Berechnungen am Dreieck

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1 Berechnungen am Dreieck 1 ImDreieck OBAmitO(0 0),B(b 0)undA(0 a) ist H(x y) der Fußpunkt der Höhe von O auf AB Weitere Bezeichnungen: y a A h = OH, p = AH, q = HB und c = AB y p H(x y) Drücke c, h, p, q und die Koordinaten von H durch a und b aus Jeder Ansatz ist durch Nennung des Satzes und des Dreiecks, auf das er sich bezieht, kurz zu begründen Vereinfache die Ergebnisse! Berechne c, h, p, q und die Koordinaten von H für a = 3 und b = 4 O h x q B b x Lösung: Pythagoras in OBA: a 2 +b 2 = c 2 = c = a 2 +b 2 = 5 Fläche von OBA: Kathetensatz in OBA: pc = a ab = 1 ab hc = h = 2 c = ab a 2 +b 2 = 12 5 = 2,4 = p = a2 c = a 2 a 2 +b 2 = 9 5 = 1,8 Kathetensatz in OBA: qc = b 2 = q = b2 c = b 2 a 2 +b 2 = 16 5 = 3,2 Fläche von OBH: Kathetensatz in OBH: xb = h by = 1 hq hq = y = 2 b = ab2 a 2 +b 2 = = 1,92 = x = h2 b = a2 b a 2 +b 2 = = 1,44 2 Im unteren Teil hat die Straße von Berchtesgaden zum Rossfeld eine Steigung von 25% (a) Zeigen Sie, dass die Steigung von 25% im abgebildeten Verkehrsschild nicht richtig dargestellt ist Messen Sie dazu geeignete Strecken in einem Steigungsdreieck Machen Sie im Bild kenntlich, welche Strecken Sie abgemessen haben (b) Welcher der folgenden Terme gibt an, wie viele Meter man auf der unteren Rossfeldstraße zurücklegen müsste, um einen Höhenunterschied von 100 m zu erzielen? 1

2 4 100m 0,25 100m Quelle: Bayerischer Mathematik-Test für die Jahrgangsstufe 10 der Gymnasien 2008 Lösung: (a) Z B 1,5 25 2,6 0,2100 (b) Dreiecke im Quadrat Oben abgebildet siehst du ein Dreieck, dass in ein Quadrat eingepasst wurde (a) Mache möglichst viele (mindestens 5) mathematische Aussagen über die Figuren (zb über Flächeninhalte, Winkel,) (b) Verschiebe den Punkt C auf der Höhenlinie h so, dass das entstehende Dreieck ABC gleichseitig ist Wie groß ist dann h? Beantworte die Frage mit und ohne Trigonometrie! (c) Wie viel Prozent der Gesamtfläche nimmt das neue Dreieck ein? Lösung: (a) Z B Das Dreieck ABC ist gleichschenklig Die Fläche des Dreiecks halbiert die FlächedesQuadratsImDreieck ABC giltα = βhistsymmetrieachsevon ABC und vom Quadrat Das Quadrat hat 4 Symmetrieachsen (b) Das Dreieck ist gleichseitig, also sind alle Winkel 60 und es gilt tan60 = 2h a Wegen tan60 = 3 folgt: h = a 2 3 2

3 Eine weitere Lösungsmöglichkeit: Die Kantenlänge des Quadrats ist a Dann soll für das Dreieck laut Pythagoras gelten: ( 1 2 a)2 +h 2 = a 2 Daraus folgt dann die Lösung für h (c) A ABC = 1 2 a a 2 3 = 3 4 a2 43% 4 Anwendungen des Satzes des Pythagoras Gib für die rechtwinkligen Dreiecke jeweils die Gleichung nach dem Satz des Pythagoras an Quellen: Welt der Mathematik 9 (1990), Mathematik heute 9 (1996), Lambacher Schweizer 9 (1997), Schnittpunkt 9 (1995), MUED Lösung: t 2 = s 2 +r 2, u 2 = v 2 +w 2, a 2 = b 2 +c 2, y 2 = x 2 +z 2, b 2 = a 2 +c 2 5 Anwendungen des Satzes des Pythagoras Berechne bei den rechtwinkligen Dreiecken die fehlenden Seitenlängen Lösung: (a) x 9,43cm (b) y 9,22cm (c) z 11,18cm (d) u 35,23cm (e) v 8,94cm 6 Anwendungen des Satzes des Pythagoras Berechne die Länge der Diagonalen des Rechtecks ABCD 3

4 Lösung: Diagonale = 13 cm 7 Pyramiden Wie viel Zeltstoff benötigt man für die Herstellung des Zeltes? Quelle: Mathematik heute 9 (1996) Lösung: Höhe im Dreieck: h = ,5 2 m = 2,5m Fläche des Zeltstoffes: A = m 2,5m = 15m2 8 Die ägyptischen Seilspanner Lies die folgenden Zeitungsartikel Erkläre,worum es geht Ein Artikel enthält Fehler Die ägyptischen Seilspanner (um 2000 v Chr) hatten eine sehr genaue Methode um rechte Winkel zu konstruieren Sie benutzten dazu ein Seil mit Knoten in gleichen Abständen 4

5 (a) Warum soll es wichtig sein, genau rechte Winkel konstruieren zu können? Hast du eine Idee, wie das heute die Maurer machen? (b) Nimm ein langes Stück Bindfaden und markiere darauf 12 gleich große Abschnitte Finde möglichst viele Dreiecke, so dass jeder der drei Eckpunkte genau bei einem Knoten liegt Welches haben wohl die ägyptischen Seilspanner benutzt und warum gerade dieses? Quelle: MUED Variationen: (a) Selbst Schnur hestellen, Schüler Tripel finden lassen (b) Alle 15 Dreiecke finden lassen, die man mit weniger als 12 Knoten legen kann (c) Streichhölzer statt Schnur verwenden Lösung: (a) Neueinteilung der Felder nach der jährlichen Nilschwemme Maurer nutzen oft eine analoge Lattenkonstruktion (b) 12 verschiedene Tripel 9 Anwendungen des Satzes des Pythagoras In einem Wohnraum werden Fußsockelleisten montiert Wie viele Meter dieser Leisten werden in der Kalkulation verrechnet, wenn die beiden Türen ausgespart werden und ein Verschnittzuschlag von 15% einbezogen wird? 5

6 Lösung: U 17633,26 Mit Verschnitt 20278, Anwendungen des Satzes des Pythagoras Elfmeter! Olaf knallt den Ball in einer Höhe von 1,50m an den Pfosten Welche Strecke legt der Ball dabei mindestens zurück? Das Tor ist 7,32,m breit und 2,44,m hoch Lösung: Strecke (min) 11,69m 11 Anwendungen des Satzes des Pythagoras Berechne für jedes abgebildete Gebäude die Länge eines Dachsparren Jeder Dachsparren soll dabei 40 cm überstehen Lösung: Sparrenlängen (a) = 5,4m (b) 9,05m (c) 9,67m 6

7 12 Anwendungen des Satzes des Pythagoras Wie hoch darf der Schrank höchstens sein, damit man ihn wie angegeben aufstellen kann? Lösung: Schrankhöhe (max) 2,32m 13 Anwendungen des Satzes des Pythagoras Auf einem ebenen Feld stehen zwei Türme, einer 60 Fuß hoch, der andere 80 Fuß hoch Ihr Abstand beträgt 100 Fuß Für die beiden Vögel ist der Weg von der Turmspitze bis zu einem Brunnen zwischen den Türmen gleich weit Wie weit ist der Brunnen von den Türmen entfernt? 7

8 Lösung: Entfernung Brunnen - Turm = 64m bzw 36m 14 Anwendungen des Satzes des Pythagoras Eine Schnur ist symmetrisch um einen Stab gewickelt Die Schnur windet sich genau 4 mal um den Stab Der Umfang des Stabes ist 4cm und die Länge des Stabes ist 12cm Wie lang ist die Schnur? Lösung: Handlungsvorstellung: Küchenpapierrolle längs aufschneiden; Schnur = 20 cm 15 Wie großist die Höhe eines gleichseitigen Dreiecks mit dem Flächeninhalt 14,43m 2? Lösung: h 5,00cm 16 In einem rechtwinkligen Dreieck(siehe Zeichnung) gelte q = 9cm, b = 15cm b h a Berechne a,c,p und h! q c p Lösung: a = 20cm, c = 25cm, p = 16cm, h = 12cm 17 Ein Dreieck ABC besitzt bei C einen rechten Winkel Es gilt: a = 3cm und c = 5cm Berechne die Kathetenlänge b und die Länge q des zugehörigen Hypotenusenabschnittes sowie die Hypotenusenhöhe h! Lösung: b = 4cm ; q = 3,2cm ; h = 2,4cm 18 In einem bei C rechtwinkligen Dreieck gilt h = 2cm und b = 5cm Berechne die fehlenden Seiten, die Hypotenusenabschnitte und den Flächeninhalt des Dreiecks 8

9 Lösung: q = 1cm ; c = 5cm ; p = 4cm ; a = 2 5cm ; A = 5cm 2 19 In der nebenstehenden, nicht maßstabsgetreuen Figur sind bekannt: h = 6,0cm und p = 18,0cm Berechne q, b, s und r r D s b C h a A q c p B Lösung: q = 2,0cm; b 6,3cm; s 2,1cm; r 6,7cm 20 Überprüfe durch Rechnung, ob das Dreieck ABC mit A(2 1), B(1 10) und C(6 5) rechtwinklig ist und gib den Flächeninhalt an! (Keine Zeichnung!) Lösung: a 2 +b 2 = c 2 ; A = In einem rechtwinkligen Dreieck ist die kleinere Kathete 18 cm lang Die Hypotenusenabschnitte unterscheiden sich um 8, 4 cm Berechne die Hypotenusenabschnitte und die Höhe Lösung: q = 10,8cm; p = 19,2cm; h = 14,4cm; 22 In einem gleichschenklig-rechtwinkligen Dreieck ist die Länge der Basishöhe h = 5 cm gegeben Erstelle zunächst eine saubere, maßstabsgetreue Zeichnung und berechne anschließend die exakten Längen (a) der Schenkel, (b) der Seitenhalbierenden der Schenkel Lösung: (a): 5 2cm (b): cm 23 Im folgenden wird ein Koordinatensystem mit der Längeneinheit 1 cm zugrunde gelegt Auf einer Parabel mit dem Scheitelpunkt S(3 1) liegt der Punkt Q( 2 5, 25) Bestimme die Funktionsgleichung der Parabel und berechne dann die Entfernung d zwischen S und dem Parabelschnittpunkt mit der y-achse Lösung: y = 0,25 (x 3) 2 +1; d = 3,75cm 9

10 24 Dem Kreis k(m; r) ist ein Drachenviereck ABCD einbeschrieben Die Diagonale [BD] hat die Länge BD = 3 2 r Zeige, daß dann gilt: z = MP = r 4 7 D C P B z M r A Lösung: 25 In nebenstehendem Dreieck ABC sind gegeben: Höhe h a = 60mm; Seitenhalbierende s a = 65mm; Flächeninhalt F = 2220mm 2 (a) Berechne die Seitenlänge AC des Dreiecks ABC (Ergebnis: AC = 12 26mm) (b) DasLotvonH auf[ac] trifft[ac] impunkt G Berechne CG h a s a A C H M B Lösung: CG = mm 26 In einem Koordinatensystem ist durch die Punkte C(5 3 6) und den Fußpunkt F(5 3) die Höhe h c eines gleichseitigen Dreiecks gegeben (a) Zeichne das Dreieck ABC in das Koordinatensystem (Längeneinheit: 1 cm) so genau wie möglich ein und berechne dann die exakten Koordinaten der Punkte A und B! (b) Berechne den exakten Wert des Flächeninhalts von Dreieck ABC! Lösung: (a): A( ), B( ) (b): A ABC =

11 27 Gegeben sind die Punkte A( 3 2), B(6 1) und C( 5 4) Prüfe durch Rechnung, ob das Dreieck ABC rechtwinklig ist (Achtung: Hier ist keine Zeichnung verlangt!) Lösung: (AB) 2 +(AC) 2 = (BC) 2 28 In einem Dreieck seien c = 32cm, h c = 24cm und s c = 25cm Berechne die Längen der Seiten a und b und zeige durch Rechnung, daß das Dreieck nicht rechtwinklig ist Lösung: a = 1105, b = 657 (oder umgekehrt) Es ist a 2 +b 2 = = Gegeben sind die Punkte A(0 3), B(6 6) und C(3 3), sowie P(8 5), Q(10 4) und R(9 7) Entscheide durch Rechnung, ob die Dreiecke ABC und PQR zueinander ähnlich sind (Achtung: Hier ist keine Zeichnung verlangt!) Lösung: Die Berechnung der Seitenlängen liefert den Nachweis der Ähnlichkeit 30 In einem gleichschenkligen Dreieck ist die Basishöhe um 2 cm größer als die Basis und um 1cm kleiner als die Schenkel Berechne die erwähnten Stücke! Lösung: Basis: 10cm; Höhe: 12cm; Schenkel: 13cm; Die Lösungsansätze führen auf eine quadratische Gleichung! 31 Im Quadrat ABCD der Seitenlänge a ist M die Mitte von [AB] und N die Mitte von [BC] Berechne die Fläche des Dreiecks MND in Abhängigkeit von a! Lösung: 3 8 a2 11