Value at Risk. Methoden zur Quantifizierung von Marktpreisrisiken. - Ein empirischer Vergleich - Dr. Michael Auer

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1 Value at Risk Methoden zur Quantifizierung von Marktpreisrisiken - Ein empirischer Vergleich - Dr. Michael Auer

2 Inhalt: 1. Motivation und Definition von VAR 2. Zielsetzung des Vergleichs 3. Methoden zur Quantifizierung von Marktpreisrisiko 4. Backtesting 5. Minibank & Marktdaten 6. Risk Engine 7. Ergebnis Beispiele 8. Erweiterungen Stand: , 08:29 1

3 Zukuntsziel: Integriertes Risikocontrolling/-management OR Probleme: Abdeckung aller Risiken MR Integriertes Risiko- controlling/- management GR KR Korrelationen Methodenunterschiede Trennung Risikoarten Derzeit vielversprechende Ansätze zur Integration von Markt- und Kreditrisiken, darüber hinaus aber: Anfangsstadium, noch viele Fragen Stand: , 08:29 2

4 Motivation zur VaR Ermittlung Vereinheitlichung: -> VaR ist ein einheitlicher Maßstab der Risikoeinschätzung einer Vielzahl von verschiedenen Risikopositionen und Portfolios unter einheitlichen Kriterien. Limitierung / Steuerung: -> Die Messung und Limitierung des VaR ist fundamental für die Portfolio Steuerung Kapitalunterlegung: -> VAR dient zur Bestimmung des risikogebundenen Kapitals, welches erforderlich ist, um die jeweils eingegangenen Risiken zu decken. Dies dient dem Schutz des Unternehmens. Kapitalallokation: -> VaR gibt der Geschäftsleitung die Möglichkeit das verfügbare Kapital optimal auf die Geschäftsaktivitäten mit einem entsprechenden Verzinsungsanspruch zu verteilen. Betrachtet wird dabei das Verhältnis Return on Risk. Stand: , 08:29 3

5 Allgemeine Definition von VaR bei Marktrisiko Value at Risk (VaR) ist ein Maß für den prognostizierten Verlust aus einem betrachteten Portfolio in Folge von Marktwert- bzw. Kurswert- Veränderungen (Marktpreisrisiko) innerhalb eines bestimmten Zeitraums (Haltedauer), der mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit (abh. vom Konfidenzniveau) nicht überschritten wird. -> Statistische Schätzung Konfidenzniveau z.b. 99% VAR 0 Marktwert- Veränderungen Haltedauer: 1 Tag -> d.h. Was kann von heute auf morgen passieren? Annahme: Die betrachteten Positionen werden während der Haltedauer nicht verändert. Stand: , 08:29 4

6 Zielsetzung des Vergleichs! Worin unterscheiden sich die Methoden und wo liegen die jeweiligen Stärken und Schwächen?! Welche Methode eignet sich für die VAR Ermittlung des jeweiligen Produktes am besten?! Welche Methode eignet sich für die VAR Schätzung des Portfolios am besten?! Wie verändert sich die Güte der VAR Schätzung in Abhängigkeit der Parametereinstellungen?! Wie können die empirisch ermittelten Eigenschaften der jeweiligen Methode theoretisch begründet werden?! Wie kann die VAR Schätzung der jeweiligen Methode verbessert werden? Stand: , 08:29 5

7 Ansätze zur Ermittlung von VaR Allgemeine Annahme: historische Marktbewegung des Risikofaktors S liefert eine gute Schätzung für die zukünftige Wertveränderung V local valuation V = β * S Linearer Zusammenhang (Sensitivität β) zwischen dem Marktwert der Position und dem jeweiligen Risikofaktor -> Varianz Kovarianz Ansatz full valuation V = V(S1) - V(S0) Vollständige mark to market Bewertung => keine Annahme hinsichtlich des Zusammenhanges zwischen dem Portfoliowert und dem Risikofaktor. -> Historische Simulation, Monte Carlo Simulation Stand: , 08:29 6

8 Risikoarten / Risikofaktoren Verschiedene Risikoarten innerhalb des Marktpreisrisikos Kurswertänderungsrisiko Volarisiko Kurswertänderung Kurswert Kurswert Underlying Hohe Optionsvola Niedrige Optionsvola Zeit Zeit Zinsänderungsrisiko Spreadrisiko Zins Veränderung der Zinsstrukturkurve Zins Risikobehaftete Zinsstrukutrkurve Spread Risikofreie Zinsstrukturkurve Laufzeit Laufzeit Stand: , 08:29 7

9 Varianz-Covarianz-Ansatz (1) Linearer VAR Ansatz unter der Annahme das Veränderungen der Risikofaktoren normalverteilt um den Mittelwert µ=0 sind Ermittlung des overnight Value at Risk VaR ON : 1. Analyse der relevanten Risikofaktoren, Zerlegung jeder Position in die jeweiligen Basis-Cashflow-Komponenten, Mapping der Komponenten zu den entsprechenden Risikofaktoren 2. Ermittlung des present value V i (mit i=1,..., N) jeder Cashflow Komponente i 3. Das Value at Risk VaR ergibt sich gemäß VAR = S Σ T S Stand: , 08:29 8

10 Varianz-Covarianz-Ansatz (2) VAR T = S Σ S falls Σ positiv semidefinit1 mit: S= ( fσ1v1δ1,..., fσiviδi,..., fσnvnδn) und Σ= 1... ρ ρ... N1 ρ 1N 1 Σ : Korrelationsmatrix (N x N) σ i : Standardabweichung der Veränderung des Risikofaktors i δ i : Sensitivität des Marktwertes der Position bezüglich des Risikofaktors i V i : Barwert des Cashflows für den Risikofaktor i f : Faktor, abhängig vom Konfidenzniveau α (Annahme: Normalverteilung) z.b. f = 1,65 für α=95% S T : Spaltenvektor von S 1 Σ ist positiv semidefinit, falls x Σ x T 0 x 0 Stand: , 08:29 9

11 Mapping Produktabhängige Zuordnung von Cashflow Komponenten der Einzelpositionen eines Portfolios zu den jeweiligen Risikofaktoren. Beispiel: Zinspositionen -> Risikofaktoren als Gridpoints der Zinskurve Zuordnung eines einzelnen Cashflow auf die Risikofaktoren Cashflow i Risikofaktoren j Risiko-/Varianzerhaltung => Var() r = Var( α r + ( 1 α) r ) ! σ = α σi + 2α( 1 α) ρijσiσ j + ( 1 α) σ α= b± b 2 4 ac j 2a 2 2! a = σi + σ j 2ρijσiσ j b = 2 ij i j ρσσ σ j c = σ j σ i j Stand: , 08:29 10

12 Historische Simulation Bewertung zu einem bestimmten Stichtag mit historischen Bewertungsparametern Beispiel: Gewöhnlicher Differenzenansatz2 Einzelposition: (t,t) = P (f,...,f,t) P (f,...,f,t) Di i 1,t k,t i 1,t 1 k,t 1 Pi( f1, t,..., fk, t, T) : Marktwert der Position i zum Stichtag T mit den Bewertungsparametern f,..., f zum Zeitpunkt t. Die Restlaufzeit bleibt konstant. 1, t k, t Mit Konfidenzniveau α folgt VaR aus der empirischen Häufigkeitsverteilung. = PR( D ( t) > VAR) mit: t { t 0, t 1,..., t N } α i i Portfolio: D = P i (f1,t,..., fk,t,t) P i (f1,t 1,..., fk,t p (t,t) 1,T) i i 2 Weitere Ansätze sind spezifischer Differenzenansatz sowie gewöhnlicher / spezifischer Ratenansatz Stand: , 08:29 11

13 Monte Carlo Simulation Die zukünftige Veränderung der Risikofaktoren wird über normalverteilte Zufallsziehungen und einem stochastischen Prozess simuliert. Vorgehensweise: 1. Wähle stochastischen Prozeß, z.b. S j,t + t Sj,T σ jε j,t t = e und die jew. Parameter 2. Generiere Sequenz von unabhängigen Zufallszahlen η1,..., ηn (N Anzahl der Simulationen z.b. N=500), transformiere daraus korrelierte Zufallszahlen ε1,..., εn und leite daraus die Sequenz der Preise bzw. Risikofaktoren S,..., ab 1 SN 3. Berechne den Wert des jeweiligen Produktes bzw. Portfolios FT + t gemäß den erzeugten Preisen 4. Wiederhole den Schritt 3 für alle N Simulationsschritte. Daraus erhält man die empirische Verteilung der Werte FT + t,..., FT + t. Für das Konfidenzniveau α ergibt sich das VaR aus der empirischen Verteilung. Stand: , 08:29 12

14 Korrelierte Zufallszahlen Eigenwert - Zerlegung der reellen, symmetrischen Korrelationsmatrix Σ Σ = A D T A D: Diagonalmatrix mit den Eigenwerten λ i von Σ in der Hauptdiagonalen A: Die Spalten von A enthalten die normierten Eigenvektoren von Σ Für ein Set N unabhängiger Zufallszahlen η = ( η1, η2,..., ηn) erhält man durch 1 2 T ε = A D η ein Set mit korrelierten (Korrelationsmatrix Σ) Zufallszahlen ε = ( ε1, ε2,..., εn) Voraussetzung: Korrelationsmatrix R positiv definit3 3 Ansonsten besteht Gefahr negativer Eigenwerte Stand: , 08:29 13

15 Backtesting (1) - Allgemein Backtesting: Vergleich der VAR Schätzung mit den tatsächlich eingetretenen MTM Veränderungen => Ermittlung der empirischen Überschreitungsrate , , ,00 0, , , ,00 Stand: , 08: Abb Minibank: VAR Vergleich von bis (ca. 165 Stichtage) MTM change VAR-COVAR 0.01 Hist.-Sim 0.01 MC-Sim 0.01

16 Backtesting (2) BIS Ampelprinzip Anzahl der Überschreitungen für das 99% Konfidenzniveau Anzahl Zuschlags- Überschreit- faktor Grüne Zone ungen % 80% Gelbe Zone 5 0,4 6 0,5 7 0,65 60% 40% % Anteil grün % Anteil gelb 8 0,75 20% 9 0,85 Rote Zone 9 1 0% HS MC VC Stand: , 08:29 15

17 Backtesting (3) - Überschreitungsrate Über längeren Zeitraum wird analysiert, wie häufig die tatsächlich eingetretene MTM Veränderung x t die prognostizierte VAR Schätzung überschreitet. x t = Mt + 1 Mt t M : Marktwert zum Zeitpunkt t T ( α) 1 ( α) 1 => Überschreitungsrate ϕ = ζ( χt x t ) mit ζ(x) = T t = 1 0 ( α) ( α) ϕ => Normierte Überschreitungsrate ζ = => 1 α ( ) ζ α >> 1 => Systematische Unterschätzung des VAR ( ) ζ α 1 => Adäquate Abschätzung des VAR ( ) ζ α << 1 => Systematische Überschätzung des VAR für x > sonst 0 χ ( α) t : VAR Schätzung zum Zeitpunkt t mit dem Konfidenzniveau α Beachte Vorzeichenregelung: ( α) t χ, x t < 0 Stand: , 08:29 16

18 Portfolio Minibank Portfolio basiert auf dem TestportfolioII von Basel für die Proberechnung 1995 und enthält insgesamt 89 Positionen in den Währungen DEM, GBP, USD, JPY Aktie 11 Aktienindex 4 Aktienindexoption 8 FRA 9 Swap 15 FX Option 6 FX Spot 3 Forward- Cashflow 11 Cap/Floor 10 Bond 12 Die jeweils eingestellten Fälligkeitstermine wurden jeweils konstant gehalten Stand: , 08:29 17

19 Marktdatenhistorie Der verfügbare Zeitraum für das Backtesting ist abhängig von der Marktdatenhistorie Backtesting Zeitraum 250 Handelstage 250 Handelstage Stichtag Stichtag n Zeit Verfügbare Marktdatenhistorie Verfügbarkeit der Marktdatenhistorie von bis => Backtesting Zeitraum von bis (entspricht ca. 310 Handelstage) Stand: , 08:29 18

20 Datenfluß / Risk Engine Minibank Masterkalender Marktparameter " $ %&'&(')*'+ ",&-.)/0$1'(2 3'4'&0)+* " * " 8)96:$(6;:'+ *'+'&7'&'+ " <7*'+4'&0 8'&:'*)+* Risk engine Varianz Kovarianz Ansatz Monte Carlo Simulation Historische Simulation Backtesting C++ DLL " =7>):7'&0' 56&/016&6>'0'& '&(')*'+ "?)6+07:' '&>70':+ VAR / Backtesting Ergebnisse Stand: , 08:29 19

21 Risikofaktoren / Produktmatrix Varianz Kovarianz Historische Simulation Monte Carlo Simulation ZR DR SR AR VR ZR DR SR AR VR ZR DR SR AR VR Zinsinstrumente: Forward rate Agreement X X X X X X Swap X X X X X X Bond X X X X X X X X X Forwards X X X X X X Caps / Floors X* X M X X X X X M FX-Positionen FX-Spot X X X FX-Option M X* M X X X X X M Aktienpositionen: Synth. Stock index X X X X X X Single Stocks X X* X X X X Equity options M X X* M X X X X X X X M Berücksichtigung von: ZR: Zinsrisiko, DR: Devisenkursrisiko, SR: Spreadrisiko, AR: Aktienkursrisiko, VR: Volarisiko (*Nur lineare Berücksichtigung des Risikofaktors z.b. Delta Näherung) Kürzel: X: von der jeweiligen Methode berücksichtigte Risikoart M: Risikoart kann durch die Methode nicht berücksichtigt werden Die schattierten Flächen zeigen Risikoarten, die für die jeweiligen Produkte nicht relevant sind Stand: , 08:29 20

22 Backtesting Minibank - Normierte Überschreitungsrate 3 Normierte Überschreitungsrate 2,5 2 1,5 1 0,5 0 0,99 0,97 0,95 0,93 0,91 0,89 0,87 0,85 0,83 0,81 0,79 Konfidenzniveau Stand: , 08:29 21 Stützperiode 250 Tage Haltedauer 1 Tag MC Simulationen 1000 Gleichgewichtung 0,77 0,75 0,73 0,71 0,69 0,67 0,65 0,63 0,61 0,59 0,57 0,55 VK HS MC

23 Backtesting Swaps gemittelt Gleichgewichtung Backtesting Swap gemittelt 1,4 1,2 Mittlere normierte Überschreitungsrate 1 0,8 0,6 0,4 0,2 1 T 2 σ( r) = (rt r) T t= 1 ρij = cov(ri, rj) σ(ri ) σ(rj) cov( ri, rj) = 1 T T (rit t= 1 ri )(rjt rj) HS MC VC 0 0,99 0,97 0,95 0,93 0,91 0,89 0,87 0,85 0,83 0,81 0,79 0,77 0,75 0,73 0,71 0,69 0,67 0,65 0,63 0,61 0,59 0,57 0,55 Konfidenzniveau Stand: , 08:29 22

24 Backtesting Swaps gemittelt Exp. Gewichtung Backtesting Swap gemittelt exp. gewichtet (lambda=0.94) 2 1,8 1,6 Mittlere normierte Überschreitungsrate 1,4 1,2 1 0,8 0,6 0,4 T t 1 2 σ( r) = (1 λ) λ (rt r) t= 1 ρij = cov(ri, rj) σ(ri ) σ(rj) T cov( r, r ) = (1 λ) λ i j t= 1 t 1 (r it r i )(r jt r j ) HS MC VC 0,2 0 0,99 0,97 0,95 0,93 0,91 0,89 0,87 0,85 0,83 0,81 0,79 0,77 0,75 0,73 0,71 0,69 0,67 0,65 0,63 0,61 0,59 0,57 0,55 Konfidenzniveau Stand: , 08:29 23

25 Backtesting Swaps gemittelt Korrelations Adjustierung Backtesting Swap gemittelt Korrelations korr. (f=1) Mittlere normierte Überschreitungsrate 1,6 1,4 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 Adjustierung der Korrelation bei nicht synchronen Zeitreihen durch Einführung einer lag Komponente γ r 0 j,t = γ j,t r j,t + γ cov(rit, rjt ) = cov(r it, r jt ) + cov(r it 1, r jt ) + cov(r it, r jt 1 ) ad cov(rit, rjt ) ρ ij = 0 0 σ(r it ) σ(r jt ) j,t 1 r j,t 1 r 0 j r j : : beobachtete returns wahre returns HS MC VC 0 0,99 0,97 0,95 0,93 0,91 0,89 0,87 0,85 0,83 0,81 0,79 0,77 0,75 0,73 0,71 0,69 0,67 0,65 0,63 0,61 0,59 0,57 0,55 Konfidenzniveau Stand: , 08:29 24

26 Backtesting Aktienindexoptionen ohne Volarisiko gemittelt Backtesting Stock options ohne volarisiko gemittelt P Beispiel: Long call P Verlauf des Optionspreises 8 S Für den Teil der Historie wird das VAR unterschätzt t- HS 6 Verlauf des Underlyings MC VC 4 t Konfidenzniveau Stand: , 08:29 25

27 6 Variation der Stützperiode 5 Normierte Überschreitungsrate HS MC VK Stützperiode in Tagen Durch Reduzierung der Stützperiode verkleinert sich der Stichprobenumfang der HS erheblich => Verschlechterung der Backtesting Ergebnisse! Stand: , 08:29 26

28 Eigenschaften der Korrelationsmatrix Ausgehend von der (k, T) Risikofaktoren Matrix X, mit der Zeitreihe (Anzahl der Tage der Stützperiode T) des Instrumentes i (von insgesamt k Instrumenten) als Spaltenvektor x i, gilt für die Kovarianzmatrix C C T X X T = und für den Rang R gilt damit: R(C) = R(X X) = R(X) T! Allgemein entspricht der Rang der maximalen Anzahl der linear unabhängigen Zeilen-/ Spaltenvektoren! Der Rang der Kovarianz Matrix C entspricht dem Rang der Matrix X! Der Rang der Kovarianz Matrix C kann somit nicht größer sein als die Anzahl der Tage der Stützperiode4 D.h. für eine Stützperiode von 50 Tagen und 103 Risikofaktoren enthält die Kovarianzmatrix nur max. 50 linear unabhängige Zeilen/Spaltenvektoren 4 Allgemein gilt für den Rang einer (m,n) Matrix A : R(a) min(m,n) Stand: , 08:29 27

29 Monte Carlo Simulation Variation der Simulationsschritte 3 2,5 Normierte Überschreitungsrate 2 1,5 1 0,99 0,97 0,95 0, MC Simulationsschritte Stand: , 08:29 28

30 Zusammenfassung! Backtsting Ergebnisse zeigen i.d.r. leptokurtische Verteilungen! Die exponentielle Gewichtung führt bei den meisten Einzelprodukten zu besseren Backtesting Ergebnissen! Die Korrelations Adjustierung führt zu verbesserten Backtesting Ergebnissen! Beim Varianz Kovarianz Ansatz und der Monte Carlo Simulation wird das VAR von Optionen aufgrund des fehlenden Volarisikos deutlich unterschätzt.! Insbesondere bei Optionen liefert der spezifische Differenzenansatz deutlich bessere Ergebnisse als der gewöhnliche Differenzenansatz! Bei der Variation der Stützperiode verschlechtern sich insbesondere die Backtesting Ergebnisse für die Historische Simulation. Stand: , 08:29 29

31 Weitere Analysen " Analyse für alle übrigen Einzelprodukte " Latin Hypercube Sampling " Variation der verschiedenen Ansätze zur Historischen Simulation " Variation des Mappings " Weitere Variation der Stützperiode " Exponentielle- versus Gleichgewichtung pro Einzelprodukt " Vergleich zwischen Jacobi- und Householder Varfahren " Beta Adjustierung für Aktien Stand: , 08:29 30