Mathematik - Oberstufe

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1 Mathematik - Oberstufe Pflicht- /Wahlteilaufgaben und Musterlösungen ur Integralrechnung Zielgruppe: Oberstufe Gymnasium Schwerpunkt: Stammfunktion, Flächenberechnung, Rotationsvolumen Aleander Schwar Lette Aktualisierung: Deember 9 Datei: Pflicht- und Wahlteilaufgaben ur Integralrechnung

2 Pflichtteilaufgaben ur Integralrechnung Aufgabe : Gib jeweils eine Stammfunktion an: a) f () ² + b) f () Aufgabe : Ermittle eine Stammfunktion für a) f() n Für welche Zahl n lässt sich nach der Potenregel keine Stammfunktion von f angeben? b) c) 8 + f() Gib F() vereinfacht an. f() Gib F() vereinfacht und wieder mit Wurel an. + 5 Aufgabe : Gib eine Stammfunktion an: a) f() sin() b) 7 f () ( + 6) c) f() cos() d) f() ( ) e) f() 6 + f) g) 5 f () + h) f() 5 ( + 6) i) j) f() sin( ) k) f(t) t t l) Aufgabe : f () ( + ) f() f() + Die Integralfunktion I ist für alle reellen Zahlen definiert durch I () (t+ )dt. Entscheide, welche der Aussagen wahr sind und begründe deine Entscheidung. a) I () tdt + b) I () c) I () + d) Die Funktion I ist im ganen Definitionsbereich monoton wachsend. Aufgabe 5: Bestimme den Inhalt der Fläche wischen dem Graphen von f und der -Achse über dem Intervall [a;b]. (Tipp: Eine Skie im Vorfeld (ohne GTR) ist hier nicht verkehrt). a) f () ; [- ; ] b) f() ; [ ; ] c) f() ; [- ; ] d) f() ; [- ; ]

3 Aufgabe 6: Für welchen Wert von a gilt: a a) d a b) ( a)( + a)d Aufgabe 7: In untenstehendem Koordinatensystem ist das Schaubild einer Funktion f eingeeichnet. Skiiere das Schaubild einer Stammfunktion F von f in diesem Koordinatensystem. Wahlteilaufgaben ur Integralrechnung Aufgabe 8: Bestimme mit Hilfe des GTR (Dokumentiere deine Vorgehensweise): a) Den Flächeninhalt wischen dem Schaubild von f() und der -Achse. b) Den Flächeninhalt wischen den Schaubildern der Funktionen f() + +,5 und g(),5 +,5 Aufgabe 9: In einen Kreis mit dem Radius R ist ein Quadrat einbeschrieben (siehe Abbildung unten). Die Flächenstücke wischen dem Kreis und dem Quadrat rotieren u eine Diagonale des Quadrats (-Achse). Gesucht ist das Volumen des ugehörigen Drehkörpers. a) Beschreibe wei unterschiedliche Lösungsmöglichkeiten. b) Berechne das Volumen mit Hilfe der Integralrechnung über geeignete Randfunktionen.

4 Aufgabe : Die Fläche wischen dem Schaubild von f mit f() und der -Achse über dem angegebenen Intervall rotiert um die -Achse. Untersuche, ob der entstehende Drehkörper einen endlichen Rauminhalt hat; gib diesen gegebenenfalls an: a) [; [ b) ]; ] Aufgabe : Die Punkte A(/), B(6/), C(6/) und D(/5) bilden ein Trape. Die Trapefläche rotiert um die -Achse. Berechne das Volumen des dabei entstehenden Drehkörpers. Aufgabe : Ein Wasser führender Stollen hat einen parabelförmigen Querschnitt von 6 m Sohlenbreite und,5 m Scheitelhöhe. Wie viel m³ Wasser kann der Stollen in Sekunde führen bei einer Füllung bis u drei Fünftel der Scheitelhöhe und einer Höchstgeschwindigkeit des Wassers von m/s? Aufgabe : Gegeben ist die Funktion f durch f() + mit D. Ihr Schaubild schließt mit der positiven -Achse eine Fläche ein. Gesucht wird eine Gerade mit der Gleichung y m, die diese Fläche halbiert. Aufgabe : Gegeben ist die Funktion f mit f() + und ihre Kurve K. a) Bestimme die Gleichung der Tangente t im Hochpunkt von K. b) Bestimme den Inhalt der Fläche, die K und die Tangente t miteinander einschließen. c) Für welche(n) Wert(e) von a hat die von den senkrechten Geraden und a, der Tangente t und K eingeschlossene Fläche den Flächeninhalt? d) Prüfe, ob für a ein Grenwert eistiert.

5 Aufgabe 5: Gegeben sind die Funktionen f, g und h mit f() +, g() + und h(). Durch ihre Schaubilder werden verschiedene Flächen eingeschlossen. Genau wei dieser Flächenstücke werden durch alle drei Schaubilder begrent. Welchen Inhalt haben diese beiden Flächenstücke usammen? Aufgabe 6: Wie groß ist die Fläche, die das Schaubild von f mit f() mit der Normalen im Punkt P ( / f( )) einschließt? Bestimme den Flächeninhalt auf wei Deimalen gerundet. Aufgabe 7: Das Bild eigt die Funktion f () + sin() im Bereich sowie die Gerade mit der Gleichung y und die Tangente an das Schaubild von f im Ursprung. a) Berechne f ()d und f ()d. b) Berechne den Inhalt des markierten Flächenstücks. c) In welchem Verhältnis teilt die waagrechte Tangente an das Schaubild von f das Flächenstück aus Teilaufgabe b)? d) In welchem Verhältnis teilt die Tangente im Ursprung das Flächenstück aus Teilaufgabe b)? Aufgabe 8: Durch ft () t ist für t eine Funktionenschar gegeben. a) Lasse dir die Schaubilder G t für die Werte t ; t,5 ; t ; t,5 eichnen. b) Berechne die Gleichung der Kurve T, auf der alle Tiefpunkte der Schar liegen. 5

6 c) Berechne den Inhalt des Flächenstücks wischen der Verbindungsstrecke der Tiefpunkte einer Scharkurve und der Kurve T. d) In welchem Verhältnis teilt G t die in c) berechnete Fläche? Aufgabe 9: Die Temperatur eines Tages verlaufe nach der Gleichung y 5 ( ). Dabei bedeute y die Temperatur in C und die Zeit in Stunden, beginnend um Uhr bei. a) Berechne die mittlere Tagestemperatur. b) Berechne die mittlere Temperatur wischen Uhr und Uhr. c) Berechne die mittlere Temperatur wischen Uhr und Uhr. 6

7 Lösung Pflichtteilaufgaben ur Integralrechnung Aufgabe : a) F() + b) f() F() Aufgabe : n+ n+ a) f() F() n + Für n kann keine Stammfunktion angegeben werden. (Hinweis: Für die Funktion f() gibt es eine eigene Stammfunktion F() ln() ). b) f() F(),5,5 c) f() ( + 5) F() ( + 5) + 5,5 Aufgabe : a) F () cos() 8 b) F () ( + 6) c) F() sin() 8 d) F() ( ) e) F() f) F () ( + ) ( + ) 8 g) f() + + F() h) F() ( + 6),5 ( + 6) i),5,5 f() F() j) F() cos( ) ( ) cos( ) k) f(t) t t t F(t) t + t t + t t l) f(),5,5 ( + ) F() ( + ) +,5 + Aufgabe : Es gilt I() (t + )dt [ t² + t] ² + ( + ) ² + a) I() tdt + t + ( ² ) + ² + ² + also ist Aussage a) richtig. 7

8 8 b) Die Aussage I() ist richtig, wie man leicht u Einseten nachprüfen kann. c) Es gilt () I +, also ist c) richtig. d) Bei dem Schaubild der Funktion I handelt es sich um eine nach oben geöffnete Parabel. Diese Parabel ist links vom Scheitelpunkt streng monoton fallend und rechts vom Scheitelpunkt streng monoton steigend. Also ist die Aussage d) falsch. Aufgabe 5: a) d A b) 75,,5) ( d A c) 6) 9 ( 6 9 )d ( A +

9 Hinweis: Man hätte die Trapefläche auch ohne Integralrechnung berechnen können. d) Berechnung der Schnittstellen von f() mit der -Achse: f() ( ) Diese Gleichung besitt die Lösungen - ; und. Die Fläche muss über wei Integrale berechnet werden, da die Flächen teilweise oberhalb und teilweise unterhalb der -Achse verlaufen. Dies erkennt man daran, dass innerhalb des Integrationsintervalls Nullstellen von f liegen. A ( )d (,5 ), 75 A ( )d Gesamtfläche A,75 + 5,75 Aufgabe 6: a a) a d a a 6 a

10 a a b) ( a)( + a)d ( a )d a a a a a, 5 a Aufgabe 7: Das fett eingeeichnete Schaubild, das die Stammfunktion F darstellt, könnte auch beliebig nach oben oder unten verschoben werden. Es gibt somit unendlich viele Möglichkeiten, die Stammfunktion F u skiieren. Aufgabe 8: a) Zeichnung des Schaubildes mit Hilfe des GTR und Ermittlung der Schnittpunkte mit der -Achse: Schnittpunkte sind N (,5 / ) und ( / ) N Fläche mit dem GTR mit folgenden Befehlen: Die Funktionsgleichung ist unter Y abgespeichert. Die Fläche beträgt somit A 7,6 Flächeneinheiten.

11 b) Für die Flächenberechnung wischen den Schaubildern müssen die Schnittpunkte der Schaubilder ermittelt werden: Als Schnittstellen ergeben sich mit dem GTR: -,5 und und. Die Fläche wird nun folgendermaßen berechnet: A,5 (f() g())d + (g() f())d Mit Y f() und Y g() ergibt sich mit dem GTR: Die gesamte Fläche beträgt,57 +,,88 Aufgabe 9: Aus der Aufgabenstellung ergibt sich, dass das Volumen des Körpers, der sich durch die Rotation der schraffierten Flächenstücke um die -Achse ergibt, berechnet werden soll:

12 a) und b) Das Volumen kann auf wei verschiedene Arten berechnet werden:.methode: Bei der Randkurve handelt es sich um einen Halbkreis, so dass die Rotation des Halbkreises um die -Achse eine Kugel mit Radius r ergibt, deren Volumen aus der Formelsammlung entnommen werden kann ( VKugel R ) Die Rotation des gleichschenkligen Dreiecks oberhalb der -Achse ergibt einen Doppelkegel mit Radius r und Höhe h r. Auch dessen Volumen kann aus der Formelsammlung entnommen werden. ( VKegel R h R ) Das Volumen des gesuchten Körpers ist nun eine Kugel, aus der ein Doppelkegel herausgebohrt wurde. Das Volumen dieses Körpers beträgt V VKugel VKegel R..Methode: Das Volumen kann mit Hilfe der Rotationsformel der Integralrechnung berechnet werden. Hieru genügt es aus Symmetriegründen, die Fläche im.quadrant wischen und R um die -Achse rotieren u lassen. Die untere Randkurve ist hierbei die Gerade y - + R. Die obere Randkurve ist ein Teilstück eines Kreises mit Radius R. Die Funktionsgleichung der oberen Randkurve kann mit Hilfe des Sates von Pythagoras hergeleitet werden: Aus dem rechtwinkligen Dreieck ergibt sich: R Also ist die Funktionsgleichung der oberen Randkurve Als Volumen ergibt sich somit: V R + y y (( R ) ( + R) )d (R² ² (² R + R²))d ( ² + R f() R R R R)d R + R ( R + R ) R

13 Aufgabe : a) Da das Intervall nach rechts offen ist, muss für die obere unendliche Grene eine Variable benutt werden: [ ] ) ( ( d d d () V ) ( + Für gilt ) ( () V +, also besitt der Drehkörper einen endlichen Rauminhalt. b) Da die Randfunktion f() an der Stelle nicht definiert ist, muss für diese Grene eine Variable benutt werden: [ ] ) ( ( d d d () V ) ( + Für gilt () V, also besitt der Drehkörper keinen endlichen Rauminhalt.

14 Aufgabe : Für die Berechnung des Volumens müssen die Geradengleichungen, die die Trapefläche nach oben und nach unten begrenen, ermittelt werden. Obere Gerade (durch C und D): 5 Steigung m und damit aus dem Schaubild y Untere Gerade (durch A und B): Steigung m und damit aus dem Schaubild y Volumen ( + 5) ( + ) d GTR: Das Volumen beträgt also 6,6 Volumeneinheiten.

15 Aufgabe : Im ersten Schritt muss die Funktionsgleichung der Parabel ermittelt werden. Skie: Ansat für Parabelgleichung: f () a( )( + ) (da Nullstellen und - bekannt sind) Einseten des bekannten Punktes P(/,5):,5 a ( 9) a, 5 Parabelgleichung: f(),5( )( + ),5, 5 Außerdem ist die Querschnittsfläche nach oben durch y,7 (drei Fünftel von,5) abgegrent. Für die Berechnung der Querschnittsfläche werden die Schnittpunkte der Gerade y,7 mit dem Schaubild von f benötigt: +,5( )( + ),7,5 +,5,7,6 ±,6,6 Querschnittsfläche A Re chteck + (,5 +,5)d,6,7 +,6, 5 m² (Berechnung mit GTR) Wasservolumen pro Sekunde:,5 5, 8 m³ Aufgabe : Zunächst wird die komplette Fläche wischen dem Schaubild von f und der -Achse berechnet: 5

16 Das Schaubild von f schneidet die positive -Achse bei und. A ( + )d FE Die markierte Fläche soll nun halb so groß also FE sein. Zunächst muss der Schnittpunkt der Gerade y m mit dem Schaubild von f ermittelt werden: + m ( Daraus folgt oder Frage kommt. + m) m ± m, wobei hier nur die positive Lösung in A markiert m ( ( m) + m)d + ( m) m( + m) m m + m,5m,5m m + m, + 8 m m +,5m ±,5 Also + 6, 8 und, 7 m m Die erste Lösung scheidet aus, da ansonsten die Wurel negativ wäre. Also ist m,7 und die Gerade lautet y ( ). Aufgabe : a) Mit dem GTR kann man ermitteln: Der Hochpunkt von K hat die Koordinaten H (/ ). Die Tangentengleichung im Hochpunkt lautet y (waagrechte Tangente). b) Mit dem GTR kann man die weite Schnittstelle der Tangente mit dem Schaubild von K berechnen: S ( / ). 6

17 c) Eingeschlossene Fläche: A ( ( + ))d,5 (GTR) a a A ( ( + ))d + 5 a a + a a a,76 oder a,78 (GTR) Der Wert von a,78 kommt dadurch ustande, dass positive und negative Integralwerte sich gegenseitig aufheben. d) Für a gilt A, damit eistiert ein Grenwert nicht. Aufgabe 5: Schnittstellen des Schaubildes von g mit h:,68 und,7 Schnittstelle des Schaubildes f mit g: und A, 987 +,,7,68 Linke Fläche: ((g() h())d + (f() h())d,7 Rechte Fläche: A ((f() h())d + (g() h())d, +,987, 7 Beide Flächen haben einen gemeinsamen Inhalt von,6. 7

18 Aufgabe 6: 6 Bestimmung der Normalengleichung: f () f (,5) mnorm 6 7 Die Normale verläuft durch den Punkt P( / ) Normalengleichung: y + ( ) y y,56, Die Normale schneidet das Schaubild von f bei,5 und bei,65 (GTR).,65 A (,56,65 ( ))d,65,5 Aufgabe 7: a) f ()d cos() cos() ( cos()),5 cos(),96 f ()d cos() cos( ) ( cos()),5 + 6,9 b) Flächenstück ( ( + sin() ) d + cos() + cos( ) cos() c) Punkt mit waagrechter Tangente im Bereich : f () + cos() cos() (was man auch anschaulich erkennt) Der Punkt mit waagrechter Tangente besitt die Koordinaten P( / ). Die Gleichung der waagrechten Tangente lautet Fläche unterhalb der waagrechten Tangente ( ( + sin()) ) d + cos() y. + cos( ) cos(),5 Daraus folgt: Fläche oberhalb der waagrechten Tangente (,5 ),5 + 8

19 A oben,5 + 5,75 Flächenverhältnis: 5,75 : A,5 unten d) Die Tangente im Ursprung besitt die Steigung f () und die Tangentengleichung lautet y. Schnittpunkt der waagrechten Gerade y mit der Tangente: Linke Fläche Dreiecksfläche Rechte Fläche Die Tangente halbiert somit die Fläche, das Aufteilungsverhältnis ist :. Aufgabe 8: a) b) Berechnung der Tiefpunkte: f () t f () t t t f () ( t ) oder ± t t f () t für t, also Hochpunkt t < ft ( ± t ) t > für t, also Tiefpunkt T( ± t / t ) Für t liegt bei ein Tiefpunkt T(/) vor. Gleichung der Kurve T: ± t () und y t () Aus () folgt: t ± eingesett in () y Somit liegen auf der Kurve y alle Tiefpunkte der Funktionenschar (einschließlich des Ursprungs für den Sonderfall t ) 9

20 c) Berechnung der schraffierten Fläche: A t ( t ) d 5 t + t ( t t 5 ) 8 5 t 5 d) Unterer Teil der Fläche wischen G t und der waagrechten Gerade: A unten t t ( t ) d 5 t ( t t + t ) t Oberer Teil der Fläche: A oben t t t Daraus folgt: A : A : unten oben t + t Aufgabe 9: a) Mittlere Tagestemperatur (5 ( ) )d, C (GTR) b) Mittlere Temperatur Uhr (5 ( ) )d, C (GTR) c) Mittlere Temperatur Uhr (5 ( ) )d.6 C (GTR)