Sommersemester < 2 2 < 1+π = g,

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1 D. Garmatter C. Apprich, B. Krinn J. Hörner, M. Werth 7. Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik Sommersemester 04 M. Künzer M. Stroppel Lösungshinweise zu den Hausaufgaben: Aufgabe H 53. Gleichheitsproblem (a) Besitzt die Gleichung sin(x)+ = x mehrere reelle Lösungen? Lösungshinweise hierzu: Ja. Seien nämlich f(x) : R R : x x = e (ln)x und g(x) : R R : x sin(x)+. Mit ( π ( f(0) = > 0 = g(0), f = ) π π < < +π = g, ) f(π) = π > 3 > 0+π = g(π) hat die stetige (!) Abbildung f g : R R mindestens zwei Vorzeichenwechsel und damit hat f g nach dem Zwischenwertsatz mindestens zwei Nullstellen in R. (b) Seien die folgenden Funktionen gegeben: f : (0,+ ) R : x ln(x) und g : R R : x 4 x+cos(x)+. Zeigen Sie, dass die Gleichung f(x) = g(x) im Intervall (0, + ) mindestens drei Lösungen hat. Sie dürfen dabei benutzen, dass ln auf R + stetig ist. Lösungshinweisehierzu: Wirzeigen,dassdiestetige(!)Abbildung f g : (0,+ ) R mindestens drei Vorzeichenwechsel hat. Es gilt lim f(x) = < 4 g(x) und lim x 0+ x 0+ f(x) = + > g(x). x x An den Stelle x = π gilt An der Stelle x = π gilt f(x ) = ln(π) > 0 > π 4 = g(x ). f(x ) = ln(π) () < < 4 π = g(x ). Dabei gilt () mit e > (,7) > 7 > π. Also haben wir: f(x) g(x) ist kleiner 0 für x nahe 0, größer 0 für x = π, kleiner 0 für x = π, größer 0 für x nahe bei mit anderen Worten: die stetige Abbildung f g : (0,+ ) R hat mindestens drei Vorzeichenwechsel und damit nach dem Zwischenwertsatz auch mindestens drei Nullstellen, wie behauptet. Aufgabe H 54. Umkehrfunktionen Gegeben sind die Mengen M = R {,0, } und N = R {0} und die Funktionen f: M N: x x x, g: N M: x + 4x +. Seite

2 7. Gruppenübung Höhere Mathematik (a) Berechnen Sie f(g(x)). Ist g die Umkehrfunktion von f? + f(g(x)) = ( + 4x + 4x + ) = + ( + + 4x + 4x ) = x. + Nei Es reicht nicht zu zeigen, dass f(g(x)) = x für alle x N gilt. Wie in Definition.3.7festgelegt,mussmanebenfallsüberprüfen,dass g(f(x)) = x füralle x M ist. EsgiltbeispielsweiseanderStelle x = : g(f( )) = g( ) = =. (b) GebenSieTeilmengen Ñ N und M M soan,dassdiejeweiligeneinschränkungen von f und g Umkehrfunktionen voneinander sind. g(f(x)) = x = x + ( x ) () + x +. x + = x + (x + Schränktmanalso f auf M = { x R x > 0,x } M einund g auf Ñ = N, so sind die jeweiligen Einschränkungen von f und g Umkehrfunktionen voneinander. Denn es gilt für x > 0 Bestimmen Sie lim g(x). g(f(x)) = x lim g(x) 4x x = 0. + x + x = x. ( )( + 4x x 4x ++ x 4x ++ ) 4x ++ (d) Skizzieren Sie die Graphen von f und g und markieren Sie die Graphen der Einschränkungen aus (b). Lösungshinweise hierzu: Wir bezeichnen die Einschränkung von f auf M mit q: M R: x x. Dann sind im linken Bild die Funktionen f und g zu sehen x und im rechten Bild ist die Einschränkung q in grün dargestellt. ) Seite

3 7. Gruppenübung Höhere Mathematik 5 4 f(x) g(x) 5 4 f(x) g(x) q(x) Aufgabe H 55. Potenzreihen Geben Sie für die folgenden Potenzreihen die Koeffizienten a j und den Entwicklungspunkt z 0 für die Darstellung in der Form von Definition.4. an. Bestimmen Sie den Konvergenzradius. Geben Sie an, für welche z R die Reihen konvergieren: (a) n= n= ( nz) n( z n ) n+ (b) (n)! (z +3 i) n (d) (n ) zn n= ( 5 (z 6iz 9) Lösungshinweise hierzu: Eine Potenzreihe hat nach Definition.4. die Darstellung a j (z z 0 ) j, d.h. die Reihen müssen entsprechend umgeformt werden. (a) ( nz) n( z ) n+ = ( ) n n n n= j=0 n= (z 0)n+ Somit ist z 0 = 0 und a j = ( )n für j = n+,n N und sonst a n j = 0. j Da lim j aj n+ n /n = ist der Konvergenzradius =. Gesonderte Randbetrachtung: Sowohl für als auch für ergibt sich die alternierende harmonische Reihe. Die Reihe ist also für die Randpunkte konvergent und das reelle Konvergenzintervall ist [, ]. (b) Die Reihe muss nicht umgeformt werden. Es ist z 0 = 0, a 0 = 0 und a j = j!,j > 0. (j ) Die Quotienten der Koeffizientenfolge sind a j+ (j +)! (j) a j = = j + (j+) j! = j + 0 j+ j } {{ j+ } und somit ist der Konvergenzradius = und die Folge auf ganz R konvergent. ) n Seite 3

4 7. Gruppenübung Höhere Mathematik (d) n= (n)! (z +3 i) n = n= Somit ist a 0 = 0, a j = (j)!,j > 0 und z j! 0 = 3+ i. Mit dem Quotientenkriterium folgt aus a n+ a n = ((n+))! (n+)! (n)! = (n+)(n+) n+ (n)! (z ( 3+ i) n = 4n+ +, der Konvergenzradius = 0 und es gibt kein z R, für das die Reihe konvergiert. lim j ( ) n 5 (z 6iz 9) = 3i)n 5n(z Hier ist also z 0 = 3i und a j = 5 j für j = 6,8,... und sonst a j = 0. Mit dem Wurzelkriterium folgt aus j a j n a n /5 = /5 n n der Konvergenzradius = 5. Gesonderte Randbetrachtung: Der Kreis um 3i mit Radius 5 schneidet die reelle Achse bei 4 und 4, und für beide Werte haben dann alle Reihenglieder den Betrag, bilden also keine Nullfolge. Das reelle Konvergenzintervall ist somit ( 4, 4). Aufgabe H 56. Potenzreihen? Gegeben sind die Reihen f(z) = (z z +) k und g(z) = k (a) Bestimmen Sie die Reihenwerte f(0),f(),g(0),g(). (z z ) k. k (b) Bestätigen Sie mit Hilfe der Dreiecksungleichung, dass für zwei Punkte a und b in einem Kreis auch deren Mittelpunkt (a + b)/ im selben Kreis liegt: a,b,z 0 C, r R + : a U r (z 0 ) b U r (z 0 ) = a+b U r (z 0 ). Formen Sie f(z) in eine Potenzreihe um. Begründen Sie mit Hilfe der ersten beiden Aufgabenteile, warum f() konvergiert, ohne die Reihe selbst zu untersuchen. (d) Überprüfen Sie, dass g() nicht konvergiert. Begründen Sie damit und mit den ersten beiden Aufgabenteilen, dass sich g(z) nicht in eine Potenzreihe umformen lässt. Lösungshinweise hierzu: (a) Es ist f(0) = f() = (/) k und der Grenzwert dieser geometrischen Reihe ist /( /) =. Des weiteren ist g(0) = g() = ( /) k und der Grenzwert dieser geometrischen Reihe ist /(+/) = /3. Seite 4

5 7. Gruppenübung Höhere Mathematik (b) Mit der Dreiecksungleichung folgt a+b z 0 = a z 0 + b z 0 a z 0 + b z 0 = a z 0 + b z 0 < r +r = r. Der Mittelpunkt (a+b)/ hat somit einen Abstand von z 0 der kleiner als r ist, liegt also im Kreis. f(z) = k (z z +) k = k (z )k. Potenzreihen haben einen Konvergenzkreis. Da = (0 + )/, liegt im Kreis der auch 0 und enthält, und da f dort konvergiert, muss es dies auch an tun. (Da 0, und auf einer Geraden liegen, können Sie nicht alle auf dem Rand des Kreises liegen. D.h. auch wenn 0 und Kreisrandpunkte sind, ist im Kreisinneren.) (d) Setzt man in g ein ergibt sich ( ) k und diese Reihe konvergiert nicht (keine Nullfolge). Potenzreihen haben einen Konvergenzkreis. Da = (0+)/ liegt in jedem Kreis der auch 0 und enthält. Da g an 0 und konvergiert, nicht aber an, kann es keinen Konvergenzkreis geben und somit ist g keine Potenzreihe. Seite 5