Graphen zuordnen und Funktionsterme ermitteln

Transkript

1 Aufgaben Analsis Flächenberechnung Ganzrationale Funktion Tangenten ohne Einsatz des GTR Integralfunktion Graphen zuordnen und Funktionsterme ermitteln Wahr oder falsch? Integralfunktion Wahr oder falsch? Aufgaben Analsis Tangentendreieck Tangenten Tangenten Hinweise Seilbahn Torricelli-Trompete Ohne GTR Aufgaben ohne GTR Hunde-Aufgabe Funktionenschar Ohne GTR Integralfunktion Klausur, stündig

2 Aufgaben Analsis a) Wie lautet die Gleichung der Parabel? b) An der Stelle = ist die Tangente gezeichnet. Ermittle den Inhalt der gefärbten Fläche.. Für welche Parabel mit den Nullstellen / = ± gilt A = 8FE?. Welche nach unten geöffnete Parabel mit den Nullstellen = und = schließt mit der -Achse eine Fläche mit dem Inhalt A = 8 FE ein?

3 Flächenberechnung a) Wie lautet die Gleichung der Parabel? f() = 4 +4 b) An der Stelle = ist die Tangente gezeichnet. Ermittle den Inhalt der gefärbten Fläche. A = 7 6. Für welche Parabel mit den Nullstellen / = ± gilt: A = 8FE a =. Welche nach unten geöffnete Parabel mit den Nullstellen = und = schließt mit der -Achse eine Fläche mit dem Inhalt A = 8 FE ein? f() = a( ) A = 9a a = 4, f() = 4( )

4 Ganzrationale Funktion Welche ganzrationale Funktion. Grades schneidet die -Achse an der Stelle =, hat an der Stelle = ein Etremum und schließt (genauer ihr Graph) mit der -Achse eine Fläche mit dem Inhalt 8 FE ein?

5 Ganzrationale Funktion Welche ganzrationale Funktion. Grades schneidet die -Achse an der Stelle =, hat an der Stelle = ein Etremum und schließt (genauer ihr Graph) mit der -Achse eine Fläche mit dem Inhalt 8 FE ein? Ansatz f() = a +b+c Bedingungen:. f() =. f () =. f() d = 8 Die Parabel ist smmetrisch zur Geraden =, daher ist c =, beachte f() =.. 4a+b =. a+b = Die.Gleichung ist zur ersten äquivalent und kann entfallen.. 8 a+b = 8 Die Funktion lautet: f() = +4-4

6 Tangenten P Gegeben ist die Parabel f() = 4 ( 6). a) Wie lauten die Gleichungen der Tangenten, die durch den Punkt P(4 ) verlaufen? b) Welcher Punkt auf der Parabel liegt P am nächsten? c) Welches rechtwinklige Dreieck (siehe Zeichnung) hat maimalen Flächeninhalt? d) Wie groß ist der von den Tangenten und dem Graphen von f eingeschlossene Flächeninhalt?

7 Tangenten P Gegeben ist die Parabel f() = 4 ( 6). a) Wie lauten die Gleichungen der Tangenten, die durch den Punkt P(4 ) verlaufen? Gleichung der Tangente an der Stelle : t() = ( + )( ) 4 ( 6) b) Welcher Punkt auf der Parabel liegt P am nächsten? t(4) = = =, = 6 t () = +, t () = +9 Die Distanzfunktion d() = (4 ) +( f()) nimmt das Minimum an der Stelle =,7 (GTR) an. c) Welches rechtwinklige Dreieck (siehe Zeichnung) hat maimalen Flächeninhalt? Maimum von A() = f() an der Stelle = 4 d) Wie groß ist der von den Tangenten und dem Graphen von f eingeschlossene Flächeninhalt? 4 FE

8 ohne Einsatz des GTR. Berechnen Sie folgende Integrale. a) ( )d b) k ( k)d c) 9 d k Fließgeschwindigkeit (in m /h) Zeit (in Stunden). Mit einer Pumpe wird der Flüssigkeitszufluss bzw. -abfluss (m /Stunde) eines quaderförmigen Beckens mit der Grundfläche m geregelt. Die Fließgeschwindigkeit ist grafisch dargestellt (eine positive Geschwindigkeit bedeutet Zufluss, eine negative Abfluss). Zur Zeit = sind 4m im Becken. Skizzieren Sie den Graphen, der die Höhe (in m) des Flüssigkeitsstandes im Becken in Abhängigkeit von der Zeit beschreibt. Wie groß ist die Höhe des Flüssigkeitsstandes im Becken nach 6 Stunden?. Ermitteln Sie die Stammfunktion von f() = +, deren Graph durch den Punkt P( ) verläuft. 4. Das nebenstehende Rechteck wird durch den Graphen einer Parabel mit dem Scheitel S( ) in zwei Teilflächen zerlegt. Ermitteln Sie das Verhältnis der Inhalte der beiden Teilflächen. 5. Gegeben ist die Funktion f() = ( ). Bestimmen Sie b so, dass die Inhalte der Flächen A und A gleich groß sind. A A b 7

9 ohne Einsatz des GTR 6. Die Abbildung zeigt den Graphen von f. A, A sind die Inhalte der oberhalb bzw. unterhalb der -Achse liegenden Flächen. Es gilt: < A < A. Untersuchen Sie, welche der folgenden Antworten richtig ist. Begründen Sie Ihre Entscheidung. a A A f Der Wert von f()d ist a a) A +A b) A A c) A A d) A A 4 P f Gegeben ist die Ableitungsfunktion von f. Der Graph von f verläuft durch P. Skizzieren Sie den Graphen von f. 8. Geben Sie alle Funktionen an, die die. Ableitung f () = ( ) besitzen. Welche Aussage über den Verlauf der Graphen in der Umgebung von = ist möglich? 8

10 ohne Einsatz des GTR. Berechnen Sie folgende Integrale. a) ( )d = b) k ( k)d = 6k c) 9 d = 8 k Flüssigkeitsstand (in m) Zeit (in Stunden). Mit einer Pumpe wird der Flüssigkeitszufluss bzw. -abfluss (m /Stunde) eines quaderförmigen Beckens mit der Grundfläche m geregelt. Die Fließgeschwindigkeit ist grafisch dargestellt (eine positive Geschwindigkeit bedeutet Zufluss, eine negative Abfluss). Zur Zeit = sind 4m im Becken. Skizzieren Sie den Graphen, der die Höhe (in m) des Flüssigkeitsstandes im Becken in Abhängigkeit von der Zeit beschreibt. Wie groß ist die Höhe des Flüssigkeitsstandes im Becken nach 6 Stunden? 7. Ermitteln Sie die Stammfunktion von f() = +, deren Graph durch den Punkt P( ) verläuft. F() = + 4. Das nebenstehende Rechteck wird durch den Graphen einer Parabel mit dem Scheitel S( ) in zwei Teilflächen zerlegt. Ermitteln Sie das Verhältnis der Inhalte der beiden Teilflächen. 5 : 4 oben/unten 5. Gegeben ist die Funktion f() = ( ). Bestimmen Sie b so, dass die Inhalte der Flächen A und A gleich groß sind. b = A A b 9

11 ohne Einsatz des GTR 6. Die Abbildung zeigt den Graphen von f. A, A sind die Inhalte der oberhalb bzw. unterhalb der -Achse liegenden Flächen. Es gilt: < A < A. Untersuchen Sie, welche der folgenden Antworten richtig ist. Begründen Sie Ihre Entscheidung. a A A f Der Wert von f()d ist a a) A +A b) A A c) A A d) A A b) 4 f P f Gegeben ist die Ableitungsfunktion von f. Der Graph von f verläuft durch P. Skizzieren Sie den Graphen von f. 8. Geben Sie alle Funktionen an, die die. Ableitung f () = ( ) besitzen. Welche Aussage über den Verlauf der Graphen in der Umgebung von = ist möglich? f() = 4 + +C +C In einer Umgebung von = verlaufen die Graphen nahezu geradlinig mit pos. bez. neg. Steigung, f () = +C. Die Graphen sind linksgekrümmt, f ().

12 f() = 4 + +C +C C = C = C = 4 C = C =

13 Integralfunktion Die Abbildung zeigt den Graphen einer in R definierten Funktion f. 4 f Skizzieren Sie die Graphen der in R definierten Funktionen F a () = a f()d für a = und a =. Anmerkung Verwendet wurde f() = (e a ) mit a = ln(+ ), so dass f() = vorliegt.

14 Integralfunktion Die Abbildung zeigt den Graphen einer in R definierten Funktion f. 4 f Skizzieren Sie die Graphen der in R definierten Funktionen F a () = a f()d für a = und a =. 4 f F F

15 Integralfunktion F() = a f()d (besser F() = a f(t)dt) f a = A F Um eine Integralfunktion skizzieren zu können, sollte Folgendes bekannt sein: a) F () = f() b) Nullstelle N von f mit Vorzeichenwechsel = Etremum von F an der Stelle N, genauer: Vorzeichenwechsel +/ Maimum von F, Vorzeichenwechsel /+ Minimum von F c) Etremstelle E von f = Wendestelle E von F. d) F(a) = a a f()d = e) Eine Fläche A unterhalb der -Achse liefert den negativen Beitrag A zum Integral. f) b a f()d = a b f()d beachte: F(b) F(a) = (F(a) F(b)) Tipp fürs Vorgehen: a) Nullstellen von f hinsichtlich Minimum/Maimum von F auswerten b) Nullstelle von F markieren c)... 4

16 Graphen zuordnen und Funktionsterme ermitteln Eine der folgenden Abbildungen zeigt den Graphen der Funktion f() = Abb. Abb Abb. Abb. 4 a) Begründen Sie, dass die Abbildung den Graphen von f zeigt. b) Von den anderen drei Abbildungen gehört eine zur Funktion g() = f( a) und eine zur Funktion h() = b f(). Ordnen Sie diesen beiden Funktionen die zugehörigen Abbildungen zu und begründen Sie Ihre Entscheidung. Geben Sie die Werte für a und b an. c) Die bis jetzt nicht zugeordnete Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion k. Geben Sie ohne Rechnung einen Funktionsterm für k an. 5

17 Graphen zuordnen und Funktionsterme ermitteln Eine der folgenden Abbildungen zeigt den Graphen der Funktion f() = Abb. Abb Abb. Abb. 4 a) Begründen Sie, dass die Abbildung den Graphen von f zeigt. z.b. P( ) oder Q( 4) b) Von den anderen drei Abbildungen gehört eine zur Funktion g() = f( a) Abb. 4, a = und eine zur Funktion h() = b f(). Ordnen Sie diesen beiden Funktionen die zugehörigen Abbildungen zu Abb., b = und begründen Sie Ihre Entscheidung. Geben Sie die Werte für a und b an. c) Die bis jetzt nicht zugeordnete Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion k. Abb. Geben Sie ohne Rechnung einen Funktionsterm für k an. k() = f()+ = + 6

18 Wahr oder falsch? Die Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion f. F ist eine Stammfunktion von f. Untersuchen Sie, ob folgende Aussagen wahr sind: () F ist im Bereich monoton wachsend. () f hat im Bereich,5,5 drei Nullstellen. () f ()d = (4) H( ) ist Maimum von f. 7

19 Wahr oder falsch? 4 f f Die Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion f. F ist eine Stammfunktion von f. Untersuchen Sie, ob folgende Aussagen wahr sind: Alle Aussagen sind wahr. () F ist im Bereich monoton wachsend. f() > in diesem Intervall () f hat im Bereich,5,5 drei Nullstellen. f besitzt waagrechte Tangenten. () f ()d = f ()d = f() f() = (4) H( ) ist Maimum von f. f () = und f () < links und rechts von = 8

20 Integralfunktion Die Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion f. F ist eine Stammfunktion von f. a) Welche Aussagen über F ergeben sich daraus im Bereich < < 8 hinsichtlich - Etremstellen - Wendestellen - Nullstellen? Begründen Sie Ihre Antworten. b) Begründen Sie, dass F(5) F() gilt. 9

21 Integralfunktion 5 4 F f Die Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion f. F ist eine Stammfunktion von f. a) Welche Aussagen über F ergeben sich daraus im Bereich < < 8 hinsichtlich - Etremstellen Nullstelle N = von f mit Vorzeichenwechsel +/ = Maimum an der Stelle N = von F Nullstelle N = von f mit Vorzeichenwechsel /+ = Minimum an der Stelle N = von F - Wendestellen Etremstelle E = von f = Wendestelle E = von F. - Nullstellen? Ob F in diesem Intervall Nullstellen besitzt, hängt von der Integrationskonstanten C ab. Jede Stammfunktion F besitzt auf R jedoch mindestens eine Nullstelle... Begründen Sie Ihre Antworten. b) Begründen Sie, dass F(5) F() gilt. F(5) F() = 5 f()d Durch die Zusammensetzung der Kästchen kann erkennt werden, dass der Flächeninhalt näherungsweise ist.

22 Integralfunktion Die Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion f. 5 4 f Skizzieren Sie für den Graphen von F() = f(t)dt. Welche Aussage über Flächeninhalte ermöglicht die größere Nullstelle von F?

23 Integralfunktion Die Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion f. 5 4 f Skizzieren Sie für den Graphen von F() = f(t)dt. Welche Aussage über Flächeninhalte ermöglicht die größere Nullstelle von F? Die Inhalte der Flächen oberhalb und unterhalb der -Achse bis zur Nullstelle sind gleich groß.

24 Wahr oder falsch? Die Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion f. Untersuchen Sie, ob folgende Aussagen wahr sind: () f hat mindestens den Grad 5. () Der Graph der Ableitungsfunktion f hat an der Stelle einen Etrempunkt. () Für den Bereich < < gilt f () <. (4) Die Ableitungsfunktion f ist im Bereich 4 monoton fallend. (5) Gehen Sie davon aus, dass die Funktion 5. Grades ist. Geben Sie die Mindestanzahl an Bedingungen an (f(...) =..., f (...) =...,usw. ), die die Funktion festlegen. (6) Der Graph ist vermutlich punktsmmetrisch zu einem Punkt P. Stellen Sie die Bedingung auf, mit der das nachgeprüft werden könnte (CAS).

25 Wahr oder falsch? 4 f f Die Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion f. Untersuchen Sie, ob folgende Aussagen wahr sind: () f hat mindestens den Grad 5. wahr, Wendepunkte, f mindestens. Grades () Der Graph der Ableitungsfunktion f hat an der Stelle einen Etrempunkt. wahr () Für den Bereich < < gilt f () <. wahr (4) Die Ableitungsfunktion f ist im Bereich 4 monoton fallend. falsch (5) Gehen Sie davon aus, dass die Funktion 5. Grades ist. Geben Sie die Mindestanzahl an Bedingungen an (f(...) =..., f (...) =...,usw. ), die die Funktion festlegen. (6) Der Graph ist vermutlich punktsmmetrisch zu einem Punkt P. Stellen Sie die Bedingung auf, mit der das nachgeprüft werden könnte (CAS).. f()=4. f ()=. f ()= 4. f ()= 5. f(4)= 6. f (4)= P( ) und den Graphen in den Ursprung verschieben. Auf g() = f(+) die Bedingung für die Punktsmmetrie g() = g( ) anwenden. f(+) = f( ) 4

26 Wahr oder falsch? Die Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion f. Untersuchen Sie, ob folgende Aussagen wahr sind: () f hat mindestens den Grad 4. () Die Ableitungsfunktion f ist im Bereich monoton steigend. () Der Graph der Ableitungsfunktion f hat an der Stelle einen Etrempunkt. 5

27 Wahr oder falsch? 4 f f Die Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion f. Untersuchen Sie, ob folgende Aussagen wahr sind: () f hat mindestens den Grad 4. wahr, Wendepunkte, f mindestens. Grades () Die Ableitungsfunktion f ist im Bereich monoton steigend. falsch () Der Graph der Ableitungsfunktion f hat an der Stelle einen Etrempunkt. wahr 6

28 Aufgaben Analsis Wie lautet die Gleichung der Geraden durch P( 4), die die gezeichnete Fläche halbiert? a) 4 f() = +4 b) f() = 4 7

29 a) = +4 b) = 4 ( 4)+ = 4 8

30 . Der Punkt P(a f(a)), a >, liegt auf dem Graphen von f() =. Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, den dieser Graph mit der Ursprungsgeraden durch P einschließt.. Der Graph einer ganzrationalen Funktion 4. Grades soll die beiden Etrempunkte E ( ) und E ( ) haben. Der Graph soll die -Achse bei = 4 schneiden. Ermitteln Sie die Funktionsgleichung. 9

31 . Der Punkt P(a f(a)), a >, liegt auf dem Graphen von f() =. Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, den dieser Graph mit der Ursprungsgeraden durch P einschließt. P(a f(a)) Die Ursprungsgerade hat die Gleichung = m, m = a a = a. A = a (a )d =... = a Der Graph einer ganzrationalen Funktion 4. Grades soll die beiden Etrempunkte E ( ) und E ( ) haben. Der Graph soll die -Achse bei = 4 schneiden. Ermitteln Sie die Funktionsgleichung Ansatz (Smmetrie beachten) f() = a 4 +b +c Bedingungen:. f() =. f () =. f() = 4. 6a+4b+c =. a+4b =. c = 4 Die Funktion lautet: f() =

32 Tangentendreieck Gegeben ist die Funktion f() = a) Ermittle allgemein die Nullstelle der Tangente im Punkt P( f( )). b) Für welches entsteht ein gleichschenkliges Dreieck? Leite allgemein die Bedingung f ( ) +f( ) = her und veranschauliche sie. Hierzu darf die Bedingung auch umgestellt werden. Wie groß sind die Innenwinkel des gleichschenkligen Dreiecks?

33 Tangenten. In welchen Punkten P( f( )) und Q( g( )) haben die Graphen von f() = e + und g() = e parallele Tangenten?. Welche Tangente von f() = e geht durch den Ursprung?. Zeigen Sie: Jedes Polnom p() = a +a +a +...+a n n vom Grad n hat im Ursprung die Tangente t() = a +a. Skizzieren Sie den Graphen von f() =. 4. Ermitteln Sie die Koordinaten desjenigen Punktes des Graphen von f() = +, für den die Tangente durch Q( 4) verläuft. 5. Gegeben ist die Funktionenschar f k () = k. Zeigen Sie, dass sich die Tangenten im Punkt P(a f k (a)) für allgemeines k in einem Punkt auf der -Achse schneiden. 6. Gegeben ist die Funktion f() = ( ). a) Begründen Sie den Verlauf des Graphen von f mithilfe des Funktionsterms. b) Ermitteln Sie für die Gleichung derjenigen Tangente an den Graphen von f mit maimalem -Achsenabschnitt. 7. Gegeben ist die Funktion f() = ( ). a) Zeigen Sie, dass t a : = ( a)+a die Tangentenschar an den Graphen von f im Punkt P(a f(a)) ist. b) Begründen Sie: Um eine Tangente an den Graphen von f im Punkt P(a f(a)) zu zeichnen, genügt es, die Gerade durch die beiden Punkte (a f(a)) und ( a ) zu zeichnen. 8. Wie groß ist der Winkel, den die Tangenten von f() = + an den Stellen = und = einschließen?

34 Tangenten Hinweise. In welchen Punkten P( f( )) und Q( g( )) haben die Graphen von f() = e + und g() = e parallele Tangenten? f () = g (), e =, = kann nur bestätigt werden.. Welche Tangente von f() = e geht durch den Ursprung? t a () = e a ( a)+e a t a () = = a =, = e( )+e. Zeigen Sie: Jedes Polnom p() = a +a +a +...+a n n vom Grad n hat im Ursprung die Tangente t() = a +a. p() = t() = a, p () = t () = a Skizzieren Sie den Graphen von f() = Ermitteln Sie die Koordinaten desjenigen Punktes des Graphen von f() = +, für den die Tangente durch Q( 4) verläuft. t a () = a( a)+a + t a () = 4 = a =, a = a =, =, Q ( ) a =, = 6 8, Q ( ) 5. Gegeben ist die Funktionenschar f k () = k. Zeigen Sie, dass sich die Tangenten im Punkt P(a f k (a)) für allgemeines k in einem Punkt auf der -Achse schneiden. = ka ka, N = a alternativ: Streckung mit dem Faktor k in -Achsenrichtung betrachten, N( N ) bleibt fi

35 6. Gegeben ist die Funktion f() = ( ). a) Begründen Sie den Verlauf des Graphen von f mithilfe des Funktionsterms. Nullstellen: =, = (doppelt, d.h. parabelförmig in der Umgebung von ) b) Ermitteln Sie für die Gleichung derjenigen Tangente an den Graphen von f mit maimalem -Achsenabschnitt. Tangente an der Wendestelle W = 4, b ma = ( 4 ) 7. Gegeben ist die Funktion f() = ( ). a) Zeigen Sie, dass t a : = ( a)+a die Tangentenschar an den Graphen von f im Punkt P(a f(a)) ist. t a () = f (a)( a)+f(a) b) Begründen Sie: Um eine Tangente an den Graphen von f im Punkt P(a f(a)) zu zeichnen, genügt es, die Gerade durch die beiden Punkte (a f(a)) und ( a ) zu zeichnen. a f(a) a = a 8. Wie groß ist der Winkel, den die Tangenten von f() = + an den Stellen = und = einschließen? 6,6 76, = 4,

36 Seilbahn Zwei Masten A und B einer geplanten Seilbahn haben einen horizontalen Abstand von 6 m. Das Seil zwischen den beiden Masten kann in grober Näherung durch die Graphen der Funktionenschar f k () = ( k 6 ) +k beschrieben werden (Einheiten in Meter, Spitze von A im Koordinatenursprung). a) Welche anschauliche Bedeutung hat der Parameter k? b) Untersuchen Sie, für welchen Parameter k das Seil in der Bergstation B unter einem Winkel von 4 ankommt. Bestimmen Sie anschließend, unter welchem Winkel das Seil die Talstation A in diesem Fall verlässt. c) Unter dem Durchhang des Seiles an einer Stelle versteht man den vertikalen Abstand zwischen der Strecke, die die beiden Masten verbindet, und dem Funktionsgraphen. Ermitteln Sie für allgemeines k die Stelle, an der der Durchhang am größten ist. d) Der maimale Durchhang soll im Bereich von 5m bis 4m liegen. Geben Sie an, in welchem Intervall der Parameter k liegen muss, damit diese Bedingungen erfüllt werden. e) Das Profil des Hanges, an dem die Seilbahn gebaut wird, kann näherungsweise durch die Funktion h() = modelliert werden. Wie hoch sind die Masten? Untersuchen Sie, ob für k =, ein vertikaler Sicherheitsabstand zum Hang von 5m eingehalten werden kann. 5

37 Torricelli-Trompete Rotiert der Graph von f() = über dem Intervall [, ) um die -Achse, so entsteht ein trichterförmiges Gebilde. Ermittle das Volumen und den Inhalt der Längsschnittfläche. Welche paradoe Situation entstände, wenn der Trichter mit Farbe gefüllt würde? 6

38 Torricelli-Trompete Rotiert der Graph von f() = über dem Intervall [, ) um die -Achse, so entsteht ein trichterförmiges Gebilde. Ermittle das Volumen und den Inhalt der Längsschnittfläche. Welche paradoe Situation entstände, wenn der Trichter mit Farbe gefüllt würde? V =π d = π lim u u [ d = π lim ] u u [ = π lim ] u u + = π A = u [ ] u d = lim d = lim u ln() u = lim [ ] ln(u) = Der Grenzwert eistiert nicht. u Der Trichter kann mit πve Farbe gefüllt werden. Zum Streichen der Längsschnittfläche wird keine Farbe ausreichen. 7

39 Ohne GTR Auf dem Graphen zu f() = liegt der Punkt T( f()). Berechnen Sie den Inhalt der in der Skizze angegebenen Fläche A. T Tangente in T A 8

40 Ohne GTR Auf dem Graphen zu f() = liegt der Punkt T( f()). Berechnen Sie den Inhalt der in der Skizze angegebenen Fläche A. T Tangente in T A T 7 Tangentengleichung = 6 Schnittstelle mit der -Achse a = 4 Dreiecksfläche D = 8 A = d D = A D 9

41 Ohne GTR. a) Geben Sie für f() = ( )(+) alle Stammfunktionen an. b) Ermitteln Sie einen Funktionsterm der Integralfunktion J() = c) In welchen Bereichen ist die Funktion J() streng monoton steigend? (keine Rechnung erforderlich) f(t)dt.. Untersuchen Sie, ob die nach rechts ins Unendliche reichende Fläche mit der linken Grenze a = unter dem Graphen von f() = einen endlichen Inhalt hat.. Die Funktion f hat folgende Eigenschaft: Rotiert der Graph von f über dem Intervall [;] um die -Achse, dann hat der entstehende Rotationskörper das Volumen. Geben Sie zwei verschiedene Möglichkeiten für f an. 4. In ein anfänglich leeres quaderförmiges Becken mit der Grundfläche 4m wird Stunden lang Wasser gepumpt. Die Funktion f(t) = t(t ) beschreibt den Wasserzufluss, f in m /Stunde, t in Stunden. Wie hoch steht das Wasser im Becken nach Stunde (in cm)? 4 5. Das Rechteck ABCD mit A( ), B( ), C( 4), D( 4) wird durch den Graphen der Funktion f() = in zwei Teile zerlegt. a) Ermitteln Sie das Verhältnis der Inhalte der beiden Teilflächen. b) Bestimmen Sie mit dem Verhältnis : ohne Integralrechnung den Inhalt der dunkelgrauen Fläche. c) Welche quadratische Funktion zerlegt das Quadrat A( ), B( ), E( ), F( ) in zwei Teilflächen im Verhältnis :? Tipp: Das Ergebnis ist direkt zu sehen. 6. Das Rechteck ABCD mit A( ), B(4 ), C(4 ), und D( ) wird durch den Graphen der in R + definierten Funktion f() = 8 in zwei Teilflächen zerlegt. Ermitteln Sie das Verhältnis der Inhalte der beiden Teilflächen. 4

42 Ohne GTR. a) Geben Sie für f() = ( )(+) alle Stammfunktionen an. b) Ermitteln Sie einen Funktionsterm der Integralfunktion J() = f(t)dt. J() = 4+ c) In welchen Bereichen ist die Funktion J() streng monoton steigend?, (keine Rechnung erforderlich). Untersuchen Sie, ob die nach rechts ins Unendliche reichende Fläche mit der linken Grenze a = unter dem Graphen von f() = einen endlichen Inhalt hat. A =. Die Funktion f hat folgende Eigenschaft: Rotiert der Graph von f über dem Intervall [;] um die -Achse, dann hat der entstehende Rotationskörper das Volumen. Geben Sie zwei verschiedene Möglichkeiten für f an. f/ = ± π 4. Inein anfänglich leeres quaderförmiges Becken mit dergrundfläche4m wirdstundenlangwasser gepumpt. Die Funktion f(t) = t(t ) beschreibt den Wasserzufluss, f in m /Stunde, t in Stunden. Wie hoch steht das Wasser im Becken nach Stunde (in cm)? 6,7cm f(t) = t +t t a) Verhältnis :, b) 8, c) f() = 6. Das Rechteck ABCD mit A( ), B(4 ), C(4 ), und D( ) wird durch den Graphen der in R + definierten Funktion f() = 8 in zwei Teilflächen zerlegt. Ermitteln Sie das Verhältnis der Inhalte der beiden Teilflächen. 4 4 f()d = Inhalt des Rechtecks 6 Verhältnis : 4

43 Aufgaben ohne GTR. Gegeben ist die Funktionenschar f k () = 4k k. Bestimmen Sie denjenigen Wert von k, für den a) die Tangente an der Stelle k die -Achse im Punkt P( 8) schneidet, b) f k an der Stelle = eine Tangente hat, die parallel zur Winkelhalbierenden verläuft.. Gegeben ist die Funktion f() = 4 4. Berechnen Sie f ()d.. Gegeben ist die Funktionenschar f k () = k. Bestimmen Sie denjenigen (diejenigen) Wert(e) für k, für den a) die -Koordinate des Hochpunktes den Wert hat, b) f k nur eine Nullstelle besitzt, c) f k ()d = gilt. 4. Gegeben ist die Funktion f() =. a) Weisen Sie nach, dass der Tiefpunkt des Graphen von f auf der Geraden mit der Gleichung = liegt. b) Der Graph von f wird verschoben. Der Punkt P( 8) des Graphen besitzt nach der Verschiebung die Koordinaten (8 ). Ermitteln Sie eine mögliche Funktionsgleichung für diese Verschiebung. 5. Gegeben sind die Punkte A( ), B(4 ) und C t ( t t+). a) Ermitteln Sie die Koordinaten derjenigen Punkte, die auf der Geraden durch A und B liegen und von A den Abstand LE haben. b) Die Punkte A, B und C t bilden für jedes t ein Dreieck. Ermitteln Sie den Wert für t, für den das Dreieck in B rechtwinklig ist und ermitteln Sie den Flächeninhalt des Dreiecks. 4

44 Aufgaben ohne GTR. Gegeben ist die Funktionenschar f k () = 4k k. Bestimmen Sie denjenigen Wert von k, für den a) die Tangente an der Stelle k die -Achse im Punkt P( 8) schneidet, t() = (4k k )( k)+4k k, t() = k, k = b) f k an der Stelle = eine Tangente hat, die parallel zur Winkelhalbierenden verläuft. f () = k, k =, k =. Gegeben ist die Funktion f() = 4 4. Berechnen Sie f ()d. [f()] =. Gegeben ist die Funktionenschar f k () = k. Bestimmen Sie denjenigen (diejenigen) Wert(e) für k, für den a) die -Koordinate des Hochpunktes den Wert hat, k =, k = 7 b) f k nur eine Nullstelle besitzt, Nullstellen für k > {,± k}, k c) f k ()d = gilt. 4 k =, k = 4. Gegeben ist die Funktion f() =. a) Weisen Sie nach, dass der Tiefpunkt des Graphen von f auf der Geraden mit der Gleichung = liegt. T( ) b) Der Graph von f wird verschoben. Der Punkt P( 8) des Graphen besitzt nach der Verschiebung die Koordinaten (8 ). Ermitteln Sie eine mögliche Funktionsgleichung für diese Verschiebung. g() = f( 5) 6 5. Gegeben sind die Punkte A( ), B(4 ) und C t ( t t+). a) Ermitteln Sie die Koordinaten derjenigen Punkte, die auf der Geraden durch A und B liegen und von A den Abstand LE haben. AB = 6, OA = OA + 6 AB, OA = OA 6 AB OA = 7, OA = A ( ), A ( ) b) Die Punkte A, B und C t bilden für jedes t ein Dreieck. Ermitteln Sie den Wert für t, für den das Dreieck in B rechtwinklig ist und ermitteln Sie den Flächeninhalt des Dreiecks. 4 BA BC t, 4 8t =, t = BA = 6, BC = 5, A Dreieck = 5

45 Aufgaben ohne GTR Die Funktion g hat folgende Eigenschaften: () g() = und g () = () g () > () g (4) > (4) 6 g()d = Welche Bedeutung hat jede einzelne Eigenschaft für den Graphen von g? Skizzieren Sie einen möglichen Graphen von g im Bereich 6. 44

46 Aufgaben ohne GTR Die Funktion g hat folgende Eigenschaften: () g() = und g () = () g () > () g (4) > (4) 6 g()d = Welche Bedeutung hat jede einzelne Eigenschaft für den Graphen von g? Skizzieren Sie einen möglichen Graphen von g im Bereich 6. () Der Punkt P( ) liegt auf dem Graphen von g und besitzt eine waagrechte Tangente. () An der Stelle = ist die Steigung der Tangente an den Graphen von g positiv. In einer Umgebung U von = ist g streng monoton steigend. Für, U und < gilt: g( ) < g( ). () g ist bei = 4 steigend. Die Steigungen der Tangenten an g nehmen zu. An der Stelle = 4 ist der Graph von g linksgekrümmt (konve). (4) Zwischen = und = 6 sind die Flächen, die der Graph von g oberhalb und unterhalb der -Achse begrenzt, gleich groß

47 Ohne GTR. Ermitteln Sie ohne zu integrieren die Etremstellen von I() = t(t )dt.. Rechnen Sie aus: a) (t )dt b) c) d) e) π (t )d d 4+4 d sin() d. Für welches c hat die von dem Graphen der Funktion f() = c und der -Achse eingeschlossene Fläche den Inhalt A = 44 FE? 4. Untersuchen Sie für k >, welche Auswirkung eine Vervierfachung von k auf den Abstand der Etremstellen =, k und k =,+ k hat. k 5. Gegeben ist die Funktionenschar f k mit f k () = k 6 k +9, k > Zeigen Sie, dass W k (k k) die Wendepunkte der Schar sind und dass alle Graphen von f k im Wendepunkt W k die gleiche Steigung haben. 46

48 Ohne GTR. Ermitteln Sie ohne zu integrieren die Etremstellen von I() = t(t )dt. =, =. Rechnen Sie aus: a) (t )dt = b) c) d) e) π (t )d = t d = 4+4 d = 8 sin()d =. Für welches c hat die von dem Graphen der Funktion f() = c und der -Achse eingeschlossene Fläche den Inhalt A = 44 FE? 4. Untersuchen Sie für k >, welche Auswirkung eine Vervierfachung von k auf den Abstand der Etremstellen =, k und k =,+ k hat. k = k k für 4k: = k k = ( ) 4c f()d = 44 6c = 44 c = 5. Gegeben ist die Funktionenschar f k mit f k () = k 6 k +9, k >. Zeigen Sie, dass W k (k k) die Wendepunkte der Schar sind und dass alle Graphen von f k im Wendepunkt W k die gleiche Steigung haben. f k () = k k +9 f k () = 6 k k, f k () = 6 k > f k (k) = c f k () = =... Roolfs 47

49 Hunde-Aufgabe Ein Hund rennt im Garten am Zaun hin und her und jagt die Passanten. Das Diagramm zeigt die Geschwindigkeit v des Hundes, wobei positives v die Bewegung nach rechts, negatives v die Bewegung nach links bedeutet. Die Geschwindigkeit v wird dabei in Meter pro Sekunde (m/s) gemessen, die Zeit t in Sekunden s. Der Hund startet zur Zeit t = in der Mitte des Zauns. v in m/s t in s Beantworten Sie begründet die folgenden Fragen anhand des Graphen (Zeiten und Bereiche bitte markieren): a) In welchen Zeitabschnitten bewegt sich der Hund nach rechts bzw. links? b) Wann hat er die größte Geschwindigkeit nach rechts bzw. links erreicht? c) Wann wird der Hund schneller, wann wird er langsamer? d) Der Hund hat zum Zeitpunkt t = 6s eine Grundstücksgrenze erreicht. Schätzen Sie die Breite des Grundstücks. e) Schätzen Sie, wie weit der Hund nach 8 Sekunden rechts oder links von der Zaunmitte entfernt ist. 48

50 Hunde-Aufgabe Ein Hund rennt im Garten am Zaun hin und her und jagt die Passanten. Das Diagramm zeigt die Geschwindigkeit v des Hundes, wobei positives v die Bewegung nach rechts, negatives v die Bewegung nach links bedeutet. Die Geschwindigkeit v wird dabei in Meter pro Sekunde (m/s) gemessen, die Zeit t in Sekunden s. Der Hund startet zur Zeit t = in der Mitte des Zauns. v in m/s A t in s A A A 4 Beantworten Sie begründet die folgenden Fragen anhand des Graphen (Zeiten und Bereiche bitte markieren): a) In welchen Zeitabschnitten bewegt sich der Hund nach rechts bzw. links? b) Wann hat er die größte Geschwindigkeit nach rechts bzw. links erreicht? c) Wann wird der Hund schneller, wann wird er langsamer? d) Der Hund hat zum Zeitpunkt t = 6s eine Grundstücksgrenze erreicht. Ermitteln Sie die Breite des Grundstücks. e) Wie weit ist der Hund nach 8 Sekunden rechts oder links von der Mitte des Zauns entfernt? Benutzt werden darf (in FE): A = 7, A = 5,6 A = 6,7 A 4 = 6,9 49

51 Hunde-Aufgabe Hinweise Ein Hund rennt im Garten am Zaun hin und her und jagt die Passanten. Das Diagramm zeigt die Geschwindigkeit v des Hundes, wobei positives v die Bewegung nach rechts, negatives v die Bewegung nach links bedeutet. Die Geschwindigkeit v wird dabei in Meter pro Sekunde (m/s) gemessen, die Zeit t in Sekunden s. Der Hund startet zur Zeit t = in der Mitte des Zauns. v in m/s A t in s A A A 4 Beantworten Sie begründet die folgenden Fragen anhand des Graphen (Zeiten und Bereiche bitte markieren): a) In welchen Zeitabschnitten bewegt sich der Hund nach rechts bzw. links? Graph oberhalb der -Achse: Hund bewegt sich nach rechts. b) Wann hat er die größte Geschwindigkeit nach rechts bzw. links erreicht? nach rechts (in s):,5; 4,6 nach links (in s):,6; 9, c) Wann wird der Hund schneller, wann wird er langsamer? nach rechts schneller: Graph monoton steigend nach links schneller: Graph monoton fallend d) Der Hund hat zum Zeitpunkt t = 6s eine Grundstücksgrenze erreicht. Ermitteln Sie die Breite des Grundstücks. 5,7 m e) Wie weit ist der Hund nach 8 Sekunden rechts oder links von der Mitte des Zauns entfernt? 9,5m nach links Benutzt werden darf (in FE): A = 7, A = 5,6 A = 6,7 A 4 = 6,9 5

52 Funktionenschar Gegeben ist die Funktionenschar f k () = 4 k +, k >. Die Abbildung zeigt einen Ausschnitt des Graphen von f k. Ermitteln Sie die Anzahl der Nullstellen von f k. Untersuchen Sie, für welche Werte von k die Funktion f k keine Nullstellen hat. 5

53 Funktionenschar Gegeben ist die Funktionenschar f k () = 4 k +, k >. Die Abbildung zeigt einen Ausschnitt des Graphen von f k. Ermitteln Sie die Anzahl der Nullstellen von f k. Untersuchen Sie, für welche Werte von k die Funktion f k keine Nullstellen hat. Jede Funktion der Schar ist smmetrisch zur -Achse. Also gibt es eine weitere zur -Achse smmetrisch gelegene Nullstelle für >. Für gilt f k (). Also wird der Graph die -Achse für < noch einmal schneiden. Aus Smmetriegründen eistiert dann eine weitere Nullstelle für >. Weitere Nullstellen können nicht eistieren, da die Funktionen der Schar den Grad vier haben. T / ( ±k k 4 ), Zwischenergebnis: f k (k) = 8k > Aus k 4 > folgt k <. 5

54 Funktionenschar Gegeben ist die Funktionenschar f k () = 4 +4k, k >. Ermitteln Sie die Scharparameter der abgebildeten Graphen und die Ortslinie der Hochpunkte II I - - 5

55 Funktionenschar Gegeben ist die Funktionenschar f k () = 4 +4k, k >. Ermitteln Sie die Scharparameter der abgebildeten Graphen und die Ortslinie der Hochpunkte II I - - I: k = II: k = 4 HP ( k 7k 4), = 4 54

56 Ohne GTR. Für jeden Wert von a (a R,a ) ist die Funktion f a durch f a () = a 6 4 ( R) gegeben. a) Bestimmen Sie diejenigen Werte von a, für die f a mehr als eine Nullstelle hat. b) Für genau einen Wert von a hat f a an der Stelle = ein Minimum. Bestimmen Sie diesen Wert von a.. Welche Terme geben den Inhalt des markierten Flächenstücks A richtig an? a) b g()d a d c f()d a b b) c) a g()d b a f()d b f()d g() d c d A f g d) b a g()d f()d e) a b f()d g() d f) b f() g() d. Gegeben ist die Funktion f() = ( R). a) Weisen Sie nach, dass der Wendepunkt des Graphen von f auf der Geraden mit der Gleichung = liegt. b) Der Graph von f wird verschoben. Der Punkt P( ) des Graphen der Funktion f besitzt nach der Verschiebung die Koordinaten ( ). Der verschobene Graph gehört zu einer Funktion h. Geben Sie die Gleichung von h an. 55

57 Ohne GTR. Für jeden Wert von a (a R,a ) ist die Funktion f a durch f a () = a 6 4 ( R) gegeben. a) Bestimmen Sie diejenigen Werte von a, für die f a mehr als eine Nullstelle hat. a > b) Für genau einen Wert von a hat f a an der Stelle = ein Minimum. Bestimmen Sie diesen Wert von a. a =. Welche Terme geben den Inhalt des markierten Flächenstücks A richtig an? a) b g()d a d c f()d a b b) c) a g()d b a f()d b f()d g() d richtig c d A f g d) b a g()d f()d e) a b f()d g() d richtig f) b f() g() d. Gegeben ist die Funktion f() = ( R). a) Weisen Sie nach, dass der Wendepunkt des Graphen von f auf der Geraden mit der Gleichung = liegt. W( ), W liegt auf der Geraden. b) Der Graph von f wird verschoben. Der Punkt P( ) des Graphen der Funktion f besitzt nach der Verschiebung die Koordinaten ( ). Der verschobene Graph gehört zu einer Funktion h. Geben Sie die Gleichung von h an. h() = f( )+ 56 h() = ( ) 6( ) +( ) 4

58 Ohne GTR. Für jeden Wert von a (a R,a ) ist die Funktion f a durch f a () = a 6 4 ( R) gegeben. a) Bestimmen Sie diejenigen Werte von a, für die f a mehr als eine Nullstelle hat. a > b) Für genau einen Wert von a hat f a an der Stelle = ein Minimum. Bestimmen Sie diesen Wert von a. a =. Welche Terme geben den Inhalt des markierten Flächenstücks A richtig an? a) b g()d a d c f()d a b b) c) a g()d b a f()d b f()d g() d richtig c d A f g d) b a g()d f()d e) a b f()d g() d richtig f) b f() g() d. Gegeben ist die Funktion f() = ( R). a) Weisen Sie nach, dass der Wendepunkt des Graphen von f auf der Geraden mit der Gleichung = liegt. W( ), W liegt auf der Geraden. b) Der Graph von f wird verschoben. Der Punkt P( ) des Graphen der Funktion f besitzt nach der Verschiebung die Koordinaten ( ). Der verschobene Graph gehört zu einer Funktion h. Geben Sie die Gleichung von h an. h() = f( )+ 57 h() = ( ) 6( ) +( ) 4

59 Integralfunktion Der Graph einer Funktion f im Bereich ist abgebildet. Wie lautet die Integralfunktion F mit F() =? F() =?? < Ist F differenzierbar? 58

60 Integralfunktion,,5 Der Graph einer Funktion f im Bereich ist abgebildet. Wie lautet die Integralfunktion F mit F() =? F() = ( ) +( )+,5 <,,5 Tipp für den Bereich < : Ermittle die Integralfunktion (evt. durch Bestimmung des Inhalts eines Tapezes) von g() = + und verschiebe sie. F () =, links- und rechtsseitiger Grenzwert stimmen offensichtlich überein. 59

61 Integralfunktion,,5 4 Der Graph einer Funktion f im Bereich 4 ist abgebildet. Wie lautet die Integralfunktion F mit F() =? F() =?? < 4 Welcher Zusammenhang besteht zwischen dieser Aufgabe und der Begründung des Hauptsatzes der Differenzial- und Integralrechnung? 6

62 Integralfunktion,5,,5 4 F() = 8 ( ) + ( )+ < 4,,5 Tipp für den Bereich < 4: Ermittle die Integralfunktion (evt. durch Bestimmung des Inhalts eines Tapezes) von g() = 4 + und verschiebe sie. Eine stetige Funktion kann beliebig genau durch Streckenzüge approimiert werden. 6

63 Jg Nr. Name:. Löse nach k auf: a) A( k ) = b) C = (k ). Löse die Gleichungen ohne GTR: a) 9 = b) =. Gegeben sind die Funktionen f a () = a( a), a >. a) Ermittle die Nullstellen der Funktionen f a. b) Bestimme denjenigen Wert von a, für den a f a ()d = 8 gilt. 4. Berechne k k ( k) d Ermittle die Parabel, die das nebenstehende Quadrat in zwei gleichgroße Teilflächen zerlegt Die Funktionen f() = + und g() = (+) schließen die Fläche A ein. a) Ermittle den Inhalt von A. b) Wieviel Prozent von A liegt unterhalb der -Achse? 6

64 4 7. Die Parabel f() =, die Gerade = (Parallele zur -Achse) und die -Achse umschließen eine Fläche A. Welche Parallele zur -Achse halbiert die Fläche A? (eakte Lösung ohne GTR verlangt) 8. Gegeben ist die Funktion f() = +. Ermittle die Koordinaten (auf Stellen gerundet) des Punktes auf dem Graphen von f, der dem Punkt A( ) am nächsten liegt. 9. Gegeben ist die Funktion f() = Die Abbildung zeigt den Graphen von f, der durch die Punkte H( 4) und N( ) verläuft. Eine Gerade g, die durch den Punkt H verläuft, teilt die grau gefärbte Fläche in zwei Teilflächen gleichen Inhalts. Ermittle die Stelle, an der die Gerade g die -Achse schneidet. Tipp: Überlege, ob die Geradengleichung erforderlich ist. 4 8 g 6 6

65 Jg Nr. Name:. Löse nach k auf: a) A( k ) = b) C = (k ) k = A k = 5 C. Löse die Gleichungen ohne GTR: a) 9 = b) = =, / = ± =, =. Gegeben sind die Funktionen f a () = a( a), a >. a) Ermittle die Nullstellen der Funktionen f a. =, = a b) Bestimme denjenigen Wert von a, für den a f a ()d = 8 gilt. a = 4. Berechne k k ( k) d. 5. Ermittle die Parabel, die das nebenstehende Quadrat in zwei gleichgroße Teilflächen zerlegt. 4 a (4 a )d = 8 = f() = a 6. Die Funktionen f() = + und g() = (+) schließen die Fläche A ein. a) Ermittle den Inhalt von A. 4,5 (FE) b) Wieviel Prozent von A liegt unterhalb der -Achse? 8,% 64

66 4 7. Die Parabel f() =, die Gerade = (Parallele zur -Achse) und die -Achse umschließen eine Fläche A. Welche Parallele zur -Achse halbiert die Fläche A? = 4 (eakte Lösung ohne GTR verlangt) 8. Gegeben ist die Funktion f() = +. Ermittle die Koordinaten (auf Stellen gerundet) des Punktes auf dem Graphen von f, der dem Punkt A( ) am nächsten liegt. d() = (f() ) +( ) P(,58,89) 9. Gegeben ist die Funktion f() = Die Abbildung zeigt den Graphen von f, der durch die Punkte H( 4) und N( ) verläuft. Eine Gerade g, die durch den Punkt H verläuft, teilt die grau gefärbte Fläche in zwei Teilflächen gleichen Inhalts. Ermittle die Stelle, an der die Gerade g die -Achse schneidet. Tipp: Überlege, ob die Geradengleichung erforderlich ist. 4 8 g 6 A Dreieck = 54 = 5 A Dreieck = a 4 = 5 = a = 5 =

67 Startseite 66