüsse in Netzwerken und Anwendungen Gliederung der Vorlesung Gliederung der Vorlesung. Fallstudie Bipartite Graphen. Grundbegriffe. Elementare Graphalgorithmen und Anwendungen. Minimal spannende Bäume. Kürzeste Pfade. Traveling Salesman Problem. Flüsse in Netzwerken

Mehr

Das Heiratsproblem. Definition Matching

Das Heiratsproblem. Definition Matching Das Heiratsproblem Szenario: Gegeben: n Frauen und m > n Männer. Bekanntschaftsbeziehungen zwischen allen Männern und Frauen. Fragestellung: Wann gibt es für jede der Frauen einen Heiratspartner? Modellierung

Mehr

2. Repräsentationen von Graphen in Computern

2. Repräsentationen von Graphen in Computern 2. Repräsentationen von Graphen in Computern Kapitelinhalt 2. Repräsentationen von Graphen in Computern Matrizen- und Listendarstellung von Graphen Berechnung der Anzahl der verschiedenen Kantenzüge zwischen

Mehr

Verkettete Datenstrukturen: Bäume

Verkettete Datenstrukturen: Bäume Verkettete Datenstrukturen: Bäume 1 Graphen Gerichteter Graph: Menge von Knoten (= Elementen) + Menge von Kanten. Kante: Verbindung zwischen zwei Knoten k 1 k 2 = Paar von Knoten (k 1, k 2 ). Menge aller

Mehr

Graphen. Formale Methoden der Informatik WiSe 2010/2011 teil 2, folie 1 (von 60)

Graphen. Formale Methoden der Informatik WiSe 2010/2011 teil 2, folie 1 (von 60) Graphen Formale Methoden der Informatik WiSe 2010/2011 teil 2, folie 1 (von 60) Teil II: Graphen 1. Einführung 2. Wege und Kreise in Graphen, Bäume 3. Planare Graphen / Traveling Salesman Problem 4. Transportnetzwerke

Mehr

Einführung in die Informatik 2

Einführung in die Informatik 2 Einführung in die Informatik 2 Bäume & Graphen Sven Kosub AG Algorithmik/Theorie komplexer Systeme Universität Konstanz http://www.inf.uni-konstanz.de/algo/lehre/ss08/info2 Sommersemester 2008 Sven Kosub

Mehr

Bäume und Wälder. Seminar: Graphentheorie Sommersemester 2015 Dozent: Dr. Thomas Timmermann

Bäume und Wälder. Seminar: Graphentheorie Sommersemester 2015 Dozent: Dr. Thomas Timmermann Bäume und Wälder Seminar: Graphentheorie Sommersemester 2015 Dozent: Dr. Thomas Timmermann Ida Feldmann 2-Fach Bachelor Mathematik und Biologie 6. Fachsemester Inhaltsverzeichnis Einleitung 1 1. Bäume

Mehr

Studientag zur Algorithmischen Mathematik

Studientag zur Algorithmischen Mathematik Studientag zur Algorithmischen Mathematik Eulertouren, 2-Zusammenhang, Bäume und Baumisomorphismen Winfried Hochstättler Diskrete Mathematik und Optimierung FernUniversität in Hagen 22. Mai 2011 Outline

Mehr

WS 2009/10. Diskrete Strukturen

WS 2009/10. Diskrete Strukturen WS 2009/10 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws0910

Mehr

Kapitel 4: Minimal spannende Bäume Gliederung der Vorlesung

Kapitel 4: Minimal spannende Bäume Gliederung der Vorlesung Kapitel : Minimal spannende Bäume Gliederung der Vorlesung. Fallstudie Bipartite Graphen 2. Grundbegriffe. Elementare Graphalgorithmen und Anwendungen. Minimal spannende Bäume. Kürzeste Wege. Traveling

Mehr

Vorlesung Informatik 2 Algorithmen und Datenstrukturen

Vorlesung Informatik 2 Algorithmen und Datenstrukturen Vorlesung Informatik 2 Algorithmen und Datenstrukturen (18 Bäume: Grundlagen und natürliche Suchbäume) Prof. Dr. Susanne Albers Bäume (1) Bäume sind verallgemeinerte Listen (jedes Knoten-Element kann mehr

Mehr

Aufgabe 4.2 Sei G = (V, E, l) ein ungerichteter, gewichteter und zusammenhängender Graph.

Aufgabe 4.2 Sei G = (V, E, l) ein ungerichteter, gewichteter und zusammenhängender Graph. Aufgabe 4.2 Sei G = (V, E, l) ein ungerichteter, gewichteter und zusammenhängender Graph. a) Es seien W 1 = (V, E 1 ), W 2 = (V, E 2 ) Untergraphen von G, die beide Wälder sind. Weiter gelte E 1 > E 2.

Mehr

Technische Universität München Zentrum Mathematik Propädeutikum Diskrete Mathematik. Weihnachtsblatt

Technische Universität München Zentrum Mathematik Propädeutikum Diskrete Mathematik. Weihnachtsblatt Technische Universität München Zentrum Mathematik Propädeutikum Diskrete Mathematik Prof. Dr. A. Taraz, Dipl-Math. A. Würfl, Dipl-Math. S. König Weihnachtsblatt Aufgabe W.1 Untersuchen Sie nachstehenden

Mehr

Definition Ein gerichteter Graph G = (V, E) ist ein Graph von geordneten Paaren (u, v) mit u V und v V.

Definition Ein gerichteter Graph G = (V, E) ist ein Graph von geordneten Paaren (u, v) mit u V und v V. Kapitel 4 Graphenalgorithmen 4.1 Definitionen Definition 4.1.1. Der Graph G = (V, E) ist über die beiden Mengen V und E definiert, wobei V die Menge der Knoten und E die Menge der Kanten in dem Graph ist.

Mehr

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN FAKULTÄT FÜR INFORMATIK

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN FAKULTÄT FÜR INFORMATIK TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN FAKULTÄT FÜR INFORMATIK Lehrstuhl für Sprachen und Beschreibungsstrukturen SS 2009 Grundlagen: Algorithmen und Datenstrukturen Übungsblatt 11 Prof. Dr. Helmut Seidl, S. Pott,

Mehr

Grundbegriffe der Informatik

Grundbegriffe der Informatik Grundbegriffe der Informatik Einheit 8: kontextfreie Grammatiken Thomas Worsch Karlsruher Institut für Technologie, Fakultät für Informatik Wintersemester 2009/2010 1/37 Überblick Kontextfreie Grammatiken

Mehr

Grundbegriffe der Informatik

Grundbegriffe der Informatik Grundbegriffe der Informatik Einheit 14: Endliche Automaten Thomas Worsch Universität Karlsruhe, Fakultät für Informatik Wintersemester 2008/2009 1/38 Überblick Erstes Beispiel: ein Getränkeautomat Mealy-Automaten

Mehr

Ordnungen und Verbände

Ordnungen und Verbände Ordnungen und Verbände Diskrete Strukturen Uta Priss ZeLL, Ostfalia Sommersemester 2016 Diskrete Strukturen Ordnungen und Verbände Slide 1/28 Agenda Klausur Hausaufgaben Ordnungsrelation Baum-Ordnung Verbände

Mehr

2. Woche Eindeutige Entschlüsselbarleit, Sätze von Kraft und McMillan, Huffmancodierung

2. Woche Eindeutige Entschlüsselbarleit, Sätze von Kraft und McMillan, Huffmancodierung 2 Woche Eindeutige Entschlüsselbarleit, Sätze von Kraft und McMillan, Huffmancodierung 2 Woche: Eindeutige Entschlüsselbarleit, Sätze von Kraft und McMillan, Huffmancodierung 24/ 44 Zwei Beispiele a 0

Mehr

Graphen: Einführung. Vorlesung Mathematische Strukturen. Sommersemester 2011

Graphen: Einführung. Vorlesung Mathematische Strukturen. Sommersemester 2011 Graphen: Einführung Vorlesung Mathematische Strukturen Zum Ende der Vorlesung beschäftigen wir uns mit Graphen. Graphen sind netzartige Strukturen, bestehend aus Knoten und Kanten. Sommersemester 20 Prof.

Mehr

Einführung in die Graphentheorie. Modellierung mit Graphen. Aufgabe

Einführung in die Graphentheorie. Modellierung mit Graphen. Aufgabe Einführung in die Graphentheorie Modellierung mit Graphen Aufgabe Motivation Ungerichtete Graphen Gerichtete Graphen Credits: D. Jungnickel: Graphen, Netzwerke und Algorithmen, BI 99 G. Goos: Vorlesungen

Mehr

Algorithmen und Datenstrukturen 2

Algorithmen und Datenstrukturen 2 Algorithmen und Datenstrukturen 2 Sommersemester 2007 4. Vorlesung Peter F. Stadler Universität Leipzig Institut für Informatik studla@bioinf.uni-leipzig.de Traversierung Durchlaufen eines Graphen, bei

Mehr

Kürzeste Wege in Graphen. Maurice Duvigneau Otto-von-Guericke Universität Fakultät für Informatik

Kürzeste Wege in Graphen. Maurice Duvigneau Otto-von-Guericke Universität Fakultät für Informatik Kürzeste Wege in Graphen Maurice Duvigneau Otto-von-Guericke Universität Fakultät für Informatik Gliederung Einleitung Definitionen Algorithmus von Dijkstra Bellmann-Ford Algorithmus Floyd-Warshall Algorithmus

Mehr

6. Übung zur Linearen Optimierung SS08

6. Übung zur Linearen Optimierung SS08 6 Übung zur Linearen Optimierung SS08 1 Sei G = (V, E) ein schlichter ungerichteter Graph mit n Ecken und m Kanten Für eine Ecke v V heißt die Zahl der Kanten (u, v) E Grad der Ecke (a) Ist die Anzahl

Mehr

3. Musterlösung. Problem 1: Boruvka MST

3. Musterlösung. Problem 1: Boruvka MST Universität Karlsruhe Algorithmentechnik Fakultät für Informatik WS 06/07 ITI Wagner. Musterlösung Problem : Boruvka MST pt (a) Beweis durch Widerspruch. Sei T MST von G, e die lokal minimale Kante eines

Mehr

Vorlesung Diskrete Strukturen Eulersche und Hamiltonsche Graphen

Vorlesung Diskrete Strukturen Eulersche und Hamiltonsche Graphen Vorlesung Diskrete Strukturen Eulersche und Hamiltonsche Graphen Bernhard Ganter WS 2013/14 1 Eulersche Graphen Kantenzug Ein Kantenzug in einem Graphen (V, E) ist eine Folge (a 0, a 1,..., a n ) von Knoten

Mehr

Theoretische Informatik 1 WS 2007/2008. Prof. Dr. Rainer Lütticke

Theoretische Informatik 1 WS 2007/2008. Prof. Dr. Rainer Lütticke Theoretische Informatik 1 WS 2007/2008 Prof. Dr. Rainer Lütticke Inhalt der Vorlesung Grundlagen - Mengen, Relationen, Abbildungen/Funktionen - Datenstrukturen - Aussagenlogik Automatentheorie Formale

Mehr

Binary Decision Diagrams (Einführung)

Binary Decision Diagrams (Einführung) Binary Decision Diagrams (Einführung) Binary Decision Diagrams (BDDs) sind bestimmte Graphen, die als Datenstruktur für die kompakte Darstellung von booleschen Funktionen benutzt werden. BDDs wurden von

Mehr

Notizen zu Transformationen und Permutationen. T (A) = {f : A A}

Notizen zu Transformationen und Permutationen. T (A) = {f : A A} Transformationen Notizen zu Transformationen und Permutationen Ist A eine Menge, so ist die Menge T (A) = {f : A A} bezüglich der Komposition (Hintereinanderausführung) als Operation und der identischen

Mehr

Algo&Komp. - Wichtige Begriffe Mattia Bergomi Woche 6 7

Algo&Komp. - Wichtige Begriffe Mattia Bergomi Woche 6 7 1 Kürzeste Pfade Woche 6 7 Hier arbeiten wir mit gewichteten Graphen, d.h. Graphen, deren Kanten mit einer Zahl gewichtet werden. Wir bezeichnen die Gewichtsfunktion mit l : E R. Wir wollen einen kürzesten

Mehr

WS 2009/10. Diskrete Strukturen

WS 2009/10. Diskrete Strukturen WS 2009/10 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws0910

Mehr

Kombinatorische Optimierung

Kombinatorische Optimierung Juniorprof. Dr. Henning Meyerhenke 1 Henning Meyerhenke: KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und nationales Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft www.kit.edu Vorlesung 1 Programm des

Mehr

Datenstrukturen & Algorithmen

Datenstrukturen & Algorithmen Datenstrukturen & Algorithmen Matthias Zwicker Universität Bern Frühling 2010 Übersicht Binäre Suchbäume Einführung und Begriffe Binäre Suchbäume 2 Binäre Suchbäume Datenstruktur für dynamische Mengen

Mehr

Vorlesungen vom 5.Januar 2005

Vorlesungen vom 5.Januar 2005 Vorlesungen vom 5.Januar 2005 5 Planare Graphen 5.1 Beispiel: Gas, Wasser, Elektrik Drei eingeschworene Feinde, die im Wald leben, planen Trassen zu den Versorgungswerken für die drei Grundgüter Gas, Wasser

Mehr

\ E) eines Graphen G = (V, E) besitzt die gleiche Knotenmenge V und hat als Kantenmenge alle Kanten des vollständigen Graphen ohne die Kantenmenge E.

\ E) eines Graphen G = (V, E) besitzt die gleiche Knotenmenge V und hat als Kantenmenge alle Kanten des vollständigen Graphen ohne die Kantenmenge E. Das Komplement Ḡ = (V, ( V ) \ E) eines Graphen G = (V, E) besitzt die gleiche Knotenmenge V und hat als Kantenmenge alle Kanten des vollständigen Graphen ohne die Kantenmenge E. Ein Graph H = (V, E )

Mehr

WS 2008/09. Diskrete Strukturen

WS 2008/09. Diskrete Strukturen WS 2008/09 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws0809

Mehr

Einführung in die Informatik 2

Einführung in die Informatik 2 Einführung in die Informatik 2 Mathematische Grundbegriffe Sven Kosub AG Algorithmik/Theorie komplexer Systeme Universität Konstanz E 202 Sven.Kosub@uni-konstanz.de Sprechstunde: Freitag, 12:30-14:00 Uhr,

Mehr

Algorithmische Graphentheorie

Algorithmische Graphentheorie Algorithmische Graphentheorie WS 2008/2009 Vorlesung: Dr. Felix Brandt, Dr. Jan Johannsen Übung: Markus Brill, Felix Fischer Institut für Informatik LMU München Organisatorisches Vorlesung Donnerstag,

Mehr

Wiederholung zu Flüssen

Wiederholung zu Flüssen Universität Konstanz Methoden der Netzwerkanalyse Fachbereich Informatik & Informationswissenschaft SS 2008 Prof. Dr. Ulrik Brandes / Melanie Badent Wiederholung zu Flüssen Wir untersuchen Flüsse in Netzwerken:

Mehr

Übungsblatt 2 - Lösung

Übungsblatt 2 - Lösung Institut für Theoretische Informatik Lehrstuhl Prof. Dr. D. Wagner Übungsblatt 2 - Lösung Vorlesung Algorithmentechnik im WS 08/09 Ausgabe 04. November 2008 Abgabe 8. November, 5:0 Uhr (im Kasten vor Zimmer

Mehr

8 Diskrete Optimierung

8 Diskrete Optimierung 8 Diskrete Optimierung Definition 8.1. Ein Graph G ist ein Paar (V (G), E(G)) besteh aus einer lichen Menge V (G) von Knoten (oder Ecken) und einer Menge E(G) ( ) V (G) 2 von Kanten. Die Ordnung n(g) von

Mehr

Algorithmen II Vorlesung am

Algorithmen II Vorlesung am Algorithmen II Vorlesung am 0..0 Minimale Schnitte in Graphen INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK PROF. DR. DOROTHEA WAGNER KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und Algorithmen nationales Forschungszentrum

Mehr

Kapitel 4: Netzplantechnik Gliederung der Vorlesung

Kapitel 4: Netzplantechnik Gliederung der Vorlesung Gliederung der Vorlesung 1. Grundbegriffe 2. Elementare Graphalgorithmen und Anwendungen 3. Kürzeste Wege 4. Netzplantechnik 5. Minimal spannende Bäume 6. Traveling Salesman Problem 7. Flüsse in Netzwerken

Mehr

Vorlesung 4. Tilman Bauer. 13. September Wir befassen uns in dieser Vorlesung noch einmal mit Mengen.

Vorlesung 4. Tilman Bauer. 13. September Wir befassen uns in dieser Vorlesung noch einmal mit Mengen. Vorlesung 4 Universität Münster 13. September 2007 1 Kartesische Wir befassen uns in dieser Vorlesung noch einmal mit Mengen. Seien M und N zwei Mengen. Dann bezeichnen wir mit M N das (kartesische) Produkt

Mehr

Diskrete Mathematik für Informatiker

Diskrete Mathematik für Informatiker Diskrete Mathematik für Informatiker Markus Lohrey Universität Siegen Wintersemester 2014/2015 Lohrey (Universität Siegen) Diskrete Mathematik Wintersem. 2014/2015 1 / 344 Organisatorisches zur Vorlesung

Mehr

Grundlagen Theoretischer Informatik I SoSe 2011 in Trier. Henning Fernau Universität Trier

Grundlagen Theoretischer Informatik I SoSe 2011 in Trier. Henning Fernau Universität Trier Grundlagen Theoretischer Informatik I SoSe 2011 in Trier Henning Fernau Universität Trier fernau@uni-trier.de 1 Grundlagen Theoretischer Informatik I Gesamtübersicht Organisatorisches; Einführung Logik

Mehr

Probeklausuraufgaben GuDS

Probeklausuraufgaben GuDS TU Ilmenau WS 2014/15 Institut für Mathematik Probeklausuraufgaben GuDS Achtung: Die Auswahl der Aufgaben ist nicht repräsentativ für die tatsächlichen Klausuraufgaben, sondern sollte lediglich als Übungsmöglichkeit

Mehr

Grundbegriffe der Informatik

Grundbegriffe der Informatik Grundbegriffe der Informatik Einheit 17: Relationen Thomas Worsch Karlsruher Institut für Technologie, Fakultät für Informatik Wintersemester 2009/2010 1/77 Überblick Äquivalenzrelationen Definition Äquivalenzrelationen

Mehr

Lösungsskizzen zu den Klausuraufgaben zum Kurs 1142 Algorithmische Mathematik

Lösungsskizzen zu den Klausuraufgaben zum Kurs 1142 Algorithmische Mathematik Lösungsskizzen zu den Klausuraufgaben zum Kurs Algorithmische Mathematik KSL09 Aufgabe. Zeigen oder widerlegen Sie: Es existiert ein Graph mit Valenzsequenz (8,,,,,,,,,). Geben Sie im Falle der Existenz

Mehr

Very simple methods for all pairs network flow analysis

Very simple methods for all pairs network flow analysis Very simple methods for all pairs network flow analysis Tobias Ludes 02.07.07 Inhalt Einführung Algorithmen Modifikation der Gomory-Hu Methode Einführung Nach Gomory-Hu nur n-1 Netzwerk-Fluss- Berechnungen

Mehr

Aufgabe 24 Die Wahrheitswerte von A A B und B sind immer gleich:

Aufgabe 24 Die Wahrheitswerte von A A B und B sind immer gleich: Lösungen zu den Aufgaben von Anfang August Aufgabe 24 Die Wahrheitswerte von A A B und B sind immer gleich: Der Wahrheitswert von A A ist immer wahr, da immer entweder A oder A den Wahrheitswert wahr hat.

Mehr

Vier-Farben-Vermutung (1)

Vier-Farben-Vermutung (1) Vier-Farben-Vermutung (1) Landkarten möchte man so färben, dass keine benachbarten Länder die gleiche Farbe erhalten. Wie viele Farben braucht man zur Färbung einer Landkarte? Vier-Farben-Vermutung: Jede

Mehr

Klausur zur Vorlesung Grundbegriffe der Informatik 5. März 2014

Klausur zur Vorlesung Grundbegriffe der Informatik 5. März 2014 Klausur zur Vorlesung Grundbegriffe der Informatik 5. März 2014 Klausurnummer Nachname: Vorname: Matr.-Nr.: Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 max. Punkte 6 8 4 7 5 6 8 tats. Punkte Gesamtpunktzahl: Note: Punkte Aufgabe

Mehr

Angewandte Informatik

Angewandte Informatik Angewandte Informatik Analyse des Graphs G zur Bestimmung von Parallel- undreihenschaltung Prof. Dr. Nikolaus Wulff Gewichteter Multigraph Die Adjazenzmatrix eines Graphen eignet sich auch zur Analyse

Mehr

Skript und Übungen Teil II

Skript und Übungen Teil II Vorkurs Mathematik Herbst 2009 M. Carl E. Bönecke Skript und Übungen Teil II Das erste Semester wiederholt die Schulmathematik in einer neuen axiomatischen Sprache; es ähnelt damit dem nachträglichen Erlernen

Mehr

Proseminar Online Algorithmen, Prof. Dr. Rolf Klein

Proseminar Online Algorithmen, Prof. Dr. Rolf Klein Proseminar Online Algorithmen, Prof. Dr. Rolf Klein Vortrag von Michael Daumen am 13.12.2000 Thema : Minimum Spanning Tree und 2-Approximation der TSP-Tour Inhalt des Vortrags : 1. genaue Vorstellung des

Mehr

Definition 7.1. Der Coxeter Graph zu W ist der ungerichtete gewichtete Graph Γ W = (V, E), mit Eckenmenge V und Kantenmenge E, gegeben durch V = und

Definition 7.1. Der Coxeter Graph zu W ist der ungerichtete gewichtete Graph Γ W = (V, E), mit Eckenmenge V und Kantenmenge E, gegeben durch V = und 7. Coxeter Graphen Um die endlichen Spiegelungsgruppen zu klassifizieren, wollen wir ihnen nun Graphen zuordnen, die die Gruppen bis auf Isomorphie eindeutig bestimmen. Im Folgenden sei wie vorher Π Φ

Mehr

3. Relationen Erläuterungen und Schreibweisen

3. Relationen Erläuterungen und Schreibweisen 3. Relationen Eine Relation ist allgemein eine Beziehung, die zwischen Dingen bestehen kann. Relationen im Sinne der Mathematik sind ausschließlich diejenigen Beziehungen, bei denen stets klar ist, ob

Mehr

KAPITEL 3 MATCHINGS IN BIPARTITEN GRAPHEN

KAPITEL 3 MATCHINGS IN BIPARTITEN GRAPHEN KAPITEL 3 MATCHINGS IN BIPARTITEN GRAPHEN F. VALLENTIN, A. GUNDERT 1. Definitionen Notation 1.1. Ähnlich wie im vorangegangenen Kapitel zunächst etwas Notation. Wir beschäftigen uns jetzt mit ungerichteten

Mehr

Randomisierte Algorithmen

Randomisierte Algorithmen Randomisierte Algorithmen Randomisierte Algorithmen 7. Random Walks Thomas Worsch Fakultät für Informatik Karlsruher Institut für Technologie Wintersemester 2016/2017 1 / 43 Überblick Überblick Ein randomisierter

Mehr

Ein Graph ist ein Paar (V,E), wobei V eine Menge von Knoten und E eine Menge von Kanten (v,w) mit v,w in V ist.

Ein Graph ist ein Paar (V,E), wobei V eine Menge von Knoten und E eine Menge von Kanten (v,w) mit v,w in V ist. Graphen Definition: Ein Graph ist ein Paar (V,E), wobei V eine Menge von Knoten und E eine Menge von Kanten (v,w) mit v,w in V ist. Begriffe: Gerichteter Graph: Alle Kanten haben eine Richtung vom Anfangsknoten

Mehr

Datenstrukturen. Mariano Zelke. Sommersemester 2012

Datenstrukturen. Mariano Zelke. Sommersemester 2012 Datenstrukturen Mariano Zelke Sommersemester 2012 Einfach verkettete Listen Mariano Zelke Datenstrukturen 2/32 Eine Zeiger-Implementierung von einfach verketteten Listen, also Listen mit Vorwärtszeigern.

Mehr