Abiturprüfung Mathematik 2009 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe 1

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1 Abiurprüfung Mahemaik 009 (Baden-Würemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe. (7 Punke) Das Schaubild P einer Polynomfunkion drien Grades ha den Wendepunk W(-/-) und bei x - einen Exrempunk. Die Normale von P in W schneide die x-achse an der Selle x 8. Besimmen Sie den zugehörigen Funkionserm.. Für jedes k is G k das Schaubild von g k mi gk (x) x(x k) ; x.. (8 Punke) Welche der folgenden Schaubilder können zu einer Funkion g k gehören, welche nich? Begründen Sie Ihre Enscheidung und ermieln Sie gegebenenfalls den zugehörigen Wer von k. Schaubild Schaubild Schaubild Schaubild

2 (7 Punke) Besimmen Sie die Orskurve der Tiefpunke aller G k mi k < 0.. Für jedes is die Funkion f gegeben durch f (x) ( x ) e, x Das Schaubild von f heiß K... ( Punke) Zeichnen Sie K. Die Schnipunke von K mi der x-achse und der Punk P(u / f (u)) mi - < u < sind die Eckpunke eines Dreiecks. Besimmen Sie u so, dass der Flächeninhal des Dreiecks maximal wird. Um wie viel Prozen weich der Flächeninhal dieses größen Dreiecks vom Inhal der Fläche ab, die von K und der x-achse eingeschlossen wird?.. (5 Punke) Die Tangene an K im Schnipunk von K mi der y-achse, die x-achse und die Gerade mi der Gleichung x c begrenzen ein Dreieck. Berechnen Sie einen Wer von c so, dass das Dreieck den Flächeninhal 8 ha... (7 Punke) Für welche Were von ha K zwei Punke mi der x-achse gemeinsam? Ermieln Sie für diese Were von den Absand dieser beiden Punke. Für welche Were von ha K zwei Exrempunke?

3 Abiurprüfung Mahemaik 009 (Baden-Würemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe. Für jedes > 0 is die Funkion f gegeben durch f (x) x + x x ; x Das Schaubild von f heiß K... (9 Punke) Zeichnen Sie K. Berechnen Sie den Schnipunk der beiden Wendeangenen von K exak... (7 Punke) Die erse und die zweie Winkelhalbierende sowie die Gerade mi der Gleichung y x- begrenzen ein Dreieck. Berechnen Sie den Flächeninhal dieses Dreiecks. In welchem Verhälnis eil K diese Dreiecksfläche?.. (6 Punke) Für welche Were von ha K einen Wendepunk mi posiiver Seigung?.. (5 Punke) Prüfen Sie, ob es ein gib, so dass die Gerade mi der Gleichung y -x das Schaubild senkrech schneide. K. (8 Punke) Eine Polynomfunkion h ha folgende Eigenschafen: () h(0) () h (x) 0 für x - und für x () h (x) 0 für x () h (x) > 0 für - < x < 0 Welche Bedeuung ha jede einzelne Eigenschaf für das Schaubild von h? Skizzieren Sie ein mögliches Schaubild von h.. Für jedes k > 0 is die Funkion g k gegeben durch g k (x) cos(kx) + k ; x Ihr Schaubild is G k.. ( Punke) Besimmen Sie die exaken Koordinaen der Hoch- und Wendepunke des Schaubilds G im Bereich 0,5 x, 5... (6 Punke) Welche Auswirkungen ha eine Vergrößerung von k auf das Schaubild? Wie muss k gewähl werden, dami die Funkion g k die Periode ha? Für welche Were von k besiz die Funkion g k Nullsellen?

4 Abiurprüfung Mahemaik 009 (Baden-Würemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Lösung Aufgabe. Der Ansaz für die Polynomfunkion.Grades laue f(x) ax + bx + cx + d. Daraus folg f (x) ax + bx + c und f (x) 6ax + b. Folgende Bedingungen können dem Aufgabenex ennommen werden: Punk (-/-) lieg auf dem Schaubild: f( ) 6a + 6b c + d () Bei x - exisier Wendeselle: f ( ) 0 a + b 0 () Bei x - exisier Exrempunk: f ( ) 0 a b + c 0 () Von der Normalen in P is bekann, dass sie den Punk W(-/-) und N(8/0) enhäl. Dami kann die Seigung der Normalen berechne werden: y W yn 0 mnormale x x 8 W N Daraus folg die Seigung der Tangene bei x -: mtang mnorm Dami gil als weiere Bedingung: f ( ) 8a 8b + c () Nun lieg folgendes lineares Gleichungssysem vor: 6a a a 8a + 6b + b b 8b c + c + c + d 0 0 Mi dem GTR folg: a ; b ; c 9 ; d 0 Die Funkionsgleichung laue f(x) x + x + 9x.. Das Schaubild der Funkion g k besiz bei x 0 eine einfache Nullselle und bei x k eine doppele Nullselle. Für den Spezialfall k 0 exisier bei x 0 eine dreifache Nullselle. Das Schaubild besiz bei x 0 eine doppele Nullselle, da dor ein Exrempunk vorlieg. Da dies für keinen Wer von k möglich is, kann dieses Schaubild nich zu einer Funkion g k gehören. Verhalen für x ± : Für x sreb g k (x). Für x sreb g k (x).

5 Da das Unendlichkeisverhalen von Schaubild nich zu der Beschreibung von g k pass, kann auch Schaubild nich zu einer Funkion g k gehören. Das Schaubild erfüll die genannen Bedingungen. Da die doppele Nullselle bei x -6 lieg muss für das Schaubild gelen: k 6 k. Das Schaubild erfüll auch die genannen Bedingungen. Da die doppele Nullselle bei x 0 lieg muss für das Schaubild gelen: k 0 k 5... Die Funkionsgleichung laue gk (x) x (x kx + k ) x kx + k Ableiungen: g k (x) x kx + k 0 und g k (x) x k Berechnung des allgemeinen Tiefpunkes der Schar: g k (x) 0 x kx + k 0 k ± k k k ± k x, und dami x k und x k g k (k) k k k < 0 für k < 0 und dami lieg dor kein Tiefpunk vor. g k ( k) k k k > 0 für k < 0 und dami lieg dor ein Tiefpunk vor. Berechnung des y-weres vom Tiefpunk: 8 8 g k ( k) k k + k k und dami laue der Tiefpunk TP( 8 k / k ) Berechnung der Orskurve der Tiefpunke: 8 8 x k k x eingesez in y k ergib y x x 7 7 Da k < 0 is, nehmen die Tiefpunke wegen x k nur negaive x-were an. Daher is die Orskurve y x nur für x < 0 mi Tiefpunken der Funkionsschar beleg. x 5

6 Zeichnung für : Skizze des Dreiecks; Berechnung der Schnipunke von K mi der x-achse: f (x) 0 ( x ) e 0 x 0 x ± Die Schnipunke lauen N ( / 0) und N ( / 0). Berechnung der Dreiecksfläche: A NN h f (u) u A(u) ( u ) e für - < u < Mi dem GTR ergib sich für u -,6 ein absolues Maximum mi A(-,6)7,0 FE. Die Fläche zwischen K und der x-achse beräg: A f (x)dx ( x )e dx 5, 59 FE (GTR) 7,0 Prozenuale Abweichung von der Dreiecksfläche:,097 09,7 % 5,59 Die prozenuale Abweichung beräg 9,7%... Der Schnipunk von K mi der y-achse laue S(0 / f (0)) S(0 / ). Berechnung der Tangenengleichung in S: Tangenenseigung f (0) : man g e ( + x f f (x) ( x ) ( e ) + ( ) e Daraus folg (0). Einsezen von m - und S(0/) in y mx + c : 0 + c c Die Tangenengleichung in S laue y +. 6 x)

7 Berechnung der Schniselle R der Tangene mi der x-achse: x + 0 x und dami R(/0). Koordinaen von Q: Q(c/0) Koordinaen von T: T(c/-c+) (x-wer c in die Tangenengleichung einsezen) Fläche des Dreiecks: A QR QT ( c) ( c + ) c c + Nun soll gelen: c c + 8 c c 6 0 Daraus folg c oder c -. ± ± 8 c, Es gib somi zwei verschiedene Were für c, wobei für c die Gerade x c rechs von R und die Dreiecksfläche unerhalb der x-achse lieg... Berechnung der Schnisellen mi der x-achse: f (x) 0 ( x ) e 0 Saz vom Nullproduk: x 0 oder e x 0 (die leze Gleichung besiz keine Lösung) x 0 x ± Dami diese beiden Lösungen exisieren, muss > 0 sein. Für 0 exisier nur eine Nullselle x 0. Absand der Nullsellen: d Berechnung der Exrempunke: f (x) ( x ) e f f (x) ( x ) ( e ) + ( ) e e ( + x x) (x) e ( + x x) + e (x ) e ( x + x + x ) e ( + x + ) 7

8 f (x) 0 e ( + x x) 0 Saz vom Nullproduk: Da e x 0 ± + ± + ± + x, Es exisieren zwei Lösungen für > -. keine Lösung besiz, kann nur x x 0 werden. Prüfung, ob bei x ± + Exrempunke vorliegen: (± + ) f ( ± + ) e ( ( ± + ) + ( ± + ) + ) e (± + ) ( m + + ± + + ) e (± + ) ( ± + ) Für > - is die zweie Ableiungsfunkion ungleich null, dami exisieren bei auch Exrempunke. x ± + 8

9 Abiurprüfung Mahemaik 009 (Baden-Würemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Lösung Aufgabe.. Zeichnung für : Berechnung der Wendepunke von K : f (x) x + x x f (x) + x f ( (x) + 6x f (x) 6x + 6 f (x) 0 + 6x 0 x( + ) 0 Die Lösung der Gleichung laue x 0 oder x. f (0) 6 0 WP (0 / f (0)) WP (0 / 0) () 6 0 WP ( / f ()) WP ( / ) f Gleichung der Wendeangene in WP (0 / 0) : Tangenenseigung: m f (0) Einsezen von WP (0 / 0) und m - in die Geradengleichung y mx + c: c c 0 Tangenengleichung: y -x Gleichung der Wendeangene in WP ( / ) : Tangenenseigung: m f () Einsezen von WP ( / ) und m in die Geradengleichung y mx + c: + c c 9

10 Tangenengleichung: y x. Schnipunk der Wendeangenen: x x x Einsezen von x in eine Tangenengleichung liefer y -. Der Schnipunk S der Wendeangenen ha die Koordinaen S(/-)... Die erse Winkelhalbierende besiz die Gleichung y x. Die zweie Winkelhalbierende besiz die Gleichung y -x. Die Gerade y x ensprich der Tangene im Wendepunk WP ( / ) (siehe..) Zu berechnen is die Fläche des Dreiecks OS WP. Da das Dreieck in O rechwinklig is (die erse und zweie Winkelhabierende sehen senkrech aufeinander), gil für die Dreiecksfläche: A OS OWP Es gil OS ( 0) + ( 0) OWP ( 0) + ( 0) A 8 FE Wie eil K diese Dreiecksfläche? A oberer Teil des Dreiecks 8 (x f (x))dx (x + x x + x)dx (x + x 0 5 x + x x +,6 0 FE 0 0 A,6 0, FE unerer Teil des Dreiecks Das Schaubild K eil das Dreieck im Verhälnis,6 : 0, : 0 0 x ) dx 0

11 Berechnung des Wendepunkes von f (x) x + x x f (x) x + x f (x) x + 6x f (x) x + 6 f (x) 0 x ( x + 6) 0 K : Mi dem Saz vom Nullproduk folg x 0 oder (0) 6 0 WP (0 / 0) f x x f ( ) 6 0 WP ( / f ( )) (der konkree y-wer wird für die Seigungsberechnung nich benöig) Seigung in WP : f (0) < 0 dieser Wendepunk ha immer eine negaive Seigung! Seigung in WP : f ( ) + Für eine posiive Seigung muss gelen: > 0 > Daraus folg > oder < -. Da > 0 vorausgesez is, ha K für > eine posiive Seigung... Zwei Schaubilder f(x) und g(x) schneiden sich senkrech, wenn folgende beiden Bedingungen erfüll sind: Schnibedingung: f (x) g(x) Senkrecher Schni: f (x) g (x) Berechnung der Schnipunke von K mi der Geraden y -x: x x + x x x + x 0 x ( x + ) 0 Die Schnisellen lauen x 0 oder x. Dami sich K und die Gerade y -x (mi Seigung m -) bei x 0 senkrech schneiden, muss gelen: f (0) ( ) ( ) is eine falsche Aussage, somi kann an der Selle x 0 kein senkrecher Schni vorliegen. Dami sich K und die Gerade y -x (mi Seigung m -) bei x senkrech schneiden, muss gelen: f () ( ) ( ) ( ) besiz keine Lösung, somi kann an der Selle x auch kein senkrecher Schni vorliegen. Es gib somi keinen -Wer, für den sich K und die Gerade y -x senkrech schneiden.

12 () h(0) Diese Eigenschaf bedeue, dass das Schaubild durch den Punk P(0/) verläuf. () h (x) 0 für x - und für x Diese Eigenschaf bedeue, dass das Schaubild an den Selle x - und x die Seigungszahl m 0, also waagreche Tangenen besiz. Hierbei könne es sich um Hoch-, Tief- oder Saelpunke handeln. () h (x) 0 für x Für x sind die Tangenenseigungen posiiv oder null. Das Schaubild is folglich für x monoon wachsend. () h (x) > 0 für - < x < 0 Eine posiive zweie Ableiung bedeue, dass das Schaubild linksgekrümm is. Somi sell das Schaubild für - < x < 0 eine Linkskurve dar. Mögliches Schaubild von h:.. Es gil: g (x) cos(x) + 6 Die Berechnung der Hoch- und Wendepunke könne man zum einen mi Hilfe der üblichen Berechnungsmehode (Ableiungsfunkionen null sezen usw.) lösen. Schneller behilf man sich mi folgender Überlegung. Für die Funkion y cos(x) gil: Bei (0/), ( π / ), ( π / ), befinden sich die Hochpunke im Periodenabsand π Das Schaubild von g (x) besiz die Periode p π. Außerdem is das Schaubild um 6 Einheien nach oben verschoben.

13 Dami erhäl man als Hochpunke für g (x) im Bereich von 0,5 x, 5 : H (0 / 7) ; H ( π / 7) Für die Funkion y cos(x) gil: π Bei ( / 0), ( π / 0), 5 ( π / ), befinden sich die Nullsellen und gleichzeiig die Wendepunke im halben Periodenabsand π Das Schaubild von g (x) besiz die Periode p π. Außerdem is das Schaubild um 6 Einheien nach oben verschoben. Dami erhäl man als Wendepunke für g (x) im Bereich von 0,5 x, 5 : π W ( / 6) ; W ( π / 6) 6.. Die Änderung des Parameers k ha zwei Auswirkungen auf das Schaubild von g k (x) : π.) Die Periode des Schaubildes ergib sich als p. Je größer der Parameer k is, k umso kleiner is die Periode..) Die Verschiebung des Schaubildes nach oben parallel zur y-achse beräg k. Je größer der Parameer k is, umso größer is die Verschiebung nach oben. Die Periode soll nun sein, das heiß π π k k Nullsellen von g k (x) : Das Schaubild besiz die Ampliude, das heiß das Schaubild darf maximal um Einhei nach oben verschoben werden, ansonsen schneide das Schaubild nich mehr die x-achse: k k 0,5 Da lau Voraussezung k > 0 gil muss also 0 < k 0, 5 gelen.

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