INHALTSVERZEICHNIS DIENSTAG

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1 Luc Turi / Vorkurs Mthemtik / UNIZH - I - VORKURS MATHEMATIK 007 Dienstg: Linere Gleichungssysteme, Eponentilfunktion und Logrithmus, Trigonometrische Opertionen, Reelle Funktionen (Nullstellen und Schnittpunkte zweier Grphen) INHALTSVERZEICHNIS DIENSTAG LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME (LGS)...3. Ws sind linere Gleichungssysteme?...3. Ws sind Lösungen eines Gleichungssystems? Lösungsverfhren für linere Gleichungssysteme Ds Einsetzungsverfhren Ds Gleichsetzungsverfhren Ds Additionsverfhren Die Determinntenmethode, (Methode nch Crmer) Die Auflösung grösserer Gleichungssysteme Ds lösen von nicht-lineren Gleichungssystemen Verschiedene Gleichungssysteme, verschiedene Lösungswege... 8 EXPONENTIALFUNKTION UND LOGARITHMUS...9. Rechenregeln für Logrithmen Zehnerlogrithmus Berechnung von beliebigen Logrithmen Eponentilgleichungen..... Fll : Es gibt eine gemeinsme Bsis (Eponentenvergleich)..... Fll : Es gibt keine gemeinsme Bsis... 3 TRIGONOMETRISCHE OPERATIONEN REELLE FUNKTIONEN Die linere Funktion y m + q Qudrtische Funktionen Die Scheitelform der Prbel Weitere Grundfunktionen Die Betrgsfunktion Wechselwirkung zwischen Grfischem und Algebrischem Grfische Lösungsmöglichkeiten eines Gleichungssystems Zusmmenhng zwischen qudr. Funktionen & qudr. Gleichungen Die Nullstellen einer Funktion... 3

2 Luc Turi / Vorkurs Mthemtik / UNIZH - II Ungleichungen Qudrtische Ungleichungen... 6

3 Luc Turi / Vorkurs Mthemtik / UNIZH LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME (LGS). Ws sind linere Gleichungssysteme? Linere Gleichungssysteme bestehen us (oder mehr) lineren Gleichungen mit (oder mehr) Vriblen. Ein Beispiel: y y 7 0. Ws sind Lösungen eines Gleichungssystems? In einem solchen Gleichungssystem wie oben geht es drum, die Unbeknnten so zu bestimmen, dss mit dieser Whl beide Gleichungen erfüllt werden. Wenn wir für die Zhl 4 und für y die Zhl 6 wählen, so sind offenbr beide Gleichungen erfüllt: i Wir drücken ds b jetzt so us: { ( 4 6 ) } Lösungsverfhren für linere Gleichungssysteme.3. Ds Einsetzungsverfhren Beispiel: Mn löse ds folgende linere Gleichungssystem: Die Gleichung () wird nch y ufgelöst. () 7 8y 5 () 5 + 3y 7 8y y 7 y y : 8 5 Wird dieser Ausdruck für y in die Gleichung () eingesetzt, erhält mn eine Gleichung, in der nur noch die Vrible vorkommt :6 3

4 Luc Turi / Vorkurs Mthemtik / UNIZH Nun wird der ermittelte - Wert eingesetzt, um uch noch y zu berechnen. 7 5 y Ds Gleichungssystem ht somit die Lösungsmenge { (3 ) }..3. Ds Gleichsetzungsverfhren Beispiel: () + y 5 () y 0 Zuerst werden beide Gleichungen () und () nch y umgestellt. + y 5 y + 5 y + 5 : 5 + 6y 0 6y y :6 Jetzt können wir die beiden y -Werte miteinnder vergleichen (d.h. einnder gleichsetzen). In der so entstndenen Gleichung kommt nur noch die Vrible vor Um uch noch y zu ermitteln, setzen wir weiter oben bei y + 5 den Wert 5 ein. 5 y Ds Gleichungssystem ht lso die Lösung { (.5.5 ) }..3.3 Ds Additionsverfhren Beispiel: () + 3y () 8 y Zuerst muss mn eine der Gleichungen mit einem geeigneten Fktor multiplizieren. () + 3y () 8 y ( 4)

5 Luc Turi / Vorkurs Mthemtik / UNIZH Jetzt knn mn beide Gleichungen ddieren. Dbei werden jeweils verwndte Glieder der Gleichungen ddiert. Durch die Addition heben sich die - Werte uf und verschwinden us den Gleichungen. Es bleibt die folgende Gleichung für y : 4y 4 Nch y ufgelöst, ergibt ds: y 3 Der ermittelte y - Wert wird in die Gleichung () eingesetzt: Ds Gleichungssystem ht somit die Lösung { ( 3) }..3.4 Die Determinntenmethode, (Methode nch Crmer) Wenn wir ein lineres Gleichungssystem in zwei Gleichungen und zwei Vriblen betrchten, so hängen die Lösungen für die beiden Vriblen letztendlich von den Koeffizienten der Vriblen (, b,, b ) und den Zhlenwerten uf der rechten Seite ( c, c) b. Wir können die Lösungen für und y in diesem Gleichungssystem llgemein nführen: Ds Gleichungssystem () + b y c ht die Lösungen () + b y c Beweis ls Übung! c b b und c b b c y b c b Betrchtet mn diese llgemeinen Lösungen ein wenig genuer, so knn mn eine gewisse Regelmässigkeit in der Reihenfolge der unterschiedlichen Zhlenwerte feststellen. Im speziellen hben beide Lösungen den gleichen Nenner, der sich nur us den Koeffizienten der Vriblen zusmmensetzt. Diese Überlegungen führen dzu, bei einem Gleichungssystem vorerst nur die vorkommenden Koeffizienten zu betrchten:

6 Luc Turi / Vorkurs Mthemtik / UNIZH Mn bezeichnet ds System der Koeffizienten eines Gleichungssystems ls b (Koeffizienten-) Mtri A b Mn knn nun den Wert des Nenners der Lösungen ls den Wert der Koeffizientenmtri sehen; wegen seiner Bedeutung bezeichnet mn diesen Wert ls Determinnte. Unter der Determinnte eines Gleichungssystems versteht mn den Wert b D b b b Die Determinnte für die Koeffizientenmtri wird uch Huptdeterminnte gennnt. Die uftretenden Elemente der Produkte b und b stehen jeweils uf einer Digonle der qudrtisch ngeordneten Determinnte; mn bezeichnet die Elemente,b ls Huptdigonle und,b ls Nebendigonle. So wird die Berechnung der Determinnte zu Huptdigonle minus Nebendigonle. Betrchten wir weiter die Zähler der Lösungen, so hben uch diese die Form der Determinntenberechnung, wenn mn in der bisherigen Schreibweise die Koeffizienten für die zu berechnende Lösung einer Vriblen mit den konstnten Elementen c und c vertuscht. Mn bezeichnet diese neu gewonnenen Determinnten ls Zählerdeterminnten D und D y. Unter den Zählerdeterminnten c b D und Dy versteht mn: D c b c b und D c b y c c c Drückt mn nun die llgemeinen Lösungen des Gleichungssystems in zwei Vriblen mittels Determinnten us, führt dies zu folgender vereinfchter Schreibweise: c Ds Gleichungssystem () + b y c () + b y c ht die Lösungen D und D y D y D Beispiel: () 5y 7 ; Die Koeffizientenmtri lutet: () 3 + y A Die zugehörige Huptdeterminnte beträgt: D 3 ( 5) 9 3 Die zugehörigen Zählerdeterminnten sind: D 7 ( 5) 9 und D y

7 Luc Turi / Vorkurs Mthemtik / UNIZH Die Lösungen des Gleichungssystems sind dher: D 9 D y 9 und y D 9 D Die Auflösung grösserer Gleichungssysteme Ein Musterbeispiel: Mn bestimme die Lösungen des Gleichungssystems () 4 7 y + 3z 7 () (3) 4y + z 4 + y + z Schritt für Schritt schuen wir, dss zwei Vriblen wegfllen, bis nur noch eine Gleichung mit einer Vriblen vorkommt. Den erhltenen Wert setzen wir dnn weiter oben ein, um noch die restlichen Zwei Lösungswerte zu bestimmen. Konkrete Auflösung (Wir wählen hier ds Einsetzungsverfhren): Wir lösen die dritte Gleichung nch z uf: (3) z y + Wir ersetzen in der ersten und zweiten Gleichung z durch den Ausdruck y + () 4 7 y + 3( y + ) 7 () 3y 6 () 4y + ( y + ) 4 () 4 8y 36 Es liegt ein System mit zwei Gleichungen und zwei Unbeknnten vor. Dieses lösen wir wie gewohnt uf: Gleichung () nch uflösen: 6 3y und in () einsetzen: 4(6 3y) 8y 36 Auflösen: y ; Einsetzen: 6 3y 7; Einsetzen: z y + Lösung: { ( 7 ) } Es ist Ihnen nun vermutlich uch klr, wie Sie ein lineres System - sgen wir mit 0 Gleichungen und 0 Unbeknnten - uflösen können: Mn löst eine Gleichung nch einer Unbeknnten uf und setzt ds Ergebnis in den nderen 9 Gleichungen ein. Ddurch entsteht ein lineres System mit 9 Gleichungen und 9 Unbeknnten. Dieses führt mn uf ein System mit 8 Gleichungen und 8 Unbeknnten zurück und so fort, bis nur noch eine einzige Gleichung mit einer einzigen Unbeknnten übrig bleibt.. Nun berechnet mn rückwärts eine Unbeknnte um die ndere. Nur wird bei solch grossen Gleichungssystemen der Rechenufwnd entsprechend gross! Computer und moderne Tschenrechner können jedoch solche Gleichungssysteme mit geeigneten Algorithmen rsch berechnen. Es reicht den Rechner mit den Koeffizienten zu füttern und dieser knn dnn (z. B. mit dem sogennnten Guss-Algorithmus ) die Lösungen problemlos berechnen. Dhinter steckt die sog. Mtrizenrechnung. Aus Zeitgründen verzichten wir druf.

8 Luc Turi / Vorkurs Mthemtik / UNIZH Ds lösen von nicht-lineren Gleichungssystemen.4. Verschiedene Gleichungssysteme, verschiedene Lösungswege Beispiele: Vorgehensweise & Tipps:. 3 4 y + 9y y y Umordnen und in die Normlform bringen: y y... & mit einem der beknnten Verfhren lösen. {( )}. ( 5)( y + 6) ( 4)( y + 9) ( + 3)( y ) ( + )( y + ) {( 3)}, Vorgehensweise : y y 5 6 y 4 0 y + {(4 3)}, Vorgehensweise : y 5 + y Mit dem Huptnenner multiplizieren... und wir kommen in eine klssische SACKGASSE! (Wir kriegen rechts ein lästiges "y" ; Versuchen Sie s bitte!) Besser: Vrinte : Additionsmethode: Erste Gleichung ml (-) und zweite Gleichung ml 3. Dnn ddieren: Ds fällt weg y y + 3 Vrinte : Substitutionsmethode: u/ & v/y. Sie erhlten ein einfches LGS mit u und v. Dieses lösen und, um und y zu berechnen, zurücksubstituieren. (D.h. u/ nch uflösen & v/y nch y uflösen!) {(9 8)} Tipp für die Substitutionsmethode: u und v + 3 y + 3 Ntürlich liefert hier uch die Additionsmethode die gesuchte Lösung: {(- -)}

9 Luc Turi / Vorkurs Mthemtik / UNIZH EXPONENTIALFUNKTION UND LOGARITHMUS Stellen Sie sich vor, wie ein Kpitl uf einem Sprkonto wächst bei einem Zinsstz von, sgen wir, 3% pro Jhr. Wir nehmen n, ds Anfngskpitl sei K > 0 Frnken. Dnn ist es nch einem Jhr K K (.03) K Frnken, nch zwei Jhren (.03) (.03) K Frnken, usw., lso nch n Jhren (.03) n K Frnken. Stellen wir jetzt die umgekehrte Frge: wie lnge muss mn wrten, dmit sich ds Kpitl verdoppelt? Nun, genu l Jhre, wobei l eine Zhl ist, die (.03) K K und somit (.03) l l erfüllt. Aber wer sgt uns, dss es so eine Zhl gibt? Wenn dies zufällig für eine rtionle Zhl l gilt, dnn sind wir zufrieden. Versuchen wir es ml: (.03) 4.03, lso ist 4 zu gross, (.03) 3.97, lso ist 3 zu klein, 3+ / (.03).003, lso ist 3 + / zu gross, 3+ /4 (.03).988, lso ist 3 + /4 zu klein, usw. So mchen wir weiter, wobei wir jeweils ds Intervll, in dem ds l gesucht werden muss, hlbieren. Nun liegt genu eine reelle Zhl l in ll diesen Intervllen. Ist diese Zhl l rtionl, so knn mn l l zeigen, dss (.03) gleich ist. Ist sie ber nicht rtionl, so definieren wir (.03) ls gleich ; ds mcht Sinn nch obenstehenden Berechnungen. Wir schreiben l log. 03 : der Eponent, mit dem mn.03 potenzieren muss, um zu erhlten. Auf diese Weise lösen wir zwei Probleme: () Ist eine positive reelle Zhl und eine beliebige reelle Zhl, so ist b jetzt die reelle Zhl definiert, und die Rechenregeln für Potenzen mit rtionlen Eponenten sind uch für llgemeine reelle Eponenten gültig. () Sind, b positive reelle Zhlen mit, so gibt es eine eindeutige reelle Zhl l mit l b. Wir schreiben l log b, und nennen diese Zhl den Logrithmus zur Bsis von b.. Rechenregeln für Logrithmen Es gibt einige Rechenregeln, die mn einfch us den Rechenregeln fürs Potenzieren herleitet: Für, b, c > 0 und gilt: () log ( b c) log b + log c b () log log b log c c c (3) log ( b ) c log b

10 Luc Turi / Vorkurs Mthemtik / UNIZH Die letzte Gleichheit zum Beispiel sieht mn wie folgt ein: Nch Definition gilt: c c c b log b und b c log ( b ) c Somit gilt: log ( b ) c c log b.. Zehnerlogrithmus Auf Ihren Tschenrechner werden Sie keine Tste log b finden. D kommt nur die Tste «vor, und steht für den sogennnten Zehnerlogrithmus. Der Zehnerlogrithmus ist nichts nderes ls der Logrithmus zur Bsis 0. i Die Bsis 0 schreibt mn beim Zehnerlogrithmus nicht hin. Sttt log 0 schreiben wir bkürzend log. Beispiele: «0 ; «000 3; «5.398 ; « Wichtig ist nun genu zu verstehen, ws die vom Rechner ngegebenen Werte für eine Bedeutung hben: « ; « Die «-Tste ist keine Zubertste, die zu einer Zhl b eine beliebige Zhl usspuckt. Sie gibt zur Zhl b den eindeutigen Lösungswert der Gleichung 0 b. Wieso kommt ber nur die «-Tste vor? (Dmit können wir doch nicht 5 uflösen? Ws ist mit log 5?) Ds ht seinen Grund: Aus dem Zehnerlogrithmus, lso mit der «Tste, lässt sich ein Logrithmus zu einer beliebigen Bsis berechnen. Wie ds genu geht, werden wir gleich sehen... Berechnung von beliebigen Logrithmen Wenn wir lso die Gleichung 5 Wir werden sehen, dss ds nichts nderes ls lösen wollen, dnn lutet die Lösung zunächst ml log 5. log5 log ist und somit mit dem Tschenrechner be-.. rechnet werden knn. Ds Resultt lutet dnn: 39 i Begründung: 5 Links und rechts den (Zehner!)-Logrithmus nehmen. log( ) log 5 Links wenden wir die Logrithmenrechenregel (3) n: log ( b c ) c log b log log 5 kommt somit nicht mehr im Eponenten vor! Wir dividieren :log

11 Luc Turi / Vorkurs Mthemtik / UNIZH - - log 5 Mit dem Tschenrechner: log.39. Eponentilgleichungen Eponentilgleichungen sind Gleichungen, bei denen die Lösungsvrible im Eponenten vorkommt. Nicht lle Eponentilgleichungen sind gleich nspruchsvoll zu lösen. Wir unterscheiden zwei Fälle... Fll : Es gibt eine gemeinsme Bsis (Eponentenvergleich) In diesem Fll kommen wir ohne Logrithmen zum Ziel. Vorussetzung ist jedoch ds Beherrschen der Potenzregeln Musterbeispiel: + 8 Links und rechts stehen Potenzen von. (links: + ); (rechts: 3 ). Es gibt somit eine gemeinsme Bsis. + 3 Beide Seiten sind gleich, wenn die Eponenten gleich sind. Wir bruchen lso nur noch die Eponenten zu vergleichen. (Sog. Eponentenvergleich.) + 3 nch uflösen i Wenn wir lso erkennen, dss uf beiden Seiten eine Potenz derselben Bsis vorkommt, schreiben wir die entsprechenden Potenzen hin; und vergleichen dnn die Eponenten... Fll : Es gibt keine gemeinsme Bsis In diesem Fll kommen wir ohne logrithmieren nicht weiter. Vorussetzung ist ds Beherrschen der Rechenregeln für Logrithmen Der llgemeine Lösungsweg in diesem Fll lässt sich wie folgt beschreiben: ) Gleichung logrithmieren. Die Lösungsvrible kommt ddurch us dem Eponenten runter. (Rechenregeln für Logrithmen ekt nwenden!) ) Neue Gleichung nch uflösen und usrechnen.

12 Luc Turi / Vorkurs Mthemtik / UNIZH - - Musterbeispiel: i Bemerkung: Wir sind nicht in der Lge jede beliebige Eponentilgleichungen durch Umformungen zu lösen! Bereits die simple Eponentilgleichung ist nur numerisch, ds heisst mit Hilfe des Tschenrechners durch Näherungsverfhren zu finden. Denn uf der linken Seite steht eine Summe, und für Summen gibt es keine Logrithmenregel. Es gibt jedoch Ausnhmen. Ds folgende Beispiel soll dies illustrieren: Beispiel: Mit logrithmieren kommen wir hier nicht weiter! Die Idee: Substituieren: 0. Die Gleichung lutet dnn: ( + ) 600. Diese qudrtische Gleichung können wir nun problemlos lösen: Diskriminnte: 40; Lösungen: 4 und -5. Wir mchen die Substitution rückgängig und erhlten us: 4 0 und -5 0 : log (4).380. [log (-5) ist nicht definiert! Wir können deshlb vernchlässigen!]

13 Luc Turi / Vorkurs Mthemtik / UNIZH TRIGONOMETRISCHE OPERATIONEN Wir möchten die folgenden Opertionen einführen Sinus, Cosinus und Tngens. Wir betrchten dzu den Kreis K mit Rdius (sgen wir, Meter) und mit dem Mittelpunkt im Ursprung der Koordintenebene. y P - α - Gegeben sei eine nicht-negtive Zhl. Mn bewege sich vom Punkt (, 0) us genu Meter im Gegenuhrzeigersinn entlng K. Der Punkt P uf dem wir lnden, hbe die Koordinten (, y). Dnn setzen wir cos( ) : und sin( ) : y. Ist eine negtive Zhl gegeben, so wndern wir von (, 0) us wir nennen den Endpunkt wieder ( cos( ), sin( ) ). Meter im Uhrzeigersinn, und Dies definiert die Opertionen Sinus und Cosinus. Aus der Definition folgen sofort folgende Rechenregeln. (Mn bechte dbei uch folgendes: π 360 o, π 80 o π, o 60, etc. Kurz: 3 Mn knn einen Winkel in Bogenmss oder in Grdmss ngeben) () cos( + π ) cos( ) und sin( + π ) sin( ), d der Kreis genu π lng ist. (Der Rdius ht j die Länge.) () cos( ) cos( ) und sin( ) sin( ), durch Spiegelung n der -Achse. (3) cos( ) cos( π ) und sin( ) sin( π ), durch Spiegelung n der y-achse (4) cos( ) sin( + π / ), durch Rottion um π / im Gegenuhrzeigersinn. (5) sin ( ) + cos ( ) d der Punkt ( cos( ), sin( ) ) uf dem Einheitskreis K um (0, 0) liegt (Pythgors!). Vielleicht hben Sie in der Schule eine ndere Definition vom Sinus und Cosinus gelernt, nämlich ds Verhältnis zwischen gewissen Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks. Die Definition ht o ber den Nchteil, dss es nicht sofort klr ist, wie sin( ) und cos( ) für Winkel grösser ls 90 oder für negtive Winkel zu definieren ist. Wir hlten ber fest, dss unsere Definition m Einheitskreis für ( 0, π / ) mit der Definition in einem Dreieck übereinstimmt.

14 Luc Turi / Vorkurs Mthemtik / UNIZH Folgende (spezielle) Werte lssen sich leicht usrechnen. (Teile z.b. ein gleichseitiges Dreieck mit Seitenlänge durch einzeichnen einer Seitenhlbierenden in zwei rechtwinklige Dreiecke. Ein solches Teildreieck ht dnn die Seitenlängen sin( π / 6) / und cos( π / 6) 3 /.) Weitere (beliebige) Werte erhält mn mit Hilfe des Tschenrechners. Dbei sollte mn stets druf chten, ob der Tschenrechner im Grdmss(Degree)- oder Bogenmss(Rdin)-Modus eingestellt ist. Merkregel: Für Winkelberechnungen, etw in einem Dreieck ist mit Grdmss zu rechnen, für lle weitere Berechnungen (vor llem solche die im Zusmmenhng mit Grphen von trigonometrischen Funktionen stehen) ist mit Bogenmss zu rechnen. Der Grund ist, dss Sie dnn uf beiden Koordintenchsen die gleichen Einheiten hben. Wir greifen diese Problemtik später wieder uf. Mit der Interprettion in einem Dreieck lssen sich die Additionsformeln herleiten: und sin( ± b) sin( ) cos( b) ± cos( ) sin( b) cos( ± b) cos( ) cos( b) m sin( ) sin( b) Insbesondere lässt sich drus die Beziehung: sin( ) sin( ) cos( b) herleiten. Aus Sinus und Cosinus lässt sich noch der Tngens definieren: sin( ) tn( ) cos( ) diese Opertion ist nur dnn definiert, wenn cos( ) 0 ist, wenn lso { π / + k π k } Ein Beispiel: Der Anstieg einer Strsse ist der Tngens des Winkels, den die Strsse mit der horizontlen Ebene einschliesst. Ein Anstieg von 5% heisst z.b., dss mn sich bei jedem Meter, den mn sich in horizontle Richtung bewegt, 5cm in vertikle Richtung bewegt. Also tn( ) 5 00 Will mn den dzugehörigen Winkel berechnen, so muss mn mit der Umkehropertion rctn o Arcus Tngens rechnen: 5 rctn ( TR-Befehl: S und uf Grdmss umstellen.)

15 Luc Turi / Vorkurs Mthemtik / UNIZH REELLE FUNKTIONEN Funktionen sind von fundmentler Bedeutung in der Mthemtik. In diesem Abschnitt beschränken wir uns uf Funktionen f : D, wobei D eine Teilmenge von ist, der Definitionsbereich der Funktion. Eine solche Funktion ordnet jeder Zhl in D eine eindeutig bestimmte Zhl f() in zu, ds Bild von unter f. Die Menge ller Bilder f(), wobei gnz D durchläuft, heisst der Bildbereich, oder uch Wertebereich von f. Zwei Funktionen f und g mit dem selben Definitionsbereich D, für welche f() g() für lle Zhlen in D gilt, werden ls die gleiche Funktion betrchtet. Ds heisst, dss eine Funktion festgelegt ist, sobld ds Bild jeder Zhl vorgeschrieben ist. Schreibweise: f : D, f (). Wenn D endlich ist, so läst sich f festlegen durch eine Tbelle, in der links die Elemente von D ufgelistet sind, und rechts die entsprechenden Bilder. Beispiel : Wir betrchten die Funktion f :{-, 0,,, 3}, i i + Diese wird festgelegt durch die folgende Tbelle: i f (i) Mn bemerke, dss jede Zhl links nur einml vorkommen drf (weil j jede Zhl nur ein Bild hben drf!), während rechts die gleiche Zhl durchus öfter vorkommen knn. Wenn D unendlich ist, so knn mn f nicht mehr durch eine Tbelle festlegen. In diesem Fll muss mn f durch eine Zuordnungsvorschrift festlegen. (Im Fll oben: i wird bgebildet uf i +.) Um eine Funktion nschulich zu mchen, vor llem wenn D gnz oder etw ein Intervll dvon ist, zeichnen wir ihren Grphen. Zu diesem Zweck zeichnen wir zwei senkrecht ufeinnder stehende Achsen, meistens -Achse und y-achse gennnt, und wählen in beiden Richtungen eine Einheitslänge (oft die gleiche in beiden Richtungen, ber ds ist kein Gesetz). Ein Pr (, y) reeller Zhlen entspricht in dieser Figur dem Punkt, den mn findet, wenn mn vom Schnittpunkt der beiden Achsen (dem Ursprung) ml die - Einheitslänge in die -Richtung geht, und y ml die y- Einheitslänge in die y-richtung. Dieser Punkt wird dnn uch mit (, y) bezeichnet. Der Grph von f ist jetzt die Menge ller Punkte (, f()) mit D.

16 Luc Turi / Vorkurs Mthemtik / UNIZH In der Litertur kommen verschiedene Schreibweisen für Funktionen vor: y + ; oder f ( ) + ; oder f : +. Beispiel : Zeichnen Sie den Grphen: f : +, mit D [,.5 ] Lösung: Ntürlich werden heutzutge Grfikfähige TR und Computer ls Hilfsmittel fürs Zeichnen von Grphen eingesetzt (und bei kompleeren Funktionen mcht ds durchus Sinn). Es ist ber sehr vorteilhft und sehr oft prktisch die Grphen der gängigsten Grundfunktionen präsent zu hben; es geht nicht um einzelne Werte, sondern um den Verluf des Grphen, um Definitionslücken, etc...; kurz um eine qulittiv bruchbre Skizze. Hier eine Auflistung: 4. Die linere Funktion y m + q Der Grph der Funktion y m + q ist im Koordintensystem eine Gerde (linere Funktion) mit der Steigung m, und dem Abschnitt q uf der y-achse. y P y q P y y m y y

17 Luc Turi / Vorkurs Mthemtik / UNIZH Die Steigung m knn mn mit Hilfe eines (beliebigen!) Steigungsdreiecks blesen. Ist ein Steigungsdreieck durch zwei Punkte P und P uf der Gerden gegeben, so entspricht die Höhendifferenz des Dreiecks der Differenz y y der y-koordinten von P und P, und die Horizontldistnz des Dreiecks der Differenz der -Koordinten von P und P. Dies erklärt die obige Formel! Konkrete Beispiele: (Merke: Gleiche Steigung Gerden sind prllel) (Merke: Negtive Steigung Gerde ist bfllend) y+3 y- y Qudrtische Funktionen Definition: Eine Funktion der Form f() ² + b + c ( 0) heisst eine qudrtische Funktion. Die Koeffizienten, b und c sind Prmeter, die für beliebige reelle Zhlen stehen. Die Zustzbedingung 0 ist notwendig, d sonst eine linere Funktion f() b + c definiert wäre. Dgegen dürfen sowohl b ls uch c den Wert 0 hben. Der Grph eine qudr. Funktion ist eine Prbel. 4.. Die Scheitelform der Prbel Definition: Die Scheitelform einer Prbel lutet y ( u)² + v. Prbeln mit dieser Gleichung besitzen den sog. Scheitelpunkt S(u v). Sie sind gegenüber der Normlprbel y um u Einheiten in -Richtung und um v Einheiten in y-richtung verschoben. Der Prmeter wirkt sich uf die Öffnung us. Als Beispiel betrchten wir die Funktion: y ( 3)² +. Aus der Ttsche erkennen wir, dss die Prbel dieselbe Öffnung wie die Normlprbel ht. Aus u3 und v erkennen wir, dss die Normlprbel um (+3) Einheiten in -Richtung und um (+) Einheiten in y-richtung verschoben wird. Der Scheitel liegt somit bei S(3 ):

18 Luc Turi / Vorkurs Mthemtik / UNIZH i Durch qudrtische Ergänzung knn eine Prbelgleichung stets uf die Scheitelform gebrcht werden. Zum Beispiel y ² 0 + 4: y ² (Ergänzen uf ein vollständiges Qudrt mit dem Trick +5 und 5) y ² y ( 5)². Allgemein gilt (ein Beweis folgt später in der Differentilrechnung): i Der Grph der qudrtischen Funktion f: y + b + c ist die nch oben ( > 0) bzw. nch unten ( < 0) geöffnete, zu y deckungsgleiche Prbel mit dem Scheitel (u v); wobei die Scheitelkoordinten (u v) us den Koeffizienten, b und c zu berechnen sind: u b, v D 4 Dbei ist D b 4c die Diskriminnte der qudrtischen Funktion. Merke: v lässt sich uch einfch ls f(u) berechnen. 4.3 Weitere Grundfunktionen

19 Luc Turi / Vorkurs Mthemtik / UNIZH Die Betrgsfunktion Wir betrchten die Betrgsfunktion: f :,, flls 0 : -, flls 0 Mn bemerke, dss ist. Die Zhl (gelesen: Betrg von ) ist die Distnz von zu Null uf der Zhlengerde. Wir zeichnen den Grphen :

20 Luc Turi / Vorkurs Mthemtik / UNIZH Beispiel: Wie lösen wir die Gleichung? Methode : Grfisch Wir betrchten die Grphen von f: y und g: y Wir suchen die Schnittpunkte der Grphen von f und g im obigen Beispiel; ds sind die Punkte die uf beiden Grphen liegen. Wenn ein Punkt P(, y) diese Eigenschft ht, so gilt einerseits y (weil P uf dem Grphen von f liegt), und ndererseits y (weil P uf dem Grphen von g liegt). Deshlb muss folgendes gelten: Aus dem Grphen lssen sich somit die folgenden Lösungen blesen : 0 und 4. Methode : Fllunterscheidung (lso lgebrisch). Fll:. Fll

21 Luc Turi / Vorkurs Mthemtik / UNIZH Wechselwirkung zwischen Grfischem und Algebrischem In der Mthemtik gibt es stets eine Wechselwirkung zwischen Geometrie (der Mthemtik von Punkten, Gerden, Prbeln, usw.) und Algebr (der Mthemtik von Rechnen, lgebrischen Ausdrücken und Gleichungen). Ein Beispiel hben wir oben, beim Lösen der Betrgsgleichung gesehen. Die Lösung einer Gleichung knn grfisch ls Schnittpunkt betrchtet werden, oder rein lgebrisch durch Umformungen berechnet werden. Es folgt eine Auflistung interessnter Wechselwirkungen: 4.5. Grfische Lösungsmöglichkeiten eines Gleichungssystems i Für die Lge der Gerden eines lineren --Gleichungssystems gibt es 3 Möglichkeiten.. Möglichkeit: Sie schneiden sich in einem Punkt: Es eistiert eine eindeutige Lösung. Beispiel: () + y 4 () 3 + y 8 Nch y umgestellt: () y + 7 () y Demnch ist die Lösung (4 3).. Möglichkeit: Sie liegen prllel zueinnder: Es gibt keine Lösung. Beispiel: () 8 + y 6 () + 0.5y 0.5 Nch y umgestellt: () y () y 4 + Die Steigung ist gleich, ds konstnte Glied ist verschieden. D.h. die Gerden sind prllel.

22 Luc Turi / Vorkurs Mthemtik / UNIZH Möglichkeit: Sie sind deckungsgleich (identisch): Es gibt unendlich viele Lösungen. Beispiel: ) 4 + y 0 ) 3 +.5y 7.5 Nch y umgestellt: ) y + 5 ) y + 5 Die Gerdengleichungen sind identisch Zusmmenhng zwischen qudr. Funktionen & qudr. Gleichungen Qudrtische Funktionen y f() + b + c Qudrtische Gleichungen 0 + b + c oder oder oder < 0, lso { } Wenn lso die Funktionsgleichung 0 + b + c keine Lösung ht, dnn ht die Funktion f() + b + c keine Nullstellen, d f() nirgends den Wert Null ht, und somit nirgends die -Achse schneidet. Umgekehrt gilt dsselbe! b 0, lso { }, mit Wenn lso die Funktionsgleichung 0 + b + c genu eine Lösung ht, dnn ht die Funktion f() + b + c genu eine Nullstelle, d nur f( ) den Wert Null ht. Dies ist gleichzeitig der Scheitelpunkt! Beispiele solcher qudrtischer Funktionen wären y ( ) und y ( + 3). > 0, lso {, } b ± D mit,, D b 4c Wenn lso die Funktionsgleichung 0 + b + c zwei Lösungen und ht, dnn ht die Funktion f() + b + c die zwei Nullstellen und. An diesen Stellen ist der Funktionswert jeweils 0.

23 Luc Turi / Vorkurs Mthemtik / UNIZH Die Nullstellen einer Funktion Definition Jede Stelle, n der die Funktion f den Wert 0 nnimmt, heisst eine Nullstelle der Funktion. Die Berechnung der Nullstellen erfolgt lso durch die Lösung der Gleichung f() 0. i Mn vermeide den häufigen Fehler die Nullstelle einer Funktion mit dem Funktionswert von f n der Stelle Null zu verwechseln! Nullstelle Lösungswert der Gleichung f() 0. (befindet sich uf der -Achse!) Hingegen: f(0) Ausgbewert für die spezielle Eingbe 0. (befindet sich uf der y-achse!) i Grphisch betrchtet sind lso die Nullstellen einer Funktion nichts nderes ls die Schnittpunkte des Grphen mit der -Achse. Dzu zwei Beispiele: Nullstellen: -, und Diese Funktion ht keine Nullstellen. Frge: Wieso spielen die Nullstellen einer Funktion eine so besondere Rolle? Antwort: Nullstellen zu berechnen, bedeutet nichts nderes, ls eine Gleichung (die Funktionsgleichung) zu lösen. Bei komplizierten Gleichungen, die mn durch Umformen nicht lösen knn (vgl. Gleichungen 5. oder höheren Grdes), bietet die Skizze des Grphen (diese können wir durch Aufstellen einer Wertetbelle immer nfertigen) einen Überblick über die Anzhl und die pproimtive Lge der Lösungen (Schnittpunkte des Grphen mit der -Achse betrchten). Dieselben Überlegungen gelten ntürlich uch für die Bestimmung der Schnittpunkte zweier Grphen. Beispiel : Mn zeichne die Grphen ins gleiche Koordintensystem und mn bestimme durch Ablesen die Schnittpunkte: k : sin( ) und l : log( ), mit Definitionsbereich D (0, ). i Bevor wir loslegen eine wichtige Bemerkung: D sich beide Funktionen ufs gleiche Koordintensystem beziehen, ist es wichtig, dss wir in Bogenmss rechnen und somit uf beiden Achsen gleiche Einheiten hben (Einheitskreis!). Würde o mn trotzdem in Grdmss rechnen, hätte mn zum Beispiel n der Stelle den Ausdruck y log( o ), ws keinen Sinn mcht! Tipp: Sollte Ihr grfikfähiger TR eine gnz flche Sinuskurve zeichnen, dnn stellen Sie uf RADIAN um!

24 Luc Turi / Vorkurs Mthemtik / UNIZH Die genuen Koordinten der Schnittpunkte lssen sich in diesem Fll nicht durch Umformungen finden. Hier sind wir uf die Hilfe des TR ngewiesen, welcher durch einen Algorithmus (z.bsp. durch eine Intervllschchtelung) die (irrtionlen) Lösungen uf einige Dezimlstellen genu ngibt. Zur Kontrolle seien hier die Schnittpunkte uf 3 Dezimlstellen genu ngegeben. S ( ); S ( ); S 3 ( ). Beispiel : Mn löse (rechnerisch) die Gleichung cos( ) sin( ) nch uf.

25 Luc Turi / Vorkurs Mthemtik / UNIZH Ungleichungen Bis jetzt hben wir uns nur um Gleichungen gekümmert, deren Lösungen den -Koordinten von Schnittpunkten zweier Grphen entsprchen. Mn möchte ber uch oft wissen, welche Teile des Grphen einer Funktion f unter dem Grphen einer nderen Funktion g liegen. Ds entsprechende lgebrische Objekt ist die Ungleichung f ( ) < g( ) oder f ( ) g( ), je nchdem, ob die Schnittpunkte der Grphen mitgezählt werden sollen, oder nicht. Auch Ungleichungen knn mn umformen, ber mn muss besser ufpssen ls bei Gleichungen (wie schon gestern beim Lösen von lineren Ungleichungen gesehen). Trotzdem sei hier ein weiteres Beispiel zur Illustrtion dieses Problems ngeführt: Beispiel : Die Ungleichung ht die Lösungsmenge (, ], während die durch Qudrieren entstndene Gleichung, nur die Lösungsmenge [, ] ht. Es können lso durchus Lösungen verloren gehen bei unvernünftigem Umformen! (Dies knn ntürlich uch bei Gleichungen pssieren) Es gibt, grob gesgt, zwei Lösungswege für Ungleichungen f ( ) g( ) : Entweder mn chtet gut druf, dss mn immer nur erlubte Umformungen mcht (etw: Addition der gleichen Zhl uf beiden Seiten, Multipliktion mit einer positiven Zhl, oder Multipliktion mit einer negtiven Zhl zusmmen mit Umkehrung des Zeichens); oder mn berechnet zunächst die Schnittpunkte der beiden Grphen, und wählt dnn in jedem Intervll zwischen diesen Schnittpunkten ein, mit dem mn prüft, welcher Grph oben liegt. Beispiel : 3 Mn löse die Ungleichung Mit der ersten Methode gehen wir wie folgt vor: Wir mchen eine Fllunterscheidung: Erstens betrchten wir den Fll 4 0. Dnn ist nämlich 4 ( 4) und die zu lösende Gleichung ist Im Fll 4 0 erhlten wir lso:. Dies ergibt ds Intervll [,4]. Anlog ergibt sich im Fll 4 0 die Lösung 7 und somit ds Intervll [4,7]. Die Gesmtlösung ist die Vereinigung der beiden Intervlle: [, 7]

26 Luc Turi / Vorkurs Mthemtik / UNIZH Bei der zweiten Methode zeichnen wir die Grphen von f: y 5 + und g: y 4 in 5 dsselbe Koordintensystem und schuen, in welchem Intervll (lso für welche Werte ) der Grph von f oberhlb des Grphs von g verläuft. Es lässt sich ds Intervll [, 7] blesen. i Mit dieser Methode lssen sich nun uch Bruchungleichungen effizienter lösen! (Siehe gestern.) 4.6. Qudrtische Ungleichungen Qudrtische Ungleichungen hängen eng mit qudrtischen Gleichungen und qudrtischen Funktionen zusmmen. Musterbeispiel: Mn löse die qudrtische Ungleichung > 0. Wir berechnen die Nullstellen der Funktion Wir skizzieren den Grphen von f ( ) Es gilt die folgende Gleichung zu lösen: Wegen > 0, ist die Prbel nch oben geöffnet. Die Nullstellen kennen wir ebenflls; lso können wir den Grphen skizzieren: Wir berechnen zunächst die Diskriminnte: 3 D Weil D > 0 ist, hben wir zwei Lösungen:, ± ± 3 Bei - und bei -3 hben wir lso eine Nullstelle. i Die folgende Überlegung ist nun entscheidend: D die Prbel nch oben geöffnet ist und zwei Nullstellen besitzt, hben die Prbelpunkte zwischen den Nullstellen negtive y-koordinten und die in den beiden Aussenbereichen positive y- Koordinten.

27 Luc Turi / Vorkurs Mthemtik / UNIZH Zusmmenfssend bedeutet dies: Für die Zhlen -3 und - gilt: 3 f ( ) Für jede Zhl us dem Intervll (-3, -) gilt: 3 f ( ) + + < 0. Für jede Zhl us dem restlichen Bereich \ [-3, -] gilt: 3 f ( ) + + > 0. 3 > Die Lösungsmenge der qudrtischen Ungleichung ist somit \ [-3, -].

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