Klausur Schwingungstechnik 20. September Name Vorname Matr. - Nr. Punkte

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1 1 Aufgaben FB Maschinenbau Institut für Mechanik FG Maschinendynamik Prof. Dr.-Ing. H. Irretier Dipl.-Ing. A. Stein Klausur Schwingungstechnik 0. September 011 Name Vorname Matr. - Nr. Punkte =50 Aufgabe 1: (7 Punkte) 0 l g Ein mathematisches Pendel(Masse m, Länge l) ist im Schwerefeld der Erde(Fallbeschleunigung g) reibungsfrei aufgehängt und führt freie, ungedämpfte Schwingungen aus. m (a) Stellen Sie in jeweils einem Diagramm die Eigenkreisfrequenz des Pendels in Abhängigkeit von der Masse und der Länge dar. (b) Stellen Sie in einem weiteren Diagramm die Periodendauer des Pendels in Abhängigkeit von der Länge dar. (c) Um wie viel muss die Länge des Pendels vergrößert werden, damit sich seine Periodendauer verdoppelt? Gegeben: m, l, g 1

2 Aufgabe : (10 Punkte) Das dargestellte Feder-Masse-Dämpfer-System dient zur Kraftmessung eines Boxschlages, der über den horizontal angebrachten masselosen, reibungsfrei gelagerten Balken in das System eingebracht wird. Die Schlagkraft beträgt F 0. Die Scheibe rollt auf dem Untergrund ohne zu Rutschen. (t) k C R d m, J C (a) Zeichnen Sie das zugehörige Freikörperbild der kreisförmigen Scheibe! Stellen Sie das Massenträgheitsmoment bezüglich des Momentanpols auf und ermitteln Sie die Bewegungsgleichung der Scheibe. (b) Bestimmen Sie die ungedämpfte Eigenkreisfrequenz ω 0, den Dämpfungsgrad D, die gedämpfte Eigenkreisfrequenz ω D und das logarithmische Dekrement ϑ. Gegeben: F 0, d, R, m, C, k

3 Aufgabe 3: (16 Punkte) Eine Kinderschaukel wird am Aufhängpunkt durch eine horizontale, harmonische Wegerregung u(t) = û cos(ωt) (Erregeramplitude û, Erregerkreisfrequenz Ω) zu Schwingungen angeregt. Die Länge der Stange beträgt L, die Masse eines auf dem Balken der Schaukel sitzenden Kindes ist m. L m A u(t) (a) Wie lautet die Bewegungsgleichung der Schaukel? (b) Wie groß ist die ungedämpfte Eigenkreisfrequenz der Schaukel? (c) In welchem Bereich darf die Erregerkreisfrequenz nicht liegen, damit der Winkel der Schaukel eine Amplitude nicht überschreitet? Gegeben: û = 0.3m ; L = 0.5m ; m = 30kg ; D = 0.05 ; = 0 Hinweis: Durch die Parallelführung des Balkens entspricht die Schaukel einem mathematischen Pendel mit der Masse des Kindes und der Länge der Stangen!

4 Aufgabe 4: (17 Punkte) k u(t) m w(t) Gegeben ist das Ersatzmodell für eine Maschine, die auf einer Feder und einem Dämpfer (Federkonstante k 1, Dämpferzahl d ), auf dem Untergrund aufgestellt ist. Über eine zweite Feder (Federkonstante k ) wird die Maschine durch eine periodische Funktion k 1 d u(t) = 1 ûsinωt mit der Periodendauer T zu vertikalen Schwingungen angeregt. (a) Zeichnen Sie die Funktion u(t) im Intervall [0;T]. (b) Entwickeln Sie die Erregerfunktion in einer FOURIER-Reihe und berechnen Sie die ersten drei Harmonischen. (c) Welche Harmonische der FOURIER-Reihe besitzt die maximale Amplitude und welche Harmonische erzeugt die maximale Verstärkung? Gegeben: u(t) = 1 ûsinωt ; û = 4mm ; T = 1s ; m = 680kg ; k 1 = 50 N mm ; k = 60 N mm

5 Loesung Aufgabe 1: (7 Punkte) (a) Eigenkreisfrequenz eines mathematischen Pendels: ω 0 = g l Graphische Darstellung der Eigenkreisfrequenz ω 0 als Funktion der Masse m und der Länge L: ω 0 [1/s] 6 4 ω 0 [1/s] m [kg] (b) Periodendauer: T = π ω 0 T = π L [m] L g Graphische Darstellung der Periodendauer T als Funktion der Länge L: 5

6 5 4 T [s] L [m] (c) Periodendauer: T L T L Verdopplung der Periodendauer: T T L 4L

7 Aufgabe : (10 Punkte) (a) Massenträgheitsmoment: (t) F 0 F F C F D R m, J C MP J ges = J Zylinder +J Steiner = 1 mr +mr J ges = 3 mr Bewegungsgleichung über Drallsatz: J ges ϕ = F F (R+C) F D (R+C)+F 0 R mit F F = k(r+c)ϕ ; F D = d(r+c) ϕ ϕ+ (R+C) J ges d ϕ+ (R+C) J ges kϕ = R J ges F 0 (b) ω 0 = ϑ = πd 1 D (R+C) k J ges ; D = (R+C) d ω 0 J ges ; ω D = ω 0 1 D ;

8 Aufgabe 3: (16 Punkte) (a) Bewegungsgleichung: Ersatzsystem für die Schaukel mathematisches Pendel: Drallsatz bezüglich des horizontal bewegten Aufhängepunktes A: mg Lsin(ϕ) mü Lcos(ϕ) = J A ϕ Massenträgheitsmoment: J A = ml ml ϕ+mg Lsin(ϕ) = mü Lcos(ϕ) Kleine Schwingungen: ϕ 1 sin(ϕ) ϕ ; cos(ϕ) 1 ml ϕ+mgl ϕ = ml ü (b) Nichtzulässiger Bereich für die Erregerkreisfrequenz: Umstellung der Bewegungsgleichung: ϕ+ g L ϕ = ü L Harmonische Wegerregung des Aufhängepunktes: u = ûcos(ωt) ü = ûω cos(ωt) ϕ+ g L ϕ = û L Ω cos(ωt) Eigenkreisfrequenz: ω0 = g L ω 0 = g L Erregeramplitude: ˆr 1 = û L Frequenzverhältnis:η = Ω ω 0 ϕ+ω 0ϕ = ω0ˆr 1 η cos(ωt) Erzwungene Schwingung: ϕ = ˆr 1 V 1 cos(ωt Ψ 1 ) Verzerrungsfunktion: V 1 = η ±(1 η ) Phasenfunktion: Ψ 1 = 0 bzw. 180 Amplitude: ˆϕ = ˆr 1 V 1 Forderung: ˆϕ ˆr 1 V 1 ˆr 1 η ±(1 η )

9 ˆr 1 η (1 η ) ( ) η < 1 : η > 1 : ( ˆr 1 +1 ˆr 1 1 ) ( ) ˆr 1 ±1 η ±1 η +1 η 1 ( ) 1+ ˆr 1 η 1 η 1 ( ) 1 ˆr 1 Zahlenwerte: ω 0 = 9,81 m s,5 m = 3,9 s ω 0 = 1,98 s 1 ˆr 1 = û L = 0,3 m,5 m = 0,1 ˆr 1 = 0,1 0,35 = 0,34 mit ϕ zul = 0 0,35 rad η < 1 : η 1 (1+0,34) Ω 1,7 s 1 η > 1 : η 1 (1 0,34) Ω,44s 1 = 0,75 η 0,87 = 1,5 η 1,3 Nicht zulässiger Bereich für die Erregerkreisfrequenz: 1,7 s 1 Ω,44 s 1

10 Aufgabe 4: (17 Punkte) (a).5 u(t) u [mm] T T t [s] (b) FOURIER-Reihe: u(t) = u o + 3 ν=1ûνcos(νωt β ν ) mit u 0 = û neu π ; û neu = û (siehe Ausgangsformel u(t)) û ν = 0 für ν = 1,3,5,... û ν = 4û (ν 1)(ν+1)π für ν =,4,6,... β ν = π ; Ω = π T = π1 s ; Ω ν = νω û = 8 3π mm ; û 4 = 8 15π mm ; û 6 = 8 35π mm Ω = 4π 1 s ; Ω 4 = 8π 1 s ; Ω 6 = 1π 1 s (c) Bewegungsgleichung: mẅ = dẇ k 1 w k (w u) ẅ + d mẇ + k 1+k m w = k m u

11 (d) Maximale Amplitude und maximale Verstärkung: û νmax = û = 0,85mm Die maximale Verstärkung tritt bei η 1 auf, es gilt: η = Ω ω 0 1 k Ω ω 0 ; ω 0 = 1 +k m = 1,7191 s Die maximale Verstärkung tritt bei ν = auf.