1 Prädikatenlogik: Korrektheit, Vollständigkeit, Entscheidbarkeit

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1 1 Prädikatenlogik: Korrektheit, Vollständigkeit, Entscheidbarkeit 1.1 Korrektheit Mit dem Kalkül der Prädikatenlogik, z.b. dem Resolutionskalkül, können wir allgemeingültige Sätze beweisen. Diese Sätze heißen dann beweisbar. Demgegenüber steht die Wahrheit der Sätze. Ein Satz ist allgemeingültig, wenn er in allen möglichen Welten, also unter allen Interpretationen, wahr ist. So ist der Syllogismus x((p (x) Q(x)) P (x)) Q(x)) in allen Welten wahr, und er lässt sich mit dem Resolutionskalkül beweisen. Dabei benutzt der Resolutionskalkül keinen Bezug auf Bedeutungen, er arbeitet nur mit Zeichenketten. Es stellen sich 3 Fragen. Ist der Resolutionskalkül korrekt, vollständig und entscheidbar. Denition 1. Korrektheit Ein Kalkül ist korrekt genau dann, wenn jeder beweisbare Satz auch allgemeingültig ist. Satz 1. Der Resolutionskalkül ist korrekt. Andernfalls wäre er nutzlos. Man könnte dann ja Sätze beweisen, die falsch sein können. Der Beweis ist nicht schwierig. 1.2 Vollständigkeit Denition 2. Vollständigkeit Ein Kalkül ist vollständig genau dann, wenn jeder allgemeingültige Satz auch beweisbar ist. Satz 2. Der Resolutionskalkül ist vollständig. Dieser Satz ist schwierig zu beweisen. Überraschenderweise gilt er aber für die Prädikatenlogik 1. Stufe. Wenn ein Satz allgemeingültig ist, dann kann man ihn mit dem Kalkül auch beweisen, also rein durch Umformung von Zeichenketten. In der Prädikatenlogik 2. Stufe gilt der Vollständigkeitssatz nicht mehr. Die Prädikatenlogik 1. Stufe erlaubt die Anwendung der Quantoren nur auf Individuen (Objekte). In der Prädikatenlogik 2. Stufe kann man die Quantoren auch auf Eigenschaften, also Prädikate anwenden. In der PL 1. Stufe können wir formulieren: x(p (x) Q(x)): Für alle x gilt: hat x die Eigenschaft P, dann hat es auch die Eigenschaft Q.

2 1 PRÄDIKATENLOGIK: KORREKTHEIT, VOLLSTÄNDIGKEIT, ENTSCHEIDBARKEIT In der PL 2. Stufe können wir formulieren: P (P (Sokrates) P (P laton)): Für alle Eigenschaften P gilt: hat Sokrates die Eigenschaft P, dann hat auch Platon diese Eigenschaft. Z.B. kann man dann den folgenden Satz formulieren: Wenn zwei Dinge die gleichen Eigenschaften haben, dann sind sie identisch. x y P ((P (x) P (y)) x = y) 1.3 Entscheidbarkeit Denition 3. Entscheidbarkeit Die Prädikatenlogik ist entscheidbar genau dann, wenn es einen Kalkül gibt, mit dem man für jeden Satz ausrechnen kann, ob er allgemeingültig wahr ist oder nicht. Satz 3. Die Prädikatenlogik ist nicht entscheidbar. Beweisidee: Den Beweis lieferte Alan Turing 1937 mit seinem Aufsatz 'On Computable Numbers, with an Application to the Entscheidungsproblem. In: Proceedings of the London Mathematical Society. 42, S '. Turing hat dafür eine Maschine entwickelt, die Turing-Maschine. Informationen zu Turing: Turing-Maschine Die Turingmaschine ist ein einfaches Computermodell. Sie besteht aus einem unendlich langen Band. Dessen Zellen können Zeichen aus einem festgelegten Alphabet enthalten. Wir benutzen bei unseren Beispielen das Alphabet mir den Zeichen B,0 und 1. Dabei ist B = Blank = Leerzeichen ein besonderes Zeichen, mit dem anfangs alle Zellen beschrieben sind. Für die Ein- und Ausgabe werden nur die Zeichen 0 und 1 verwendet. Die Maschine benutzt einen Schreib-Lese-Kopf. Der kann befehlsgesteuert eine Zelle nach links gehen, eine Zelle nach rechts, das aktuelle Zeichen auf dem Band lesen und das aktuelle Zeichen überschreiben. Zu Anfang steht der Schreib-Lese-Kopf links von der Eingabe. Am Ende des Programmablaufs soll der Kopf links von der Ausgabe stehen. Die Ausgabe ist das Wort rechts vom Kopf, bis zum nächsten B. 2

3 1.3 Entscheidbarkeit Beispiel: Eingabe ist 0101:...B B B B... Ausgabe ist 1010:...B B B B... Die Turingmaschine läuft programmgesteuert. Sie verfügt über einen internen Speicher, in dem sie sich den aktuellen Zustand merkt. Der Zustand ist eine natürliche Zahl. Was sie macht, hängt vom internen Zustand ab und von dem Zeichen, das gerade unter dem Kopf steht. Ein Turing-Programm besteht aus endlich vielen Befehlen. Jeder Befehl hat den Aufbau Zustand Zeichen Aktion Folgezustand Die Maschine sucht den ersten Befehl, der den aktuellen Zustand und das aktuelle Zeichen unter dem Kopf enthält. Es wird dann die Aktion ausgeführt und der Folgezustand zum aktuellen gemacht. Am Anfang der Programmausführung steht der Kopf vor der Eingabe, also auf einem B. Der Anfangszustand ist 1. Die möglichen Aktionen: L: gehe einen Schritt nach links R: gehe einen Schritt nach rechts H: Halte 0: schreibe eine 0 in die aktuelle Zelle 1: schreibe eine 1 in die aktuelle Zelle B: schreibe ein B in die aktuelle Zelle Die Maschine hält, wenn die Aktion H ist. Dabei soll der Folgezustand eine feste Zahl sein, die das Halten anzeigt. Beispiel: Das Programm soll an eine Eingabe eine 0 anhängen und halten. Damit es die 0 anhängen kann, muss die Maschine erst mit dem Kopf an das Ende der Eingabe gehen. Dann muss die 0 geschrieben werden. Danach muss der Kopf wieder an den Anfang des Wortes gebracht werden. Der Startzustand ist 1. Der Zustand 2 soll anzeigen, dass der Kopf nach rechts läuft. Der Zustand 3 steht für das Laufen nach links. 4 soll der Endzustand sein. 3

4 1 PRÄDIKATENLOGIK: KORREKTHEIT, VOLLSTÄNDIGKEIT, ENTSCHEIDBARKEIT Das Programm kann dann so aussehen: Zustand Zeichen Aktion Folgezustand 1 B R R R 2 2 B L L 3 3 B H 4 Eingabe ist 0101: 1 4 Ausgabe ist Beispiel: Das Wort wird als Binärzahl aufgefasst. Es soll 1 addiert werden. Idee: Man geht an das Ende der Zahl und ersetzt von rechts nach links jede 1 durch eine 0. Die erste 0, die gefunden wird, wird durch 1 ersetzt. In diesem Fall sind keine Ersetzungen mehr nötig. Falls am linken Ende B erreicht wird und noch Ersetzungen nötig sind, wird dieses B durch 1 ersetzt. 4

5 1.3 Entscheidbarkeit Vorgehen: Start mit Zustand 1. Mit Zustand 2 nach rechts gehen. Mit Zustand 3 wieder nach links. Mit Zustand 4 Ersetzung vornehmen. Nach letzter Ersetzung im Zustand 5 nach links gehen. Zustand 6 für Halten des Programms. Zustand Zeichen Aktion Folgezustand 1 B R R R 2 2 B L B B L L L 3 5 B H L L 5 Eingabe ist 0101: B B B B B B B B

6 1 PRÄDIKATENLOGIK: KORREKTHEIT, VOLLSTÄNDIGKEIT, ENTSCHEIDBARKEIT Universelle Turing-Maschine Alan Turing konnte zeigen, dass man eine universelle Turingmaschine konstruieren kann. Diese Maschine wird mit einem Programm und einer weiteren Eingabe gefüttert. Die Maschine macht dann genau das, was eine Maschine mit dem eingegebenen Programm auch machen würde. Vorteil: man muss nicht für jedes Problem eine neue Turingmaschine bauen. Es reicht eine einzige universelle Maschine. Man muss nur als zusätzliche Eingabe das Programm angeben, das die Maschine ausführen soll. Wenn P ein Turingprogramm ist, ist die zugehörige Maschine M P. Sie berechnet bei Eingabe von w eine Ausgabe x = M P (w). Die universelle Maschine U berechnet dann U(P, w) = M P (w) = x Halteproblem Denition 4. Halteproblem Das Halteproblem besteht darin, eine Turing-Maschine M zu nden, die bei Eingabe von einem Programm P und einem Wort w eine 0 ausgibt, wenn die Maschine M P bei Eingabe von w nicht hält, und eine 1 sonst. { 0, falls MP (w) hält nicht M(P, w) = 1, falls M P (w) hält Es gibt eine universelle Turingmaschine, die jede andere Maschine simulieren kann. Sie erwartet als Eingabe das Programm einer Turingmaschine und deren Eingabe. Nehmen wir an, wir könnten das Halteproblem lösen. Dann können wir eine Maschine M basteln, die für jede Eingabe entscheidet, ob das Programm mit der Eingabe hält oder nicht: M(x,y) berechnet 1, falls die Maschine mit dem Programm x und der Eingabe y hält M(x,y) berechnet 0, falls die Maschine mit dem Programm x und der Eingabe y nicht hält Jetzt basteln wir eine neue Maschine M', die folgendes für die Eingabe x und y tut: M'(x,y) berechnet 1 und hält, falls M(x,y) 0 berechnet 6

7 1.3 Entscheidbarkeit M'(x,y) geht in eine Endlosschleife, falls M(x,y) 1 berechnet Es gibt zu M' ein Programm p. Berechne jetzt M'(p,y). Es gibt zwei Möglichkeiten: 1. M'(p,y) berechnet 1 und hält. Dann berechnet M(p,y) 0. Das bedeutet aber, dass die Maschine mit dem Programm p für y nicht hält. Das heiÿt aber, da p das Programm zu M' ist, dass M'(p,y) nicht hält. Das ist ein Widerspruch 2. M'(p,y) hält nicht. Dann berechnet M(p,y) 1. Das bedeutet aber, dass die Maschine mit dem Programm p für y hält. Das heiÿt aber, da p das Programm zu M' ist, dass M'(p,y) hält. Das ist ein Widerspruch Es kann also kein Programm M geben, das bei Eingabe eines Turing-Programms und einer weiteren Zeichenkette berechnet, ob die Maschine mit diesem Programm hält oder nicht. Der Grundgedanke ist: falls solch ein Programm existiert, kann man eine Maschine bauen, die mit diesem Programm feststellt, ob sie selber hält oder nicht. Die Maschine kann dann so programmiert werden, dass sie das Gegenteil davon tut, was berechnet wurde. Aus dem gleichen Grund kann es keinen Menschen geben, der seine Zukunft vorhersieht. Er könnte dann z.b. etwas tun, was seiner Vorrausschau widerspricht Beweis der Unentscheidbarkeit Turings Idee war, das Halteproblem durch eine prädikatenlogische Formel auszudrücken. Anfangskonguration: AK(x) : x = (zust = 1 links = kopf = B rechts = ) Endkonguration: EK(x) : x = (zust = 4 links = w1 kopf = B rechts = w2) Folgekonguration: F K(x, y) : x = (zust = 1 kopf = B links = x.a rechts = b.y ) y = (zust = 2 kopf = b links = x.a.b rechts = Y ) x = (zust = 1 kopf = 0 links = x.a rechts = b.y ) y = (zust = 2 kopf = b links = x.a.b rechts = Y )... 7

8 1 PRÄDIKATENLOGIK: KORREKTHEIT, VOLLSTÄNDIGKEIT, ENTSCHEIDBARKEIT x = (zust = 3 kopf = B links = x.a rechts = b.y ) y = (zust = 4 kopf = B links = x.a rechts = b.y ) Erreichbar(x, z) : z = x (Erreichbar(x, y) F K(y, z)) H(x) : AK(x) z(ek(z) Erreichbar(x, z)) H(x) ist wahr, wenn x eine Anfangskonguration ist mit der Bandinschrift und wenn von da aus in endlich vielen Schritten eine Endkonguration erreicht wird, wenn also das Programm nach endlich vielen Rechenschritten hält. Turings Beweisidee: Wenn man entscheiden kann, ob die Formel H(x) wahr ist oder nicht, dann kann man damit auch das Halteproblem lösen. Das ist aber nicht möglich. Also kann man die Wahrheit der prädikatenlogischen Formeln nicht entscheiden. Frage 1: Man könnte doch wegen der Vollständigkeit der Prädikatenlogik versuchen, eine Formel F zu beweisen, und gleichzeitig versuchen, ihre Negation F zu beweisen. Da ein Satz wahr oder falsch ist, muss einer der Beweise gelingen. Dann weiÿ man, of F wahr ist oder nicht. Leider nicht. Prädikatenlogische Formeln können in einigen Welten wahr sein, in anderen falsch. Die Vollständigkeit sagt nur, dass allgemeingültige Formeln immer mit dem Kalkül abgeleitet werden können. Der Satz 'Sokrates ist ein Mensch' ist z.b. nicht allgemeingültig. Deshalb kann er nicht formal bewiesen werden. Aber der Satz 'Sokrates ist kein Mensch' ist auch nicht allgemeingültig. Auch er kann nicht bewiesen werden. Frage 2: Ist die Aussagenlogik korrekt, vollständig und entscheidbar? 8