Zahlensysteme. Formale Methoden der Informatik WiSe 2008/2009 Folie 1 (von 54)

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1 Zahlensysteme Formale Methoden der Informatik WiSe 28/29 Folie (von 54)

2 Teil I: Zahlensysteme. Einführung und Zahlensysteme 2. Zahlensysteme / Algorithmik 3. Zahlendarstellung im Rechner Franz-Josef Radermacher, Fakultät für Ingeneurwissenschaften und Informatik, Universität Ulm, WiSe 28/9 Formale Methoden der Informatik WiSe 28/29 Folie 2 (von 54)

3 Formale Methoden der Informatik WiSe 28/29 Folie 3 (von 54). Einführung und Zahlensysteme Modell Wirklichkeit Die einfachste Form der Darstellung einer Zahl Basis-Zahlendarstellung

4 Formale Methoden der Informatik WiSe 28/29 Folie 4 (von 54) Modell Wirklichkeit Phänomen Anzahl Äpfel Äpfel =? 3 Autos Autos =? 37 Häuser Häuser =? Rinder + 8 Rinder =?

5 Operationen Zahlen Summenbildung Differenz Produkt Division Potenzen etc.. Frage: Wie notiert man Zahlen? Wie aufwendig ist das Notieren? 2. Frage: Wie addiert man Zahlen? Wie aufwendig ist das addieren? Formale Methoden der Informatik WiSe 28/29 Folie 5 (von 54)

6 Formale Methoden der Informatik WiSe 28/29 Folie 6 (von 54) Die einfachste Form der Darstellung einer Zahl 7 5 Vorteil: Nachteil: unmittelbar verständlich zu großer Aufwand bei großen Zahlen, außerdem nicht wirklich benennbar, damit praktisch nicht kommunizierbar.

7 Formale Methoden der Informatik WiSe 28/29 Folie 7 (von 54) Addition Wie addiert man solche Zahlen? = Vorteil: Nachteil: Algorithmus trivial: Man hängt die einen Striche an die anderen Striche. (Algorithmus z.b. durch Wegstreichen) hoher Aufwand, Ergebnis schwer nutzbar.

8 Formale Methoden der Informatik WiSe 28/29 Folie 8 (von 54) Basis-Zahlendarstellung Man nehme eine Zahl b, z.b. b = 2, 3, 4, Betrachtet man die Zahl b n für n =,, 2, dann ergibt sich b = b = b b b b 2 b 3 b 4 b 2 = b 2 b 3 = b 3 wächst exponentiell schnell b x wächst schneller als jedes Polynom 2 3 ist schon größer als die Anzahl aller Atome im Universum Mit 8-Tupeln aus und (,,,,,,, ) lassen sich schon 256 verschiedene Dinge unterscheiden bzw. beschreiben.

9 Formale Methoden der Informatik WiSe 28/29 Folie 9 (von 54) Basis-Zahlendarstellung () zahl = Σ a i b i die Basis b 2 ist aus den natürlichen Zahlen die Ziffer a i ist aus den natürlichen Zahlen a i b- die Darstellung ist eindeutig Schreibweise: zahl = (a n... a ) b Beispiel: (24) = Beispiel gebräuchliche Zahlenbasen: (Binär-System) 8 (Oktal-System) (Dezimal-System) - 6 (Hexadezimal-System) 285 D (Ziffern:,..., 9, A, B, C, D, E, F) n i =

10 Formale Methoden der Informatik WiSe 28/29 Folie (von 54) Konvertierung zwischen zwei Basen zahl = n i= a i n n b = a b + i n an b + K+ ab + Basis b Basis - Eingabe: b, Ziffernfolge a, a,..., a n - Ausgabe: Dezimalzahl a Basis besonders wichtig, weil wir diese gewöhnt sind Basis Basis b - Eingabe: Dezimalzahl, neue Basis b - Ausgabe: Ziffernfolge a, a,..., a n

11 Formale Methoden der Informatik WiSe 28/29 Folie (von 54) Basis-Zahlendarstellung (2) Vorteile: Mit Basis-Zahlendarstellungen (Stellenwertsystemen) gelingt eine exponentielle Verkürzung der Darstellung gegenüber dem Strichcode. Sie basiert im wesentlichen auf der Größe b i daher gibt es auch Bezeichnungen z.b. 38 Milliarden Man braucht Namen im Zehnersystem: aktuelles Programm der US Bundesregierung zur Stärkung US Finanzsystems: US$ 7 Milliarden,, 2,, 9 zehn hundert 6 Million Googol (Namensgeber der Suchmaschine google )

12 Formale Methoden der Informatik WiSe 28/29 Folie 2 (von 54) Basis-Zahlendarstellung (3) 92 im Französischen: quatre vingt douce Wesentlich:. Potenzen spielen eine zentrale Rolle. 2. Man braucht die Null ( ). (Kulturhistorische Revolution) 3. In größeren Systemen (z.b. im 2-er System / im 6-er System) benötigt man außerdem neue Zeichen (im 2-er System für und / im 6-er System für bis 5)

13 Formale Methoden der Informatik WiSe 28/29 Folie 3 (von 54) 2. Zahlensysteme / Algorithmik Summenbildung Addition mit Übertrag Multiplikation

14 Formale Methoden der Informatik WiSe 28/29 Folie 4 (von 54) Summenbildung Kann man in der kurzen Codierung eine (bzgl. der kurzen Codierung) schnelle, d.h. polynomische Addition hinbekommen? Summenbildung = zentraler Algorithmus (Subtraktion, Multiplikation, Division, Potenz, Wurzel werden darauf zurückgeführt) Im französischen heißt die Rechnung im Lokal l addition Zentraler Algorithmus für das -er System: Übertrag ist immer oder Addieren von 2 Zahlen = 3-er Addition, von denen eine nur aus -en und -en besteht

15 Formale Methoden der Informatik WiSe 28/29 Folie 5 (von 54) Summenbildung () Weitere Beispiele:

16 Summenbildung (2) Addition ist also realisierbar über eine Sequenz von sogenannten Volladdierern (beinhalten den Übertrag) bzw. über spezielle Algorithmen, die ohne eine solche Sequenz auskommen. (wird später genauer behandelt) Formale Methoden der Informatik WiSe 28/29 Folie 6 (von 54)

17 Summenbildung (3) Formale stellenweise Addition (mit Übertrag) a n b n + a n- b n- + + a b + a b a nb n + a n-b n- + + a b + a b ü s b + s b ü =, falls a + a < b, falls a + a b s = a + a, falls a + a < b (a + a )-b, falls a + a b Formale Methoden der Informatik WiSe 28/29 Folie 7 (von 54)

18 Formale Methoden der Informatik WiSe 28/29 Folie 8 (von 54) Summenbildung (4) Konkretes Beispiel: = = = = 7

19 Formale Methoden der Informatik WiSe 28/29 Folie 9 (von 54) Addition im 5-er System () Ziffern:,, 2, 3, 4 5 = 5 6 = 5 7 = = = 4 5 größte Zahl bei der Addition zweier 5-er Zahlen, wenn noch ein Übertrag von dazu kommt, da (+) = 9 = 4 5 Additionstabelle Die grün gekennzeichneten Fälle erzeugen einen Übertrag

20 Addition im 5-er System (2) mit Übertrag: + (+) Die grün gekennzeichneten Fälle erzeugen einen Übertrag Formale Methoden der Informatik WiSe 28/29 Folie 2 (von 54)

21 Formale Methoden der Informatik WiSe 28/29 Folie 2 (von 54) Addition im 5-er System (3) einfache Beispiele zur Konvertierung: 5 Vorgehensweise: 5 = 5 = = = 25 () = = (2) 5 () = = (2) 5 (2) = = (22) 5 (5) = = (3) 5 (8) = = (33) 5 III III (= 5 2 ) ist die größte 5-er Potenz, die gerade noch kleiner ist als die gegebene passt genau mal in 26 hinein. (bisher) 5 2 Nun die 5 2 (= 25) von den bisherigen 26 abziehen. Es bleibt ein Rest von. 5 (= 5 ) passt genau mal in den Rest (= ) hinein. (bsiher) Nun die 5 (= ) vom bisherigen Rest (= ) abziehen. Es bleibt ein Rest von. (= 5) passt genau mal in den Rest (= ) hinein. (bisher) Nun die 5 (= ) vom bisherigen Rest (= ) abziehen. Es bleibt ein Rest von. Wir sind fertig! (26) = = () 5

22 Addition im 5-er System (4) einfache Beispiele zur Addition: (3) 5 + (4) 5 = (7) 5 = = (2) 5 direkter Weg: (22) 5 + (3) 5 =? Umweg über das -er System (eigentlich unschön und hier nur zur Veranschaulichung) = (2) = (5) = (27) Übertrag 2 = (27) Formale Methoden der Informatik WiSe 28/29 Folie 22 (von 54)

23 Formale Methoden der Informatik WiSe 28/29 Folie 23 (von 54) Addition im 5-er System (5) Beispiel Addiere (343) 5 + (42344) 5 = (33) 5 ( ) 5 + ( ) 5 ( 3 3 ) 5 (325) + (625) + (25) + 3 (25) + 3 (5) = (3965) Rechnen im 5-er System 5 =, 5 = 5, 5 2 = 25, 5 3 = 25, 5 4 = 625, 5 5 = 325 (343) 5 = (625) + 3 (25) + 4 (25) + 3 (5) + () (343) 5 = (625) + 3 (375) + () + (5) + () = (6) (42344) 5 = 4 (625) + 2 (25) + 3 (25) + 4 (5) + 4 () (42344) 5 = (25) + 2 (25) + 3 (75) + (2) + 4 (4) = (2349) Σ = (3965)

24 Addition im 2-er System () Ziffern:,, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B = A 2 = B 2 2 = 2 23 = B 2 größte Zahl bei der Addition zweier 2-er Zahlen, wenn noch ein Übertrag von dazu kommt, da B 2 + B 2 (+) = + (+) = B 2 = 23 Additionstabelle A B A B A B A B A B A B A B A B A B A 8 9 A 9 A B A B B B B A Die grün gekennzeichneten Fälle erzeugen einen Übertrag Formale Methoden der Informatik WiSe 28/29 Folie 24 (von 54)

25 Formale Methoden der Informatik WiSe 28/29 Folie 25 (von 54) Addition im 2-er System (2) mit Übertrag: + (+) A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B Die grün gekennzeichneten Fälle erzeugen einen Übertrag

26 Formale Methoden der Informatik WiSe 28/29 Folie 26 (von 54) Addition im 2-er System (3) Beispiel Addiere (63A5) 2 + (5B43) 2 = (328) 2 (6 3 A 5) 2 + (5 B 4 3) 2 2 = 2 = = = = = = = = ( 3 2 8) = (2736) + (728) + 3 (44) + 2 (2) + 8 () = (2736) + (728) + 3 (432) + 2 (24) + 8 (8) = Rechnen im 2-er System (22) (63A5) 2 = A = (343) 5 = 6 (728) + 3 (44) + (2) + 5 () = (343) 5 = (368) + 3 (432) + (2) + 5 (5) = (925) (5B43) 2 = B = (343) 5 = 5 (728) + (44) + 4 (2) + 3 () = (343) 5 = 5 (864) + (584) + 4 (48) + 3 (3) = (275) Σ = (22)

27 Multiplikation Gegeben zwei Zahlen: 7 5 Wie erhält man das Produkt? mehrfaches Addieren der Zahl 7 5 = = I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I 7 Summanden I I I I I I I I I I I I I I I Formale Methoden der Informatik WiSe 28/29 Folie 27 (von 54)

28 Multiplikation () Multiplikationstabelle (das kleine im -er-system) Formale Methoden der Informatik WiSe 28/29 Folie 28 (von 54)

29 Multiplikation (2) Multiplikationstabelle (das kleine im 5-er-System) Bemerkung: kleiner, einfacher Formale Methoden der Informatik WiSe 28/29 Folie 29 (von 54)

30 Multiplikation (3) Wie multipliziert man effizienter als durch mehrfache Addition? Beispiel: (im -er-system) =? Formale Methoden der Informatik WiSe 28/29 Folie 3 (von 54)

31 Formale Methoden der Informatik WiSe 28/29 Folie 3 (von 54) Multiplikation (4) = 23 ( ) = 5688 D.h. Multiplikation beliebiger Zahlen im -er System wird zurückgeführt auf Multiplikation mit,, durch Anhängen keiner, einer, zweier etc. Nullen Multiplikation mit einstelligen Zahlen ( Multiplikationstabelle!) Addition ( Additionstabelle!) = = =

32 Formale Methoden der Informatik WiSe 28/29 Folie 32 (von 54) Multiplikation (5) Kurzdarstellung

33 Formale Methoden der Informatik WiSe 28/29 Folie 33 (von 54) 3. Zahlendarstellung im Rechner Das 2-er System Konvertierung Negative Zahlen und Subtraktion 2-er Komplement

34 Formale Methoden der Informatik WiSe 28/29 Folie 34 (von 54) Das 2-er System Vorteil: nur noch und 2 gut identifizierbare und technisch realisierbare Zustände (Strom fließt vs. Strom fließt nicht, positive Spannung vs. negative Spannung) Wie sieht die Zahl 3 im Zweier-System aus? 3 =

35 Formale Methoden der Informatik WiSe 28/29 Folie 35 (von 54) Addition im 2-er System () Ziffern:, = 2 = 2 2 = 2 3 = 2 4 = 2 5 = 2 6 = 2 Additionstabelle: + Die grün gekennzeichneten Fälle erzeugen einen Übertrag mit Übertrag: + (+)

36 Formale Methoden der Informatik WiSe 28/29 Folie 36 (von 54) Addition im 2-er System (2) Summenbildung: = = = 8

37 Formale Methoden der Informatik WiSe 28/29 Folie 37 (von 54) Konvertierung Konvertierung vom -er System in 2-er System (377) = (?) : 2 = 88 Rest 88 : 2 = 94 Rest 94 : 2 = 47 Rest 47 : 2 = 23 Rest 23 : 2 = Rest : 2 = 5 Rest 5 : 2 = 2 Rest 2 : 2 = Rest : 2 = Rest Ergebnis: Rückwärtsanordnung der Reste, d.h. ( ) 2 = (377) Probe, d.h. Konvertierung vom 2-er System in -er System = 377 Stop bei

38 Formale Methoden der Informatik WiSe 28/29 Folie 38 (von 54) Konvertierung () Wieso werden Reste rückwärts angeordnet? (32) = (?) 2 32 : 2 = 6 Rest 6 : 2 = 8 Rest 8 : 2 = 4 Rest 4 : 2 = 2 Rest 2 : 2 = Rest : 2 = Rest (32) = () 2

39 Formale Methoden der Informatik WiSe 28/29 Folie 39 (von 54) Endliche Zahlenbereiche () Digitalrechner sind endlich! Es gibt nur endlich viele Stellen, endlich viele Plätze, die zur Zahlendarstellung verwendet werden können. Häufig werden 32 bit, d.h. 32 Dualstellen bereitgestellt. / /. 2 3 / / 2 2 = Kleinste Zahl ( ) 2 = () Größte Zahl ( ) 2 = ( ) Größere Zahlenbereiche als der 32 bit sind möglich z.b. 48 bit oder 64 bit.

40 Formale Methoden der Informatik WiSe 28/29 Folie 4 (von 54) Endliche Zahlenbereiche (2) Problem endlicher Zahlenbereiche: Summe, Produkt darstellbarer Zahlen ist u.u. nicht mehr darstellbar ( Überlauf, overflow) Hypothetisch kleines Beispiel: nur 4 Bits +? Summenbildung nicht ausführbar!

41 Negative Zahlen und Subtraktion Ziel: Sowohl Darstellung negativer Zahlen als auch Arithmetik damit Grundsätzlich 2 Wege denkbar: Extra Substraktionsalgorithmus Rückführung auf Addition ( bevorzugt) Formale Methoden der Informatik WiSe 28/29 Folie 4 (von 54)

42 Formale Methoden der Informatik WiSe 28/29 Folie 42 (von 54) Negative Zahlen und Subtraktion (). Versuch: (signed integer) Ein Bit wird als Vorzeichen reserviert. Dann sind nun weniger Bits zur eigentlichen Zahlendarstellung (Betragsdarstellung) verfügbar. Typischerweise wird das Bit ganz links als Vorzeichen verwendet. Vorzeichenbit = + Vorzeichenbit = Beispiel: ( ) 2 = ( ) 2 = 4 Darstellbarkeit negativer Zahlen erscheint in Ordnung

43 Negative Zahlen und Subtraktion (2) kleines Problem: Die hat zwei Darstellungen. Alle anderen darstellbaren Zahlen haben eindeutige Darstellungen. ( ) 2 = = ( ) 2 + (gewöhnungsbedürftig, aber beherrschbar) großes Problem: Addition einer negativen Zahl = Subtraktion dieser Zahl? Formale Methoden der Informatik WiSe 28/29 Folie 43 (von 54)

44 Negative Zahlen und Subtraktion (3) Beispiel: 9 4 (= 9) + (= 4) (= 3) so nicht Formale Methoden der Informatik WiSe 28/29 Folie 44 (von 54)

45 Formale Methoden der Informatik WiSe 28/29 Folie 45 (von 54) Negative Zahlen und Subtraktion (4) Vorzeichenbit = + Vorzeichenbit = (= 4) (= 9) (= + 3) so auch nicht Aber: Für eine reine Darstellung gemischt auftretender positiver und negativer Zahlen ist die Vorzeichenkonvention brauchbar!

46 Formale Methoden der Informatik WiSe 28/29 Folie 46 (von 54) 2-er Komplement 2. Versuch: (2-er Komplement) Finde zu irgendeiner Binärzahl, z.b. 2 eine Binärzahl, so dass deren Summe ist. (Beschränkung auf 8 Bit) z.b. 9 9 = Löse das Problem rückwärts! +?

47 Formale Methoden der Informatik WiSe 28/29 Folie 47 (von 54) 2-er Komplement 2. Versuch: (2-er Komplement) Finde zu irgendeiner Binärzahl, z.b. 2 eine Binärzahl, so dass deren Summe ist. (Beschränkung auf 8 Bit) z.b. 9 9 = + Löse das Problem rückwärts!. Beobachtung: Es entsteht eine neue Stelle. ignorieren 2. Beobachtung: Die zu addierende Zahl ist das Komplement der ursprünglichen Zahl bis auf die letzte Stelle. Komplement:

48 2-er Komplement () Das 2-er Komplement wird in zwei Schritten gebildet. Bildung des reinen Komplements 2. Addition von, wobei eine vorne ggf. entstehende neue Stelle ignoriert wird. Beispiele für 2-er Komplement: Komplementbildung Komplementbildung Addition von + Addition von + Formale Methoden der Informatik WiSe 28/29 Folie 48 (von 54)

49 2-er Komplement (2) Komplement ( Komplement ( Zahl ) ) = Zahl aber auch 2-er Komplement ( 2-er Komplement ( Zahl ) ) = Zahl Beispiel: 2-er Komplement von ist (vorige Folie) Davon das 2-er Komplement: Komplementbildung Addition von + Formale Methoden der Informatik WiSe 28/29 Folie 49 (von 54)

50 Addition des 2-er Komplements () (3 9). Schritt: Bildung des 2-er Komplements von er Komplement von (9) 2. Schritt: Addition von 3 und dem 2-er Komplement von 9 = (3) + = 2-er Komplement von (9) = (4) ignorieren des Übertrags! Formale Methoden der Informatik WiSe 28/29 Folie 5 (von 54)

51 Addition des 2-er Komplements (2) (9 3) (Die Darstellung negativer Zahlen ist im Zusammenhang mit dem 2-er Komplement im bisherigen Verlauf ungeklärt.). Schritt: Bildung des 2-er Komplements von er Komplement von (3) 2. Schritt: Addition von 9 und 2-er Komplement von 3 = (9) kein Übertrag entstanden + = = 2-er Komplement von (3) ( 4)? Darstellung negativer Zahlen noch nicht festgelegt möglicherweise sinnvoll Formale Methoden der Informatik WiSe 28/29 Folie 5 (von 54)

52 Formale Methoden der Informatik WiSe 28/29 Folie 52 (von 54) 2-er Komplement von 8-Bit Zahlen () Addition von von Position zu Position Das erste Bit ist das Vorzeichen er Komplemente nebeneinander er Komplemente liegen sich in diesem Zahlenkreis nicht gegenüber, sind aber betragsmäßig gleich. 2 2

53 Formale Methoden der Informatik WiSe 28/29 Folie 53 (von 54) 2-er Komplement von 8-Bit Zahlen (2) Subtraktion wurde tatsächlich auf Addition mit 2-er Komplement zurückgeführt. Die Bildung des 2-er Komplements kann wiederum auf Addition zurückgeführt werden, denn die Komplementbildung kann auf Addition zurückgeführt werden allerdings auf Addition ohne Überträge Beispiel: Überträge ignorieren + Diese beiden Zahlen sind die reinen Komplemente voneinander. Es wird stets diese Zahl zum Binärmuster addiert. Subtraktion vollständig auf Addition(en) zurückgeführt! Komplementbildung durch ziffernweise / bitweise Negation.

54 2-er Komplement von 8-Bit Zahlen (3) Zahlenbereichsüberschreitungen beim 2-er Komplement werden in dieser Vorlesung (Übungen, Tutorien, Klausur) nicht behandelt. Multiplikationen beim 2-er Komplement werden in dieser Vorlesung (Übungen, Tutorien, Klausur) auch nicht behandelt. Formale Methoden der Informatik WiSe 28/29 Folie 54 (von 54)