(v) bezeichnet man die Menge aller Nachbarn eines Knotens v in G. Ferner bezeichnet man mit N G

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1 MALA Zirkel 1 à Beginn Nikolaus-Haus - nur links unten, zu diesem Punkt kann man mit Stift hinkommen und von ihr weg, dies kann ein oder zweimal erfolgen - Frage: owie müsste man das Haus verändern, um anfangen zu können, wo man will? - Was ist ein Graph? ounter einen Graphen versteht man ein Gebilde, das aus Ecken und Kanten besteht. Jede Kante verbindet zwei Ecken. oein Graph G ist ein Tupel (V,E), wobei V eine Menge von Knoten (englisch vertex, oft auch Ecken genannt) und E eine Menge von Kanten (engl. edge, manchmal auch Bögen genannt) bezeichnet. -Aufgabe: Wie viele Ecken und Kanten hat das Nikolaushaus?? 5 Ecken und 8 Kanten -Es gibt auch parallele Kanten (Mehrfachkanten) und Schlingen (Ecke mit sich selbst verbunden) -ein Graph kann auch mehren Teilen bestehen à zusammenhängender Graph -oder isolierte Ecken haben - Unterscheidung zwischen gerichteter und ungerichteter Graph -Nachbarschaft ozwei Knoten heißen in einem ungerichteten Graphen (bzw. Hypergraphen) G benachbart, verbunden oder adjazent, wenn sie Element einer ungerichteten Kante (bzw. Hyperkante) von G sind. Ein Knoten v und eine ungerichtete Kante e (bzw. Hyperkante) heißen inzident, falls v Element von e ist. Zwei ungerichtete Kanten heißen benachbart, wenn sie nicht disjunkt sind, d.h. wenn sie einen gemeinsamen Knoten besitzen. oein Knoten x heißt Nachbar von einem Knoten y in einem ungerichteten Graphen (bzw. Hypergraphen) G, wenn x und y zu einer Kante von G gehören. Mit N G (v) bezeichnet man die Menge aller Nachbarn eines Knotens v in G. Ferner bezeichnet man mit N G (X) die Menge aller Nachbarn der Knoten von X in G. N G (v) bzw. N G (X) nennt man auch Nachbarschaft von v bzw. X - Grad einer Ecke oanzahl der Kanten die von einer Ecke ausgehen omit d G (v) bezeichnet man den Grad (bzw. die Valenz) des Knotens v in einem ungerichteten Graphen G. oisolierte Ecken haben den Grad null ohat eine Ecke eine Schlinge, so zählen wir die beiden Enden der Schlinge einzeln

2 à 2 Grad oden kleinsten Grad eines Knotens in G bezeichnet man dann als Minimalgrad von G, den größten Grad eines Knotens in G bezeichnet man als Maximalgrad von G. Das arithmetische Mittel aller Eckengrade von G wird als Durchschnittsgrad d G (G) bezeichnet. -Struktur von Graphen oisomorph à wenn man den einen Graphen durch umzeichnen des anderen erhält oecken dürfen beliebig verschoben werden à nur nicht so, dass sie aufeinander fallen okanten dürfen verborgen, gedehnt oder zusammengezogen werden oalle elastischen Formen sind erlaubt, durchschneiden und verbiegen verboten!! -Eigenschaften von Graphen ozusammenhängend, bipartit, planar, eulersch oder hamiltonisch 2. Eulersche Graphen à Königsberger Brückenproblem Am konkreten Beispiel bezieht es sich auf die Stadt Königsberg und die Frage, ob es einen Rundweg gibt, bei dem man alle sieben Brücken der Stadt über den Pregel genau einmal überquert und wieder zum Ausgangspunkt gelangt (Die Grundaufgabe lautete, nur einen Rundweg zu finden, wie oben beschrieben, nicht aber zum Ausgangspunkt zurück zu kommen). Euler bewies, dass es keinen solchen Rundweg geben kann. Euler zeigte, dass ein Rundweg der gesuchten Art genau dann möglich ist, wenn sich an keinem der Ufer (Knoten) eine ungerade Zahl von Brücken (Kanten) befindet. Da aber zu allen vier Gebieten von Königsberg eine ungerade Zahl von Brücken führte, war der gesuchte Rundweg nicht möglich. Das Problem lässt sich auf beliebige Graphen und die Frage, ob es darin einen Zyklus gibt, der alle Kanten genau einmal benutzt, verallgemeinern. Ein solcher Zyklus wird als Eulerkreis bezeichnet und ein Graph, der einen Eulerkreis besitzt, als eulersch. à in einem eulerschen Graphen ist der Grad jeder Ecke eine gerade Zahl -gilt auch für zusammenhängende Graphen à Grad jeder Ecke muss gerade sein 3. Hamiltonische Graphen -ein geschlossener Kantenzug, der jede Ecke des Graphen genau einmal enthält, heißt hamiltonischer Kreis -Städteproblem -er geht durch jede Ecke, braucht aber nicht durch jede Kante zu führen

3 -es gibt Graphen die eulersch und hamiltonisch sind Beweis! Hat ein vollständiges Vieleck n Ecken, so setzten wir den Stift in einer beliebigen Ecke an. Für den Anfang unseres hamiltonischen Kreises haben wir n - 1 Kanten zur Auswahl. Wir entscheiden uns für eine von ihnen. Von der End-Ecke dieser Kante können wir zu n-2 weiteren Ecken gelangen, in denen wir noch nicht waren. Zu jeder der n-1 ersten Kante gibt es also n-2 Fortsetzungen. Zusammen haben wir (n-1)mal(n-2) Möglichkeiten die ersten beiden Kanten zu zeichnen. Wir fahren mit dem Stift weiter, bis wir auch die letzte noch freie Ecke besuchen; von dort kehren wir zur Anfangsecke zurück und der hamiltonische Kreis ist fertig. Die Anzahl der hamiltonischen Kreise, die wir auf diese Weise erhalten können ist (n-1)*(n-2)*(n-3)* * 1. Das à (n-1)! Allerdings haben wir hierbei alle Kreise doppelt gezählt, denn die Kante, auf der wir zur Anfangsecke zurückkehren können, ist zu gleich die erste Kante eines anderen hamiltonischen Kreises, der in der Gegenrichtung durchlaufen wird. Da wir aber nicht auf die Richtung achten müssen à Alles durch 2 teilen àdie Anzahl der hamiltonischen Kreise eines vollstädnigen n-ecks ist (n-1)! / 2 - damit auch Obergrenze für die Anzahl der hamiltonischen Kreise eines beliebigen einfachen Graphen gefunden à Somit ist die Anzahl der hamiltonischen Kreise eines einfachen Graphen mit n Ecken höchsten (n-1)! / 2 4. Mehr über Grade von Ecken -Tennisturnier -In jedem einfachen Graph gibt es mindestens zwei Ecken, die den gleichen Grad haben - Beweis! -Die Anzahl der Ecken nenne wir n. Der höchstmögliche Eckengrad ist dann n-1, denn jede Ecke kann höchstens so viele Kanten haben, wie es andere Ecken gibt. Dabei haben wir berücksichtigt, dass nach de Voraussetzung weder Schlingen noch parallele Kanten vorkommen osollte eine der Ecken den Grad n-1 haben, so ist sie mit allen anderen Ecken verbunden. Es gibt in diesem Fall keine isolierten Ecken, und der Grad 0 tritt nicht auf, sondern nur die Zahlen 1, 2,, n-1 odas sind höchstens n-1 Zahlen, die auf n Ecken zu verteilen sind. Mindestens eine der Gradzahlen muss dann doppelt oder mehrfach vergeben werden, womit für diesen Fall bewiesen ist, dass es mindestens zwei Ecken mit gleichem Grad gibt. ohat aber keine der Ecken den Grad n- 1, so ist der höchste Gradzahl, die vorkommen kann n-2. Dasa sind aber höchsten auch wieder n-1 Zahlen für n Ecken. Also muss auch hier mindestens eine Gradzahl mehrfach vorkommen. -Die Summe der Eckengrade ist in jedem Graphen eine gerade Zahl -Beweis! ojede Kante des Graphen hat zwei Enden. Hat ein Graph n Kanten, so ist die Anzahl

4 der Enden dieser n Kanten zusammen 2*n. Das ist zugleich die Summe der Grade aller Eckenà auch als handshaking lemma bekannt -In jedem Graphen ist die Summe aller Eckengrade doppelt so groß wie die Anzahl der Kanten -Begründung: ogleiche Begründung wie eben à ist nur Präzisierung -In jedem Graphen ist die Anzahl der Ecken mit ungeraden Grad eine gerade Zahl obeweis: Man addiert alle Eckengrade der ungeraden Ecken und nennt die Summe u Gleiches mach man mit den geraden Eckengraden à Summe = g Die Summe aller Eckengrade ist dann a = u +g Nach handshaking lemma ist a eine gerade Zahl. G ist ebenfalls gerade, weil es eine summe aus geraden zahlen ist U muss als Differenz von zwei geraden Zahlen auch gerade sein Bäume - Baum an Tafel zeichnen! - Frage: Was ist das besondere? - Bäume wachsen oben nicht wieder zusammen à bilden keine Kreise - Def.: Jeder zusammenhängende Graph, der keinen Kreis enthält, wird als Baum bezeichnet à Folge: viele Graphen werden als Bäume bezeichnet, die uns, wenn man sie mit der Natur vergleicht nicht an Bäume erinnern! -zwischen je zwei Ecken in einen Baum gibt es nur einen Weg à denn ansonsten hätten wir einen Kreis (geschlossener Kantenzug) Frage: Wie viele Kanten hat ein Baum? -natürlich kann man einen Baum mit einer beliebigen Kantenzahl zeichnen, gilt dies aber auch, wenn die Anzahl der Ecken schon festgelegt ist?? -Aufgabe: Zeichnet mal verschiedene Bäume mit 5 Ecken oantwort: alle haben genau 4 Kanten oschlussfolgerung: Jeder Baum mit n Ecken hat genau n-1 Kante obeweis: Zunächst zeichnen wir den Graphen neu Wir beginnen mit einer beliebigen Ecke Von dort aus zeichnen wir die erste Kante und gelangen zu einer zweiten Ecke Wenn möglich, setzten wir den Weg fort, indem wir die nächste Kante und die

5 nächste Ecke zeichnen Der Weg endet, wenn wir eine Ecke vom Grad 1 erreicht haben Dann haben wir bis jetzt gleich viele Ecken wie Kanten gezeichnet und außerdem die Anfangsecke Damit ist der Baum aber vielleicht noch nicht fertig, denn von dem bisher gezeichneten Weg könnten weitere Kanten abgehen Zeichnen wir aber eine solche Abzweigkante und die dazugehörige Ecke, so sind wieder eine Ecke und eine Kante hinzugekommen So zeichnet man allmählich den gesamten Graphen Und man erhält zur Anfangsecke gleich viele Ecken und Kanten Vorausgesetzt haben wir aber, dass jede neue Kante zu einer neuen Ecke führt, also zu einer, die wir bisher noch nicht gezeichnet haben Wäre das nicht so, dann hätten wir einen Kreis gezeichnet, weil wir zu einer alten Ecke kommen würden Demnach zeichnen wir immer neue Ecken und unsere Graph erhält immer eine Ecke mehr als er Kanten hat -Äste -wenn man einen richtigen Baum einen Ast durchsägt, entstehen zwei Teile à nämlich der abgesägte und der Rest des Baumes -so ist das auch mit einen Graphen à entfernt man einen Kante, dann zerfällt er in zwei Teile, die nicht mehr mit einander zusammenhängen -Begründung: oman entfernt eine beliebige Kante, die Ecken nennen wir A und B owäre der Graph noch zusammenhängen, könnten wir immer noch einen Weg von A nach B gelangen odann wäre dieser Weg und die Kante die wir entfernt haben aber unterschiedlich owir haben aber bereits festgestellt, dass in einen Baum nicht zwei verschiedene Wege zwischen A und B geben darf à sonst Kreis à Ein zusammenhängender Graph ist genau dann ein Baum, wenn er dadurch, dass man eine beliebige Kante entfernt, nicht mehr zusammenhängend ist -wichtig für diesen Satz ist der Begriff beliebig -in einem Graphen der kein Baum ist, kann man vielleicht einzelne Kanten entfernen, so dass de Rest nicht mehr zusammenhängt, aber das kann man nicht mit jeder beliebigen Kant machen -mit einem zusätzlichen Begriff lässt sich dieser Satz also noch kürzer fassen o entfernt man eine Kant, aber keine Ecke, aus einen Graph und ist dann der Graph nicht mehr zusammenhängend, so nennt man dieser Kante einen Brücke otypisch für einen Baum ist, dass alle seine Kanten Brücken sind à ein zusammenhängender Graph ist genau dann ein Baum, wenn alle

6 seine kanten Brücken sind -wenn wir einen beliebigen Graphen haben, der kein Baum ist, dann können wir ihm zu einem Baum abmagern lassen -wir brauchen nur einen Kreis zu suchen und in ihm eine Kante zu entfernen usw. -aus diese Weise können wir so viele Kanten, jedoch keine Ecken entfernen, bis keine Kreise mehr übrig sind à aus dem Graph ist dann ein Baum geworden -wir nennen einen Baum, der alle Ecken des Graphen enthält, einen aufspannenden Baum des Graphen -à jeder zusammenhängende Graph enthält einen aufspannenden Baum -Dieser Satz zeigt seine Bedeutung der Bäume, denn jedem Graph liegt als Gerüst eine Baum zugrunde, der alle Ecken enthält, aber nicht alle Kanten - Die meisten Graphen haben ziemlich viele aufspannende Bäume -dieses Dreieck hat schon drei aufgespannte Bäume, allerdings Vorsicht!! Man muss die Kanten des Graphen bezeichnen oder einfärben, denn ansonsten isomorph -bei bestimmten Graphen kann man sogar aus einer Formel berechnen, wie viele auf aufspannende Bäume es gibt à für n-ecke n^(n-2) Formel von Caley Eckengrade in Bäumen -Unser Beispiele für Bäume haben ziemlich viele freie Ecken, d.h. Ecken mit dem Grad ein. Das ist kein Zufall, sondern einen Eigenschaft sämtlicher Bäume -à hat eine Baum eine Ecke mit dem Grad k, so hat er mindestens k Ecken mit dem Grad 1 -Beweis Greedy-Algorithmus o Wir zeichnen einen Baum neu, dabei fangen wir mit der Ecke mit dem Grad k an, von der in der Voraussetzung des Satzes die rede ist o Sie ist der Mittelpunkt eines Sterns à er hat k Kanten (Strahlen) und insgesamt k+1 Ecken o Wenn der Graph keine weiteren Ecken hat, ist unsere Zeichnung fertig und der Graph hat tatsächlich k Ecken mit dem Grad 1 à Spitzen des Sterns oansonsten zeichnen wir von Spitzen weiter und kommen immer wieder auf das gleiche Ergebnis -Einführung bewerteter Graph -Suche nach dem minimal aufspannenden Baum -Alle Zahlen aufschreiben - Zunächst wir kleine Kante von kleinster Zahl usw. -Aber bei Wahl beachten, dass kein Kreis entsteht

7 Bipartite Graphen Einführungsaufgabe: Fünf Jugendliche treffen sich zu einem gemeinsamen Frühstück. Jeder bringt etwas mit. Dazu wird eine Liste angelegt: à Abändern auf Klasse Steffi: Brötchen und Tee Niko:Butter und Marmelade Robert: Marmelade und Saft Anja: Milch und Tee Lars: Käse und Brötchen Liste kann noch erweitert werde à jetzt Umsetzung in einen Graphen -der Vorteil dieses Graphen ist, dass man ihn in zwei Richtungen lesen kann: Man sieht nicht nur, was die einzelnen Personen mitbringen, sondern man sieht auch auf einen Blick, wer eine bestimmte Speise mitbringt -der Graph enthält zwei Sorten von Ecken à Leute und Lebensmittel -Kanten gibt es aber nur zwischen Leuten und Lebensmittel osolche Graphen haben einen bestimmten Namen à bipartit o Def.: wenn die Menge seiner Ecken in zwei Teilmengen M und N aufgeteilt werden kann, so dass es nur Kanten zwischen Ecken aus M und Ecken aus N gibt ostatt bipartit wird es auch häufig als paar bezeichnet -es ist nicht notwendig, dass der Graph zusammenhängend ist - manchen Graphen sieht man nicht auf Anhieb an, dass sie bipartit sind, man muss sie erst umzeichnen o zum Beispiel ein Viereck -bei vielen Graphen offensichtlich, dass sie vornherein bipartit sind oalle Kreise mit gerader Eckzahl sind bipartit, alle Kreise mit ungerader Eckzahl sind nicht bipartit -Frage: Können Bäume bipartit sein?? (ja) owenn wir in einem Baum, ausgehend von einer beliebigen Ecke, die Ecken abwechselnd rot und blau markieren, stoßen wir niemals auf eine schon angemalte Ecke, weil es in einem Baum keine Kreise gibt o Benachbarte Ecken haben also unterschiedliche Farben owenn wir nun die roten und blauen Ecken in eine Menge zusammen fassen à dann haben wir den Graphen in einen Teilmengen zerlegt -bipartite Graphen erkennen

8 owie wir gesehen haben, sind Kreise mit ungerader Eckenzahl nicht bipartit odeshalb kann ein Graph, der einen solchen Kreis als Teilgraph enthält auch nicht bipartit sein -es wäre leichtsinnig zu behaupten, dass alle Graphen, die keinen Kreis mit ungerader Eckenzahl enthalten, bipartit sind à aber das ist der Fall - Beweis: o Beschränken zunächst auf zusammenhängende Graphen o Zunächst gedanklich einen Graphen vornehmen, der keinen Kreis mit ungerader Eckenzahl enthält Dann enthält er vielleicht gar keinen Kreis Oder enthält einen oder mehrere Kreise mit gerader Eckenzahl o im ersten Fall, haben wir einen Baum vor unsà Beweis bereits geführt oder zweite Fall muss aber noch bewiesen werden wie auch in jedem anderen Graphen, können wir auch in diesem so viele Kanten weglassen, bis ein Baum übrig bleibt wir erhalten ein aufspannenden Baum er enthält alle Ecken des Ausgangsgraph und ist bipartit jetzt fügen wir wieder alle Kanten hinzu verbinden zwei Ecken mit der gleichen Farbe dann erhalten wir einen Kreis mit ungerader Eckenzahl à was wir bereits ausgeschlossen haben demnach können Ecken mit den gleichen Farben nicht mehr verbunden werden à außerdem wissen wir jetzt auch, wenn jeder einzelne zusammenhängende Teilgraph bipartit ist, dann ist auch der gesamte Graph bipartit Aufgabe: -Unter einem vollständigen bipartititen Graphen versteht man einen bibartiten Graphen ohne parallele Kanten, in dem alle möglichen Kanten vorhanden sind o Zeichne einen vollständigen bipartiten Graphen mit 2, 3, 4 und 6 Ecken. Dabei soll jede der beiden vollständigen Eckenmengen mindestens 1 Ecke haben o Wie viele Kanten hat ein vollständiger bipartiter Graph, wenn die eine Menge m Ecken und die andere n Ecken hat? o Begründe: Ein vollständiger bipartiter n-n-graph ist hamiltonsch. obegründe: Ein vollständiger bipartiter m-n-graph, wobei m ungleich n, ist nicht hamiltonisch. o Zeichne einen bipartiten Graph, in dem alle Ecken den gleichen Grad haben und nicht vollständig sind ounter welchen Bedingungen ist ein vollständig bipartiter Graph eulersch?

9 Gerichte Graphen Einen Graphen in dem alle Kanten eine Richtung haben, nennt man Digraphen oder gerichtet Graphen. Beispiel: Tagesablauf erstellen. à alle Handlungsabläufe, die aus mehreren Schritten bestehen, sind als Digraph darstellbar -Kochrezepte, Montageanleitungen -Sind zwar in der Regel linear als gerichteter Weg, können aber auch Alternativen enthalten -Diagraphen kann man gut gebrauchen um Spielerergebnisse festzuhalten -in diesem Beispiel hat A gegen B und D gewonnen, aber nicht gegen C gespielt etc. - Die Anzahl der gewonnen und verlorenen Spiele kann man aus dem Eingangsgrad bzw. Ausgangsgrad errechnen - Der Eingangsgrad einer Ecke gibt an, wie viele gerichtete Kanten zu ihr hin führen. Der Ausgangsgrad gibt an, wie viele weg führen. - Wichtig: Die Summe der Eingangsgrade ist immer gleich der Summe der Ausgangsgrade -Stark zusammenhängende Graphen sind solche Digraphen, bei den von jeder Ecke zu jeder anderen Ecke ein gerichteter Kantenzug führt Körper und Flächen - bisher haben wir nur Graphen in der Ebene betrachtet, aber wer sagt, dass das alles ist. -Graphen können auch Gebilde im Raum sein! à Stangen eines Zirkuszelts oder ein Würfel. - Betrachten in der Graphentheorie à endliche Polyeder okörper die durch ebene Flächen begrenzt sind - meist werden Körper im Schrägbild gezeichnet, dass ist aber nicht vom Vorteil à da Schnittpunkte entstehen, die aber nicht wirklich da sind (Wirklichkeit vorne und hinten) - in Graphentheorie à werden Körper gedehnt -Ein Graph wird als eben bezeichnet, wenn sich keine zwei Kanten kreuzen bzw. wenn seine Kanten keine Punkte gemeinsam haben. -Ein Graph ist plättbar, oder planar, wenn er als ebener Graph gezeichnet werden kann à d.h. zu einen ebenen Graph isomorph ist. - Frage: Sind alle Graphen plättbar? o Damit er nicht plättbar ist, muss er ziemlich viele Kanten haben à denn wenn man nur wenige Kanten hat, kann man sie leicht unterbringen - mit etwas Anstrengung können wir uns überzeugen, dass es nicht geht o da ein Fünfeck fünf Seiten und fünf Diagonalen hat o man kann aber nur zwei Diagonalen innen und außen unterbringen odie fünfte Diagonale kann man nicht mehr unterbringen o à nicht plättbar - demnach können wir noch viele weitere nicht plättbare Graphen erstellen à nämlich alle die,

10 die ein vollständiges Fünfeck enthalten - Weitere nicht plättbare Graphen? - GWE-Graph - kann man den entstandenen Graphen auch so zeichnen, dass er keine Kreuzungen enthält? - Beweis à Umzeichnung zu einen Sechseck à Alle Graphen, die ein vollständiges Fünfeck oder einen GWE-Graphen enthalten, sind nicht plättbar -wir haben zwei nicht plättbare und davon ausgehend noch unendlich weitere à aber auch schon sämtliche nicht plättbaren Graphen?? - Man kann noch mehr finden, indem man dass Fünfeck oder das GWE-Graph unterteilt -Unter einer Unterteilung eines Graphen versteht man einen Graphen, der dadurch entsteht, dass in Kanten noch zusätzliche Ecken eingefügt werden - Durch eine zusätzliche Ecke entstehen aus einer Kante zwei neue Kanten - dass es keine weiteren nicht plättbaren Graphen gibt hat 1930 Kazimierz Kuratowski bewiesen à Ein Graph ist genau dann nicht plättbar, wenn er ein vollständiges Fünfeck oder einen GWE-Graphen oder eine Unterteilung davon als Teilgraph enthält -wenn wir also Wissen wollen, ob ein Graph plättbar ist, können wir ihn zunächst versuchen zu einen ebenen Graphen umzuzeichnen -wenn wir den Verdacht haben, dass er nicht plättbar ist, demontieren wie ihn Stück für Stück -bis wir ein vollständiges Fünfeck oder ein GWE-Graph übrig haben Flächen - die Kanten teilt die Ebene in mehre Flächen - bei einen Dreieck à zwei Flächen (Innen- und Außenfläche) -es gibt aber auch Graphen die einen Ebene nur in einen Fläche teilen à nämlich Bäume - eulersche Formel o Polyeder haben Ecken, Kanten und Flächen Bsp.: Würfel (8 Ecken, 12 Kanten und 6 Flächen) Euler hat Regelmäßigkeit gefunden - Addiert man die Anzahl der Ecken und den Flächen, so erhält man 2 mehr als die Kanten -E +F-K = 2 à eulerische Formel -Gilt aber nur für zusammenhängende und ebene Graphen -Beweis: oman beginnt mit beliebigen zusammenhängenden ebenen Graphen ozuerst prüfen ob es ein Baum ist Falls ein Baum ist, wissen wir, dass die Anzahl der Ecken um 1 größer ist als die Anzahl der Kanten à e = k + 1

11 Und es gibt nur eine Fläche Rechnung: e + f k = (k+1)+1-k = 2 Für Bäume (+) onun einen zusammenhängenden, ebenen und beliebigen Graphen Man baut den Graphen nun von Kante für Kante ab Und beweist, dass sich der Wert e+f-k nicht verändert Dabei muss man die Kreise zu verringern, bis ein Baum übrig bleibt Wir suchen also zunächst den ersten kreis, lösen ihn auf à zu beiden Seite dieser Kante lag ein Fläche, diese verschmelzt Die Anzahl der Ecken bleibt gleich, die Flächen vermindern sich um 1 und auch die Kanten verringert sich um eins D.h. der Wert von e+f-k bleibt gleich Entweder hat man jetzt schon einen Baum, oder man macht weiter ogilt die Formel auch für nicht zusammenhängende Graphen?? (-) Beweis durch Gegenbeispiel E + F K = = 3 -wir haben gezeigt, dass die eulersche Formel für alle zusammenhängenden ebenen Graphen gilt. Alle Polyeder gehören zu dieser Sorte à Deswegen gilt Formel auch für sie. -Aber Polyeder haben Besonderheit à die nicht alle ebenen Graphen haben obei einem Polyeder stoßen in einer Ecke mindestens 3 Kanten zusammen à Der Grad einer Ecke ist also mindestens 3 o Ein Polyeder besitzt Flächen, und zwar Dreiecke, Vierecke usw. Die Flächen haben also jeweils mindestens 3 Ecken und 3 Kanten -daraus können wir weitere Aussagen treffen oda in jeder Ecke mindestens 3 Kanten enden, wäre die Anzahl der Kanten des ganzen Körpers mindestens 3 * e ohaben dabei aber jede Kante doppelt gezählt à da sie ja zu zwei Ecken gehört oalso ist nicht die Anzahl der Kanten mindestens 3+e, sondern die doppelte Anzahl der Kanten: 2*k >= 3 * e -außerdem aus der Erkenntnis der Flächen auch eine neue Aussage Platonische Körper ojede Fläche hat mindestens 3 Kanten, so müsste die Anzahl mindestens 3 * f sein o dabei aber wieder die kanten doppelt gezählt, weil jede Kante zwei Flächen begrenzt odemnach 2 * k >= 3 * f -in allen Ecken stoßen gleich viele Kanten zusammen und alle Flächen haben die gleiche Anzahl von Ecken. Darüber hinaus sind alle Kanten gleich lang und alle Winkel gleich groß -Würfel, Tetraeder, Oktaeder, Ikosaeder, Dodekaeter -Frage: Gibt es noch mehr platonische Körper?(-)

12 -Beweis: onehmen bekannte Bezeichnung von e, f, k ozusätzlich aber noch zwei weitere Bezeichnungen g und n G = Grad der Ecken und N = Die Flächen sind n-ecke - zuerst bedenken wir, dass die Summe aller Eckengrade doppelt so groß wie die Anzahl der Kanten ist, weil jede kante 2 Ecken hat -es gilt e* g = 2*k -damit können wir die Eckenzahl durch die Kantenzahl ausdrücken à e = (2*k)/g -auch die Anzahl der Flächen können wir durch die Anzahl der Kanten ausdrücken. Jede Fläche hat die gleiche Anzahl von Kanten, nämlich n. Da jede kante zwei Flächen begrenzt à f*n = 2 * k -daraus ergibt sich die Anzahl der Flächen f = (2+k)/ n -jetzt Einsetzten in eulersche Formel e+f-k = 2 o((2*k)/g) + ((2+k)/ n) k = 2 odieser Gleichung kommt k dreimal vor o Teilen beide Seiten der Gleichung durch 2*k und erhalten dann 1/g+ 1/n - ½ =1/k -da die Anzahl der Kanten positiv ist, ist auch 1/k positiv und daraus folgend auch die linke Seite positiv -Folglich muss 1/g +1/n größer ½ - Diese Ungleichung ist der Schlüssel zur Lösung onun probieren wie Einige Beispiele durch g = 3 und n = 3 à 2/3 > ½ g = 3 und n= 4 à 7/12 > ½ g = 3 und n = 5 à 8/15 > ½ g = 3 und n = 6 à ½ = ½ g = 4 und n = 3 à 7/12 > ½ g = 4 und n = 4 à ½ = ½ g = 5 und n = 3 à 8/15 > ½ g = 6 und n = 3 à ½ = ½ -wir sehen in fünf Fällen kommt mehr als ½ raus. In den anderen Fällen entsteht genau ½ oder eine kleine Zahl -wir sehen daran, dass es nur fünf platonische Graphen gibt und die kennen wir bereits Färben von Graphen -einen einfachen Graphen färben heißt ojede Ecke erhält eine Farbe oecken die eine Kante gemeinsam haben, erhalten verschiedene Farben

13 oes sind möglichst wenige Farben zu verwenden -die kleinste Anzahl von Farben mit der ein Graph gefärbt werden kann, heißt seine chromatische Zahl -sie wird mit dem griechischen Buchstaben χ (chi) bezeichnet -leicht einzusehen ist, dass ein Dreieck die chromatische Zahl drei hat -Kreise ochromatische Zahl 2 Wenn Eckenzahl gerade ochromatische Zahle3 Wenn Eckenzahl ungerade - in vollständigen n-ecken muss jede Ecke eine andere Farbe haben, ihre chromatische Zahl ist demnach n -enthält ein Graph ein vollständiges n-eck als Teilgraph, dann braucht man dafür schon n Farben, eventuell sogar mehr -bipartite Graphen haben die chromatische Zahl 2 à gilt demnach für alle Bäume -für manche Graphen ist es nicht ganz einfach die chromatische Zahl raus zu finden, aber man kann Obergrenze festlegen - ist g max der größte Grad einer Ecke, so ist die chromatische Zahl höchstens g max + 1 obeweis Als erstes werden Ecken nummeriert (E1, E2, E3 ) und auch die Farbstifte (f1, f2, f3 ) Man beginnt mit der Ecke E1 und malt sie mit f1 an Dann färbt man E2 Gibt es keine Kante zwischen E1 und E2à dann gleiche Farbe wie E1 Ansonsten f2 So geht man nun Ecke für Ecke vor à man verwendet immer die Farbe mit der kleinsten Zahl die möglich ist Die höchste Farbnummer benötigen wir bei einer Ecke mit maximalen Grad g max à falls alle benachbarten Ecken verschiedene Farben haben Demnach g max + 1 Wie viele Farbmuster sind möglich? -weitere interessante Frage à wie viele Möglichkeiten eine Färbung vorzunehmen -Aufgabe: Wie viele Möglichkeiten dieses Beispiel mit 2 Farben? - etwas schwieriger wird es, wenn man mehr Farben zur Verfügung hat - Anzahl der Farben sei x à maximal x Farben verwenden - dann hat man für die erste Ecke x Farben zur Auswahl

14 - Für zweite Ecke dürfen wir diese Farben nicht noch mal verwenden à (x-1) Farben -Für die erste und zweite Ecke gibt es demnach x*(x-1) Färbungen - Für die dritte Ecke können wir dann alle die Farben nehmen, nur nicht die, welche wir für die zweite Ecke verwendet haben à auch x-1 - Insgesamt haben wir nun x * (x-1)² - Das können wir nun immer so weiter machen für eine Kette - Demnach x*(x-1) n-1 - N ist Anzahl der Ecken in einer Kette -Ergebnis kann aber noch weiter verallgemeinert werden, gilt auch für Baum à Gedankengang ist der gleiche - Aber auch für andere vollständige n-ecke können wir die möglichen Färbungen ausrechnen - Man beginnt bei der Überlegung mit einen Dreieck - Aufgabe wie viele Möglichkeiten für Dreieck, wenn man 5 Farben hat? (60) o Man beginnt mit beliebigen Ecke oman hat alle Farben zur Auswahl à also 5 obei der nächsten Ecke, eine Farbe weniger à 4 ofür beide Ecken sind das bereits 20 Möglichkeiten o Nun noch die dritte Ecke, diese darf nicht die Farbe der anderen Ecken haben à drei Farben à also 20 * 3 = 60 -nun kann man sich das auch überlegen, wenn die Eckenzahl nicht drei, sondern n ist und die Farbenzahl x oman beginnt mit der ersten Ecke hier noch x Farben zur Verfügung o bei der nächsten (x-1) Farben oda dritte Ecke mit den anderen verbunden à (x-2) usw. o für letzte Ecke n-1 Farben verbraucht à demnach sind nur noch x-(n-1) Farben übrig - Die Anzahl der Färbungen eines vollständigen n-ecks mit maximal x Farben beträgt x*(x-1)*(x-2)* (x-(n-1)) -Wir brauchen für jede Ecke eine neue Farbe à demnach muss die Anzahl mindestens n sein -Haben wir genauso viele Farben wie Ecken ist x = n à somit ergibt sich n*(n-1)*(n-2)* *1 und das ist gleich n! -Ein vollständiges n-eck hat die chromatische Zahl n. Man kann es auf n! Arten mit n Farben färben. -was passiert wenn die Ecken überhaupt nicht verbunden sind - dann kann man jede Ecke einzeln Färben -man braucht keinen Rücksicht zu nehmen bei Kantenlosen Graphen -Zur Färbung eines kantenlosen Graphen mit n Ecken und x Farben, so ergibt sich x n

15 verschiedene Färbungsmöglichkeiten Nun für beliebige Graphen -wähle eine belibeige Kante aus -lösche diese Kante. Es entsteht der Graph G1 - ziehe diese Kante zusammen. Es entsteht G2 - ist bekannt wie viele Färbungen G1 und G2 haben? oja onein Berechne F(G1) - F (G2). Das Ergebnis ist die Anzahl der Färbungen des ursprünglichen Graphen Wende das Verfahren erneut an Chromatische Index: à keine zwei Kanten mit der gleichen Farbe stoßen aufeinander - Für die Ecken eines vollständigen n-ecks zu färben, braucht man mindestens n Farben (weil jede Ecke verbunden ist) -Aber wie verhält es sich mit Kanten -Weil man das nicht so einfach sagen kann à Beispiele -was erkennt man am Ergebnis? -Wenn n gerade ist à benötigt man n-1 Farben -Und n Farben, wenn n ungerade -Beweis oman beginnt mit vollständigen Vieleck, mit ungeraden Eckenzahl und zeichnen es ausnahmsweise schön symmetrisch odann geht durch die eine Ecke und die gegenüberliegende eine Symmetrie-Achse odie Kanten sind dann parallel zueinander und können die selbe Farbe haben odurch jede Ecke geht eine Symmetrieachse und jede Symmetrieachse legt eine Seite und ein System paralleler Diagonalen fest o dabei bekommt jede Kante eine Farbe, keine Kante bekommt zwei Farben und in keiner ecke enden Kanten mit der gleichen Farbe owir benötigen demnach so viele Farben wie es Ecken gibt oandererseits braucht man mindestens n-1 Farben, weil alle Ecken den Grad n-1 haben o man stellt sich ein vollständiges Vieleck mit gerader Eckenzahl vor man entfernt die vorübergehend eine Ecke und mit ihr alle kanten, die in dieser Ecke enden, so erhalten wir ein vollständiges Vieleck mit einer um eins verringerten Eckenzahl à also ungerade wie wir wissen benötigen wir zum färben, so viele Farben, wie es Ecken gibt nun verbindet man die Ecke wieder mit der vorübergehend entfernten Ecke à an, jeder Ecke fehlt eine Farbe àmit der jeweils fehlenden Farbe wir neue

16 Kante bemaltà d.h. Graph benötigt nicht mehr Farben -dies wir auch als Satz von Vizing bezeichnet oin einen einfachen Graphen ist der chromatische Index gleich dem maximalen Eckengrad oder um 1 größer als der maximale Eckengrad.