3. Mathematikschulaufgabe

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1 1. Bestimme m so, dass die quadratische Gleichung nur 1 Lösung hat: 4x² - mx + 5m = Von einer zentrischen Streckung sind A (-3/3), A (2/-2), B (-5/-1), B (2,5/-1) und C(-5/3) bekannt. 2.1 Konstruiere den Bildpunkt C. 2.2 Berechne das Streckungszentrum Z und den Streckungsfaktor k. 3. Auf einem Dia ist ein Turm 8cm groß. Das Dia ist 30 cm von der Lampe und cm von der Leinwand entfernt. Wie groß erscheint der Turm auf der Leinwand? Rechne mit Wurzeln! (ohne etr) 4.0 Gegeben ist eine Gerade g mit y = 0,5x + 6 sowie die Punkte A (0/2) und C(6/5). Die Punkte D n bewegen sich auf der Geraden g. 4.1 Berechne den Flächeninhalt der Dreiecke ACD n in Abhängigkeit von der x-koordinate der Punkte D n. (Ergebnis: A ACDn (x) = 12 FE) 4.2 Deute das Ergebnis. 4.3 Gegeben ist ferner die Parabel p mit y = - 0,5(x - 3)² + 1. Auf der Parabel liegen die Punkte B n, deren x-koordinaten mit den x-koordinaten von D n übereinstimmen. Es entstehen Vierecke AB n CD n. Erstelle eine Zeichnung mit A, C, g, p und zeichne für x=1 und x=4 die Vierecke AB 1 CD 1 und AB 2 CD 2 ein. 4.4 Berechne die Fläche der Vierecke AB n CD n in Abhängigkeit von x. (Ergebnis: A(x) = (1,5x² - 7,5x + 28,5) FE ) 4.5 Berechne diejenigen x-werte, für die die Fläche A(x) kleiner als 20 FE wird. RM_A0059 **** Lösungen 4 Seiten

2 1.0 Die Punkte A (0/-4), B (5/1) und C p mit y = - x² + 6x - 4 sind Eckpunkte von Dreiecken ABC. 1.1 Zeichne die Punkte A und B sowie die Parabel p in ein Koordinatensystem. Zeichne sodann zwei Dreiecke für C 1 (2/?) und C 2 (4/?) ein. 1.2 Berechne den Flächeninhalt A(x) der Dreiecke ABC in Abhängigkeit von der x-koordinate der Punkte C. (Ergebnis: A(x) = (- 2,5x² + 12,5x) FE ) 1.3 Für welche Belegung von x erhält man ein Dreieck mit 10 FE Flächeninhalt. 1.4 Zeige rechnerisch, dass es kein Dreieck ABC mit 16 FE Flächeninhalt gibt. 1.5 Die Parabel p wird durch zentrische Streckung am Punkt A mit k = - 0,6 auf p abgebildet. Berechne die Gleichung von p. 2.0 Einem gleichschenkligen Dreieck ABC mit der Basis AB = 6cm und der zugehörigen Höhe h = 9 cm ist ein Quadrat einbeschrieben (siehe nebenstehende Skizze). 2.1 Konstruiere das Quadrat. 2.2 Berechne die Seitenlänge des Quadrats. 3. Australien hat auf einer flächentreuen Landkarte eine Fläche von etwa 13,67 cm². Berechne die Fläche Australiens in km², wenn die Landkarte den Maßstab 1: hat. RM_A0060 **** Lösungen 3 Seiten

3 1.0 Gegeben ist die Geradenschar g(m): y = m(x - 1,5) + 7 sowie die Parabel p: y = - x² + 4x Zeichne p, den Büschelpunkt B sowie die Geraden g( 2 ) und g(-1) in ein 3 Koordinatensystem. Platzbedarf: -2 x 7; -1 y Für welche Werte von m erhält man aus dem Geradenbüschel Tangenten an p? 1.3 Berechne die Gleichungen der Tangenten sowie die Koordinaten der Berührpunkte und zeichne sie ein. 1.4 Bestimme durch Rechnung die Werte von m, für die die Büschelgeraden mit p zwei Schnittpunkte haben. 2. Bestimme die Lösungsmenge folgender Gleichung: 7 x + 2= x Berechne x und y! (Zeichnung nicht maßstabsgetreu, BC II DF, BE II CF) 4. Berechne die Entfernung zwischen Turm und Person für die Länge l 1 des Stabes. Berechne sodann, in welcher Entfernung vom Körper ein Stab mit der Länge l 2 gehalten werden müsste, wenn sonst alle Maße gleichblieben. RM_A0061 **** Lösungen 2 Seiten

4 1. Für welche Werte von p besitzt die quadratische Gleichung x² + px + 2,25 = 0 Lösungen? 2. Entscheide durch Rechnung, ob ein Rechteck mit 10 cm Umfang einen Flächeninhalt von 8 cm² besitzen kann. 3. Berechne x und y. Es gilt: [BC] [DE] 4. Zeichne ein Rechteck ABCD mit A (2/0), B (7/0), C(7/4) und D(2/4). Dem Rechteck soll ein Dreieck EFG mit E ( 0 / 0 ), F ( 1 0 / 0 ) und G ( x/ y) so umbeschrieben werden, dass gilt: C [FG] und D [EG]. Zeichne das Dreieck EFG. Berechne die Koordinaten des Eckpunktes G. 5.0 Die Gerade g mit der Gleichung y = - 0,5 x + 1 wird durch Zentrische Streckung mit dem Zentrum Z (1/2) und dem Streckungsfaktor k abgebildet. 5.1 Bestimme die Gleichung der Bildgeraden g 1 für k = Die Bildgerade g 2 verläuft durch den Punkt P(-2/3). Gib ihre Gleichung an. Berechne den zugehörigen Streckungsfaktor k. RM_A0062 **** Lösungen 4 Seiten

5 1.0 Gegeben ist die Funktion f: y = 0,5x² - 4. G = x 1.1 Zeichne den Graphen der Funktion f mit Hilfe einer Wertetabelle für x [-5; 5], x = 1 in ein Koordinatensystem. Platzbedarf: - 5 x 9; - 7 y Der Punkt P (3/-4) ist der Büschelpunkt eines Geradenbüschels g(m). Bestimme rechnerisch diejenigen Geraden des Büschels, die Tangenten an f sind. Gib die Koordinaten der Berührpunkte B n an und zeichne die Tangenten in das Koordinatensystem ein. 1.3 Der Definitionsbereich der Funktion f wird nun auf Bestimme rechnerisch die Gleichung der Umkehrfunktion f 1. ) (Ergebnis: f 1 : y = 2x Gib die Definitionsmenge der Umkehrfunktion 1 f an. 1.5 Konstruiere im Koordinatensystem zu 1.1 den Graphen zu 3 Punkte die Konstruktionslinien sichtbar sein sollen. + D = 0 eingeschränkt. 1 f, wobei für mindestens 1.6 Die Parallelenschar g(t): y = 0,5 x + t enthält eine Gerade r, die Tangente an f 1 ist. Bestimme rechnerisch die Gleichung der Geraden r und die Koordinate des 1 Berührpunktes R mit dem Graphen zu f. Zeichne r in das Koordinatensystem ein. (Ergebnis: r: y = 0,5x + 3) 1.7 Die Tangente r wird nun an der Geraden y = x gespiegelt. Bestimme rechnerisch die Gleichung der Bildgeraden r` und zeichne r` in das Koordinatensystem ein. (Ergebnis: r`: y = 2x - 6) 1.8 Weise durch Rechnung nach, daß die Bildgerade r` Tangente an den Graphen zu f ist. RM_A0078 **** Lösungen 4 Seiten

6 1.0 Gegeben sind die Parabeln: p 1 : y = x² - 6x Berechne die Scheitelpunkte S 1 und S 2. p 2 : y = - x² + 4x Zeichne p 1 und p 2 in ein Koordinatensystem ein. Platzbedarf: - 3 x 8; - 6 y Berechne die Koordinaten der Schnittpunkte P und Q von p 1 und p 2. (Teilergebnisse: P ( 0 / 5 ) ; Q ( 5 / 0 ) ) 1.4 Die Punkte R n liegen auf dem Parabelbogen von p 2 zwischen P und Q. Zeichne für x R = 3 das Dreieck PQR Bestimme den Flächeninhalt der Dreiecke PQR n in Abhängigkeit von x. (Teilergebnis: A(x) = - 2,5x² + 12,5x FE) 1.6 Berechne die Koordinaten von R 0, so daß das Dreieck PQR 0 einen maximalen Flächeninhalt hat. 1.7 Zeige, daß die Gerade g: y = - x + 11,25 Tangente an p 2 ist und ermittle die Koordinaten des Berührpunktes B. 1.8 Zeichne die Lösungsmenge von folgender Ungleichung in das Koordinatensystem von 1.2 ein: - x² + 4x (siehe p 2! ) 1.9 Löse die Ungleichung von 1.8 rechnerisch. RM_A0079 **** Lösungen 3 Seiten

7 1.0 Gegeben ist die Funktion 2 2 f = x/y y = x + 4ax 2a ; a G= x a {( ) ( ) } deren Graph eine Parabelschar p a ist. 1.1 Bringe die Gleichung auf die Scheitelform und gib die Scheitel S a in Abhängigkeit von a an. Ermittle den Trägergraphen g Berechne die Scheitel der Scharparabeln für a {-1,5; -1; 0; 1} und zeichne die dazugehörigen Parabeln ein. 1.3 Berechne die Nullstellen der Scharparabeln in Abhängigkeit von a. Für welches a gibt es nur eine Nullstelle? 1.4 Die Geradenschar g t enthält den Trägergraphen g 0 sowie eine Gerade g 1, die sämtliche Parabeln der Schar berührt. Gib die Gleichung der Tangenten an. 1.5 Berechne die Berührpunkte in Abhängigkeit von a, dann für die Scharparabeln aus Gib die Gleichung der Umkehrfunktion f1 zu f 1 mit a = -1 an, deren Graph die x-achse 1 schneidet. Berechne diesen Schnittpunkt. Zeichne den Graph zu f1 ein. 2.0 Gegeben ist die Parabel p mit der Gleichung y = - 0,5 x² - 3x - 2,5 G= x 2.1 Bringe die Parabel auf die Scheitelform, tabellarisiere sie für x ] -6; 0 [ in Schritten von x = 0,5 und zeichne sie in ein Koordinatensystem. 2.2 Bildet man eine Parabel p 1 an Z (0/-1) mit k = - 2 ab, so erhält man die Parabel p. Ermittle die Gleichung von p 1 und zeichne sie in das Koordinatensystem ein. 2.3 Bildet man die Parabel p 2 mit der x-achse als Affinitätsachse mit dem Faktor a = 0,5 orthogonal ab, dann erhält man ebenfalls die Parabel p. Ermittle die Gleichung von p 2, und zeichne die Parabel in das Koordinatensystem ein. 2.4 Berechne die Nullstellen der Parabel p. Zeige, daß sie mit dem Scheitel S p ein rechtwinkliges Dreieck aufspannen, dessen Fläche 4 FE beträgt. RM_A0080 **** Lösungen 6 Seiten

8 1.0 In einem Koordinatensystem sind die Urpunkte A (-8/2), B (2/-6) und C(4/4) eines Dreiecks sowie die Bildpunkte A ( 4 / - 4 ) und C ( - 2 / y C ) des Bilddreiecks Z; k A B C einer zentrischen Streckung ABC A 'B'C' gegeben. Lege eine Zeichnung an, die fortlaufend ergänzt wird! Platzbedarf: - 10 x 6; - 8 y Berechne den Streckungsfaktor k und die fehlende Koordinate des Bildpunktes C. C lässt sich zeichnen, ohne dass man y C und Z kennt. Kurze Erklärung der Konstruktion. (Teilergebnis: k = - 0,5) 1.2 Konstruiere das Streckungszentrum Z und berechne die Koordinaten von Z. 1.3 Konstruiere den Bildpunkt B und berechne seine Koordinaten. Trage das Bilddreieck A B C ein. 1.4 Berechne den Flächeninhalt des Urdreiecks ABC. (Ergebnis. A ABC = 58 cm²) 1.5 Berechne den Flächeninhalt des Bilddreiecks A B C. 2.0 Gegeben sind die Parabel p: y = x² + 4x + 4 und die Gerade g: y = 0,5 x. 2.1 Bestimme den Scheitel der Parabel und zeichne p und g in ein Koordinatensystem ein. Platzbedarf: - 5 x 4; - 4 y 6) 2.2 Bestimme die Koordinaten der Punkte A g und B p so, daß die Strecke [ZB] doppelt so lang wie die Strecke [ZA] mit Z (2/-3) ist. a) Konstruktive Lösung. b) Rechnerische Lösung (Teilergebnis: g : y = 0,5 x + 4) 3. Von einem rechtwinkligen Dreieck ABC mit der Hypotenuse [AB] sind folgende Größen bekannt: Hypotenusenabschnitt q = 3,2cm (Abschnitt bei A), Höhe h = 4,8cm. Berechne die fehlenden Streckenlängen p, a, b und c. 4.0 Von einem bei C rechtwinkligen Dreieck ABC sind die Eckpunkte A (-4/-2) und B (6/-2) gegeben. Der Punkt C(x/ y) liegt auf der Geraden g: y = 0,5x Konstruiere die Dreiecke ABC n. Platzbedarf: - 5 x 7; - 3 y Bestimme die Koordinaten der Punkte C rechnerisch. (Teilergebnis: 1,25x 2 + 2x - 8 = 0) RM_A0081 **** Lösungen 5 Seiten

9 1.0 Die Punkte A (-1/5), B (5/2,5) und C(2/7) werden durch eine zentrische Streckung mit dem Zentrum Z 1 und dem Streckungsfaktor k 1 auf die Punkte A 1 (4/-2,5), B 1 und C 1 (-0,5/-5,5) abgebildet. 1.1 Konstruiere das Streckungszentrum Z 1 und den Bildpunkt B 1 (1LE 1cm) 1.2 Berechne die Koordinaten des Zentrums Z 1, das auf der Geraden g: y = 2 liegt, sowie den Streckungsfaktor k Weise rechnerisch nach, daß die Dreiecke ABC und A 1 B 1 C 1 ähnlich sind. 1.4 Bestimme rechnerisch einen Streckungsfaktor k 2 so, daß der Bildpunkt A 2 von A an der Stelle von Z 1 und das Zentrum Z 2 an der Stelle von A 1 liegt. 1.5 Berechne die Fläche des Bilddreiecks A 1 B 1 C Gegeben ist die Parabel p: y = - x² + 2x 2.1 Berechne die Koordinaten des Scheitels und zeichne die Parabel in ein Koordinatensystem. 2.2 Die Parabel p soll durch eine zentrische Streckung mit Zentrum A und dem Streckungsfaktor a in die Parabel p 1 mit dem Scheitel S 1 (-2/6) abgebildet werden. Der Bildpunkt von B (2/0) wird auf B 1 (0/4) abgebildet. Berechne die Gleichung der Bildparabel p Berechne den Streckungsfaktor a und die Koordinaten des Zentrums A (4/y A ). 2.4 Gib die Gleichung des Büschels aller Geraden durch den Punkt A (4/-4) an. 2.5 Berechne die Gleichung der Tangenten vom Zentrum A aus an die Parabel p. 2.6 Die Tangenten sind Fixgeraden. Berechne die Koordinaten der Berührpunkte an die Parabeln p und p 1. RM_A0082 **** Lösungen 7 Seiten

10 1.0 Die Punkte A(0/-4), B(5/1) und C p mit y = -x 2 + 6x - 4 sind Eckpunkte von Dreiecken ABC. 1.1 Zeichne in ein Koordinatensystem die Punkte A und B, die Parabel p und den Punkt C 1 (2/y p ) auf p. Für die Zeichnung: 1 LE 1 cm; - 1 x 6; - 5 y Berechne den Flächeninhalt A(x) der Dreiecke ABC in Abhängigkeit vom x-wert des Punktes C(x/y). (Ergebnis: A(x) = (-2,5x ,5x) FE) 1.3 Für welches x erhält man ein Dreieck mit 10 FE Flächeninhalt? 1.4 Zeige, daß kein Dreieck ABC 16 FE Flächeninhalt erreicht. 1.5 Wie lautet das Intervall für x der Punkte C, so daß Dreiecke ABC mindestens 15 FE Flächeninhalt haben. 2.0 Der Punkt A (5/5,5) ist der Bildpunkt des Urpunktes A(-1/1) bei einer zentrischen Streckung mit Z(3/4) als Zentrum. 2.1 Berechne den Streckungsfaktor k. (Ergebnis: k = - 0,5) 2.2 Berechne die Koordinaten des Urpunktes B zum Bildpunkt B (3/6). 2.3 Die Punkte C auf der Geraden g: y = x - 5 werden mit derselben zentrischen Streckung abgebildet. Ermittle durch Rechnung die Gleichung des Trägergraphen g der Bildpunkte C. 3.1 Begründe, daß ϕ = β ist. 3.2 Wie lang ist die Seite [AB]? RM_A0167 **** Lösungen 2 Seiten

11 1. Im Dreieck ABC gilt: AB = 8,2cm, AD= 3,2cm und DC = 4 cm. Berechne die fehlenden Seiten und überprüfe, ob das Dreieck rechtwinklig ist. 2. Das rechtwinklige Dreieck ABC hat die Katheten AB = 12cm und AC= 4cm. Daraus werden neue rechtwinklige Dreiecke ABnC n erzeugt, indem man die Kathete AB um 2x cm verkürzt und die Kathete AC um x cm verlängert. a) Zeichne das Dreieck ABC und dazu ein Beispiel für das Dreieck ABC 1 1 mit x = 2 cm. b) Ermittle die Länge der Seite BC n n in Abhängigkeit von der Strecke x. c) Ermittle den Extremwert von BnC n(x) = 5x² 40x cm! Art des Extremwertes? Welcher x-wert gehört dazu? d) Für welchen x-wert ist das Dreieck ABnC n gleichschenklig? 3. Berechne im Quader ABCD-EFGH die Strecken BE, BK und EK. L ist der Mittelpunkt der Seite [AD]. Berechne LK. Gib immer das rechtwinklige Dreieck an, mit dem du eine Strecke berechnest! RM_A0187 **** Lösungen 2 Seiten

12 1. Bestimme die Lösungsmenge des folgenden Gleichungssystems sowohl mit dem Additionsverfahren, als auch mit dem Gleichsetzungsverfahren. 8x 2y 188 = 0 14y + 2x 76 = 0 2. Bei jeweils verschiedenen Zinssätzen bringen und in vier Monaten zusammen 650 Zinsen. Würde man die Zinssätze vertauschen, so wäre der Zinsertrag in der gleichen Zeit um 130 geringer. Berechne die Zinssätze. 3. Ein Rechteck hat den Umfang 22 cm. Verlängert man eine Seite um 2 cm und verkürzt gleichzeitig die andere Seite um 2 cm, so vergrößert sich der Flächeninhalt um 2 cm². Berechne die Seitenlängen des ursprünglichen Rechtecks. 4. Vereinfache folgenden Term soweit wie möglich. 12a 35b 7ab 3 15b 25b 5b 5. Im Rahmen der Flurbereinigung wird dem Landwirt Müller für sein 750 m langes und 300 m breites Feld, das die Form eines Rechteckes hat, ein anderes Feld gleicher Art aber quadratischer Form von der Gemeinde angeboten. Herr Müller geht auf den Tausch ein. Berechne die Seitenlänge seines neuen Feldes auf eine Stelle nach dem Komma gerundet. RM_A0227 **** Lösungen 3 Seiten (RM_L0227)