3 Multiple lineare Regression

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1 3 Multple lneare Regresson 3.1 Modell und Statstk a De Abhänggket ener Zelgrösse von ener Ausgangsgrösse kann n enem enfachen Streudagramm dargestellt werden. Oft wrd dadurch das Wesentlche des Zusammenhangs sofort schtbar. De ganze Methodk der enfachen Regresson wrd dann nur noch zur Erfassung der Genaugket von Schätzungen und Vorhersagen gebraucht n Grenzfällen auch zur Beurtelung, ob der Enfluss von X auf Y sgnfkant se. Wenn der Zusammenhang zwschen ener Zelgrösse und mehreren Ausgangsgrössen X (1), X (2),..., X (m) erfasst werden soll, rechen grafsche Mttel ncht mehr aus. Das Modell der Regresson lässt sch aber ohne Weteres verallgemenern zu Y = h x (1), x (2),..., x (m) + E. Über de zufällgen Fehler E macht man de glechen Annahmen we früher. Für h st de enfachste Form weder de lneare, h x (1), x (2),..., x (m) = β0 + β 1 x (1) + β 2 x (2) β m x (m). Se führt zum Modell der multplen lnearen Regresson. De Parameter snd de so genannten Koeffzenten β 0, β 1,..., β m der Ausgangs-Varablen und de Varanz σ 2 der zufällgen Abwechungen E. De Koeffzenten β 1, β 2,..., β m snd de Stegungen n Rchtung der x-achsen. Den Achsenabschntt (für de Y -Achse) bezechnen wr mt β 0 statt mt α we n der enfachen Regresson; das wrd später de Notaton verenfachen. b Im Bespel der Sprengungen wurde ncht nur n unterschedlcher Dstanz vom Messort gesprengt, sondern es wurden auch verschedene Ladungen verwendet (sehe Abbldung 1.1.b). Das multple lneare Regressonsmodell mt m = 2 Ausgangs-Varablen lautet Y = β 0 + β 1 x (1) + β 2 x (2) + E. Weder st ene lneare Bezehung ncht für de ursprünglchen Varablen, sondern wenn schon für de logarthmerten Werte plausbel. Wr verwenden also Y = log 10 Erschütterung, X (1) = log 10 Dstanz und X (2) = log 10 Ladung. Ene Formulerung des Modells, de der Programmengabe näher steht, lautet log10(ersch) = β 0 + β 1 log10(dst) + β 2 log10(ladung) + E. Verson WL Jan 200, c W. Stahel

2 3.1. MODELL UND STATISTIK 29 c d De üblche Schätzung der Koeffzenten β j erfolgt we n der enfachen Regresson über de Methode der Klensten Quadrate. Ihre Vertelung st mt Hlfe von Lnearer Algebra ncht schwerg zu bestmmen(anhänge 3.4 und 3.5), und darauf werden weder Tests und Vertrauensntervalle aufgebaut. Auch de Streuung σ 2 wrd auf de gleche Wese we vorher behandelt (sehe 2.2.n). Her wollen wr sofort de Interpretaton der Ergebnsse dskuteren. Ene Computer-Ausgabe für das Bespel der Sprengungen zegt Tabelle 3.1.d. (Es wurden zunächst von den sechs Messorten nur de ersten ver berückschtgt, de gut zuenander passen.) De Tabelle enthält de Schätzungen der Koeffzenten n der Kolonne Value, de geschätzte Standardabwechung des Fehlers und de nötgen Angaben für Tests, auf de wr glech zurückkommen. Coeffcents: Value Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) *** log10(dst) *** log10(ladung) * St.dev. of Error = on 45 degrees of freedom Multple R-Squared: F-statstc: on 2 and 45 degrees of freedom p-value 1.11e-1 Tabelle 3.1.d: Computer-Output für das Bespel der Sprengungen e Bevor wr P-Werte nterpreteren können, sollten wr überlegen, welche Fragen zu stellen snd. In den Bespelen könnten wr fragen (wenn es ncht so endeutg wäre), ob de Dstanz und de Ladung de Erschütterung, respektve de Basztät das Wachstum, überhaupt beenflussen. Allgemener: Beenflusst de Gesamthet der Ausgangsgrössen de Zelgrösse? De Nullhypothese lautet: Alle β j snd = 0. Den entsprechenden Test fndet man n den beden letzten Zelen der Tabelle 3.1.d. Es wrd ene Testgrösse gebldet, de ene F-Vertelung hat; man sprcht vom F-Test. Be ener enzgen Ausgangsgrösse st de Frage, ob se enen Enfluss auf de Zelgrösse hat, mt dem Test der Nullhypothese β = 0 zu prüfen. Der F-Test, der n Tabelle 2.3.e auch aufgeführt wrd, gbt n desem Fall mmer de gleche Antwort st äquvalent zum t-test, der dort besprochen wurde. f* De Testgrösse st T = ( SSQ (R) /m )/( SSQ (E) /(n p) ). Dabe st de Quadratsumme der Regresson SSQ (R) = SSQ (Y ) SSQ (E) de Dfferenz zwschen der Quadratsumme der Zelgrösse oder totalen Quadratsumme SSQ (Y ) = n =1 (Y Y ) 2 und der Quadratsumme der Fehler SSQ (E) = n =1 R2. Ferner st p = m + 1 de Zahl der Koeffzenten. Falls ken Achsenabschntt β 0 m Modell erschent, st p = m und SSQ (Y ) = n =1 Y 2. De Frehetsgrade der F-Vertelung snd m und n p. g Etlche Programme lefern auch ene so genannte Varanzanalyse-Tabelle. Tabelle 3.1.g zegt entsprechend ausführlchere Angaben für das Bespel der basschen Böden (1.1.g). In deser Tabelle wrd der genannte F-Test n der Zele Regresson ausgewesen; der P-Wert n deser Zele gbt Auskunft über de Sgnfkanz.

3 30 3 MULTIPLE LINEARE REGRESSION Coeffcents: Value Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) ph lsar Resdual standard error: σ = on n p = 120 degrees of freedom Multple R-Squared: R 2 = Analyss of varance Df Sum of Sq Mean Sq F Value Pr(F) Regresson m = 2 SSQ (R) = T = Resduals n p = 120 SSQ (E) = σ 2 = P-Wert Total 122 SSQ (Y ) = Tabelle 3.1.g: Computer-Output für das Bespel der basschen Böden mt Varanzanalyse-Tabelle und der m folgenden verwendeten Notaton h De Grösse Multple R-Squared st das Quadrat der so genannten multplen Korrelaton, der Korrelaton zwschen den Beobachtungen Y und den angepassten Werten (ftted values) ŷ = β 0 + β 1 x (1) + β 2 x (2) β m x (m). Man kann zegen, dass de nach Klensten Quadraten geschätzten Koeffzenten ncht nur de Quadratsumme der Resduen mnmeren, sondern auch de Korrelaton zwschen den angepassten Werten und den Beobachtungen der Zelgrösse maxmeren; der maxmale Wert st de multple Korrelaton. Das Streudagramm n Abbldung 3.1.h soll dese Korrelaton veranschaulchen. De quadrerte multple Korrelaton wrd auch Bestmmthetsmass genannt, da se den durch de Regresson bestmmten Antel der Streuung der Y -Werte msst, R 2 = SSQ (R) /SSQ (Y ) = 1 SSQ (E) /SSQ (Y ). De Frage nach dem Enfluss der enzelnen Varablen X (j) muss man genau stellen. Der t-wert und der P-Wert n derjengen Zele der Tabelle 3.1.d (oder des ersten Tels von 3.1.g), de X (j) entsprcht, prüft, ob dese Varable aus dem Modell weggelassen werden kann, also ob de Nullhypothese β j = 0 mt den Daten verträglch st. De letzte Spalte der Tabelle enthält de üblche symbolsche Darstellung der Sgnfkanz: Dre Sternchen *** für hoch sgnfkante Testergebnsse (P-Wert unter 0.1%), zwe Sternchen für P-Werte zwschen 0.1% und 1%, en Sternchen für gerade noch sgnfkante Ergebnsse (1% bs 5 %), enen Punkt für ncht ganz sgnfkante Fälle (P- Wert unter 10%) und gar nchts für Zelen mt P-Wert über 10%. Das erlechtert n grossen Tabellen das Auffnden von sgnfkanten Resultaten. Im Bespel der basschen Böden zegt sch unter anderem, dass de zwete Art der

4 3.1. MODELL UND STATISTIK log10(erschütterung) angepasste Werte Abbldung 3.1.h: Streudagramm der beobachteten und der angepassten Werte m Bespel der Sprengungen Erfassung der Basztät, also X (2), enen Tel der Varabltät von Y erfasst, der durch den ph-wert X (1) ncht erklärt wrd. De Frage, we stark X (2) für sch allen, ohne Konkurrenz von X (1), mt Y zusammenhängt, lässt sch mt ener enfachen Regresson beantworten und wrd m Computer- Output der multplen Regressonsrechnung ncht geprüft. j k l Mt den Angaben der Tabelle lässt sch auch en Vertrauensntervall für enen Koeffzenten β j angeben. Es hat we üblch de Form β j ± q se (βj), wobe β j und se (β j) n Tabelle 3.1.d unter Value und Std. Error zu fnden snd, während der krtsche Wert q = q t n n ener Tabelle der t-vertelung zu fnden st. Enge Programme geben de Vertrauensntervalle drekt an. Im Bespel der Sprengungen erhält man für den Koeffzenten von log10(dst) das Vertrauensntervall ± = ± = [1.289, ]. Nun st der Wert -2, den wr bsher als von der Theore vorgegeben dargestellt haben, ncht mehr m Vertrauensntervall enthalten. Der Wert -2 entsprcht der ungehnderten Ausbretung der Energe n dre Dmensonen de Energe st dann umgekehrt proportonal zur Kugeloberfläche und damt zum quadrereten Radus. Wenn de Energe an gewssen Schchten reflektert wrd, dann st ene wenger starke Abnahme mt der Dstanz plausbel. In desem Skrpt wrd ene neue Grösse engeführt, de enersets de Spalte t value ersetzt und anderersets de Berechnung der Vertrauensntervalle erlechtert. De t- Werte werden egentlch ncht mehr gebraucht, um den Test auf β j = 0 durchzuführen,

5 32 3 MULTIPLE LINEARE REGRESSION da ja de p-werte angegeben werden. Immerhn geben se ene andere Art der Stärke der Sgnfkanz an: Wenn se wesentlch grösser als etwa 2 snd, dann st der Effekt entsprechend stark geschert, denn das 95 %-Quantl ener t-vertelung mt ncht allzu wengen Frehetsgraden st ungefähr 2. Vor allem für klar sgnfkante Effekte kann das ene quanttatve Beurtelung erlechtern, da der p-wert dann enfach sehr klen wrd. Machen wr das exakt und führen den t-quotenten (t-rato) en, T j = β j se (β j) q (t k) = T / q (t k) De Stärke der Sgnfkanz wrd jetzt ncht mehr durch Verglech mt ungefähr 2, sondern mt exakt 1 beurtelt; wenn T j betragsmässg grösser als 1 st, st der Koeffzent sgnfkant. Tj sagt drekt, we wet nnerhalb oder ausserhalb des Vertrauensntervalls der Wert 0 legt m Verhältns zur halben Länge des Intervalls. Ist der Wert 0.8, so legt 0 nnerhalb des Vertrauensntervalls, und zwar um 20% sener halben Länge. Ist T j = 1.2, so legt 0 um glech vel ausserhalb des Intervalls. Anders ausgedrückt, ermöglcht T j, das Vertrauensntervall zu berechnen: De halbe Brete des Intervalls st β j / T j und deshalb das Vertrauensntervall selbst β j (1 ± 1/ T j ). Tabelle 3.1.l zegt ene Tabelle mt deser Grösse, bezechnet als sgnf und wr erhalten das Vertrauensntervall für den Koeffzenten von log10(dst) aus 1.511(1 ± 1/.75) = ± 0.224, ohne das Quantl der t-vertelung nachsehen oder abrufen zu müssen. De Tabelle enthält ausserdem ene Spalt mt den Frehetsgraden (df), de m gegenwärtgen Zusammenhang mmer glech 1 snd, und zwe weteren Grössen, de glech noch erklärt werden. Coeffcents: coef stcoef sgnf R2.x df p.value (Intercept) NA log10(dst) log10(ladung) St.dev. of Error = on 45 degrees of freedom Multple R-Squared: F-statstc: on 2 and 45 degrees of freedom p-value 1.11e-1 Tabelle 3.1.l: Resultat der S-Funkton regr für das Bespel der Sprengungen * Man könnte auch 1/ T j als neue Grösse enführen und würde damt de Bldung des Kehrwertes be der Berechnung des Vertrauensntervalls vermeden. Das wäre aber als Mass für de Sgnfkanz ungeegnet, da en schwacher Effekt zu ener unbegrenzten Zahl führen würde, während en sehr stark gescherter Effekt zu ener sehr klenen Zahl führt.

6 3.2. VIELFALT DER FRAGESTELLUNGEN 33 m Ene wetere nützlche Grösse für jede X -Varable, de von engen Programmen angegeben wrd, st der standardserte Regressons-Koeffzent ( stcoef n der Tabelle) β j = β j sd X (j) / sd Y. (sd steht für de Standardabwechung.) Es st der Koeffzent, den man erhält, wenn man alle X -Varablen und de Zelgrösse auf Mttelwert 0 und Varanz 1 standardsert und das Modell mt den neuen Grössen anpasst. In ener enfachen Regresson st de so standardserte Stegung glech der Korrelaton. In der multplen Regresson messen de standardserten Koeffzenten ebenfalls de Stärke des Enflusses der enzelnen Ausgangs-Varablen auf de Zelgrösse, unabhängg von den Massenheten oder Streuungen der Varablen. Ändert man X (j) um ene Standardabwechung sd X (j), dann ändert sch der geschätzte Wert der Zelgrösse um β j Standardabwechungen sd Y. n* Schlesslch erschent n der Tabelle unter der Spalte R2.x en Mass für de so genannte Kollneartät zwschen den X -Varablen. Wenn ene X -Varable stark mt den anderen zusammenhängt, führt das zu Schwergketen be der Interpretaton und zu grossen Ungenaugketen be der Schätzung der betroffenen Koeffzenten. Genaueres folgt n 5.3.l und 5.4. Das her verwendete Mass für dese Schwergket wrd bestmmt, ndem man de Regresson jeder X -Varablen X (j) gegen alle anderen X -Varablen durchführt und das entsprechende Bestmmthetsmass Rj 2 notert. Auch wenn ene X -Varable, als Zelgrösse verwendet, allen Annahmen des entsprechenden Regressonsmodells wdersprechen sollte, gbt das Bestmmthetsmass enen brauchbaren Hnwes auf das Problem der Kollneartät. Der Mnmalwert 0 sagt, dass X (j) mt den anderen Ausgangsgrössen ncht (lnear) zusammenhängt. Das Maxmum 1 trtt auf, wenn X (j) von den anderen X -Varablen vollständg lnear abhängt. In desem Fall trtt sogar en numersches Problem auf, da de Koeffzenten ncht mehr endeutg schätzbar snd (we n 3.2.f). En häufg verwendetes Mass für de Kollneartät st der Varance Inflaton Factor (VIF), der glech 1/(1 Rj 2 ) st. Sen Mnmum st 1; er kann belebg gross werden. 3.2 Velfalt der Fragestellungen a De Ausgangs-Varablen X (1) und X (2) snd n den Bespelen kontnuerlche Messgrössen we de Zelvarable. Das braucht allgemen ncht so zu sen. Im Modell der multplen Regresson werden kene enschränkenden Annahmen über de X -Varablen getroffen. Se müssen von kenem bestmmten Datentyp sen und schon gar ncht ener bestmmten Vertelung folgen. Se snd ja ncht enmal als Zufallsvarable engesetzt. b* Im Bespel der basschen Böden snd de Bodenwerte wohl ebenso zufällg we de Baumhöhen. Für de Analyse können wr trotzdem so tun, als ob de Basztät vorgegeben wäre. Ene formale Begründung besteht darn, dass de Vertelungen gemäss Modell als bedngte Vertelungen, gegeben de x (j) -Werte, aufgefasst werden.

7 34 3 MULTIPLE LINEARE REGRESSION c Ene Ausgangs-Varable kann bespelswese bnär, also auf de Werte 0 und 1 beschränkt sen. Ist se de enzge X -Varable, dann wrd das Modell zu Y = β 0 +E für x = 0 und Y = β 0 + β 1 + E für x = 1. Das Regressonsmodell st dann äquvalent zum Modell von zwe unabhänggen Stchproben, von denen en allfällger Untersched der Lage nteressert ene sehr üblche, enfache Fragestellung n der Statstk. Das seht man folgendermassen: Oft werden be zwe Stchproben de Beobachtungen mt zwe Indces versehen: Y k st de te Beobachtung der kten Gruppe (k = 1 oder 2) und Y k N µ k, σ 2. Es se nun x k = 0, falls k = 1 st, und x k = 1 für k = 2. Dann st Y k N β 0 + β 1 x k, σ 2, mt β 0 = µ 1 und β 1 = µ 2 µ 1. Wenn man de Beobachtungen weder mt enem enzgen Index durchnummerert, ergbt sch das Regressonsmodell mt der bnären x-varablen. d e Im Bespel der Sprengungen wurde de Messstelle je nach Arbetsfortschrtt verändert. Es st plausbel, dass de örtlchen Gegebenheten be den Messstellen enen Enfluss auf de Erschütterung haben. Betrachten wr zunächst den Fall von nur zwe Messstellen! En enfaches Modell lautet we n 3.1.b Y = β 0 + β 1 x (1) + β 2 x (2) + E, wobe X (1) de logarthmerte Dstanz se und X (2) de bnäre Varable, de de Messstelle bezechnet, bespelswese durch de Werte 0 für de erste und 1 für de zwete Messstelle. Das Modell beschrebt zwe Geraden y = β 0 + β 1 x (1) für de erste und y = (β 0 + β 2 ) + β 1 x (1) für de zwete Messstelle. Für bede Messstellen st de gleche Stegung β 1 wrksam; deshalb snd de beden Geraden parallel. Dass de Geraden parallel sen sollen, st ene Annahme, de n unserem Bespel recht plausbel erschent. Auf den allgemeneren Fall kommen wr zurück (3.2.u). Nun waren es aber ver Stellen, de we üblch n ener wllkürlchen Rehenfolge durchnummerert wurden. Es st snnlos, de so entstehende Varable Stellennummer als Ausgangs-Varable X (j) ns Modell aufzunehmen, da ene lneare Abhänggket der Erschütterung von der Stellen-Nummer kaum plausbel st. Ene solche Ausgangs-Varable mt nomnalem oder kategorellem Werteberech wrd auch Faktor genannt. Um se n en Regressonsmodell enzubezehen, führt man für jeden möglchen Wert (jede Stelle) ene Indkatorvarable en, { x (j) 1 falls te Beobachtung aus der j ten Gruppe, = 0 sonst.. En Modell für mehrere Gruppen j von Beobachtungen mt verschedenen Erwartungswerten µ j (aber sonst glecher Vertelung) kann man schreben als Y = µ 1 x (1) + µ 2 x (2) E mt unabhänggen, glech vertelten E. Setzt man µ j = β j, so steht das multple Regressonsmodell da, allerdngs ohne Achsenabschntt β 0.

8 3.2. VIELFALT DER FRAGESTELLUNGEN 35 Ene bnäre Varable, de ene Gruppenzugehörgket ausdrückt, wrd als dummy varable bezechnet. Ene nomnale Ausgangs-Varable führt so zu enem Block von dummy Varablen. f Im Bespel kommt deser Block zu den beden andern Ausgangs-Varablen hnzu (und de Nummererung j der X (j) mag sch dadurch verändern). Das Modell kann man so schreben: log10(ersch) = β 0 + β 1 log10(dst) + β 2 log10(ladung) + γ 1 St1 + γ 2 St2 + γ 3 St3 + γ 4 St4 + E g h En technscher Punkt: In desem Modell lassen sch de Koeffzenten prnzpell ncht endeutg bestmmen (vergleche 3.4.h). Es verändern sch nämlch de Modellwerte h x (1),...x (m) ncht, wenn man zu allen γ k ene Konstante dazuzählt und se von β 0 abzählt. Ene so gebldete Kombnaton von Koeffzenten passt also scher genau glech gut zu den Beobachtungen. Man sagt deshalb, de Parameter seen ncht dentfzerbar. Um de Sache endeutg zu machen, braucht man entweder Nebenbedngungen oder man lässt ene dummy Varable weg. Ene enfache Lösung besteht darn, γ 1 = 0 zu setzen oder, anders gesagt, de Varable St1 ncht ns Modell aufzunehmen. (In der Varanzanalyse werden wr auf das Problem zurückkommen und auch andere Abhlfen dskuteren.) De numerschen Ergebnsse zegt Tabelle 3.2.h. De t- und P-Werte, de zu den dummy Varablen St2 bs St4 angegeben werden, haben weng Bedeutung. Be unserer Wahl von γ 1 = 0 zegen se, ob der Untersched zwschen der entsprechenden Stelle und Stelle 1 sgnfkant se. Coeffcents: Value Std. Error t value Pr(> t ) Sgnf (Intercept) *** log10(dst) *** log10(ladung) * St * St St Resdual standard error: on 42 degrees of freedom Multple R-Squared: F-statstc: 41. on 5 and 42 degrees of freedom the p-value s 3.22e-15 Tabelle 3.2.h: Computer-Ausgabe m Bespel Sprengungen mt 3 Ausgangs-Varablen

9 3 3 MULTIPLE LINEARE REGRESSION Um de Idee grafsch veranschaulchen zu können, unterdrücken wr de Varable ladung, ndem wr nur Beobachtungen mt ladung=2. berückschtgen. Abbldung 3.2. zegt de Beobachtungen und das angepasste Modell: Für jede Stelle ergbt sch ene Gerade, und da für de verschedenen Stellen m Modell de gleche Stegung bezüglch der Varablen log(dst) vorausgesetzt wurde, snd de angepassten Geraden parallel. 2 log10(ersch) Stelle log10(dst) Abbldung 3.2.: Beobachtungen und geschätzte Geraden m Bespel der Sprengungen j Es gbt ene sehr nützlche verenfachte Notaton, n der solche Modelle aufgeschreben werden, de Modell-Formeln. Das Modell m Bespel wrd geschreben als log10(ersch) log10(dst) + log10(ladung) + St. De Indces, de Koeffzenten und der Fehlerterm werden weggelassen. Das Plus-Zechen hat jetzt natürlch ene andere Bedeutung als üblch; es verbndet ncht mehr Zahlen, sondern Ausgangs-Varable n ursprünglcher oder transformerter Form. De Sprache der Modell-Formeln egnet sch zur Engabe n Programm-Pakete. Für de Varable St muss dem Programm bekannt sen, dass es sch um ene nomnale Varable oder enen so genannten Faktor (sehe Varanzanalyse) handelt. Es konstruert sch dann de entsprechenden dummy Varablen selber. St st also en Term n der Modell-Formel, der ene ganze Gruppe von X -Varablen umfasst, de n hrer Bedeutung zusammengehören. In engen Programmen können n der Modellangabe kene Transformatonen festgelegt werden. Man muss dann zuerst transformerte Varable lersch=log10(ersch) und analog ldst und lladung erzeugen. Das Modell lautet dann lersch ldst + lladung + St.

10 3.2. VIELFALT DER FRAGESTELLUNGEN 37 k l De Ausgangsgrössen erschenen nun n verschedenen Formen, de wr mt verschedenen Ausdrücken bezechnen wollen: Ene Ausgangsgrösse oder Ausgangs-Varable st ene Grösse, von der angenommen wrd, dass se mt der Zelgrösse zusammenhängt, und für de deshalb ene geegnete Form gesucht wrd, n der se n das lneare Regressonsmodell enbezogen werden soll. Das kann n transformerter Form geschehen oder, wenn es ene nomnale Varable st, n Form mehrerer dummy-varablen. De X -Varablen, we se m lnearen Modell erschenen, nennt man auch Regressoren. En Term n der Modell-Formel kann en enzelner Regressor sen oder ene Gruppe von zusammengehörgen Regressoren, de als Enhet betrachtet werden. Neben den Faktoren werden solche Gruppen vor allem Wechselwrkungen mt Faktoren sen, de bald engeführt werden (3.2.t). Man wrd de Frage stellen, ob de Messstelle (St) überhaupt enen Enfluss auf de Erschütterung habe. Ken Enfluss bedeutet, dass de Koeffzenten aller entsprechenden Indkator-Varablen null snd, γ 1 = 0, γ 2 = 0, γ 3 = 0, γ 4 = 0. Den üblchen Test für dese Hypothese wollen wr allgemener aufschreben. m F-Test zum Verglech von Modellen. De Frage se, ob de q Koeffzenten β j1, β j2,..., β jq n enem lnearen Regressonsmodell glech null sen könnten. Nullhypothese: β j1 = 0 und β j2 = 0 und... und β jq = 0 Teststatstk: T = (SSQ(E) SSQ (E) )/q SSQ (E) /(n p) SSQ (E) st de Quadratsumme des Fehlers m klenen Modell, de man aus ener Regresson mt den verblebenden m q X -Varablen erhält, und p de Anzahl Koeffzenten m grossen Modell (= m + 1, falls das Modell enen Achsenabschntt enthält, = m sonst). Vertelung von T unter der Nullhypolthese: T F q,n p, F-Vertelung mt q und n p Frehetsgraden. Der Test hesst F-Test zum Verglech von Modellen. Allerdngs kann nur en kleneres Modell mt enem grösseren verglchen werden, n dem alle X -Varablen des klenen weder vorkommen, also mt enem umfassenderen Modell. Der früher besprochene F-Test für das gesamte Modell (3.1.e) st en Spezalfall: das klene Modell besteht dort nur aus dem Achsenabschntt β 0. ; n Zurück zur Prüfung des Enflusses ener nomnalen erklärenden Varablen: De besseren Programme lefern den entsprechenden Test glech mt, ndem se n ener Tabelle den F-Test für de enzelnen Terme n der Modellformel zusammenstellen (Tabelle 3.2.n). Df Sum of Sq RSS F Value Pr(F) log10(dst) e-12 log10(ladung) Stelle Tabelle 3.2.n: Tests für de Effekte der enzelnen Terme m Bespel der Sprengungen

11 38 3 MULTIPLE LINEARE REGRESSION Für de ersten beden erklärenden Varablen gbt dese Tabelle de gleche Auskunft we de vorhergehende (3.2.h). Der F Value st glech dem quadrerten t value von damals, und de entsprechenden Tests snd äquvalent. De drtte Zele verglecht das umfassende Modell mt dem Modell ohne St als erklärende Varable. Se zegt, dass der Enfluss der Stelle ncht sgnfkant st. o* Achtung! Oft wrd n ener genau glech aussehenden Tabelle en anderer Test durchgeführt, der m Allgemenen weng Bedeutung hat. Es wrd nämlch n der engegebenen Rehenfolge der Terme m Regressonsmodell schrttwese geprüft, ob der betreffende Term ene Verbesserung gegenüber dem vorhergehenden Modell, ohne desen Term, brngt. Nur für den letzten Term n der Tabelle erhält man also den gewünschten Test. p Wenn kontnuerlche Varable und Faktoren als Ausgangsgrössen m Modell stehen, muss man üblcherwese de nützlche Informaton aus zwe verschedenen Tabellen zusammensuchen: Aus Tabelle 3.1.d, lest man de Koeffzenten der kontnuerlchen Varablen ab und schaut sch auch hren P-Wert für den Test gegen β j = 0 an, und n der vorhergehenden Tabelle (3.2.n), de man extra verlangen muss, sucht man den P-Wert für de Faktoren. Das Resultat der Funkton regr zegt bedes n ener Tabelle (Tabelle 3.2.p). De geschätzten Koeffzenten des Faktors erschenen unterhalb der Haupttabelle. Call: regr(formula = log10(ersch) ~ log10(dst) + log10(ladung) + Stelle, data = d.spreng14) Terms: coef stcoef sgnf R2.x df p.value (Intercept) NA log10(dst) log10(ladung) Stelle NA NA Coeffcents for factors: $Stelle St.dev.error: on 42 degrees of freedom Multple R^2: Adjusted R-squared: NA F-statstc: 41.7 on 5 and 42 d.f., p.value: 3.22e-15 Tabelle 3.2.p: Ergebnsse der Funkton regr für das Bespel der Sprengungen q In den üblchen Darstellungen der Resultate (3.2.h) werden Koeffzenten für Faktoren n der glechen Tabelle we für kontnuerlche Varable gezegt. Je nach Coderung snd dese aber ncht de Effekte γ k der enzelnen Werte des Faktors (3.2.g), sondern kaum nterpreterbare Grössen, de als Koeffzenten von erzeugten Varablen auftreten. Für de Koeffzenten werden dann, we für de kontnuerlchen Varablen, t- und P- Werte angegeben, de nur be geegneter Coderung ( treatment oder sum n S) mt der entsprechenden Vorscht snnvoll zu nterpreteren snd.

12 3.2. VIELFALT DER FRAGESTELLUNGEN 39 r* De Spalte sgnf lefert für ene kontnuerlche Varable, we beschreben (3.1.l), das Verhältns T j zwschen dem geschätzten Koeffzenten und sener Sgnfkanzgrenze. De Grösse soll für Faktoren so defnert sen, dass se ene ähnlche anschaulche Bedeutung erhält. Es se (für rgendenen Test) de z-rato das Quantl der Standard-Normalvertelung, das dem P-Wert entsprcht, dvdert durch den entsprechenden krtschen Wert q (N ) 0.95 = 1.9, / T = q (N ) 1 p q (N ) (De t-rato für kontnuerlche Varable st zwar ncht genau glech desem Wert, aber für ncht allzu klene Anzahlen von Frehetsgraden sehr ähnlch.) Fox and Monette (1992) verallgemenern den Varance Inflaton Factor für Faktoren. Her wrd deser verallgemenerte VIF verwendet und n de R 2 -Skala umgerechnet nach der Formel R 2 = 1 1/VIF. s* Allgemenere Vergleche von Modellen können ncht automatsch erfolgen, da es zu vele Möglchketen gbt und das Programm de nteressanten kaum erraten kann. In umfassenden Programmen kann man de nteresserenden Vergleche angeben und erhält dann de gewünschten Testergebnsse. Sonst muss man sch de nötgen Quadratsummen aus zwe Computer-Ausgaben heraussuchen und mt der obenstehenden Formel den Wert der Testgrösse und den P-Wert bestmmen. t u Im Modell 3.2.f zegt sch der Enfluss der Stelle nur durch ene addtve Konstante. Der Wechsel von ener Messstelle zu ener anderen darf also nur zur Folge haben, dass sch de logarthmerten Erschütterungen um ene Konstante vergrössern oder verklenern; de Geraden n 3.2.d müssen parallel sen. Es st natürlch denkbar, dass der Zusammenhang zwschen Erschütterung enersets und Dstanz und Ladung anderersets sch zwschen den Stellen auf komplzertere Art unterschedet. Ene nahe legende Varante wäre, dass sch de Stegungskoeffzenten β 1 und β 2 für verschedene Messstellen unterscheden. Man sprcht dann von ener Wechselwrkung zwschen Dstanz und Stelle oder zwschen Ladung und Stelle. Das st ene allgemenere Frage als de folgende enfache, de mmer weder auftaucht. Snd zwe Geraden glech? Oder unterscheden se sch m Achsenabschntt, n der Stegung oder n bedem? Um dese Frage zu untersuchen, formuleren wr als Modell Y = α + β x + α g + β x g + E wobe g de Gruppenzugehörgket angbt: g = 0, falls de Beobachtung zur enen Geraden, g = 1, falls se zur anderen gehört. Für de Gruppe mt g = 0 entsteht de Gerade α + βx, für g = 1 kommt (α + α) + (β + β)x heraus. De beden Geraden stmmen n der Stegung überen, wenn β = 0 st. Se stmmen gesamthaft überen, wenn β = 0 und α = 0 gelten. (Der Fall enes glechen Achsenabschntts be unglecher Stegung st selten von Bedeutung.) Das Modell seht zunächst anders aus als das Grundmodell der multplen Regresson. Wr brauchen aber nur x (1) = x, x (2) = g und x (3) = x g zu setzen und de Koeffzenten α, β, α, β als β 0, β 1, β 2, β 3 zu bezechnen, damt weder de vertraute Form dasteht. De Nullhypothese β = 0 lässt sch mt der üblchen Tabelle testen. Der Test für α = 0 und β = 0 st en weterer Fall für den F-Test zum Verglech von Modellen.

13 40 3 MULTIPLE LINEARE REGRESSION v Das Bespel zegt, dass de x-varablen m Modell n rgendener Wese aus ursprünglchen erklärenden Varablen ausgerechnet werden können. So darf bespelswese auch X (2) = (X (1) ) 2 sen. Das führt zur quadratschen Regresson, Y = β 0 + β 1 x + β 2 x 2 + E. Abbldung 3.2.v zegt de Anpassung deses Modells m Bespel der basschen Böden (Beobachtungen mt ph> 8.5 wurden weggelassen). In glecher Wese können auch höhere Potenzen engeführt werden, was zur polynomalen Regresson führt. Höhe ph Abbldung 3.2.v: Quadratsche Regresson m Bespel der basschen Böden * Da jede glatte Funkton sch durch ene Polynom-Rehe annähern lässt, wrd de polynomale Regresson oft engesetzt, wenn man über de Art der Abhänggket zwschen ener erklärenden Varablen und ener Zelgrösse kene Annahmen treffen wll. Es gbt dafür aber unter dem Stchwort Glättung oder smoothng oder nchtparametrsche Regresson geegnetere Methoden. w Nun geraten de Begrffe durchenander: Ene quadratsche Regresson wrd als (multple) lneare Regresson bezechnet! Das Wort lnear m Begrff der multplen lnearen Regresson bezeht sch ncht auf ene lneare Bezehung zwschen Y und den X (j), sondern darauf, dass de Koeffzenten lnear n der Formel vorkommen!

14 3.3. MULTIPLE REGRESSION IST MEHR ALS VIELE EINFACHE 41 x Deser Abschntt hat gezegt, dass das Modell der multplen lnearen Regresson vele Stuatonen beschreben kann, wenn man de X -Varablen geegnet wählt: Transformatonen der X - (und Y -) Varablen können aus ursprünglch nchtlnearen Zusammenhängen lneare machen. En Verglech von zwe Gruppen lässt sch mt ener zwewertgen X - Varablen, von mehreren Gruppen mt enem Block von dummy Varablen als multple Regresson schreben. Auf dese Art werden nomnale erklärende Varable n en Regressonsmodell aufgenommen. De Vorstellung von zwe verschedenen Geraden für zwe Gruppen von Daten kann als en enzges Modell hngeschreben werden das glt auch für mehrere Gruppen. Auf allgemenere Wechselwrkungen zwschen erklärenden Varablen kommen wr zurück (4..g). De polynomale Regresson st en Spezalfall der multplen lnearen (!) Regresson. 3.3 Multple Regresson st vel mehr als vele enfache Regressonen a b De multple Regresson wurde engeführt, um den Enfluss mehrerer erklärender Grössen auf ene Zelgrösse zu erfassen. En verlockender, enfacherer Ansatz zum glechen Zel besteht darn, für jede erklärende Varable ene enfache Regresson durchzuführen. Man erhält so ebenfalls je enen geschätzten Koeffzenten mt Vertrauensntervall. In der Computer-Ausgabe der multplen Regresson stehen de Koeffzenten n ener enzgen Tabelle. Ist das der wesentlche Vortel? De Überschrft über desen Abschntt behauptet, dass der Untersched der beden Ansätze mehrere enfache gegen ene multple Regressonsanalyse vel grundlegender st. Das soll m Folgenden begründet werden. Modfzertes Bespel der Sprengungen. Um Unterschede der beden möglchen Arten der Auswertungen zu demonstreren, wurde der Datensatz der Sprengungen auf de Stellen 3 und und Dstanzen klener als 100 m engeschränkt. Tabelle 3.3.b zegt de numerschen Resultate der enfachen Regressonen der logarthmerten Erschütterung auf de logarthmerte Dstanz und zum Verglech das Resultat der multplen Regresson mt den erklärenden Varablen log(dstanz), log(ladung) und Stelle. De enfache Regresson lefert enen völlg unplausblen Wert für den Koeffzenten der logarthmerten Dstanz, mt enem Vertrauensntervall von [ ± ] = [ 0.80, 0.53]. Mt dem multplen Modell ergbt sch für desen Koeffzenten en Intervall von [ ± ] = [ 1.45, 0.002], das mt den Ergebnssen verträglch st, de der gesamte Datensatz leferte (3.2.h).

15 42 3 MULTIPLE LINEARE REGRESSION () lm(formula = log10(ersch) ~ log10(dst), data = dd) Coeffcents: Estmate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) log10(dst) Resdual standard error: on 32 degrees of freedom Multple R-Squared: , Adjusted R-squared: F-statstc: on 1 and 32 degrees of freedom, p-value: () lm(formula = log10(ersch) ~ log10(dst) + log10(ladung) + stelle, data = dd) Coeffcents: Estmate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) * log10(dst) * log10(ladung) ** stelle Resdual standard error: on 30 degrees of freedom Multple R-Squared: 0.329, Adjusted R-squared: F-statstc: 4.85 on 3 and 30 degrees of freedom, p-value: Tabelle 3.3.b: Ergebnsse für de () enfache Regressonen der logarthmerten Erschütterung auf de logarthmerte Dstanz und für de () multple Regresson mt Dstanz, Ladung und Stelle. In Abbldung 3.3.b snd geschätzte Stegungen für de enfache Regresson engezechnet sowohl für bede Stellen zusammen als auch für de getrennte Auswertung. De beden weteren, parallelen Geraden haben de Stegung, de sch aus der multplen Regresson ergbt, und geben de angepassten Werte für ene mttlere Ladung weder. (De Wechselwrkung zwschen log10(dstanz) und der Stelle, de ener unterschedlchen Stegung der beden Geraden entsprcht, erwes sch als ncht sgnfkant.) c An künstlchen Bespelen lassen sch solche Effekte noch klarer veranschaulchen. In Abbldung 3.3.c snd für den Fall ener kontnuerlchen erklärenden Varablen X (1) und ener Grupperungsvarablen X (2) ver möglche Fälle aufgezechnet. De gestrchelten Geraden zegen das Modell, nach dem de Beobachtungen erzeugt wurden: Zwe parallele Geraden mt Stegung β 1 und enem vertkalen Abstand von β 2. De Beobachtungen der beden Gruppen tragen verschedene Symbole. De ausgezogene Gerade stellt das Resultat ener enfachen Regresson von Y auf X (1) dar; das schmale Rechteck am rechten Rand zegt den Untersched zwschen den Gruppenmttelwerten der Zelgrösse, was der enfachen Regresson von Y gegen X (2) entsprcht. De Gerade und das Rechteck zegen also das Resultat, das man erhält, wenn man de beden Regressoren X (1) und X (2) je mt enfacher Regresson abhandelt.

16 3.3. MULTIPLE REGRESSION IST MEHR ALS VIELE EINFACHE 43 log10(erschütterung) Regr. / Stellen enfache / bede enfache / St.3 enfache / St. multple, f. St.3 multple, f. St log10(dstanz) Abbldung 3.3.b: Daten des engeschränkten Bespels der Sprengungen (Stellen 3 und ) mt geschätzten Regressonsgeraden: De engezechneten Geraden stehen enersets für de enfachen Regressonen, für bede Stellen zusammen we auch separat gerechnet; anderersets erschenen zwe parallele Geraden, de de angepassten Werte gemäss multpler Regresson für ene mttlere Ladung für de beden Stellen wedergeben. De Ergebnsse der multplen Regresson snd ncht engezechnet; se wderspegeln das Modell zemlch genau. De ver Fälle zegen de Schwergketen der Interpretaton von enfachen Regressonen drastsch: (A) Bede Varablen haben enen postven Effekt, β 1 > 0, β 2 > 0. De geschätzte Stegung und der Untersched der Gruppenmttelwerte werden zu gross. (B) (C) (D) Ken Effekt der kontnuerlchen erklärenden Varablen X (1). De geschätzte Gerade erhält hre Stegung durch den Untersched zwschen den Gruppen. Entgegengesetzte Effekte, β 1 < 0, β 2 > 0. De geschätzte Stegung zegt enen postven Effekt der kontnuerlchen erklärenden Varablen X (1) auf de Zelgrösse, während er n Wrklchket negatv st! Her snd de Effekte so engerchtet, dass se sch gegensetg aufheben. Man wrd fälschlcherwese schlessen, dass kene der beden Varablen enen Enfluss auf Y hat. d Wenn wr uns das Modell der multplen Regresson vergegenwärtgen, wrd klar, we der Untersched zu den Ergebnssen der enfachen Regresson entsteht: Der Koeffzent β 1 bespelswese gbt an, um we vel sch der erwartete Wert der Zelgrösse erhöht, wenn X (1) um 1 erhöht wrd und alle anderen erklärenden Varablen glech bleben. Im Bespel blebt de Ladung und de Stelle glech; wr erhalten also de Stegung der Geraden nnerhalb der Stelle be konstanter Ladung und gehen, wenn de Wechselwrkung m Modell fehlt, davon aus, dass dese für bede Stellen glech st.

17 44 3 MULTIPLE LINEARE REGRESSION (A) (B) Y X2=0 X2= Y (C) (D) X (1) X (1) Abbldung 3.3.c: Enfache und multple Regresson für ene Grupperungsvarable (bnäre Varable) und ene kontnuerlche erklärende Varable Betrachten wr de enfache Regresson der Zelgrösse auf X (1), dann wrd sch de Bedeutung von β 1 ändern. De zwete ausgewählte Stelle wurde be grösseren Dstanzen erfasst als de erste und führte trotzdem tendenzell zu glech hohen Erschütterungen. Telwese lag das daran, dass auch stärker geladen wurde. Wenn X (1) um 1 erhöht wrd, kommen m Datensatz tendenzell Beobachtungen mt höherer Ladung und anderer Stellenzugehörgket zum Zuge, und daher snkt der Erschütterungswert kaum. De Effekte der erklärenden Varablen werden vermscht. e Ist ene kontnuerlche erklärende Varable X (2) mt X (1) postv korrelert, dann wrd sch be ener Erhöhung von X (1) um 1 erwartungsgemäss auch X (2) erhöhen, was enen zusätzlchen Effekt auf de Zelgrösse hat. (* Der Effekt, ausgedrückt durch den Koeffzenten β 2 m multplen Modell und dem Regressonskoeffzenten von X (2) auf X (1), β 21 = cov X (1), X (2) / var X (1), beträgt β 2 β 21.) Analoges glt, wenn X (1) sch für de verschedenen Werte ener nomnalen erklärenden Grösse X (2) m Mttel wesentlch unterschedet. Dese Betrachtung zegt allgemener, dass de Bedeutung der Regressonskoeffzenten prnzpell davon abhängt, welche erklärenden Grössen m Modell auftreten. Beachten Se, dass wr vom Modell gesprochen haben, dass also deses Problem ncht mt der Schätzung zusammenhängt.

18 3.3. MULTIPLE REGRESSION IST MEHR ALS VIELE EINFACHE 45 f g h j k Grundlegend für alle Wssenschaften st de Suche nach Ursache-Wrkungs-Bezehungen. Bekanntlch kann aus statstschen Korrelatonen ncht auf solche Bezehungen geschlossen werden. Dennoch besteht ene wchtge Anwendung der Regresson darn, Indzen für solche Bezehungen zu sammeln. Zwe Arten von Schlüssen snd üblch: Erste Schlusswese: Falls en Koeffzent n enem Regressonsmodell sgnfkant von Null verscheden st und ene ursächlche Wrkung der Zelgrösse auf de erklärende Grösse aus prnzpellen Überlegungen heraus ausgeschlossen werden kann (de Erschütterung kann de Dstanz zum Sprengort ncht beenflussen!), dann wrd des als Nachwes für ene vermutete ursächlche Wrkung der erklärenden Grösse auf de Zelgrösse nterpretert. Oft kommt aber ene Korrelaton zwschen ener erklärenden Varablen und der Zelgrösse dadurch zustande, dass bede von ener drtten Grösse Z verursacht werden. Des st besonders häufg, wenn de Daten als Zetrehe entstehen. De Zahl der Neugeborenen hat m 20. Jahrhundert n den hochentwckelten Ländern abgenommen. Das lässt sch gut mt der Abnahme der Störche erklären... De Zet st her ncht de egentlche Ursache der beden Phänomene, sondern de Ursachen für den Nedergang der Anzahl Störche und der Anzahl Babes haben sch mt der Zet ebenfalls verändert. De Zet kann dann de Ursachen n deser Betrachtung (telwese) vertreten. Solche Stuatonen werden auch als ndrekte Zusammenhänge, ndrekte Korrelatonen oder Schen-Korrelatonen bezechnet. Wenn de Grösse Z m Modell als erklärende Varable auftaucht, dann verfälschen de durch se erfassten ndrekten Wrkungen de Koeffzenten der anderen erklärenden Varablen ncht. Im Idealfall wrd man also alle denkbaren ursächlchen Varablen für de betrachtete Zelgrösse als erklärende Varable ns Modell aufnehmen; dann stellt en sgnfkanter Koeffzent von X (1) en starkes Indz für ene Ursache- Wrkungsbezehung dar. Ene noch bessere Bass für ene solche Interpretaton blden, wenn se möglch snd, geplante Versuche, n denen unter sonst glechen Bedngungen nur de fraglche Varable X (1) varert wrd. Dann kann man de Wrkung drekt messen. Am überzeugendsten st aber natürlch mmer noch der konkrete Nachwes enes Wrkungs- Mechansmus. Zwete Schlusswese: Wenn en Koeffzent ncht sgnfkant st, wrd des oft als Nachwes betrachtet, dass de entsprechende erklärende Grösse kenen Enfluss auf de Zelgrösse habe. Des st n mehrfacher Hnscht en Fehlschluss: We be allen statstschen Tests st de Bebehaltung der Nullhypothese ken Bewes, dass se glt. De vorher erwähnten Effekte von ncht ns Modell enbezogenen Enflussgrössen können auch dazu führen, dass ene ursächlche Wrkung durch ndrekte Zusammenhänge gerade kompensert wrd (vergleche das Bespel!). Der Enfluss ener erklärenden Grösse kann ncht-lnear sen. Dann kann man mt ener geegneten Transformaton (4.4, 4..c) oder mt Zusatztermen (4..d) zu enem genaueren Modell kommen.

19 4 3 MULTIPLE LINEARE REGRESSION l m n o De am klarsten nterpreterbare Antwort auf de Frage nach ener Wrkung ener erklärenden Varablen auf de Zelgrösse errecht man also, wenn man n enem geegnet geplanten Versuch de Varable gezelt verändert.... oder, falls das ncht geht, möglchst alle denkbaren ursächlchen Grössen ns Modell aufnmmt, de Lneartät der Zusammenhänge überprüft (sehe 4.4, 4.2.h), en Vertrauensntervall für den Koeffzenten lefert statt enes P-Wertes. Deses gbt be fehlender Sgnfkanz an, we gross der Effekt dennoch sen könnte. Indrekte Effekte, we se her als Gründe für falsche Interpretatonen angeführt wurden, können ncht vorkommen, wenn de erklärenden Grössen selbst ncht zusammenhängen wengstens ncht lnear genauer: wenn se orthogonal snd. Wr könnten von unkorrelert reden, wenn de erklärenden Grössen Zufallsvarable wären. Orthogonal hesst also: wenn wr trotz allem de emprsche Korrelaton zwschen den Varablen ausrechnen, so erhalten wr null. Wr kommen auf de Schwergketen von korrelerten erklärenden Varablen n 5.4 zurück. Wenn das möglch st namentlch be geplanten Versuchen st deshalb sehr zu empfehlen, de x (j) -Werte so zu wählen, dass de Orthogonaltät erfüllt wrd. Näheres wrd n der Versuchsplanung besprochen. Wenn alle erklärenden Varablen n desem Snne orthogonal zuenander snd, dann kann man zegen, dass de Schätzungen der Koeffzenten der enfachen Regressonen genau de geschätzten Werte des multplen Modells geben müssen. Trotzdem lohnt sch das multple Modell, da de geschätzte Standardabwechung der Fehler klener wrd und daduch de Vertrauensntervalle kürzer und de Tests eher sgnfkant werden. Zusammenfassend: En multples Regressonsmodell sagt mehr aus als vele enfache Regressonen m Falle von korrelerten erklärenden Varablen sogar vel mehr. 3.4 Modell und Schätzungen n Matrx-Schrebwese a Es st Zet, weder etwas Theore zu behandeln. Es wrd sch lohnen, auch für praktsch orenterte Leute. Se wollen ja ncht nur Rezepte auswendg lernen. Für Rezepte gbt es Bücher. Theore stellt Zusammenhänge her. Etlche Probleme, de n der praktschen Anwendung der Regresson auftreten können, lassen sch mt Hlfe der Theore besser verstehen. De Theore, de her folgt, zegt de Nützlchket von Lnearer Algebra, von Matrzen und Vektoren. Se werden de her engeführten Begrffe und Methoden n der multvaraten Statstk und be den Zetrehen weder antreffen. Bevor wr zufällge Vektoren und Matrzen betrachten, empfehlt es sch, de gewöhnlche Vektor- und Matrxalgebra n Ernnerung zu rufen. Was für de folgenden Abschntte wchtg st, fasst Anhang 3.A zusammen.

20 3.4. MODELL UND SCHÄTZUNGEN IN MATRIX-SCHREIBWEISE 47 b Das Modell der multplen Regresson, Y = β 0 + β 1 x (1) + β 2 x (2) wollen wr mt Hlfe von Vektoren und Matrzen formuleren β m x (m) + E, Dazu müssen wr zuerst den Begrff des Vektors von Zufallsvarablen oder der vektorellen Zufallsvarablen oder des Zufallsvektors enführen: Es handelt sch enfach um ene Zusammenfassung von mehreren Zufallsvarablen, Y 1 E 1 Y = Y 2 : und E = E 2 :. Y n E n Man verwendet also Spaltenvektoren. (Drucktechnsch platzsparender wären Zelenvektoren, und deshalb schrebt man oft den transponerten Vektor hn, Y = [Y 1,..., Y n ] T ; T steht für transponert.) c De Koeffzenten β j können wr auch als Vektor schreben, und de erklärenden Varablen x (j) zu ener Matrx zusammenfassen: β x (1) 1 1 x (2) 1... x (m) 1 β = β 2 x (1) : und X = 2 x (2) 2... x (m) 2... β m x (1) n x (2) n... x n (m) Schlesslch brauchen wr noch den Vektor, der aus lauter Ensen besteht, 1 = [1, 1,..., 1] T. Jetzt wrd das Regressonsmodell enfach zu Y = β X β + E. Was hesst das? Auf beden Seten des Glechhetszechens stehen Vektoren. Das -te Element des Vektors rechts st β j β jx (j) + E, und das st laut Modell glech dem -ten Element von Y. d De Vektor-Glechung st noch ncht ganz enfach genug! Damt β 0 noch verschwndet, erwetern wr X um ene Kolonne von Ensen und β um das Element β 0 : X = [ 1 X ] = 1 x (1) 1 x (2) 1... x (m) 1 1 x (1) 2 x (2) 2... x (m) x (1) n x (2) n... x n (m) β = [ β0 β ] = β 0 β 1 β 2 : β m Jetzt glt Y = X β + E. Wenn das Modell kenen Achsenabschntt enthält, setzen wr X = X und β = β.

21 48 3 MULTIPLE LINEARE REGRESSION e Auf das Modell folgt de Schätzung. In der enfachen Regresson haben wr das Prnzp der Klensten Quadrate angewandt. De Resduen, de zu enem Parameter- Vektor β gehören, snd R = Y (β 0 + j β j x(j) ). Wr können auch se zu enem Vektor zusammenfassen und erhalten R = Y X β. (Wenn β = β st, snd de R gerade de Zufalls-Fehler E.) De Summe der Quadrate R2 kann man schreben als Q β = R2 = RT R (und das st auch de quadrerte Norm des Vektors R). Desen Ausdruck wollen wr also mnmeren. Dass des aus dem Prnzp der Maxmalen Lkelhood folgt, wurde n 2.A.0.a gezegt. f Wr wollen dasjenge β fnden, für das Q β mnmal wrd, und es als Schätzung von β verwenden. Ene klare Schrebwese für dese Aufgabe, de man vermehrt verwenden sollte, st β = arg mn eβ Q β. Mnmeren läuft oft über Ableten und null Setzen. Man kann Regeln für Abletungen von und nach Vektoren herleten und ensetzen. Wr kommen aber auch mt gewöhnlchen Abletungen durch, wenn es auch etwas mühsam wrd. Es st Q β / β j = R2 / β j = 2 R R / β j und ( R / β j = Y (β 0 + )/ β jx (j) j ) β j = x (j) (wenn man x (0) = 1 setzt, glt des auch für j = 0), also Q β / β j = 2 R x (j) = 2 ( X T R) j. De Abletungen (für j = 0, 1,..., m) sollen glech 0 sen.

22 3.5. VERTEILUNG DER GESCHÄTZTEN REGRESSIONSKOEFFIZIENTEN 49 g Das können wr glech als Vektor hnschreben, X T R = 0. Ensetzen führt zu X T (Y X β) = 0 X T X β = X T Y. De letzte Glechung hat enen Namen: Se hesst de Normal-Glechungen es snd ja p Glechungen, n ene Vektoren-Glechung verpackt. Lnks steht ene quadratsche, symmetrsche Matrx, C = X T X, multplzert mt dem gesuchten Vektor β, rechts en Vektor, X T Y. Be der Auflösung deser Glechung macht sch de lneare Algebra erstmals rchtg bezahlt: Wr multplzeren de Glechung von lnks mt der Inversen von C, C 1, und erhalten β = C 1 X T Y. h Dazu müssen wr voraussetzen, dass C nverterbar oder ncht-sngulär (oder regulär oder von vollem Rang) st. Sonst? Sonst st de Lösung des Problems der Klensten Quadrate ncht endeutg, und man muss mt komplzerteren Methoden dahntergehen (mt verallgemenerten Inversen). Das Prnzp der Klensten Quadrate führt also ncht mmer zu ener endeutgen Lösung. Das st ncht nur en theoretsches Problem! Wenn C ncht nverterbar st, hesst das, dass das Regressons-Modell selbst schlecht formulert st, dass nämlch de Parameter ncht endeutg snd, also verschedene Parameter-Kombnatonen genau das gleche Modell festlegen. Man sprcht von ncht dentfzerbaren Parametern. Das Modell wrd dann besser so geändert, dass man weder endeutg wess, was en Parameter bedeuten soll. (Enen solchen Fall haben wr n 3.2.g angetroffen.) Das Problem kann auch fast auftreten. Wr kommen darauf unter dem Stchwort Kollneartät zurück (5.3.l). Schreben Se de letzte Formel für de enfache lneare Regresson (2.2.c) auf und zegen Se, dass se mt 2.2.c überenstmmt! Das st nützlch, um de allgemenere Formel besser zu verstehen und um etwas lneare Algebra zu üben. 3.5 Vertelung der geschätzten Regressonskoeffzenten a De geschätzten Regressonskoeffzenten lassen sch also n Matrxform sehr kurz schreben, β = C Y, C = C 1 X T. Wenn wr jetzt en Element β j des Vektors β herausgrefen, so lässt sch deses also auch als Summe ausdrücken, β j = n C j Y. =1 De C j snd feste Zahlen, de Y Zufallsvarable. We n der Enführung über Wahrschenlchketsrechnung gezegt wrd, st ene solche Lnearkombnaton von normalvertelten Zufallsvarable weder normalvertelt, und es blebt noch, den Erwartungswert und de Varanz zu bestmmen.

23 50 3 MULTIPLE LINEARE REGRESSION b Der Erwartungswert st gemäss der allgemenen Formel E a Y = a E Y glech E β j = n C j E Y = n C j =1 =1 k X(k) β k. Das seht sehr komplzert aus. Wr nehmen weder de Matrxrechnung zu Hlfe. De Doppelsumme st glech dem j ten Element von also glech β j. C X β = C 1 X T X β = C 1 C β = β, c Für de Varanz ener Summe von unabhänggen Zufallsvarablen lautet de allgemene Formel var a Y = a2 var Y. Ensetzen ergbt var β j = n k=1 ( ) 2 C jk var Yk = σ 2 n ( 2 C jk). k=1 De Summe der Quadrate st glech dem j ten Dagonalelement von C C T = C 1 XT (C 1 XT ) T = C 1 XT X(C 1 ) T = C 1 C(C 1 ) T = (C 1 ) T. Da C symmetrsch st (und wr soweso nur de Dagonalelemente betrachten), kann man das Transponeren weglassen. Also st var β j = σ 2 ( C 1) jj. d Mt etwas mehr Theore kann man auch Kovaranzen zwschen den geschätzten Koeffzenten β j erhalten. Dese Überlegungen gehören zum Thema der Multvaraten Statstk und werden m entsprechenden Block behandelt.

24 3.A. ANHANG: GRUNDBEGRIFFE DER LINEAREN ALGEBRA 51 3.A Anhang: Grundbegrffe der Lnearen Algebra a Matrzen. Matrx, genauer n m-matrx: a 11 a a 1m a 21 a a 2m A =... a n1 a n2... a nm Zelen = 1,..., n, Spalten j = 1,..., m. Elemente a j. Quadratsche Matrx: Gleche Anzahl Zelen und Spalten, n = m. Symmetrsche Matrx: Es glt a j = a j. Dagonale ener quadratschen Matrx: De Elemente [a 11, a 22,..., a nn ]. Dagonalmatrx: Ene, de nur aus der Dagonalen besteht, d j = 0 für j. D = d d d nn b Transponerte Matrx: Wenn man Zelen und Spalten ener Matrx A vertauscht, erhält man de transponerte Matrx A T : a 11 a a m1 A T a 12 a a m2 =... a 1n a 2n... a mn Bemerkungen: 1. Es glt offenschtlch (A T ) T = A (vgl. de zwemal gewendete Matratze). 2. Für symmetrsche Matrzen glt A T = A. c Vektoren. Vektor, genauer Spaltenvektor: n Zahlen, unter enander geschreben. b 1 b = b 2 : b n Elemente b.

25 52 3 MULTIPLE LINEARE REGRESSION d Transponerte Vektoren: Spaltenvektoren werden zu Zelenvektoren, wenn man se transponert: T b 1 b T = b 2 : = [b 1, b 2,..., b n ]. b n Drucktechnsch platzsparender als Spaltenvektoren snd Zelenvektoren, und deshalb schrebt man Spaltenvektoren oft als transponerte Zelenvektoren hn: b = [b 1, b 2,..., b n ] T. e Enfache Rechenoperatonen. Addton und Subtrakton: Geht nur be glechen Dmensonen. Man addert oder subtrahert de enander entsprechenden Elemente. Multplkaton mt ener Zahl (enem Skalar ): Jedes Element wrd multplzert. Dvson durch ene Zahl ebenso. Recht oft trfft man n der Statstk und anderswo auf so genannte Lnearkombnatonen von Vektoren. Das st en schöner Name für Ausdrücke der Form λ 1 b 1 + λ 2 b 2 + eventuell wetere solche Terme man addert Velfache der betelgten Vektoren. f Matrx-Multplkaton. Matrzen können nur multplzert werden, wenn de Dmensonen passen: C = A B st defnert, wenn de Anzahl Spalten von A glech der Anzahl Zelen von B st. Dann st Bespel: Bemerkungen: [ c k = m j=1 a jb jk ] ( 2) 10 0 = ( 1) ( 1) ( 2) = ( 2) Im Bespel st B A ncht defnert, da B 2 Spalten, A aber 3 Zelen hat. 2. Wenn A B und B A bede defnert snd, snd de beden m allgemenen verscheden, A B B A! Matrzen dürfen ncht vertauscht werden. 3. Es kann A B = 0 sen, obwohl weder A = 0 noch B = 0 st. 4. Es glt das Assozatvgesetz: (A B ) C = A (B C ) 5. Es glt das Dstrbutvgesetz: A (B + C ) = A B + A C und ebenso (A + B ) C = A C + B C.. Transponeren enes Produktes: Es st (A B ) T = B T A T Man muss also bem Transponeren de Rehenfolge vertauschen! 7. Das Produkt A A T st mmer symmetrsch.

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