Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt Semester ARBEITSBLATT 14. Systeme linearer Ungleichungen in einer Variablen

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1 ARBEITSBLATT 14 Systeme linearer Ungleichungen in einer Variablen Zunächst einmal können wir die Lösungen einer Ungleichung auf mehrere Arten angeben. Man kann wählen zwischen einer Ungleichungskette, einem logischen System von Ungleichungen und der so genannten Intervallschreibweise. Beispiel: Wir wollen alle Zahlen x zwischen und 6 angeben. a) Als Ungleichungskette: müssen die Zahlen also zwischen und 6 liegen. Man schreibt: < x < 6 (sprich: kleiner x kleiner 6) Kleinere Grenze Größere Grenze b) logisches System von Ungleichungen: Wir können uns obige Behauptung verbal auch so zerlegen, dass wir sagen, x muss kleiner als 6 und größer als sein. Entscheidend ist hier das Wort und. Und ist ein so genannter logischer Operator. Er verknüpft hier zwei Ungleichungen. Noch einmal genau aufgeschrieben, sind dies: x kleiner als 6 und x größer als 1.Ungleichung Logischer Operator 2.Ungleichung Und ist nicht der einzige logische Operator. Oder ist der zweite O- perator, den wir benötigen. Für diese logischen Operatoren hat man nun eigene Zeichen eingeführt: Definition: Der logische Operator und wird gekennzeichnet durch: Der logische Operator oder wird gekennzeichnet durch: 1

2 Wir können also unsere Ungleichungskette folgendermaßen schreiben: x kleiner als 6 und x größer als ( x < 6 ) ( x > ) Die Bedeutung dieser logischen Operatoren wollen wir uns noch etwas näher betrachten. Was bedeutet also ( x < 6 ) ( x > ) genau. Die Erklärung dazu liefert ein mathematisches Teilgebiet: die Mengenlehre. Stellen wir uns alle x, die kleiner als 6 sind als Menge A vor. Alle x, die größer als sind, als Menge B. Nun veranschaulichen wir diese Mengen: -0,8 A 2, 0 1, ,11 4,2 6 5,1 6,8 8,6 B ,99 9, Durchschnittsmenge A B Wir erkennen also, dass der logische Operator und immer die Durchschnittsmenge von Bedingungen (bzw. Mengen) bildet. Satz: Der logische Operator UND bildet stets die Durchschnittsmenge. Nun schauen wir uns noch den logischen Operator oder an. Nehmen wir als Beispiel die Ungleichungskette ( x < 5 ) ( x > 2). Die Frage ist also, welche x sind größer als 2 und größer als 5? Zunächst einmal müssen wir die Bedeutung von oder noch etwas klarstellen. Während in der Sprache oder ausschließend benutzt wird, ist es in der Mathematik einschließend. Wenn wir also sprachlich oder verwenden, meinen wir eigentlich entweder... oder. Dies bedeutet, es kann nur einer der beiden Aussagen richtig sein. In der Mathematik können hingegen auch beide Aussagen richtig sein. Ein kleines Beispiel: Die Frage Willst du ein Cola oder einen Saft?, bedeutet sprachlich: Ich kann ein Cola nehmen oder einen Saft aber nicht beides. Mathematisch könnte ich ein Cola, einen Saft oder aber beides nehmen. 2

3 Nachdem dies geklärt ist, stellen wir wieder unsere Ungleichungskette als Mengen dar. A seien alle Zahlen kleiner 5. B seien alle ( x < 5 ) ( x > 2) Zahlen größer als 2. Einfachheit halber lassen wir hier nur ganze Zahlen zu A B Da jeder Wert Lösung ist, der zumindest Element von einer der Mengen ist, sind also beide Mengen zusammen, das Ergebnis von A B. Man nennt dies die Vereinigungsmenge. x < 5 x > 2 = Bei uns würde dies also alle ganzen Zahlen ergeben: ( ) ( ) Z Satz: Der logische Operator ODER bildet stets die Vereinigungsmenge. c) Intervallschreibweise Diese müssen wir zunächst einmal kurz erklären. Ich möchte zunächst einmal alle Zahlen von -2 bis 6 angeben, wobei -2 und 6 inkludiert sind. In der Intervallschreibweise schreiben wir einfach die untere und die obere Grenze durch einen Strichpunkt getrennt in eckige Klammern. Also: [-2;6] Von Bedeutung ist dabei, dass die Klammern nach innen gehen. Dies bedeutet, dass sowohl -2 als auch 6 Lösungen sind. Falls eine Grenze nicht mehr Lösung sein soll, lassen wir die Klammer nach außen gehen: Beispiel: Alle Zahlen größer als und kleiner gleich 5. ist nun keine Lösung mehr. Jede Zahl, die aber unendlich wenig größer als ist, ist bereits Lösung. Bei müssen wir also die Klammer nach außen gehen lassen. Die obere Grenze 5 ist hingegen eine Lösung, bei ihr muss die Klammer folglich nach innen gehen. Also: ];5] Beispiel: Alle Zahlen, die größer gleich 0 und kleiner als sind:

4 In diesem Fall ist 0 eingeschlossen, hingegen ausgeschlossen. Also: [0;[ Beispiel: Zurück zu unserem ursprünglichen Beispiel: Alle Zahlen zwischen und 6. In diesem Falle sind beide Grenzen ausgeschlossen. Also: ];6[ So, nun noch weitere Beispiele: Beispiel: x soll größer gleich 2 und kleiner als 8 sein. Schreiben Sie dies als Ungleichheitskette, Ungleichung mit logischen Operatoren und in Intervallschreibweise an. Ungleichheitskette: 2 x < 8 Ungleichung mit logischen Operatoren: ( x 2 ) ( x < 8) Intervallschreibweise: [2;8[ Beispiel: x soll größer als 5 oder kleiner gleich 0 sein. Schreiben Sie, wenn möglich, auf alle Arten an. Stellen wir uns die Lösung zunächst einmal auf der Zahlengeraden dar: Kleiner 0 Größer Da bei oder ja stets nach der Vereinigungsmenge gefragt wird, sind also beide Pfeile zusammen Lösungen. Ungleichungskette: Da es sich hier bei der Lösung nicht um einen durchgehenden Zahlenbereich handelt, ist es nicht möglich die Lösung in dieser Art anzugeben. x < 2 x > 5 Ungleichungskette: ( ) ( ) Intervallschreibweise: So, hier müssen wir noch eine Kleinigkeit dazulernen. Zunächst einmal besteht die Lösung ja aus zwei Mengen. Dieses Problem regeln wir aber einfach dadurch, dass wir beide Mengen mit oder verknüpft hintereinander schreiben. Schwieriger werden schon die beiden Mengen selbst. Beim ersten Teil der Lösung sind alle Zahlen kleiner als 0 Lösung, d.h. jede beliebig 4

5 kleine Zahl ist eine Lösung. Beim zweiten Teil sind alle Zahlen größer 5 Lösungen, also beliebig große Zahlen. Diese beliebig groß oder beliebig klein können wir aber nicht direkt durch Zahlen anschreiben. Wir müssen uns also dafür einen neuen Begriff einfallen lassen. Dass Werte beliebig groß werden können, bezeichnet man in der Mathematik als unendlich groß. Man schreibt dafür das Zeichen. Entsprechend schreibt man für unendlich klein. Auf der Zahlengerade dargestellt sieht dies also folgendermaßen aus: Beachten Sie dabei, dass Unendlich kein konkreter Zahlenwert ist, was bedeutet, dass oder nie Lösungen sein können. Die Intervallklammern müssen bei diesen Zeichen also stets nach außen gerichtet sein. ; 0 5; Als Lösung erhalten wir also: ] [ ] [ Beispiel: Schreiben Sie alle Zahlen kleiner gleich 2 auf alle drei Arten an: Ungleichungskette: < x 2 Ungleichungssystem mit logischen Operatoren: ( x > ) ( x 2) Intervallschreibweise: ] ;2] Übungen: Übungsblatt 14; Aufgabe 180 So nun sehen wir uns einmal an, wie man solche Ungleichungssysteme aber praktisch löst: 5

6 Beispiel: Löse das Ungleichungssystem in R: ( 2 x 5 < 9) ( x + 1> 10) Wir rechnen uns zunächst einmal für jede Ungleichung extra die Lösung aus: Rechnung Anmerkungen ( 2 x 5 < 9) ( x + 1> 10) 1.Ungleichung: +5 2.Ungleichung: -1 2 x < 14 x > 9 1.Ungleichung: : 2 2.Ungleichung: : x < x > Die Lösungen der ersten und der zweiten Ungleichung sind durch ein UND verbunden. Wir suchen also x, die sowohl die erste als auch die zweite Ungleichung erfüllen. Wir müssen also den Durchschnitt bilden. Dazu stellen wir uns die beiden Lösungen und den Durchschnitt auf der Zahlengerade dar. x < x > x< x> 0 Wir erkennen also, dass alle x zwischen und Lösungen sind, wobei und selbst keine Lösungen sind. Wir können die Lösungsmenge als Ungleichungskette oder in Intervallschreibweise angeben. L = x R < x < oder L = ; { } ] [ Anmerkung: Sie müssen bitte nicht immer beide Möglichkeiten angeben. Wählen Sie jene Art der Lösungsangabe, die ihnen sympathischer ist. Übung: Übungsblatt 14; Aufgabe 181 6

7 Beispiel: Löse die Ungleichungskette x 5 5x + x 1 in R. Wir müssen uns die Ungleichungskette zunächst einmal logisch aufspalten. Die Ungleichungskette besteht aus drei Bedingungen: x 5 5x + x 1 1. Bedingung 2. Bedingung. Bedingung Es muss ja nun verbal ausgedrückt gelten: (1. Bedingung 2. Bedingung) und (2. Bedingung. Bedingung) Dies schreiben wir nun mathematisch an: ( x 5 5x + ) ( 5x + x 1) Nun haben wir wieder ein Ungleichungssystem wie wir es bereits kennen. Rechnung Anmerkungen x 5 5x + 5x + x ) 1.Ungleichung: -5x 2.Ungleichung: -x 2x 5 4x Ungleichung: +5 2.Ungleichung: - 2x 8 4x 4 1.Ungleichung: : (-2) 2.Ungleichung: : 4 x 4 x 1 Die beiden Lösungen sind durch und verbunden. Folglich benötigen wir wieder die Durchschnittsmenge. Wir stellen dies wieder auf der Zahlengerade dar. ( ) ( 1 x 4 x 1 x 1 x Beachten Sie bitte, dass diesmal -1 und -4 in der Lösungsmenge enthalten sind. Wir erhalten also als Lösungsmenge:

8 { x R 4 x 1} oder L = [ 4 1] L = ; Übungen: Übungsblatt 14; Aufgabe 182 So, nun noch ein letztes Beispiel: Beispiel: Löse das Ungleichungssystem in R: x > x 4 < 8 x 2 < 20 Wir suchen Werte für x, die alle drei Ungleichungen erfüllen. Sie sollen also die 1. und die 2. und die. Ungleichung erfüllen. Wir merken schon, die einzelnen Ungleichungen sind logisch also mit UND verknüpft. Wir schreiben dies formal an: ( x > ) ( x 4 < 8) ( x 2 < 20) Nun lösen wir wieder jede Ungleichung für sich: x > x 4 < 8 x 2 < 20 ( ) ( ) ( ) 22 x > x < 12 x < Da die einzelnen Lösungen mit UND verknüpft sind, brauchen wir wieder die Durchschnittsmenge. Wir veranschaulichen uns dies auf der Zahlengerade: x > / x < 22 / x < 12 x<12 x<22/ x>/ Die Grenzen der Lösungsmenge / und 22/ sind selbst wiederum keine Lösung. Die Lösungsmenge lautet also: L = x R < x < oder L = ; Übung: Übungsblatt 14; Aufgabe 18 8

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