Gefesselte Masse. Jörg J. Buchholz 23. März 2014

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1 Gefesselte Masse Jörg J. Buchholz 23. März 204 Einleitung In Abbildung ist eine Punktmasse m dargestellt, die sich, von einem masselosen starren tab der Länge l gefesselt, auf einer Kreisbahn bewegt. Dabei wirken auf die Masse eine äußere Antriebskraft F und die tabkraft. y m F r l x Abbildung : Gefesselte Punktmasse auf Kreisbahn Da die freie Bewegung der Masse (zwei Freiheitsgrade x und y) durch den tab eingeschränkt wird, ergibt sich bei der Modellierung ein differenzial-algebraisches Gleichungssystem (DAE), das sowohl Differenzialgleichungen als auch algebraische Gleichungen beinhaltet. Im Folgenden wird die Massenbewegung auf fünf verschiedene Arten simuliert:. als klassisches DAE-ystem mit vier Differenzialgleichungen und einer algebraischen Gleichung unter Matlab 2. als klassisches DAE-ystem mit vier Differenzialgleichungen und einer algebraischen Gleichung unter imulink 3. als Differenzialgleichungssystem mit vier Differenzialgleichungen durch analytisches Auflösen der algebraischen Gleichung

2 2 Gefesselte Masse als DAE 4. als Differenzialgleichungssystem mit vier Differenzialgleichungen durch Ersatz des tabes durch eine Feder 5. als Differenzialgleichungssystem mit zwei Differenzialgleichungen durch Formulierung in Polarkoordinaten Alle imulationen produzieren dabei qualitativ vergleichbare Ergebnisse. 2 Gefesselte Masse als DAE Newton sches Kräftegleichgewicht: m r = F + () Die tabkraft ist antiparallel zum Positionsvektor: = r (2) Gleichung (2) wird in Gleichung () eingesetzt und nach der Beschleunigung aufgelöst: r = (F r) (3) m In Komponenten ausgedrückt ergibt sich [ẍ ] = ÿ m ([ Fx F y ] [ ]) x y (4) ẍ = m (F x x) (5) ÿ = m (F y y) (6) Um die zwei Differenzialgleichungen zweiter Ordnung in vier Differenzialgleichungen erster Ordnung zu überführen, werden die Position (x und y) und die Geschwindigkeit (ẋ und ẏ) in beiden Richtungen als neue Zustandsgrößen eingeführt: x = x (7) x 2 = ẋ = x x = x 2 (8) ẍ = x 2 = m (F x x) = m (F x x ) x 2 = m (F x x ) (9) x 3 = y (0) x 4 = ẏ = x 3 x 3 = x 4 () ÿ = x 4 = m (F y y) = m (F y x 3 ) x 4 = m (F y x 3 ) (2) 2

3 2 Gefesselte Masse als DAE Die algebraische Zwangsbedingung schränkt die Bewegung auf eine Kreisbahn ein: x 2 + y 2 = l 2 0 = l 2 x 2 x 2 3 (3) Die Zwangsbedingung Gleichung (3) muss so oft differenziert werden, bis dort die algebraische Variable (tabkraft ) auftritt: 0 = 2x x 2x 3 x 3 = x x + x 3 x 3 (4) Gleichung (8) und Gleichung () in Gleichung (4) einsetzen: 0 = x x 2 + x 3 x 4 (5) Auch Gleichung (5) muss differenziert werden, da dort noch keine tabkraft auftritt: 0 = x x 2 + x x 2 + x 3 x 4 + x 3 x 4 (6) Gleichung (8), Gleichung (9), Gleichung () und Gleichung (2) in Gleichung (6) einsetzen: 0 = x x m (F x x ) + x x 4 m (F y x 3 ) (7) Der erweiterte Zustandsvektor z beinhaltet zusätzlich die unbekannte tabkraft : z = [ ] x = Die erweiterte Vektordifferenzialgleichung beinhaltet auch die algebraische Gleichung als letzte Zeile: M ż = f (z, t) mit M = (9) Einsetzen von Gleichung (8), Gleichung (9), Gleichung (), Gleichung (2) und Gleichung (8) in Gleichung (9) ergibt x x x 2 x 3 x 4Ṡ = (F m x x ) x 4 (F m y x 3 ) (20) x x (F m x x ) + x x 4 (F m y x 3 ) x x 2 x 3 x 4 (8) 3

4 2 Gefesselte Masse als DAE 2. Implementation unter Matlab Das erweiterte Differenzialgleichungssystem Gleichung (20) kann jetzt mit Matlabs Integrationsverfahren für DAEs (z. B. ode5s) integriert werden: M = [ ; ; ; ; ] x0 = [ 0 ; 0 ; l ; 0 ; 0 ] t = linspace (0, 0, 00) o ptions = odeset (... Mass, M,... RelTol, e 6... ) [ t, x ] = ode5s t, x0, o ptions ) ; function out = g e f e s s e l t e m a s s e d a e ( t, x ) global l m Fx Fy out = [... x ( 2 ) ;... /m (Fx x (5) x ( ) ) ;... x ( 4 ) ;... /m (Fy x (5) x ( 3 ) ) ;... x (2) x ( 2 ) + x ()/m (Fx x (5) x ( ) ) +... x (4) x ( 4 ) + x (3)/m (Fy x (5) x ( 3 ) )... ] ; Dabei sollten möglichst konsistente Anfangsbedingungen für z(t = 0) vorgegeben werden, die auch die algebraische Randbedingung Gleichung (7) erfüllen. Beispielsweise führt eine Wahl von m =, l = 42, F = [ 00 0 ] T und z0 = [ ] T zu der in Abbildung 2 und Abbildung 3 dargestellten Bewegung. 4

5 2 Gefesselte Masse als DAE x = x x 2 = y t Abbildung 2: Positionskomponenten x 2 = y x = x Abbildung 3: Positionsortskurve 5

6 2 Gefesselte Masse als DAE 2.2 Implementation unter imulink Bei der imulation der DAE unter imulink kann Gleichung (3) direkt mittels zweier Vektorintegratoren für die Vektoren ṙ und r implementiert werden (Abbildung 4). (Fx Fy) /m _p_p s _p s Antrieb Masse (Kehrwert) cope _p _F Algebraische Gleichung XY Graph Abbildung 4: DAE-Blockschaltbild Zusätzlich muss die tabkraft im Block Algebraische Gleichung in jedem Zeitschritt mit einem Gleichungslöser (Block Algebraic Constraint ) aus der algebraischen Gleichung (7) berechnet werden (Abbildung 5). 6

7 3 Algebraische Gleichung analytisch lösen _p x2 x4 x *x /m f(z) olve z f(z) = 0 Algebraic Constraint 2 Fx Masse (Kehrwert) x3 *y /m Fy Masse (Kehrwert) 3 _F Fx Fy Abbildung 5: Lösung der algebraischen Gleichung 3 Algebraische Gleichung analytisch lösen In manchen Fällen wie bei diesem einfachen Beispiel ist es möglich, die algebraische Randbedingung Gleichung (7) analytisch zu lösen = m (x2 2 + x 2 4) + F x x + F y x 3 x 2 + x 2 3 (2) und einzusetzen, so dass (zusammen mit Gleichung (2)) direkt die vier Differentialgleichungen (8), (9), () und (2) modelliert werden können. Die Massenmatrix aus Gleichung (9) ist jetzt leer, da aus dem Algebrodifferenzialgleichungssystem ein gewöhnliches Differentialgleichungssystem geworden ist: o ptions = odeset (... Mass, [ ],... RelTol, e 6... ) [ t, x ] = ode5s masse ode, t, x0, o ptions ) ; 7

8 3 Algebraische Gleichung analytisch lösen function out = g e f e s s e l t e m a s s e o d e ( t, x ) global l m Fx Fy s = (m ( x (2) x ( 2 ) + x (4) x ( 4 ) ) +... Fx x ( ) + Fy x ( 3 ) ) / ( x () x ( ) + x (3) x ( 3 ) ) ; out = [... x ( 2 ) ;... /m (Fx s x ( ) ) ;... x ( 4 ) ;... /m (Fy s x ( 3 ) ) ;... ] ; Auch unter imulink vereinfacht sich der in Abbildung 4 unter Algebraische Gleichung zu findende Block (Abbildung 6). Er enthält jetzt keinen rechenzeitaufwendigen Algebraic Constraint-Block mehr. Masse _p x2 x4 m m Masse m*x2^2 m*x4^2 m*x2^2 + m*x4^2 + Fx*x + Fy*x3 2 x x3 Fx*x Fy*x3 3 _F Fx Fy 2 x x3 x^2 + x3^2 Abbildung 6: Aufgelöste algebraische Gleichung 8

9 4 tarren tab durch Feder ersetzen 4 tarren tab durch Feder ersetzen Unter der Annahme, dass der tab nicht völlig starr ist, kann er durch eine sehr steife Feder gleicher Ruhelänge ersetzt werden, so dass die starre algebraische Zwangsbedingung entfällt. Die bisherige tabkraft wird jetzt durch die Federkraft ersetzt, die von der Auslenkung l der Feder und von der Federkonstante c abhängt: = c l = c ( r l) (22) Unter imulink wird dazu der Block Algebraische Gleichung in Abbildung 4 durch den wesentlich einfacheren tabfeder-block ersetzt, der als Eingangsgröße nur noch die aktuelle Position der Masse benötigt (Abbildung 7). l delta_l tablänge cope _x _x 2 Norm of a vector delta_l 42 Federkonstante Abbildung 7: tabfeder-blockschaltbild Bedingt durch die Auslenkbarkeit der Feder bewegt sich die Masse jetzt nicht mehr auf einer exakten Kreisbahn; die Abweichung davon (delta_l in Abbildung 7) schwingt mit der gleichen Frequenz wie die Horizontalkomponente der Position (Abbildung 8). 9

10 5 Polarkoordinaten l t Abbildung 8: Federauslenkung Eine Vergrößerung der Federsteifigkeit reduziert zwar einerseits wünschenswerterweise die Amplitude der Fehlerschwingung, erhöht aber andererseits ( Nomen est Omen ) die teifigkeit des zu simulierenden ystems, so dass mit hochfrequenten Instabilitäten, angepassten Integrationsverfahren, kleineren chrittweiten und dadurch längeren imulationzeiten zu rechnen ist. 5 Polarkoordinaten Durch das Einführen von Polarkoordinaten lässt sich dieses einfache akademische Beispiel in seine Minimalform (minimale Anzahl von Zustandsgrößen, Differenzialgleichungen,...) überführen. Mit dem Momentenvektor Q, dem Trägheitstensor I und dem Drehbeschleunigungsvektor Φ lautet die Momentengleichgewichtsbedingung im Ursprung: I Φ = Q = r F (23) Da es sich um eine zweidimensionale Bewegung handelt, besitzen sowohl der Momentenals auch der Drehbeschleunigungsvektor nur eine z-komponente und beim Trägheitsten- 0

11 5 Polarkoordinaten sor ist nur das z-trägheitsmoment relevant: 0 x F x 0 0 = y F y = 0 (24) ml 2 ϕ 0 0 x F y y F x so dass nur eine skalare Differenzialgleichung zweiter Ordnung übrig bleibt: die sich, aufgelöst nach der Drehbeschleunigung, sehr kompakt modellieren lässt (Abbildung 9). ml 2 ϕ = x F y y F x (25) ϕ = ml 2 (x F y y F x ) = ml 2 (r F) z (26) [Fx Fy 0] Antrieb _F _x _x cross _y _y Cross product Q /m/l^2 Trägheit (Kehrwert) ph_p_p s ph_p s ph ph Position Abbildung 9: Polarkoordinaten-Blockschaltbild Dabei findet die Umwandlung des Drehwinkels in die kartesischen Koordinaten x l cos ϕ r = y = l sin ϕ (27) z 0 im Block Position statt (Abbildung 0). ph cos sin l tablänge Ground Abbildung 0: Umwandlung des Drehwinkels in kartesische Koordinaten

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0, v 6 = 2 2. 1, v 4 = 1. 2. span(v 1, v 5, v 6 ) = span(v 1, v 2, v 3, v 4, v 5, v 6 ) 4. span(v 1, v 2, v 4 ) = span(v 2, v 3, v 5, v 6 ) Aufgabe 65. Ganz schön span(n)end. Gegeben sei folgende Menge M von 6 Vektoren v, v,..., v 6 R 4 aus Aufgabe P 6: M = v =, v =, v =, v 4 =, v 5 =, v 6 = Welche der folgenden Aussagen sind wahr? span(v,

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