Bonusmaterial Rechentechniken die Werkzeuge der Mathematik

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1 Bonusmaerial Rechenechniken die Werkzeuge der Mahemaik 3 Minuend minus Subrahend ergib...? Was haben Poenzen mi Einheien zu un? Was sind Ideniäen? 3.1 Rechenechniken und Indukion Mehr zu den Grundrechnungsaren Die Verknüpfung von Termen miels Rechenzeichen erfolg in einer dreisufigen Hierarchie: In der unersen Sufe sehen Addiion und Subrakion + und ), darüber Muliplikaion und Division und / ). Am höchsen in der Hierarchie der Rechenoperaionen sehen Poenzen und Wurzeln. Operaionen der höheren Hierarchiesufe werden zuers ausgeführ; so is ewa a b + c = a b) + c a b + c). Schreib man für das Divisionszeichen sa / lieber :, so kann man das Ausführen von Muliplikaion und Division vor Addiion und Subrakion kurz und einprägsam als Punk vor Srich formulieren. Divisionen werden auch gerne als Brüche geschrieben, und der Punk bei der Muliplikaion wird auch of weggelassen, wenn keine Missversändnisse zu befürchen sind: a b = ab aber nich 2 2 = 22 Die Bezeichungen der bei den Grundrechenaren vorkommenden Größen sind in Tabelle A3.1 zusammengefass. Beide Geseze haben für Subrakion und Division keine Güligkei: a b c) a b) c und a b b a Will man die Reihenfolge in der Ausführung der Rechenoperaionen anders feslegen, so wird das ganz allgemein durch Klammern angezeig. Davon gib es für diesen Zweck drei Aren, von denen die runden am häufigsen verwende werden, selener eckige oder geschwungene. Achung: Neben der Aufgabe, die Reihenfolge von Rechenoperaionen zu srukurieren, haben Klammern in der Mahemaik noch viele andere Aufgaben. So haben wir ewa bereis die Mengenschreibweise mi geschwungenen Klammern kennengelern, und späer werden wir noch auf andere Objeke soßen, ewa Folgen, die ebenfalls miels Klammern gekennzeichne werden. Für die Klammern, mi denen die Reihenfolge von Rechenoperaionen fesgeleg wird, is die genaue Ar egal. Beispielsweise is a {b+ c + d ) n } = a [b+[ c + d ] n ]. Allerdings haben in Compueralgebrasysemen unerschiedliche Klammern of ganz unerschiedliche Bedeuungen. Das Gleiche gil für Programmiersprachen, bei denen man meis ebenfalls genau zwischen den verschiedenen Klammerypen unerscheiden muss. Tabelle A3.1 Die Grundrechenaren Grundrechenar Glieder der Rechnung Ergebnis Addiion Summand + Summand Summe Subsrakion Minuend Subrahend Differenz Muliplikaion Fakor Fakor Produk Division Dividend / Divisor Quoien Für Addiion und Muliplikaion gelen das Kommuaivgesez a + b = b + a a b = b a und das Assoziaivgesez a + b + c) = a + b) + c a b c) = a b) c. Vorzeichen sind beliebe Fehlerquellen Vorzeichen auchen in nahezu allen Rechnungen auf, und ihre Handhabung birg eliche Fehlerquellen. Vor allem beim Auflösen von Klammern kann sehr leich ewas schiefgehen. Als Erinnerung bringen wir an dieser Selle nochmals eine kleine Muliplikaionsabelle für Vorzeichen: In Woren lies sich das ewa: Minus mal Minus is Plus.

2 2 3 Rechenechniken die Werkzeuge der Mahemaik? Wo wird in folgender Rechnung der Fehler gemach: ab c = 1) 1) ab c = a) b) = ab c) c = ab c Gib es Zahlen a, b, c, für die die obige Rechnung richig is? Unerschiedliche Vorzeichen auchen of beim Wurzelziehen, der Umkehrung des Poenzierens auf. Da 2 = ) 2 is, schreib man für die Lösung der Gleichung 2 = a kurz =± a. Das bedeue nichs anderes als = a oder = a. Das Doppelvorzeichen ± is generell sehr prakisch, um den Fall unerschiedlicher Vorzeichen einheilich abzuhandeln. Sein Konerpar is, das dann aufri, wenn ein Ausdruck mi Doppelvorzeichen noch einmal ein zusäzliches negaives Vorzeichen erhäl: a b ± c) = a b c Diese Konvenion is nüzlich, um verfolgen zu können, welche Lösung nun mi dem ursprünglichen posiiven bzw. negaiven Vorzeichen korrespondier. Gefährlich sind Doppelvorzeichen allerdings dann, wenn mehr als eines davon in einem Ausdruck oder einer Gleichung vorkomm, denn dann muss man wissen, ob die beiden unabhängig voneinander sind oder zusammengehören. Beispiel Haben wir = a ± b erhalen, so ri in 2 = a ± b) 2 = a ± b) a ± b) = a 2 ± 2 ab+ b 2 sicher zweimal das gleiche Vorzeichen auf, es gib also nur zwei Möglichkeien, die man wieder miels Doppelvorzeichen zusammenfassen kann. Sind hingegen = a ± b und y = c ± d unabhängig voneinander, so gib es für das Produk yvier Möglichkeien: ac+ ad+ bc+ bd für +, + ac ad+ bc bd für +, y= a ± b) c ± d) = ac+ ad bc bd für, + ac ad bc+ bd für, In solchen Fällen solle man sich die Verwendung von Doppelvorzeichen gu überlegen und auf jeden Fall auf die Unabhängigkei eplizi hinweisen. Spezielle Schreibweisen sind eng mi Gleichungen oder Ungleichungen verwand Gelegenlich söß man auf Ausdrücke, die zwar wie Gleichungen oder Ungleichungen aussehen, im srengen Sinne aber nich unbeding welche sind oder noch spezielle Zusazforderungen sellen. Definiionen: Ein Ausdruck wie sinh := e e bedeue, dass die linke Seie hier ers definier wird. Man brauch sich also nich den Kopf zu zerbrechen, warum um alles in dieser Wel diese Gleichung richig sein soll. Der Doppelpunk auf der Seie des gerade definieren Ausdrucks hilf, Missversändnisse zu vermeiden, er kann aber auch weggelassen werden. Die Definiion sieh dann aus wie eine ganz normale Gleichung. Analog kann man auch =: verwenden, definier wird immer jener Ausdruck, der auf der Seie des Doppelpunkes seh. Allerdings söß man diesbezüglich in der Lieraur gelegenlich auf Abweichungen. Ideniäen: Eine weiere Besonderhei, die einem bei der Beschäfigung mi Gleichungen bewuss sein solle, sind Ideniäen. Eine ypische Gleichung wäre z. B. +2 = 5. Für ein besimmes, nämlich = 3, sind linke und reche Seie gleich. Wie bereis besprochen gib es naürlich auch Gleichungen, die mehrere oder gar keine Lösung haben. Eine Ideniä hingegen wäre z. B. a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 cos 2 ϕ + sin 2 ϕ = 1. Diese Gleichungen werden von allen möglichen a und b bzw. ϕ erfüll. Reche und linke Seie sind immer gleich, ganz egal, was man einsez sie sind eben idenisch. Is so ewas der Fall, dann schreib man häufig auch wenn diese Schreibweise nich verbindlich is) sa einem normalen Gleichheiszeichen = das Ideniäszeichen. Auch in einem Rechenbeispiel, in dem z. B. eine Funkion y für alle Argumene null is, schreib man häufig y) 0 die Funkion verschwinde idenisch. Außerdem wird in manchen Büchern als Definiion im Sinne von := bzw. =: verwende. Dies mach allerdings selen Schwierigkeien, da ja eine Definiion ohnehin eine Ideniä fesleg. Kommenar: Darüber hinaus ha das Zeichen aber noch eine weiere Bedeuung: n mk) oder n m mod k bedeue: n is mi Res m durch k eilbar. Gelesen wird das: n is kongruen m modulo k. Auch wenn es selen Gelegenhei dazu gib, solle man doch aufpassen, dass man ein nich irgendwann einmal falsch auffass. Zusäzlich werden hier nun noch einige Symbole vorgesell, die zwar of verwende werden, mi denen man aber eher vorsichig sein solle. Während =, > und < klare Bedeuungen haben, gil das bei ungefähr gleich ), viel größer ) und viel kleiner ) nur beding. Für Lezere ha man als Fausregel, dass wenn man a b bzw. b a schreib, a b 100, zumindes aber a b > 10 sein solle. Dabei werden a und b beide als posiiv vorausgesez. Die genauen Krierien hängen naürlich von der 2

3 3.1 Rechenechniken und Indukion 3 Anwendung: Die Planck-Einheien Aus fundamenalen Naurkonsanen lassen sich auf eindeuige Ar eine Länge, eine Zeidauer und eine Masse konsruieren. Diese werden zu Ehren des großen Physikers Ma Planck meis als Planck-Einheien bezeichne. Drei der wohl fundamenalsen Naurkonsanen sind Vakuumlichgeschwindigkei c m s Wirkungsquanum h kg m 2 s Graviaionskonsane G m3 kg s 2, deren Were die Kausaliä, die Quanennaur unserer Wel und die Geomerie der Raumzei feslegen. Alle drei Konsanen sind dimensionsbehafe, das heiß, sie ragen einen Bezug zum verwendeen Einheiensysem, in unserem Fall dem SI, zu dessen Basiseinheien uner anderem auch der Meer, die Sekunde und das Kilogramm zählen. Derarige Einheiensyseme sind naürlich lezlich willkürlich, of hisorisch gewachsen, und je nach Zweckmäßigkei können ganz verschiedene Einheiensyseme zum Einsaz kommen. Aus den oben angegebenen Naurkonsanen lassen sich allerdings Einheien konsruieren, die eindeuig sind auch außerirdische Kuluren, die genügend enwickele naurwissenschafliche Kennnisse besizen, sollen dafür die gleichen Größen erhalen. Wir fordern lediglich, dass die Planck-Einheien l p, p und m p sich in der Form c α h β G γ mi reellen Eponenen α, β, γ schreiben lassen müssen. Allein diese Forderung leg sie eindeuig fes. Für die Planck-Länge ewa muss β γ = 0 α +2β +3γ = 1 α β 2γ = 0 sein. Die erse Gleichung führ sofor auf γ = β. Dami folg für die beiden anderen α +5β = 1 α 3β = 0. Addiion der beiden Gleichungen ergib β = 1/2, und das führ sofor auf α = 3/2 und γ = 1/2. Für die Planck- Länge erhalen wir demnach l p = c 3/2 h 1/2 G 1/2 = = = hg c 3 ) 1/ ) 3 ) / = ) 1/ ) 1/2 = = m. Auf analoge Ar erhäl man hg p = c s hc m p = G kg. Wir erhalen, wobei [...] für die physikalische Dimension einer Größe seh: [c α h β G γ ]=m α s α kg β m 2β s β m 3γ kg γ s 2γ = kg β γ m α+2β+3γ s α β 2γ Wir können naürlich nich ausführlich auf die iefere Bedeuung der Planck-Einheien abgesehen von ihrem poenziellen Wer bei der Kommunikaion mi Außerirdischen eingehen. Hier nur so viel: Die meisen Physiker vermuen, dass bei Längen kleiner als l p oder Zeien kürzer p unsere bekannen Naurgeseze ihre Güligkei verlieren. Die Rolle der Planck-Masse is ewas diffiziler, immerhin handel es sich dabei um die Masse, die ewa ein Sandkorn haben könne also nichs außerhalb der Allagserfahrung. Durch E = mc 2 ensprich aber jeder Masse eine Energie, und die Planck-Energie E p = m p c 2 is die größe Energie, die ein einzelnes elemenares Teilchen haben kann, ohne zu einem Schwarzen Loch zu kollabieren.

4 4 3 Rechenechniken die Werkzeuge der Mahemaik jeweiligen Problemsellung ab. Ähnlich is die Sache bei a b. Das soll besagen, dass der Unerschied zwischen a und b klein is, also a b min a, b ) is. Wir werden diese Symbole nur selen benuzen, am häufigsen noch zum Beispiel beim Runden von Zahlen. Dor kann man die Abweichung dadurch beliebig klein machen, dass man eine genügend große Zahl von Sellen berücksichig. Häng eine Aussage von mehreren naürlichen Zahlen ab, so kann der Indukionsbeweis für jede separa geführ werden, allerdings darf sich für die anderen dabei keine Einschränkung ergeben. Beispiel Wir wollen mi Indukion beweisen, dass a n, m = 3 n + 5 m + 7 n+m 1 für alle naürlichen Zahlen n und m durch zwei eilbar is. Weiere Anmerkungen zum Indukionsbeweis Wir halen noch einige Dinge fes, die einem bei der Beschäfigung mi der vollsändigen Indukion gelegenlich begegnen können: So kann es naürlich vorkommen, dass An) nich ab n = 1, sondern ab n = n 0 Z gülig is, dann muss man lediglich den Indukionsanfang ensprechend modifizieren, alles andere bleib gleich. Der Indukionsschri is meis schwieriger zu vollziehen, demensprechend wird das Haupgewich meis auf diesen geleg. Doch der Indukionsanfang is nich weniger wichig, es gib Behaupungen, die für alle n N falsch sind und für die sich der Indukionsschri rozdem durchführen läss. Beispiel So is ewa n k = 0 k=1 mi Sicherhei falsch. Nimm man aber an, es wäre für ein n richig, so ergib der Indukionsschri n+1 k = n + 1) k=1 n k=1 k Ann. = n + 1) 0 = 0. Dies zeig wieder, dass man mi einer falschen Annahme auf alles schließen kann. Of is man bei Indukionsbeweisen in Versuchung, nich An + 1) mihilfe von An) zu beweisen, sondern umgekehr Absieg sa Aufsieg ). Das is aber im Allgemeinen nich korrek, sondern nur dann, wenn man während der ganzen Rechnung lediglich Äquivalenzumformungen benuz ha. In diesem Fall läss sich der Schluss umkehren, ansonsen ha man die Aussage mi Indukionsanfang bei n 0 nur für n<n 0 bewiesen, was selen ineressan is. 1. Indukionsanfang, n = m = 1: Klarerweise is = 56 durch zwei eilbar. 2.a Indukionsannahme: 3 n + 5 m + 7 n+m 1 is für ein n und ein m durch zwei eilbar. 2.b Indukionsbehaupungen: 3 n m + 7 n+m+1 1 is durch zwei eilbar. 3 n + 5 m n+m+1 1 is durch zwei eilbar. 2.c Beweis der Behaupung: n n + 1: a n+1,m = 3 n m + 7 n+m+1 1 = 3 3 n + 5 m n+m 1 = 2 3 n n+m + 3 n + 5 m + 7 n+m 1 = 2 3 n n+m ) + 3 n + 5 m + 7 n+m 1 }{{}}{{} durch 2 eilbar l. Ann. durch 2 eilbar m m + 1: a n, m+1 = 3 n + 5 m n+m+1 1 = 3 n m n+m 1 = 4 5 m n+m + 3 n + 5 m + 7 n+m 1 = n n+m ) + 3 n + 5 m + 7 n+m 1 }{{}}{{} durch 2 eilbar l. Ann. durch 2 eilbar Beide Indukionsschrie haben keine Einschränkung bezüglich der jeweils anderen Variablen ergeben; dami is die Behaupung bewiesen. Diese spezielle Behaupung könne man naürlich auch ohne Indukion problemlos beweisen, indem man die Darsellung a n, m = 3 n + 5 m + 7 n+m 1 = 2 + 1) n ) m ) n+m 1 benuz. Jede Poenz ergib ausmuliplizier nur gerade Terme und eine Eins, wie man ewa anhand der binomischen Formel sofor sieh. Der gesame Ausdruck is also immer gerade.

5 3.1 Rechenechniken und Indukion 5 Anwendung: Bewegungs- und Mischungsaufgaben Zu den rickreichsen elemenaren Aufgaben, die auf Gleichungssyseme führen, gehören Bewegungs- und Mischungsaufgaben. Wir werden hier zwei eemplarische Beispiele aus diesem Bereich vorsellen und lösen. 1. Die beiden Säde A und B liegen 60 km voneinander enfern. Ein Radfahrer beweg sich konsan mi 20 km/h, ein Auo konsan mi 80 km/h. Der Radfahrer sare um 8 Uhr in A in Richung B. Um 9 Uhr fähr auch das Auo von A in Richung B los. Wann und wo ha es den Radfahrer eingehol? Der Radfahrer sez sich um 8 Uhr nach B in Bewegung, gleichzeiig fähr das Auo von B in Richung A los. Wann und wo begegnen sich die beiden? Wieder fähr der Radler um 8 Uhr von A nach B los, eine Sunde späer das Auo von B nach A. Wann und wo begegnen sie sich nun? Wann müsse das Auo in B losfahren, um den Radfahrer, der mi bewundernswerer Konsequenz um 8 Uhr in A aufbrich, auf halber Srecke zu begegnen? Nennen wir jeweils die Zei in Sunden, die sei 8 Uhr vergangen is, die Srecke in Kilomeern, die der Radfahrer, und y die Srecke, die das Auo zurückgeleg ha. Der Einfachhei halber werden wir im Folgenden die Einhei für die Zei und für die Geschwindigkei gleich 1 sezen.) Dann gil jeweils = 20, y = 80 1). Gleichsezen der beiden, = y, liefer die Gleichung 20 = 80 80, also 60 = 80, = 4/3. Die beiden reffen sich also 43 um 9 Uhr 20, und zwar = 20,d.h Kilomeer von A enfern. Hier haben wir = 20, y = 80, und die Gleichung + y = 60 zu lösen. Das ergib = 60, 100 = 60 und weier = 0.6. Die beiden reffen sich um 8 Uhr 36, und zwar zwölf Kilomeer von A enfern. Nun sollen = 20 und y = 80 1) die Gleichung + y = 60 erfüllen. Das ergib = 60, 100 = 140 und = 1.4. Diesmal reffen sich die beiden um 9 Uhr 24, genau 28 Kilomeer von A enfern. Für die leze Frage führen wir eine neue Größe ein, die Sarverzögerung 0. Nun wissen wir 20 = 30 und 80 0 ) = 30. Aus der ersen Gleichung erhalen wir = 30/20 = 3/2. Das sezen wir in die zweie Gleichung ein, 3/2 0 = 30/80, und erhalen 0 = 9/8. Das Auo muss also um 9 Uhr 7 und 30 Sekunden losfahren. Derarige Aufgaben lassen sich meis auch grafisch lösen. Dafür ragen wir auf einer Achse den Weg, auf der anderen die Zei auf. Eine Bewegung mi konsaner Geschwindigkei ensprich jeweils einer Gerade. In den ersen beiden Teilaufgaben geh es lediglich darum, den jeweiligen Schnipunk der beiden Geraden zu besimmen. Auch in der drien Teilaufgabe muss man lediglich den Schnipunk finden, in der vieren hingegen im bekannen Schnipunk die Gerade konsruieren. 2. Sie haben zwei große Flaschen mi Salzsäure, die eine 12%ig, die andere 36%ig. Wie viel Säure aus jeder der beiden Flasche benöigen Sie, um die folgende Menge an Säure in der geforderen Konzenraion herzusellen: 200 ml 24%ige Säure, 360 ml 30%ige Säure, 100 ml 45%ige Säure. Nennen wir die Menge an Säure aus der ersen Flasche und y die Menge aus der zweien, beide in Milliliern. Dann sind jeweils die folgenden Gleichungssyseme zu erfüllen: +y = 200, y = y). Vereinfach man die zweie Gleichung zu 0.12 = 0.12 y, so erkenn man sofor = y. Aus der ersen Gleichung lies man nun sofor = y = 100 ab. Man benöig also aus jeder Flasche 100 ml. Analog erhalen wir + y = 360 und y = y). Die zweie Gleichung schreiben wir zu 0.06 y = 0.18 um, und erhalen y = 3. Die erse Gleichung laue nun 4 = 360, also = 90. Man benöig also 90 ml aus der ersen und 270 ml aus der zweien Flasche. Hier erhalen wir +y = 100 und y = y). Umformen der zweien Gleichung liefer 0.09 y = 0.33.Da und y als Mengenangaben beide nich negaiv sein dürfen, würde nur noch = y = 0 diese Gleichung erfüllen, das is aber unverräglich mi + y = 100. Wie zu erwaren, läss sich durch Mischen keine Säure höherer Konzenraion erzeugen.

6 6 3 Rechenechniken die Werkzeuge der Mahemaik Anworen der Selbsfragen S. 2 Erweier man den Bruch mi 1), so erhäl man im Zähler für das Produk abein negaives Vorzeichen, nich für jeden einzelnen Fakor. Richig is die Rechnung nur für a = 0 oder b = 0, weil 0 = 0 is.