Analysis of Crash Simulation Data using Spectral Embedding with Histogram Distances

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1 Analysis of Crash Simulation Data using Spectral Embedding with Histogram Distances Luisa Schwartz Universität Bonn Institut für Numerische Simulation Fraunhofer SCAI 25. September 2014 Luisa Schwartz (Uni Bonn/Fraunhofer SCAI) Simulation Data Analysis 25. September / 22

2 Analyse von Crashtest-Simulationsdaten mittels Spectral Embedding und Histogramm-Abständen Luisa Schwartz Universität Bonn Institut für Numerische Simulation Fraunhofer SCAI 25. September 2014 Luisa Schwartz (Uni Bonn/Fraunhofer SCAI) Analyse von Simulationsdaten 25. September / 22

3 Einführung Automobildaten Automobildaten Luisa Schwartz (Uni Bonn/Fraunhofer SCAI) Analyse von Simulationsdaten 25. September / 22

6 Mathematische Grundlagen Dimensionsreduktion mit Diffusion Maps Dimensionsreduktion (DR) Gegeben Datenmenge Y = {y 1,..., y m } R n Gesucht Abbildung f : Y R s mit s n, die geometrische Informationen erhält: In Datenraum ähnliche Punkte sollen auch im Einbettungsraum ähnlich sein. Luisa Schwartz (Uni Bonn/Fraunhofer SCAI) Analyse von Simulationsdaten 25. September / 22

7 Mathematische Grundlagen Dimensionsreduktion mit Diffusion Maps Dimensionsreduktion (DR) Gegeben Datenmenge Y = {y 1,..., y m } R n Gesucht Abbildung f : Y R s mit s n, die geometrische Informationen erhält: In Datenraum ähnliche Punkte sollen auch im Einbettungsraum ähnlich sein. Problem Wie definiert man Ähnlichkeit? Luisa Schwartz (Uni Bonn/Fraunhofer SCAI) Analyse von Simulationsdaten 25. September / 22

8 Mathematische Grundlagen Dimensionsreduktion mit Diffusion Maps Dimensionsreduktion (DR) Gegeben Datenmenge Y = {y 1,..., y m } R n Gesucht Abbildung f : Y R s mit s n, die geometrische Informationen erhält: In Datenraum ähnliche Punkte sollen auch im Einbettungsraum ähnlich sein. Problem Wie definiert man Ähnlichkeit? Gauß-Kern k ε (x, y) := exp ( ) d(x, y)2 ε mit d(x, y) Abstandsfunktion. Luisa Schwartz (Uni Bonn/Fraunhofer SCAI) Analyse von Simulationsdaten 25. September / 22

9 Mathematische Grundlagen Dimensionsreduktion mit Diffusion Maps Spectral Embedding Diffusion Maps [Coifman and Lafon, 2006] Random Walk über Y mit Übergangsmatrix P R m m Übergangswahrscheinlichkeiten proportional zu k ε (x, y) {λ i } i, {ψ i } i Eigenwerte und Eigenvektoren von P, ψ i R m Luisa Schwartz (Uni Bonn/Fraunhofer SCAI) Analyse von Simulationsdaten 25. September / 22

10 Mathematische Grundlagen Dimensionsreduktion mit Diffusion Maps Spectral Embedding Diffusion Maps [Coifman and Lafon, 2006] Random Walk über Y mit Übergangsmatrix P R m m Übergangswahrscheinlichkeiten proportional zu k ε (x, y) {λ i } i, {ψ i } i Eigenwerte und Eigenvektoren von P, ψ i R m Diffusionsabstand m D(x, y) 2 = λ 2 l (ψ l (x) ψ l (y)) 2 l=2 Luisa Schwartz (Uni Bonn/Fraunhofer SCAI) Analyse von Simulationsdaten 25. September / 22

11 Mathematische Grundlagen Dimensionsreduktion mit Diffusion Maps Spectral Embedding Diffusion Maps [Coifman and Lafon, 2006] Random Walk über Y mit Übergangsmatrix P R m m Übergangswahrscheinlichkeiten proportional zu k ε (x, y) {λ i } i, {ψ i } i Eigenwerte und Eigenvektoren von P, ψ i R m Diffusionsabstand s+1 D(x, y) 2 = λ 2 l (ψ l (x) ψ l (y)) 2 +E(s) l=2 Luisa Schwartz (Uni Bonn/Fraunhofer SCAI) Analyse von Simulationsdaten 25. September / 22

12 Mathematische Grundlagen Dimensionsreduktion mit Diffusion Maps Spectral Embedding Diffusion Maps [Coifman and Lafon, 2006] Random Walk über Y mit Übergangsmatrix P R m m Übergangswahrscheinlichkeiten proportional zu k ε (x, y) {λ i } i, {ψ i } i Eigenwerte und Eigenvektoren von P, ψ i R m Diffusionsabstand s+1 D(x, y) 2 = λ 2 l (ψ l (x) ψ l (y)) 2 +E(s) l=2 Diffusionsabbildung Ψ : Y R s, x (λ 2 ψ 2 (x), λ 3 ψ 3 (x),..., λ s+1 ψ s+1 (x)) T Luisa Schwartz (Uni Bonn/Fraunhofer SCAI) Analyse von Simulationsdaten 25. September / 22

13 Mathematische Grundlagen Dimensionsreduktion mit Diffusion Maps Spectral Embedding Diffusion Maps [Coifman and Lafon, 2006] Random Walk über Y mit Übergangsmatrix P R m m Übergangswahrscheinlichkeiten proportional zu k ε (x, y) {λ i } i, {ψ i } i Eigenwerte und Eigenvektoren von P, ψ i R m Diffusionsabstand s+1 D(x, y) 2 = λ 2 l (ψ l (x) ψ l (y)) 2 +E(s) l=2 Diffusionsabbildung Ψ : Y R s, x (λ 2 ψ 2 (x), λ 3 ψ 3 (x),..., λ s+1 ψ s+1 (x)) T = Ψ(x) Ψ(y) = D(x, y) + Ẽ(s) Luisa Schwartz (Uni Bonn/Fraunhofer SCAI) Analyse von Simulationsdaten 25. September / 22

14 Mathematische Grundlagen Dimensionsreduktion mit Diffusion Maps Konkretes Problem Problem Unsere Datenpunkte liegen in unterschiedlichen Räumen R n i, bedingt durch leicht unterschiedliche Gitter bei der zugrundeliegenden Simulation. Frage Kann man einen sinnvollen Abstand für Diffusion Maps wählen, für den die ursprünglichen Datenpunkte unterschiedliche Dimension haben können? Luisa Schwartz (Uni Bonn/Fraunhofer SCAI) Analyse von Simulationsdaten 25. September / 22

15 Mathematische Grundlagen Histogramme und Histogrammabstände Histogramme und Histogrammabstände Lösung Darstellung der Datenpunkte als Histogramme bezüglich der absoluten Verschiebung neuer Parameter: n bins Luisa Schwartz (Uni Bonn/Fraunhofer SCAI) Analyse von Simulationsdaten 25. September / 22

16 Mathematische Grundlagen Histogramme und Histogrammabstände Verwendete Histogrammabstände Bin-to-Bin: χ 2 -Abstand χ 2 (H, K) = 1 2 i I (h(i) k(i)) 2 h(i) + k(i) Cross-Bin: Earth Mover s Distance (EMD) [Rubner et al., 2000] Anschauung: Histogramme H und K als Erdhaufen und Erdlöcher mit zugeordnetem Grundabstand, modelliert als Transportkosten c ij für Transport einer Masseeinheit von Bin i in Histogramm H nach Bin j in Histogramm K. Lösung des Transportproblems liefert EMD als minimale Kosten. Luisa Schwartz (Uni Bonn/Fraunhofer SCAI) Analyse von Simulationsdaten 25. September / 22

17 Algorithmus Methode 1 Datenextraktion: Auslesen der 3m Verschiebungsvektoren in x, y und z-richtung aus den Simulationsdaten und Berechnen der absoluten Verschiebungen Luisa Schwartz (Uni Bonn/Fraunhofer SCAI) Analyse von Simulationsdaten 25. September / 22

18 Algorithmus Methode 1 Datenextraktion: Auslesen der 3m Verschiebungsvektoren in x, y und z-richtung aus den Simulationsdaten und Berechnen der absoluten Verschiebungen 2 Vorbehandlung (Preprocessing): Festlegen von globalen Klassen und Erstellen der m Histogramme Luisa Schwartz (Uni Bonn/Fraunhofer SCAI) Analyse von Simulationsdaten 25. September / 22

19 Algorithmus Methode 1 Datenextraktion: Auslesen der 3m Verschiebungsvektoren in x, y und z-richtung aus den Simulationsdaten und Berechnen der absoluten Verschiebungen 2 Vorbehandlung (Preprocessing): Festlegen von globalen Klassen und Erstellen der m Histogramme 3 Erstellen eines Kerns unter Verwendung eines passend gewählten Histogrammabstands Luisa Schwartz (Uni Bonn/Fraunhofer SCAI) Analyse von Simulationsdaten 25. September / 22

20 Algorithmus Methode 1 Datenextraktion: Auslesen der 3m Verschiebungsvektoren in x, y und z-richtung aus den Simulationsdaten und Berechnen der absoluten Verschiebungen 2 Vorbehandlung (Preprocessing): Festlegen von globalen Klassen und Erstellen der m Histogramme 3 Erstellen eines Kerns unter Verwendung eines passend gewählten Histogrammabstands 4 Dimensionsreduktion: Anwenden von Spectral Embedding Luisa Schwartz (Uni Bonn/Fraunhofer SCAI) Analyse von Simulationsdaten 25. September / 22

21 Algorithmus Methode 1 Datenextraktion: Auslesen der 3m Verschiebungsvektoren in x, y und z-richtung aus den Simulationsdaten und Berechnen der absoluten Verschiebungen 2 Vorbehandlung (Preprocessing): Festlegen von globalen Klassen und Erstellen der m Histogramme 3 Erstellen eines Kerns unter Verwendung eines passend gewählten Histogrammabstands 4 Dimensionsreduktion: Anwenden von Spectral Embedding 5 Aufbereiten und Deuten der Daten: Visualisierung der Einbettung in R 3 oder R 2 Luisa Schwartz (Uni Bonn/Fraunhofer SCAI) Analyse von Simulationsdaten 25. September / 22

22 Ergebnisse Einbettungen Datensatz TRUCK-Beam TRUCK Modell eines Chevrolet C2500 Pick-Ups bei frontalem Aufprall, insgesamt m = 132 Simulationsdurchläufe (unter Variation von 9 Parametern) mit jeweils n = FE-Knoten. TRUCK-Beam Extrahierter Längsträger aus dem TRUCK-Modell, jeweils n = 1714 FE-Knoten. Luisa Schwartz (Uni Bonn/Fraunhofer SCAI) Analyse von Simulationsdaten 25. September / 22

23 Ergebnisse Einbettungen TRUCK-Beam: Bifurkation Luisa Schwartz (Uni Bonn/Fraunhofer SCAI) Analyse von Simulationsdaten 25. September / 22

24 Ergebnisse Einbettungen Ergebnisqualität Anspruch Bifurkationsmodi klar getrennt In Visualisierung ähnliche Ergebnisse in Einbettung nahe beieinander gruppiert Ausreißer erkennbar Luisa Schwartz (Uni Bonn/Fraunhofer SCAI) Analyse von Simulationsdaten 25. September / 22

25 Ergebnisse Einbettungen Luisa Schwartz (Uni Bonn/Fraunhofer SCAI) Analyse von Simulationsdaten 25. September / 22

26 Ergebnisse Parameterstudien Wahl von ε Mehrere Faustregeln [Luxburg, 2007]: Durchschnittlicher Abstand zu log(m) + 1-nächstem Nachbarn Längste Kante eines minimalen Spannbaums Durchschnittlicher Abstand zu nächstem Nachbarn ε := γ m x Y min { d(x, y) d(x, y) 0 } y Y Luisa Schwartz (Uni Bonn/Fraunhofer SCAI) Analyse von Simulationsdaten 25. September / 22

27 Ergebnisse Parameterstudien γ = 1 Abbildung : n bins = 12, γ = 32 Abbildung : n bins = 12, γ = 1 Luisa Schwartz (Uni Bonn/Fraunhofer SCAI) Analyse von Simulationsdaten 25. September / 22

28 Ergebnisse Parameterstudien γ = 1 Luisa Schwartz (Uni Bonn/Fraunhofer SCAI) Analyse von Simulationsdaten 25. September / 22

29 Ergebnisse Parameterstudien Anzahl der Klassen n bins Sturges-Regel [Sturges, 1926] n bins = log 2 (m) + 1 Luisa Schwartz (Uni Bonn/Fraunhofer SCAI) Analyse von Simulationsdaten 25. September / 22

30 Ergebnisse Parameterstudien Variation von n bins Abbildung : n bins = 12, γ = 32 Abbildung : n bins = 5, γ = 32 Abbildung : n bins = 20, γ = 32 Luisa Schwartz (Uni Bonn/Fraunhofer SCAI) Analyse von Simulationsdaten 25. September / 22

31 Ergebnisse Parameterstudien Laufzeiten abhänging von n bins Luisa Schwartz (Uni Bonn/Fraunhofer SCAI) Analyse von Simulationsdaten 25. September / 22

32 Ergebnisse Parameterstudien Unterschiedliche Abstandsfunktionen Abbildung : EMD, n bins = 12, γ = 32 Abbildung : χ 2, n bins = 12, γ = 32 Abbildung : L 2 -Abstand, γ = 32 Luisa Schwartz (Uni Bonn/Fraunhofer SCAI) Analyse von Simulationsdaten 25. September / 22

33 Ergebnisse Zusammenfassung Zusammenfassung Verfahren für getestete Datensätze sehr erfolgreich Wahl der Klassenanzahl n bins mit Sturgesregel passend Keine objektiven, allgemeinen Regeln für Wahl von ε entdeckt Histogrammabstände scheinen passender als euklidischer Abstand (Dimensionsreduktion im Preprocessing) χ 2 -Abstand liefert gute Ergebnisse, einfacher und schneller als EMD Luisa Schwartz (Uni Bonn/Fraunhofer SCAI) Analyse von Simulationsdaten 25. September / 22

34 Quellen Quellen Coifman, R. R. and Lafon, S. (2006). Diffusion maps. Applied and Computational Harmonic Analysis, 21(1):5 30. Luxburg, U. (2007). A tutorial on spectral clustering. Statistics and Computing, 17(4): Rubner, Y., Tomasi, C., and Guibas, L. J. (2000). The earth mover s distance as a metric for image retrieval. International Journal of Computer Vision, 40: Sturges, H. A. (1926). The choice of a class interval. American Statistical Association, 21: Luisa Schwartz (Uni Bonn/Fraunhofer SCAI) Analyse von Simulationsdaten 25. September / 22

35 Vielen Dank Vielen Dank für die Aufmerksamkeit! Ich freue mich über Fragen. Luisa Schwartz (Uni Bonn/Fraunhofer SCAI) Analyse von Simulationsdaten 25. September / 22

36 Anhang Anhang: PKW-Seite-Datensatz Seitenteil eines Mittelklasse-PKWs bei lateralem Aufprall Variable Geometrie: unterschiedliche Bauteile (40 44 Stück) m = 143 Simulationsläufe, jeweils n i FE-Knoten Luisa Schwartz (Uni Bonn/Fraunhofer SCAI) Analyse von Simulationsdaten 25. September / 22

37 Anhang Anhang: PKW-Seite-Datensatz: EMD und χ 2 Abbildung : PKW-Seite mit Diffusion Maps und EMD, n bins = 18, γ = 32. Abbildung : PKW-Seite mit Diffusion Maps und χ 2, n bins = 18, γ = 32 Luisa Schwartz (Uni Bonn/Fraunhofer SCAI) Analyse von Simulationsdaten 25. September / 22

38 Anhang Anhang: Euklidischer Abstand Abbildung : Diffusion Maps mit EMD, n bins = 10, γ = 32. Abbildung : Diffusion Maps mit L 2, γ = 64. Luisa Schwartz (Uni Bonn/Fraunhofer SCAI) Analyse von Simulationsdaten 25. September / 22

39 Anhang Anhang: χ 2 -Abstand Abbildung : Diffusion Maps mit EMD, n bins = 10, γ = 32. Abbildung : Diffusion Maps mit χ 2, n bins = 10, γ = 32. Luisa Schwartz (Uni Bonn/Fraunhofer SCAI) Analyse von Simulationsdaten 25. September / 22