Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 4 4. Semester ARBEITSBLATT 4 POTENZEN MIT RATIONALEM EXPONENTEN

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1 ARBEITSBLATT POTENZEN MIT RATIONALEM EXPONENTEN Um mit Wurzeln rechnen zu können müssen wir diese in Potenzschreibweise umformen. Dazu benötigen wir folgende Definition: s r r s + Definition: a a a R, r Z \ {} 0, s Z 0 Dies bedeutet Folgendes: Beispiel: Schreibe als Potenz mit rationalem Eponenten: Wir wenden unsere Definition an: Beispiel: Schreibe als Potenz mit rationalem Eponenten: a Wir wenden die Definition wieder an. Da a keinen Eponenten angeschrieben hat, müssen wir uns a lediglich als a denken: a a a Beispiel: Schreibe als Potenz mit rationalem Eponenten: Bei der Quadratwurzel müssen wir uns lediglich eine als Wurzeleponenten denken: Übung: Übungsblatt ; Aufgaben - 6 Auch der umgekehrte Weg ist mittels dieser Definition natürlich rechenbar: Beispiel: Schreibe als Wurzel: 8 Wir wenden diesmal die Definition in die andere Richtung an: 8 8

2 Übung: Übungsblatt ; Aufgabe 7 Da wir im vorangegangenen Arbeitsblatt auch negative Eponenten kennen gelernt haben, gibt es nun natürlich auch negative rationale Eponenten. Beispiel: Schreibe als Wurzel: Wir beseitigen zunächst den negativen Eponenten. Laut Definition gilt: n n Nun schreiben wir um: Noch ein Beispiel dazu: Beispiel: Schreibe als Wurzel: Wir beseitigen wieder den negativen Eponenten. Beachten Sie dabei, dass sich der Eponent aufgrund der Klammer auf den gesamten Ausdruck bezieht. Nun schreiben wir wieder den rationalen Eponenten in eine Wurzel um: Hier ist man im Wesentlichen fertig. Wir können das Ergebnis aber noch verschönern. Im Zähler steht. Es ist aber auch die. Folglich können wir also schreiben: a a Nun gilt aber: b b

3 Nun beseitigen wir noch den Doppelbruch: : Übung: Übungsblatt ; Aufgabe 8 Auch beim Umschreiben einer Wurzel in die Potenzschreibweise treten natürlich negative Brüche auf: Beispiel: Schreibe als Potenz mit rationalem Eponenten: Wir beseitigen zunächst die Wurzel: Nun gilt: n n Übung: Übungsblatt ; Aufgabe 9 Alle weiteren Rechengesetze für Potenzen bleiben erhalten. Es gilt also: Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man die Eponenten addiert. Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert, indem man die Eponenten subtrahiert. Potenzen werden potenziert, indem man die Eponenten multipliziert. 0, Beispiel: Vereinfache: 0, 0, 0, 0, 0, Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man die Eponenten addiert: 0, 8, 0, 0, Wir beseitigen den negativen E-

4 0, 8, ponenten: Beispiel: Vereinfache und schreibe ohne negativen Eponenten: : : Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert, indem man die Hochzahlen subtrahiert. Wir beseitigen den negativen Eponenten: Wir schreiben den rationalen Eponenten um: 6 Beispiel: Vereinfache und stelle als Wurzel dar: ( ) Potenzen werden potenziert, indem man die Eponenten multipliziert. Wir beseitigen den negativen Eponenten Wir schreiben den rationalen Eponenten um: Übung: Übungsblatt ; Aufgaben 0 -

5 Treten in einer Aufgabe Wurzeln und rationale Eponenten auf, so wandle zunächst alles in Potenzschreibweise um: Beispiel: Vereinfache: Wir schreiben zunächst die Wurzel als Potenz: Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man die Eponenten addiert: 6 Wir beseitigen den negativen Eponenten: Übung: Übungsblatt ; Aufgabe Auch mehrere ineinander verschachtelte Wurzeln lassen sich nun vereinfachen. Merken Sie sich dazu, dass Sie immer von innen nach außen zusammenfassen müssen: Beispiel: Fasse die Wurzeln zusammen und vereinfache: Wir schreiben von innen nach außen gehend in Potenzschreibweise um. Zunächst schreiben wir also um: Nun schreiben wir diese Wurzel r n r n um. Es gilt ja allgemein: a a. Für unser Beispiel folgt daraus: Nun beseitigen wir den Doppelbruch im Eponenten : Wir schreiben den rationalen Eponenten wieder in eine Wurzel um:

6 Übung: Übungsblatt ; Aufgabe Beispiel: Fasse die Wurzeln zusammen und vereinfache: Wir arbeiten wieder von innen nach außen. Zunächst schreiben + wir als Potenz an: Nun können wir zusammenfassen: Wir schreiben dies Wurzel wieder als Potenz an: Wir beseitigen den Doppelbruch im Eponenten: : Wir schreiben den Ausdruck als 6 Wurzel an: 6 Übung: Übungsblatt ; Aufgabe 6