Welle-Teilchen-Dualismus

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1 Welle-Teilchen-Dualismus Lennart Oymanns 08. März 2005 Schule: Heinrich-Heine-Gymnasium Bottrop Kurs: Physik-LK Lehrer: Katriniok2 Schuljahr: 2004/2005 I

2 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 1 2 Geschichte 1 3 Photoeffekt Versuch Qualitativ Quantitativ Folgerungen Klassischer Erklärungsversuch Quantenphysikalische Erklärung Doppelspaltexperiment Versuch mit Teilchen mit Wellen mit Licht Schluss 10 6 Anhang 11 I

3 1 Einleitung Die Facharbeit behandelt das Phänomen des Photoeffekt, dessen Erklärung die heutige moderne Physik begründete. Zum einen werden die Widersprüche, die sich aus der Erklärung mit der klassischen Physik ergeben, aufgezeigt und so dargestellt, dass die Notwendigkeit einer neuen Theorie deutlich wird. Zum anderen werden die Ergebnisse des Doppelspaltexperiments mit Hilfe der klassischen Physik erklärt. Weiterhin ist die Erklärung des Photoeffekts mit der modernen Physik und die Erklärung des Doppelspaltexperiments enthalten. Aus beiden Erklärungen entsteht das Problem, ob Licht als Welle oder als Teilchenstrom angesehen werden müssen. Die beiden grundlegenden Experimente zeigen, dass zur Lösung des Problems eine neue Theorie entwickelt werden musste. 2 Geschichte Gegen Ende des 19. Jhd. vertraten die Physiker ein dualistisches Materiekonzept. Es gab die klassische Mechanik, die z.b. die Bewegung von Körpern und die Gravitation beschreibt, indem Ort und Impuls aller Teilchen eines Systems in ihrer zeitlichen Veränderung betrachtet werden. Außerdem gab es noch die elektromagnetischen Felder, die Wellen beschrieben. Ein Objekt war entweder mit der klassischen Mechanik oder mit elektromagnetischen Feldern zu beschreiben. Man hatte jedoch keine sicheren Erkenntnisse, ob das Licht als Welle ähnlich Wasserwellen, die sich gegenseitig aufheben können, oder als ein Strom kleinster Teilchen angesehen werden muss. Isaac Newton ( ) vertrat die Theorie, dass das Licht wie Schauer von Korpuskeln, etwa wie Regen oder Kugeln, die aus Gewehren abgefeuert werden 1 angesehen werden muss. Am Anfang des 19. Jhd. zeigte aber Thomas Young ( ) in einem Doppelspaltexperiment, dass das Licht Interferenzen ähnlich der Interferenzen von Wasserwellen bildet. Damit war bewiesen, dass das Licht nicht aus Korpuskeln besteht, sondern eine Welle ist. 1 Richard P. Feynman. Vom Wesen physikalischer Gesetze, Piper, 6. Auflage, 2003, S.158 1

4 Um 1900 wurden jedoch einige Experimente durchgeführt, die sich nicht mit der Wellentheorie des Lichts erklären ließen, also musste die Theorie neu überdacht werden. Max Planck ( ) erklärte das Lichtspektrum eines Schwarzen Körpers, indem er annahm, dass die Energie nur quantisiert auftritt. Seine Ergebnisse trafen im Gegensatz zu den Ergebnissen, die mit der Wellentheorie erzielt wurden, auf die Wirklichkeit zu. Albert Einstein ( ) griff diesen Gedanken auf und nahm an, dass auch das Licht quantisiert auftritt und erklärte so den Photoeffekt. Für diese Erklärung bekam er 1921 den Nobelpreis. Jedoch folgte daraus, dass das Licht aus Teilchen (Photonen) und Welle zu gleich besteht. Aus dieser Annahme wurde eine völlig neue Theorie entwickelt: Die Quantenmechanik. Die Quantenmechanik prägt auch heute noch unsere Welt entscheidend, denn sie findet z.b. Anwendung in der Medizin bei Kernspintomographen, bei Elektronenmikroskopen, in Lasern und in der Halbleitertechnik, ohne die unsere heute Elektronik, wie z.b. Computer oder Handys, nicht zu denken wären. 3 Photoeffekt 3.1 Versuch Heinrich Hertz beobachtete 1886 erstmals den Photoeffekt. Sein Schüler Wilhelm Hallwachs untersuchte den Photoeffekt genauer, deshalb wurde der Photoeffekt auch Hallwachs- Effekt genannt. Hallwachs Arbeit setze um 1900 Philipp Lenard fort, der hierfür 1905 den Nobelpreis erhielt. Beim Photoeffekt zeigt sich, dass Elektronen aus negativ geladenen Metallplatten mit Hilfe von UV-Licht herausgelöst werden können. Diese Beobachtungen lassen sich aber nicht mit der klassischen Wellentheorie des Lichts erklären. Erst Albert Einstein gelang es die Ergebnisse mit einer neuen Theorie zu erklären, wofür er 1921 den Nobelpreis erhielt Qualitativ Qualitativ lässt sich der Photoeffekt (oder auch Lichtelektrischer Effekt) demonstrieren, indem man eine negativ geladene und isolierte Metallplatte mit UV-Licht bestrahlt und die Ladung der Metallplatte z.b. mit einem Elektroskop beobachtet. Man stellt fest, dass sich die Platte entlädt. Führt man das gleiche Experiment mit einer positivgeladenen Metallplatte durch, so stellt man fest, dass keine Entladung stattfindet. Führt man den Versuch mit normalem Sonnenlicht durch, findet auch keine Entladung statt. 2

5 3.1.2 Quantitativ Möchte man nun auch die kinetische Energie messen, die die einzelnen emittierten Elektronen haben, ermitteln, so verwendet man die Gegenfeld-Methode. Man verwendet eine Kathode (S.12, Abb. 3), die mit Licht bestrahlt wird und aus der so Elektronen emittiert werden, und eine Anode. Treffen nun Elektronen auf die Anode auf, fließt ein Strom in dem an die Anode angeschlossenen Stromkreis. Legt man nun eine hohe positive Spannung an die Anode an, werden die Elektronen in Richtung der Anode beschleunigt und treffen dann auf der Anode auf. Wenn man nun die positive Spannung erhöht, kommen immer mehr Elektronen an der Anode an und der Strom wird größer. P. Lenard zeigte in seinen Versuchen, dass ab einer bestimmten Spannung sich der Strom nicht mehr erhöht und dass der maximale Strom proportional zur Lichtintensität ist. Daraus kann man schließen, dass ab diesem Punkt alle emittierten Elektronen angezogen werden. Legt man nun eine negative Spannung an, werden die Elektronen von der Anode abgestoßen, so dass weniger Elektronen ankommen und also auch die Stromstärke abnimmt. Es können dann nur noch die Elektronen ankommen, deren kinetische Energie ( 1 2 mv2 ) größer ist als die kinetische Energie (eu), die die Elektronen vom elektrischen Feld bekommen. Ist die Spannung nun so stark negativ, dass gerade keine Elektronen an der Anode ankommen, muss die maximale kinetische Energie der Elektronen gleich der kinetischen Energie sein, die die Elektronen vom elektrischen Feld bekommen. 2 ( ) 1 2 mv2 = eu 0 (1) max Die Spannung U 0 ist aber nicht von der Lichtintensität abhängig. Die klassische Theorie sagt aber voraus, dass die Elektronen mit höherer Intensität mehr Energie absorbieren und so die kinetische Energie der Elektronen mit der Lichtintensität steigt Folgerungen Die Ladung der Metallplatte muss von negativen Ladungsträgern innerhalb der Platte verursacht werden, an die bei der Bestrahlung mit Licht vom Licht Energie übertragen wird, so dass diese die Platte verlassen können. Nur die negativen Elektronen lassen sich aus der Platte lösen, positive Ladungsteilchen können nicht aus der Platte herausgelöst werden. 2 Sachbereich Physik 3

6 3.2 Klassischer Erklärungsversuch Bei der klassischen Erklärung muss die elektromagnetische Welle eine Kraft F aufbringen, um einen negativen Ladungsanteil aus der negativ geladenen Platte herauszulösen. Da es sich um elektrische Teilchen handelt, muss nur das elektrische Feld des Lichts beachtet werden. Die Kraft, die das elektromagnetische Feld aufbringt, ist definiert als F = mẍ = qe. Die Ladung q ist in diesem Fall gleich der Ladung eines Elektrons. Das elektrische Feld des Lichts ist nicht konstant, sondern abhängig von der Zeit. Also muss für das Feld eine Funktionsvorschrift gefunden werden. Da es sich um eine harmonische Welle mit der Wellelängeλhandelt, gilt: E=E max cos( 2π λ x) 3 (2) Diese Formel muss nun noch in Abhängigkeit von der Zeit t gebracht werden, da die Beschleunigung ẍ auch in Abhängigkeit zur Zeit steht. Setzt man in die Gleichung x= ẋt mit ẋ=c ein, erhält man: E=E max cos(2π λ c t) (3) Setzt man nun noch in die Formel für die Kreisfrequenzω=2π f= 2π c λ erhält man: E=E max cos(ωt) (4) Nun kann man dieses in Gleichung mit der Gleichung der Kraft gleichsetzen und weiter umformen, so dass sich die kinetische Energie ergibt, die ein Elektron übertragen bekommt, wenn es aus der Metallplatte herausgeschleudert wird. mẍ= ee max cos(ωt) (5) Integriert man diese Gleichung nun, so erhält man die Gleichung für die Geschwindigkeit ẋ. ẋ= ee max mω sin(ωt) (6) Um nun die kinetische Energie bestimmen zu können, setzt man in die Gleichung für die kinetische Energie (W kin = 1 2 mẋ2 ) ein und erhält: 3 Quellenangabe fehlt W kin = 1 e 2 Emax 2 sin 2 (ωt) (7) 2 mω 2 4

7 Die maximale kinetische Energie ergibt sich nun, wenn die trigonometrische Funktion ihren Maximalwert erreicht erreicht. W kin,max = 1 e 2 Emax 2 (8) 2 mω 2 Daraus folgt nun direkt: W kin,max E 2 max (9) Da die maximale Feldstärke E 2 max proportional zu der Lichtintensität I ist 4, ergibt sich, dass die Lichtintensität auch proportional zur maximalen kinetischen Energie ist. W kin,max 1 ω 2 1 f 2 (10) Aus der klassischen Theorie folgt, dass je größer die Frequenz ist, umso weniger Elektronen emittiert werden. Das Experiment zeigt aber, dass erst ab einer bestimmten Frequenzgrenze Elektronen überhaupt emittiert werden. Hier ist der erste Widerspruch der Theorie zur Natur zu erkennen. Die maximale Energie der Elektronen sollte laut der klassischen Theorie von der Intensität des Lichts abhängen, das tut sie aber nicht, lediglich die Anzahl der emittierten Elektronen hängt von der Intensität ab. Wenn die Intensität des Lichts gering ist, müsste sich sich die Energie solange ansammeln bis Elektronen emittiert werden, d.h. es würde eine Zeitverzögerung auftreten, die im Experiment aber nicht festgestellt werden kann. Die Energie der von der Metallplatte emittierten Elektronen sollte mit immer größer werdender Frequenz geringer werden. Die Energie nimmt jedoch mit der Frequenz zu. Die Wellentheorie des Lichts steht also im Widerspruch zur Natur und es muss deshalb eine neue Theorie entwickelt werden, um den lichtelektrischen Effekt erklären zu können. 3.3 Quantenphysikalische Erklärung Diese Widersprüche lassen sich nur auflösen, wenn man annimmt, dass Licht nicht kontinuierlich im Raum verteilt ist, sondern aufgeteilt auf kleine Teilchen (Photonen). Für die Energie eines Photons verwandte Einstein die Energieformel, die Max Planck verwendet hat, um das Lichtspektrum eines Schwarzen Körpers zu erklären (E= h f ), h ist das Planck sche Wirkumsquantum eine Naturkonstante mit dem Wert 6, Js und f ist Frequenz des Lichts. Daraus folgt, dass ein Elektron, das von der Metallplatte emittiert wird, die Energie eines Photons bekommt, mit dem es in Wechselwirkung tritt. 4 Quellenangabe fehlt 5

8 Nun ergibt sich aus Gleichung (Bezug) und E= h f folgende Gleichung: ( ) 1 2 mv2 = eu 0 = h f W A (11) max Die Auslösearbeit W A ist die Energie, die benötigt wird, um die Elektronen zu lösen. Die Auslösearbeit ist materialabhängig. Elektronen werden aus der Platte erst ab einer Grenzfrequenz f Gr emittiert, also muss gelten: h f h f Gr = eu A. Formt man diese Gleichung nun nach U 0, so erhält man: U 0 = h e f W A e = h e f U A (12) Nun hat man eine Funktion für die Spannung, abhängig von der Frequenz mit der Steigung h. e Einsteins Photonentheorie war zunächst nur eine Vermutung, da man nicht wusste, ob Plancks Energieformel nur bei der Strahlung von Schwarzen Körpern oder auch bei anderen Experimenten gültig ist. Millikan konnte in Versuchen in den Jahren 1914 und 1916 zeigen, dass die Messdaten für die Spannung in Abhängigkeit von der Frequenz eine Gerade ergibt, die die Steigung h e hat. Millikan konnte dadurch den von Planck ermittelten Wert für das Planck sche Wirkumsquantum bestätigen. Die Nullstelle der Funktion liegt bei U Ae und entspricht der Grenzfrequenz. Wird nun die h Lichtintensität erhöht, kommen mehr Photonen an der Metallplatte an und mehr Elektronen werden emittiert, die Energie der Elektronen ändert sich jedoch nicht. Damit ein Elektron überhaupt emittiert werden kann, muss eine bestimmt Energie aufgebracht werden, die nur von der Frequenz eines Photons abhängt. Also werden nur Photonen emittiert, wenn die Frequenz der Photonen eine bestimmte Grenze überschritten hat. Eine Ansammlung von Energie, wie in der klassischen Theorie vorausgesagt, gibt es nach der quantenmechanischen Theorie nicht, da die Energie nur in kleinen Teilen auf die Elektronen übertragen werden kann. Da die Energie proportional zur Frequenz ist, steigt Energie der emittierten Elektronen mit der Frequenz, was auch im Experiment zu beobachten ist. Die quantenphysikalische Erklärung steht also im Gegensatz zur klassischen Erklärung im Einklang mit den Ergebnissen des Experiments und ist somit als gültig anzusehen. 6

9 4 Doppelspaltexperiment 4.1 Versuch Ein Doppelspaltexperiment wurde von Thomas Young durchgeführt, um zu klären, ob Licht eine Welle ist oder aus einem Strom von Korpuskeln besteht, wie Isaac Newton es behauptet hatte. Bei diesem Experiment werden Wellen und Teilchen auf eine Platte mit zwei Spalten geschossen. Wenn die Objekte den Doppelspalt passiert haben, wird ihre Ankunft an einem Detektor gemessen. 4.2 mit Teilchen Führt man dieses Experiment mit Gewehrkugeln durch, die mit zufälliger Richtung auf den Doppelspalt geschossen werden, so treffen in der Mitte des Detektors mehr Gewehrkugeln ein als an dessen Rand. Jede Gewehrkugel, die an der Detektorfläche angekommen ist, ist durch einen der beiden Spalte geflogen und ist dort entweder direkt durchgeflogen oder an der Kante des Spalts abgeprallt. Verdeckt man nun einen Spalt, so dass die Kugeln nur noch durch einen Spalt fliegen können, erhält man eine Kugelankunftsverteilung (P 1 ) am Detektor. Führt man das Experiment nun nochmals durch, wobei diesesmal der anderer Spalt verdeckt ist, so erhält man die zweite Kugelankunftsverteilung (P 2 ). Wenn man nun beide Kugelankunftsverteilungen betrachtet, stellt man fest, dass die erste Ankunftsverteilung ungefähr gleich der gespiegelten Zweiten ist, da die Maxima beider Ankunftsverteilungen dort liegen, wo die Kugeln einen direkten Weg durch den Spalt genommen haben, also nicht an der Kante abgeprallt sind. Da die Gewehrkugeln in allen Experimenten nacheinander abgeschossen wurden, konnten sie sich gegenseitig nicht beeinflussen, so dass die Ankunftsverteilung bei beiden geöffneten Spalten die Addition der ersten beiden Ankunftsverteilungen sein muss. 4.3 mit Wellen Wenn man den gleichen Versuch mit Wellen, wie z.b. mit Wasserwellen durchführt, so erhält man zwei punktförmige Wellenquellen an den beiden Spalten, da sich die Welle in dem Spalt ähnlich aufschaukelt als wenn man einen Stein ins Wasser wirft. Der Detektor misst bei diesem Versuch die Intensität der ankommenden Welle in bestimmten Abschnitten. 7

10 Man beobachtet nun, dass die Welle nicht wie die Gewehrkugeln in kleinen Teilen bestimmter Größe ankommen, sondern als Überlagerung von zwei Wellen. 4.4 mit Licht Wenn man das Doppelspaltexperiment mit Licht durchführt, erhält man eine Ankunftsverteilung wie bei Wasserwellen. Es ist also auf den ersten Blick anzunehmen, dass das Licht eine Welle ist. Für den Winkel (θ) (S. 11, Abb. 1) zwischen der Mitte des Schirms und dem Punkt (P) auf dem die Lichtstrahlen aus beiden Spalten auftreffen, gilt laut der Definition des Tangens folgende Formel: tanθ= y (13) l Wobei l hier dem Abstand zwischen dem Doppelspalt und dem Detektorschirm entspricht und d dem Abstand der beiden Mitten der Spalten. Mit der Definition des Tangens kann man nun auch die Winkelαundβ, die ein rechtwinkliges Dreieck zwischen dem Punkt P und dem jeweiligen Spalt aufspannen, beschreiben. tanα= y d 2 l tanβ= y+ d 2 l (14) Wählt man im Experiment nun einen Schirmabstand der wesentlich größer ist als der Abstand beider Spalten, so sind die drei Winkel ungefähr gleich groß, da 2 d 1 l und so in beiden Gleichungen entfällt. sehr klein ist Den Weg den der Lichtstrahl, der im zweiten Spalt (S 1 ) entspringt, mehr zurücklegen muss, lässt sich nun mit der Definition des Sinus berechnen: s = d sinθ (S. 11, Abb. 2). Dieser Wegunterschied entspricht einer Verschiebung der Welle entlang der x-achse im Koordinatensystem. Möchte man die resultierende Welle aus zwei einzelnen Wellen berechnen, so müssen ähnlich wie bei den Teilchen beide Wellen addiert werden. Der Unterschied ist hier nun aber, dass eine Welle unterschiedliche Werte annehmen kann, d.h. schwächer bzw. stärker sein kann. Liegen die Maxima beider Wellen aufeinander, so ist auch dort das absolute Maximum, das die beiden Wellen haben können. Sind die Wellen genau um die halbe Wellenlänge verschoben, so heben sie sich bei gleicher Amplitude auf. Beträgt der Wegunterschied ein vielfaches der Wellenlänge, liegt für diesen Winkel ein Maxima am Schirm vor und ist der Wegunterschied ein vielfaches der Wellenlänge plus einer halben Wellenlänge, heben sich beide Wellen auf. Daraus folgt nun für die Maxima am Schirm: d sinθ=mλ m=0, 1, 2,... (15) 8

11 und für die Minima: d sinθ= ( m+ 1 ) λ m=0, 1, 2,... (16) 2 Betrachtet man nun den Abstand der Maxima bzw. Minima von der Achse, so erhält man für den m-ten Abstand (y m mit dem zugehörigen Winkelθ m ): tanθ m = y m l (17) Wenn der Winkel klein ist, gilt die Kleinwinkelnäherung, also ist d sinθ d y m. Setzt man l dieses nun in die Gleichung der Maxima ein, so erhält man für den Abstand des m-ten Maxima von der Achse bei kleinem Winkeln folgende Gleichung: y m m λl d (18) Daraus folgt nun direkt, dass der Abstand zweier Maxima immer gleich sein muss, deshalb gilt y m y m 1 = λl = y. Möchte man nun nicht nur bestimmen können, wo die Lichtintensität ihren Maximalwert erreicht, sondern auch welchen Wert sie an einem d beliebigen Punkt erreicht, so muss man Lichtwellen aus dem ersten Spalt zu der Lichtwelle aus dem zweiten Spalt addieren. Da beide Lichtwellen der selben Lichtquelle entstammen, unterscheiden sie sich nur durch ihre Phase. Da die Abstände zwischen den Maxima und Minima wie oben gezeigt gleich sind, ist die Welle harmonisch, deshalb gilt: E 1 = A 0 sinωt E 2 = A 0 sin(ωt+δ) (19) E 1 entspricht hier dem elektrischen Feld am Punkt P, das von der Welle aus dem ersten Spalt (S 1 ) kommt, und E 2 entspricht dem elektrischen Feld der Welle aus dem zweiten Spalt (S 2 ). Die Phasendifferenz (δ), um die die zweite Welle verschoben ist 5, ist hier gleich 2πd sinθ. Addiert man nun beide Wellen, folgt: λ E=E 1 + E 2 = A 0 sinωt+a 0 sin(ωt+δ) (20) Wendet man nun noch das Additionstheorem auf diese Gleichung an, so erhält man: E= 2A 0 cos 1 2 δ sin ( ωt+ 1 2 δ ) (21) 5 Wesentlich ist hier der sog. Gangunterschied 9

12 Die Intensität ist proportional zum Quadrat der Amplitude, die hier 2A 0 cos 1 δ ist. Also ist 2 I= 4I 0 cos 2 1δ, wobei I 2 0 gleich der Amplitude bei nur einem Spalt ist.δ lässt sich durch die Gleichungδ= 2π λ d sinθ ausdrücken. Für einen kleinen Winkelθgilt: d sinθ y m d l. Setzt man dieses nun in die Gleichung fürδein, so erhält man:δ 2π λ Daraus ergibt sich, folgende Gleichung: y m d l. I= 4I 0 cos 2 1 2πdy m 2 λl (22) Führt man dieses Experiment mit einem Laser durch und nimmt man an, dass Licht aus Teilchen besteht, so gibt es einen entscheidenden Unterschied zu dem Experiment mit den Gewehrkugeln: Bei dem Teilchenexperiment flog immer ein einzelnes Teilchen alleine durch die Anordnung. Nun wäre es aber ein Partikelstrom, d.h. die einzelnen Partikel könnten sich untereinander ablenken, so dass möglicherweise wieder ein Intefernzenbild am Detektor entsteht. Man hat aber in Experimenten gezeigt, dass auch ein Interfernzenmuster auftritt, wenn die Photonen einzeln den Doppelspalt passieren, daraus folgt: Ein Photon interferiert mit sich selber, d.h. das Photon ist Teilchen und Welle zu gleich. 5 Schluss In der Facharbeit wird dargestellt, dass das Licht in einigen Experimenten, wie beim Experiment zum Photoeffekt, als Teilchenstrom angesehen werden muss. Wenn man das Licht in anderen Experimenten jedoch als Teilchen ansieht, entstehen Widersprüche zur Natur. Also muss in einigen Experimenten das Licht als Welle angesehen werden. Daraus folgt, dass das Licht Welle und Teilchen zu gleich sein muss. Die genauere Beschreibung dieser Wellenobjekte erfolgte in den 20er Jahren des vorigen Jahunderts. Offen bleibt im Rahmen dieser Arbeit die Frage, wann genau das Licht als Welle und wann als Teilchen angesehen werden muss und wie genau sich das Verhalten mathematisch beschreiben lässt. Eine weiter Fragestellung, nämlich ob sich die Ergebnisse auf andere Teilchen wie das Elektron übertragen lassen, also ob z.b. das Elektron, das zunächst nur als Teilchen bekannt war, wie das Photon Welleneigenschaften hat. 10

13 6 Anhang Abbildung 1: Doppelspaltexperiment Abbildung 2: Doppelspaltexperiment2 11

14 Abbildung 3: Photoeffekt 12

15 Literatur [Bad00] Dr. Franz Bader, editor. Dorn-Bader Physik 12/13 Gymnasium Sek II. Schroedel Verlag GmbH, 6. edition, [Fey03] Richard P. Feynman. Vom Wesen physikalischer Gesetze. Piper, 6. edition, [Fey04] Richard P. Feynman. QED, Die seltsame Theorie des Lichts und der Materie. Piper, 10. edition, [hm05] muenchen.de/ milq/kap1/iu_pages/warumphotonen.html, [Tip94] Paul A. Tipler. Physik. Spektrum, Akd. Verl., 3. edition, [Wal98] Tony Hey;Patrick Walters. Das Quantenuniversum: die Welt der Wellen und Teilchen. Spektrum, Akd. Verl., 1. edition, [Wol87] H. Haken; H.C. Wolf. Atom- und Quantenphysik: e. Einf. in d. experimentellen u. theoret. Grundlagen. Springer-Verlag, 3. edition,

16 t[fey04][fey03][wol87][tip94],[wal98][bad00][hm05] 14