1 Geometrie - Lösungen von linearen Gleichungen

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1 Übungsmaterial Geometrie - Lösungen von linearen Gleichungen Lineare Gleichungen sind von der Form y = f(x) = 3x + oder y = g(x) = x + 3. Zwei oder mehr Gleichungen bilden ein Gleichungssystem. Ein Gleichungssystem heiÿt linear, wenn in allen Gleichungen die Unbekannten höchstens in der ersten Potenz vorkommen. Die Lösung eines linearen Gleichungssystems ist ein Zahlenpaar, hier: (x,y). Systeme von linearen Gleichungen können auf verschiedene Arten gelöst werden.. Lösungsverfahren ) Gleichsetzungsverfahren Die beiden Gleichungen werden gleichgesetzt: 3x + = x + 3 4x = 2 x = 2 Lösung: x = 2, y = 2 2 2) Additionsverfahren Die beiden Gleichungen werden addiert: 3x y = + x + y = 3 4x = 2 x = 2 Lösung: x = 2, y = 2 2 3) Einsetzungsverfahren Die eine Gleichung wird nach einer Variablen aufgelöst und in die andere Gleichung eingesetzt: y = 3x + y = x + 3 x = 3 y y = 3(3 y) = 9 3y 4y = 9 y = 2 2 Lösung: y = 2 2, x = 2

2 Übungsmaterial 2 Beispiele ) Gegeben sei folgendes Gleichungssystem: I x + 2x 2 = 8 II 3x + x 2 = 9 ( 2) II' 6x 2x 2 = 8 I + II' 5x = 0 x = 2 x 2 = 3 2) Gegeben sei folgendes Gleichungssystem: I x + 2x 2 = 8 II x + 2x 2 = 2 Die Dierenz der beiden Gleichungen liefert I II 0 = 4 Dies ist ein Widerspruch, die Lösungsmenge ist leer (geometrisch gesehen handelt es sich um zwei parallele Geraden). 3) Gegeben sei folgendes Gleichungssystem in Dreiecksform: I x + 3x 2 + x 3 = 5 II x 2 2x 3 = 6 III x 3 = 2 Aus Gleichung III lässt sich sofort x 3 = 2 ablesen. Eingesetzt in Gleichung II erhält man x 2 = 6 4 = 2. Wenn man nun x 2 und x 3 in Gleichung I einsetzt, folgt x =. Lösung: x =, x 2 = 2, x 3 = 2 bzw. L = 2 2 Aus dem letzten Beispiel konnten wir ersehen, dass Gleichungssysteme in Dreiecksform besonders leicht zu lösen sind. Das Ziel ist also, gewöhnliche Gleichungssysteme zum Lösen in diese Form zu bringen.

3 Übungsmaterial 3.2 Der Gauÿ-Algorithmus Ein Gleichungssystem lässt sich durch zwei Typen von Äquivalenzumformungen in die Dreiecksform bringen: ) Multiplikation einer Gleichung mit einer Zahl r R \ {0} 2) Ersetzen einer Gleichung durch die Summe aus ihr und dem Vielfachen einer anderen Gleichung Dieses Verfahren heiÿt Gauÿ-Algorithmus. Beispiel Gegeben sei das Gleichungssystem I x + 4x 2 + x 3 = 7 II 3x + 2x 2 + 4x 3 = III 2x + 5x 2 + 4x 3 = 4 Um den Gauÿ-Algorithmus übersichtlicher darstellen zu können, verwenden wir eine Schreibweise ohne Variablen. Das Gleichungssystem wir dann zu Wir ersetzen Gleichung II durch I = ( 3) I + II und Gleichung III durch III = ( 2) I + III: Nun ersetzen wir Gleichung III durch III = 3 II 0 III : Das Gleichungssystem lautet nun ausgeschrieben I x + 4x 2 + x 3 = 7 II 0x 2 + x 3 = 22 III 7x 3 = und wir können bereits x 3 = 2 daraus ablesen. Einsetzen in II und I liefert x 2 = 2 und x =, also L = 2. 2

4 Übungsmaterial 4.3 Anzahl der Lösungen eines Gleichungssystems Ein Gleichungssystem kann entweder genau eine, keine, oder aber unendlich viele Lösungen haben. Das Gleichungssystem aus dem Beispiel in.2 hatte genau eine Lösung. Das Gleichungssystem aus Beispiel 3 in. hatte keine Lösung am Schluss tauchte ein Widerspruch auf (0 = 4). Nun noch ein Beispiel für ein Gleichungssystem mit unendlich vielen Lösungen: I x + 2x 2 + 3x 3 = 0 II 2x 3x 2 x 3 = 0 III 3x 8x 2 5x 3 = 0 Ein System aus Gleichungen, deren rechte Seiten verschwinden, heiÿt homogenes Gleichungssystem. Es hat entweder genau eine Lösung, nämlich (0, 0, 0), oder unendlich viele. welcher Fall liegt hier vor? Wir verwenden den Gauÿ-Algorithmus: I II I III II III Wir erhalten: 0x + 0x 2 + 0x 3 = 0. Da dies für jedes beliebige Tripel (x, x 2, x 3 ) gilt, gibt es unendlich viele Lösungen, also L =..4 Unter- und überbestimmte Gleichungssysteme Denition Ein Gleichungssystem heiÿt unterbestimmt, wenn die Zahl der Gleichungen geringer ist als die Zahl der Unbekannten. Ein Gleichungssystem heiÿt überbestimmt, wenn die Zahl der Gleichungen höher ist als die Zahl der Unbekannten. Beispiele ) Bei I x + 2x 2 + x 3 = 3 II x x 2 2x 3 = 0 handelt es sich um ein unterbestimmtes Gleichungssystem.

5 Übungsmaterial 5 Wir verwenden den Gauÿ-Algorithmus: II I III ( 3) Es ist also x 2 = x 3 x = 3 2x 2 x 3 = x 3 x 3 = = + x 3 + λ Wir wählen x 3 = λ. Dann ist L = λ = λ 2) Bei + λ. 0 I x + 2x 2 = 0 II 2x + 5x 2 = 2 III x x 2 = 5 handelt es sich um ein überbestimmtes Gleichungssystem. Wir verwenden den Gauÿ-Algorithmus: I II I III II +III Wir erhalten den Widerspruch 0x 2 =. Das Gleichungssystem hat also keine Lösung, es ist L = { }..5 Aufgabe Löse folgende linearen Gleichungssysteme: ) I x + x 2 + x 3 = 0 II x 3x 2 + 2x 3 = 0 III 2x 4x 2 + x 3 = 0 2) I 2x + 2x 2 = 3 II x + 8x 3 = 7 III x 3 =

6 Übungsmaterial 6 Lösung ) I+II I+III III II Lösung: x = x 2 = x 3 = 0, also L = ) Es existiert zwar noch keine Dreiecksform, dennoch lässen sich die Lösungen von unten nach oben ablesen. I 2x + 2x 2 = 3 II x + 8x 3 = 7 III x 3 = x 3 = x + 8 = 7 x = 2 + 2x 2 = 3 x 2 = 2. Wir erhalten L =. 2.6 Aufgabe 2 Bestimme a so, dass das Gleichungssystem lösbar ist! I ax + 3x 2 + 2x 3 = 0 II 3ax + 5x 2 + 3x 3 = 2a + III 2ax 2x 2 2x 3 = 2a

7 Übungsmaterial 7 Lösung a 3a 5 3 2a + 2a 2 2 2a III 2 3 I II a 2a 2 2 2a II III 2 I III a Eine Lösung gibt es nur, wenn a a = 0, also wenn a =. Dann erhalten wir das System x 2 = 3x 3 x 2 = x 3 x = 3x 2 + 2x 3 = x 3 + 2x 3 = x λ Wir erhalten als Lösung L = λ = λ

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