Formelsammlung. Mathematik. Hans-Jochen Bartsch. Kleine. 5., aktualisierte Auflage

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1 Hans-Jochen Bartsch Kleine Formelsammlung Mathematik downloaded from by on February 1, 2017 Kleine Formelsammlung Mathematik 5., aktualisierte Auflage

2 Mathematische Zeichen und Symbole (x, yir ) IN, N Menge der natürlichen Zahlen, IN {, 012,, } Z, Z Menge der ganzen Zahlen, Z = {, 2, 1, 012,,, } Q,Q Menge der rationalen Zahlen I R,R Menge der reellen Zahlen C,C Menge der komplexen Zahlen Herausnahme der Null durch, z.b. positive ganze Zahlen IN {, 12, } IR >0 Menge der positiven reellen Zahlen, bisher IR + IR n Menge der n-dimensionalen Vektoren, n IN IR mn Menge der (m, n)-matrizen, mn, IN x y xungefähr gleich y x y x wesentlich kleiner y,analog x y (wesentlich größer) x y xkleiner gleich y,analog x y(größer gleich) def x= y, x: y xist definitionsgemäß gleich y mn mteilt n,esgibt eine ganze Zahl k mit mk n,mn, Z a bmod m a kongruent b modulo m, m ( a b), abm,, Z () x n steigende Faktorielle, () x n x( x 1 ) ( x n 1 ),nin [ x] n,() x n fallende Faktorielle, [ x] n x( x 1 ) ( xn 1 ),nin x x x n n x über n,binomialkoeffizient von x und n, n [ ] n!,n IN x,[ x] größte ganze Zahl kleiner oder gleich x, n x n1 x kleinste ganze Zahl größer oder gleich x, n1 x n int x ganzzahliger Anteil von x, int x: sgn x x frac x gebrochener Anteil von x, frac x: xint x (, ab,], ) ab[ offenes Intervall von a bis b, xa x b,ab, IR [ ab, ] abgeschlossenes Intervall von a bis b, xa x b g x a lim f()gist x Limes von f()für x x gegen a x a xvon rechts gegen a,auch x a 0,analog x a abx,,, y, Zeichen für Vektoren, auch abx,,, y, abx,,, y, Zeichen für Skalare o, o Nullvektor, neutrales Element bez. Vektoraddition ab amal b,skalares (inneres) Produkt von a und b

3 1 Logik, Arithmetik, Algebra 11 2 Lineare Algebra 43 3 Elementare und analytische Geometrie 69 4 Funktionen Analysis Gewöhnliche Differenzialgleichungen Reihen, F- und L-Transformation Stochastik Integraltabelle 234 S Sachwortverzeichnis 238

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5 Kleine Formelsammlung Mathematik von Hans-Jochen Bartsch unter Mitwirkung von Michael Sachs 5., aktualisierte Auflage mit 150 Bildern Fachbuchverlag Leipzig im Carl Hanser Verlag

6 Autor Dr.-Ing. Hans-Jochen Bartsch Bearbeiter Prof. Dr. Michael Sachs Hochschule München Fakultät für Feinwerk- und Mikrotechnik, Physikalische Technik Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar. ISBN E-Book-ISBN Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Alle Rechte, auch die der Übersetzung, des Nachdruckes und der Vervielfältigung des Buches, oder Teilen daraus, vorbehalten. Kein Teil des Werkes darf ohne schriftliche Genehmigung des Verlages in irgendeiner Form (Fotokopie, Mikrofilm oder ein anderes Verfahren), auch nicht für Zwecke der Unterrichtsgestaltung - mit Ausnahme der in den 53, 54 URG genannten Sonderfälle -, reproduziert oder unter Verwendung elektronischer Systeme verarbeitet, vervielfältigt oder verbreitet werden. Fachbuchverlag Leipzig im Carl Hanser Verlag 2011 Carl Hanser Verlag München Lektorat: Christine Fritzsch Herstellung: Katrin Wulst Satz: Dr.-Ing. Hans-Jochen Bartsch, Chemnitz Druck und Bindung: Beltz Bad Langensalza GmbH, Bad Langensalza Printed in Germany

7 Vorwort Die Kleine Formelsammlung enthält die wichtigsten Formeln ausgewählter Stoffgebiete der Mathematik, die Studierende ingenieurwissenschaftlicher Fachrichtungen an Hochschulen für Angewandte Wissenschaften und Technischen Universitäten sowie Schülerinnen und Schüler in der Oberstufe der Gymnasien benötigen. Sie soll den Lernenden ein zuverlässiger Ratgeber bei der Bewältigung mathematischer Probleme in allen technischen und auch ökonomischen Fächern sein, wobei auf Verfahren, die auf Spezialfächer zugeschnitten sind, verzichtet werden musste. Das Buch kann und will kein Lehrbuch ersetzen. Es enthält keine Herleitungen und Beweise, sondern nur die Formeln selber, und dient dem Nachschlagen und der Auffrischung von bereitsfrüher einmal erlerntem Wissen. Der Inhalt reicht von der Elementarmathematik der Gebiete Arithmetik, Algebra und Geometrie bis zur Analysis und Stochastik, da erfahrungsgemäß einerseits die Schulmathematik immer wieder der Auffrischung bedarf, zum anderen die Methoden der Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung bei der Bewältigung technischer und ökonomischer Probleme zunehmend von Bedeutung sind. Trotz des beschränkten Umfanges des Buches wurde Wert gelegt auf die vollständige Darstellung der Bedingungen für die Anwendung der Formeln. Die Bezeichnungen und Symbole entsprechen den gültigen DIN-Empfehlungen. In der 5. Auflage wurden bekannte Druckfehler verbessert. Für Hinweise, die der Verbesserung des Buches dienen, sind der Bearbeiter und der Verlag stets dankbar. München, im Herbst2011 MichaelSachs Bearbeiter

8 Inhaltsverzeichnis 1 Logik, Arithmetik, Algebra Mathematische Logik Ein- und zweistellige BOOLEsche Funktionen Rechengesetze, Rechenregeln (BOOLEsche Algebra) Normalformen Unscharfe Mengen Mengen Grundlagen Mengenrelationen, Mengenoperationen Beziehungen, Gesetze, Rechenregeln bei Mengen Relationen Intervalle Zahlensysteme Menge der reellen Zahlen Standard-Zahlenmengen Grundoperationen in der Menge der reellen Zahlen Potenzen, Wurzeln Logarithmen Binomischer Lehrsatz Menge der komplexen Zahlen Grundlagen Darstellungsformen komplexer Zahlen Grundrechenarten mit komplexen Zahlen Potenzen und Wurzeln komplexer Zahlen Natürliche Logarithmen von komplexen Zahlen Kombinatorik Folgen Grundlagen Schranken, Grenzen, Grenzwert einer Folge Arithmetische und geometrische Folgen Zins-, Zinseszins-, Renten- und Tilgungsrechnung Gleichungen und Ungleichungen, Algebra Grundlagen....35

9 Inhaltsverzeichnis 7 Kleine Formelsammlung Mathematik downloaded from by on February 1, Lineare algebraische Gleichungen Nichtlineare algebraische Gleichungen Wurzelgleichungen, transzendente Gleichungen Numerische Verfahren für Gleichungen Lineare Algebra Matrizen Grundlagen n-reihige quadratische Matrizen Rang, Normen, Grenzwert, Differenziation, Integration Matrizengesetze Eigenwerte, Eigenvektoren quadratischer Matrizen Determinanten Lineare Gleichungssysteme Grundlagen Verketteter GAUSSscher Algorithmus Iterationsverfahren für große Gleichungssysteme CRAMERsche Regel Vektoren Grundlagen Vektoren im 3-dimensionalen Raum Vektoralgebra Koordinatensysteme Abbildungen Koordinatentransformation Elementare und analytische Geometrie Planimetrie, ebene Trigonometrie Winkel Teilungen, Ähnlichkeit, Kongruenz Dreiecke Vierecke Vielecke Kreis Geometrische Körper (Stereometrie) Ebenflächig begrenzte Körper (Polyeder, Vielflache)..77

10 8 Inhaltsverzeichnis Kleine Formelsammlung Mathematik downloaded from by on February 1, Krummflächig begrenzte Körper Punkt, Gerade, Ebene Punkt, Strecke Die Gerade Mehrere Geraden Die Ebene Flächeninhalt, Volumen Kurven 2. Ordnung (Kegelschnitte) Der Kreis Die Ellipse Die Parabel Die Hyperbel Flächen 2. Ordnung Hauptachsentransformation Funktionen Grundlagen Grenzwerte, unbestimmte Ausdrücke Grenzwert einer Funktion Unbestimmte Ausdrücke Eigenschaften reeller Funktionen Rationale reelle Funktionen Ganzrationale Funktionen (Polynomfunktionen) Interpolation Gebrochenrationale Funktion Potenzfunktionen Sonstige (elementare) Funktionen Nichtrationale Funktionen Wurzelfunktion Exponentialfunktion Logarithmische Funktion Winkelfunktionen, trigonometrische Funktionen Zyklometrische Funktionen (Arkusfunktionen) Hyperbelfunktionen (hyperbolische Funktionen) Areafunktionen Zykloide, Spirallinien, sonstige Kurven...130

11 Inhaltsverzeichnis 9 Kleine Formelsammlung Mathematik downloaded from by on February 1, Komplexe Funktionen Kurvendiskussion (Funktionsuntersuchung) Analysis Differenzialrechnung Funktionen mit einer unabhängigen Variablen Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen Differenzialgeometrie ebener Kurven Differenzialgeometrie von Raumkurven und Raumflächen Extremwerte und Wendepunkte Integralrechnung Grundintegrale, Stammintegrale Integrationsregeln Integrationsverfahren, Integrationsmethoden Numerische Integration Bereichsintegrale, Mehrfachintegrale Anwendungen der Integralrechnung Vektoranalysis Vektorfunktion, Felder Kurvenintegrale (Linienintegrale) Flächenintegrale (Oberflächenintegrale) Gradient eines skalaren Feldes Divergenz eines Vektorfeldes Rotation eines Vektorfeldes Gewöhnliche Differenzialgleichungen Grundlagen Differenzialgleichungen 1. Ordnung Differenzialgleichungen 2. Ordnung Homogene lineare Differenzialgleichung 2. Ordnung Inhomogene lineare Differenzialgleichung 2. Ordnung Lineare Differenzialgleichungen höherer Ordnung Anfangswertprobleme, numerische Verfahren Polygonzugverfahren von EULER-CAUCHY Klassisches Verfahren von RUNGE-KUTTA Randwertprobleme...187

12 10 Inhaltsverzeichnis Kleine Formelsammlung Mathematik downloaded from by on February 1, Lineare Differenzialgleichungssysteme Reihen, F- und L-Transformation Unendliche Reihen Summen einiger konvergenter Zahlenreihen Potenzreihen Numerische Berechnung von Reihen Zusammenstellung fertig entwickelter Reihen FOURIER-Reihen FOURIER-Integral, FOURIER-Transformation LAPLACE-Transformation Rechenregeln der LAPLACE-Transformation Lösung von gewöhnlichen Differenzialgleichungen Korrespondenzentabelle einiger LAPLACE-Integrale Stochastik Fehlerrechnung Korrelation, Regression, Ausgleichsrechnung Methode der kleinsten Quadrate (GAUSS) Lineare Korrelation, lineare Regression Beschreibende (deskriptive) Statistik Begriffe, Darstellung Mittelwerte (Lagemaße) Streuungsmaße Wahrscheinlichkeitsrechnung Begriffe, Relationen, Definitionen Regeln und Sätze der Wahrscheinlichkeitsrechnung Wahrscheinlichkeitsfunktion,Verteilungsfunktion Diskrete Zufallsvariable und ihre Verteilungen Stetige Zufallsvariable und ihre Verteilungen Mathematische (induktive) Statistik Intervallschätzung, Konfidenzschätzung Statistische Prüf- und Testverfahren, Signifikanztest t-verteilung, Student-Verteilung (Prüfverteilung) Verteilungsfunktion () xder N (,) 01-Verteilung Integraltabelle S Sachwortverzeichnis...238