Abitur 2009 Mathematik Seite 1

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1 Abitur 2009 Mathematik Seite 1 Name, Vorname:... Aufgabe A0 (beinhaltet die Aufgaben 1 3 des Arbeitsblattes) Arbeitsblatt Dieses Arbeitsblatt ist vollständig und ohne Zuhilfenahme von Tafelwerk und Taschenrechner zu bearbeiten. Das Arbeitsblatt wird nach einer Bearbeitungszeit von genau 45 Minuten eingesammelt. Zusätzliche Lösungsblätter sind mit Ihrem Namen zu versehen und in dieses Arbeitsblatt einzulegen. 1 Analysis 1.1 In dem Koordinatensystem ist der Graph einer der Funktionen f(x) = x 3 + 5x 1 oder g(x) = x 3 + 3x 2 dargestellt. a) Geben Sie an, welche der beiden Funktionen dargestellt ist. Begründen Sie. b) Skizzieren Sie den Verlauf der Ableitungsfunktion der dargestellten Funktion in dasselbe Koordinatensystem. y x Der Graph der Funktion mit der Gleichung f( x) = x + bx+ c hat im Punkt (3 2) den Anstieg 1. Berechnen Sie b und c. 1.3 Begründen Sie, dass der Graph der Funktion besitzt. 4 2 f(x) = x + 5x mit x keinen Wendepunkt

2 Abitur 2009 Mathematik Seite Untersuchen Sie die Monotonie der Funktion x f(x) = 2 e und begründen Sie. 1.5 Berechnen Sie alle Lösungen für k. 2 k (x + 5)dx = Analytische Geometrie 2.1 Ein Dreieck ist durch die Eckpunkte A( 1 1 1), B(3 2 1) und C( 2 3 1) gegeben. Prüfen Sie, ob der Winkel BAC ein rechter Winkel ist. Berechnen Sie die Länge der Strecke AB. Geben Sie den Mittelpunkt der Seite BC an. 2.2 Geben Sie den Vektor x mithilfe der Vektoren a,b und c an. c x b a

3 Abitur 2009 Mathematik Seite Bestimmen Sie einen Wert für k, sodass der Punkt P(3 k 2 k) auf der Geraden AB mit A(1 2 4) und B(0 1 5) liegt. 3 Stochastik 3.1 Eine Tür kann nur mit einem Code, der aus vier Feldern besteht, geöffnet werden. Für jedes Feld stehen die Zeichen 0 oder 1 zur Verfügung. Wie viele verschiedene vierstellige Codes sind höchstens möglich? 3.2 Ein Würfel wird 100-mal geworfen. Formulieren Sie jeweils das Gegenereignis zu den folgenden Ereignissen. A: Weniger als 10-mal erscheint die Augenzahl 6. B: Mindestens bei der Hälfte der Würfe fällt eine 3 oder eine In einem Behälter liegen 2 rote und 3 blaue Kugeln. Es wird eine Kugel zufällig gezogen, ihre Farbe notiert und nicht wieder in den Behälter gelegt. Anschließend wird dieser Vorgang mit einer zweiten Kugel wiederholt. a) Begründen Sie, dass es sich bei diesem Vorgang nicht um eine Bernoulli-Kette handelt. b) Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die beiden gezogenen Kugeln die gleiche Farbe besitzen.

4 Abitur 2009 Mathematik mit CAS 2 Hinweise für Schüler Aufgabenwahl: Die Prüfungsarbeit besteht aus den Teilen A und B. Der Teil A ist von allen Prüfungsteilnehmern zu bearbeiten. Von den Aufgaben A1, A2 und A3 sind zwei auszuwählen. Prüfungsteilnehmer, die die Prüfung unter erhöhten Anforderungen ablegen, bearbeiten zusätzlich den Prüfungsteil B. Von den Aufgaben B1, B2 und B3 ist eine auszuwählen. Bearbeitungszeit: Allen Prüfungsteilnehmern steht eine Bearbeitungszeit von 195 Minuten zuzüglich 30 Minuten für die Aufgabenauswahl zur Verfügung. Den Prüfungsteilnehmern, die die Prüfung unter erhöhten Anforderungen ablegen, stehen zusätzlich 60 Minuten Bearbeitungszeit zur Verfügung. Hilfsmittel: Für die Bearbeitung der Aufgaben sind zugelassen: das an der Schule eingeführte Tafelwerk, der an der Schule zugelassene Taschenrechner und das zugelassene CAS, Zeichengeräte ein Wörterbuch der deutschen Rechtschreibung. Hinweis: Die Lösungen sind in einer sprachlich korrekten, mathematisch exakten und äußerlich einwandfreien Form darzustellen. In der Niederschrift müssen die Lösungswege nachvollziehbar sein. Entwürfe können ergänzend zur Bewertung nur herangezogen werden, wenn sie zusammenhängend konzipiert sind und die Reinschrift etwa drei Viertel des zu erreichenden Gesamtumfanges beinhaltet. Sonstiges: Maximal zwei Bewertungseinheiten können zusätzlich vergeben werden bei guter Notation und Darstellung, eleganten, kreativen und rationellen Lösungswegen, vollständiger Lösung einer zusätzlichen Wahlaufgabe. Maximal zwei Bewertungseinheiten können bei mehrfachen Formverstößen abgezogen werden.

5 Abitur 2009 Mathematik mit CAS Seite 3 A1 Analysis 1.1 Untersuchen Sie, ob es eine ganzrationale Funktion vierten Grades mit folgenden Eigenschaften gibt: Ihr Graph schneidet die x-achse an den Stellen 10 und 30 und verläuft 99 durch den Punkt P Die Funktion hat an der Stelle 10 ein lokales Minimum vom Wert Gegeben sind die Funktionenschar h k und die Funktion f mit ihren Gleichungen ,003x + 0,1x f(x) = x + x + h k(x) = k e x,k ; k > Bestimmen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte des Graphen von f mit den Koordinatenachsen. Ermitteln Sie die Größe und den Umfang der Fläche F, die der Graph von f mit den Achsen im 1. Quadranten einschließt. Der Graph der Funktion h 2 zerlegt F in zwei Teilflächen. Berechnen Sie den prozentualen Anteil einer der beiden Teilflächen an der Gesamtfläche F Weisen Sie nach, dass jeder Graph der Funktionenschar h k genau einen Hochpunkt hat. Ermitteln Sie deren Koordinaten in Abhängigkeit von k. Geben Sie die Gleichung der Geraden an, auf der alle Hochpunkte liegen H k bezeichnet die Fläche zwischen den Graphen von h k und der x-achse über dem Intervall [0; 50] in Abhängigkeit von k. Bestimmen Sie den Flächeninhalt von H 2. Ermitteln Sie, für welche k der Inhalt von H k größer als 100 FE wird.

6 Abitur 2009 Mathematik mit CAS Seite 4 A2 Analytische Geometrie Im Physikraum befindet sich eine ebene neigbare Projektionsfläche. Legt man den Ursprung des kartesischen Koordinatensystems in einer Ecke des Raumes fest, so ergeben sich für die Projektionsfläche folgende Eckpunkte A( ), B( ), C( ) und D( ). Alle Angaben erfolgen in cm. 2.1 Geben Sie eine Koordinatengleichung der Ebene an, in der sich die Projektionsfläche befindet. 2.2 Untersuchen Sie folgende Aussagen jeweils auf ihren Wahrheitsgehalt. Aussage 1: Die Punkte A, B, C und D bilden ein Parallelogramm. Aussage 2: Die Punkte A, B, C und D bilden ein Rechteck. Aussage 3: Die Punkte A, B, C und D bilden ein Quadrat. 2.3 Die Projektionsfläche ist bezüglich der hinter ihr liegenden senkrechten Wand, welche in der yz-ebene liegt, nach vorn geneigt. Berechnen Sie die Größe des Neigungswinkels der Projektionsfläche. 2.4 Während eines Vortrages benutzt der Lehrer einen Laserpointer. Der Laserstrahl tritt im Punkt P( ) aus dem Pointer aus und hat die Richtung 5 a= Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes S, in dem der Laserstrahl die Projektionsfläche trifft. Berechnen Sie den Abstand des Punktes P vom Punkt S und die Größe des Winkels zwischen Laserstrahl und Projektionsfläche Stellen Sie das Viereck ABCD und den Verlauf des Laserstrahls in einem kartesischen Koordinatensystem grafisch dar. 2.5 Vor der Projektionsfläche befindet sich eine vertikal verschiebbare rechteckige Tafel. In der tiefsten Position haben die Eckpunkte der Tafel die Koordinaten K( ), L( ), M( ) und N( ). Prüfen Sie, ob es möglich ist, die Tafel um 145 cm nach oben zu verschieben, ohne dass es zu einer Kollision mit der in ihrer Neigung unveränderten Projektionsfläche kommt.

7 Abitur 2009 Mathematik mit CAS Seite 5 A3 Stochastik und Analysis Eine mittelständische Firma aus dem Metall verarbeitenden Gewerbe stellt u.a. Räucheröfen her. Mit diesen Produkten präsentiert sich die Firma regelmäßig auf Verbrauchermessen. Langfristige Beobachtungen haben ergeben, dass sich ca. 2 % aller Besucher derartiger Messen speziell für diese Räucheröfen interessieren. 3.1 Bei einer solchen Messe kommen an einem Tag 3450 Besucher Geben Sie an, mit wie vielen Interessenten die Vertreter dieser Firma an diesem Tag rechnen können Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten für folgende Ereignisse: A: Weniger als 60 Interessenten besuchen an diesem Tag den Stand. B: Mehr als 80 Interessenten besuchen an diesem Tag den Stand. C: Mindestens 60, aber höchstens 70 Interessenten besuchen an diesem Tag den Stand. 3.2 Die Firmenleitung beschließt, ihr Engagement bei der nächsten Messe zu verstärken und bereitet dazu ein Gewinnspiel für 5000 Besucher vor. Gespielt wird mit 4 gewöhnlichen Würfeln, bei denen jeweils die Zahlen 1 bis 6 mit gleicher Wahrscheinlichkeit auftreten. Bei jedem Wurf werden alle 4 Würfel gleichzeitig geworfen. Würfelt man einen 6-er-Pasch, d.h. alle 4 Würfel zeigen zugleich die 6 an, gewinnt man einen Räucherofen im Wert von 690. Würfelt man einen anderen Pasch, gewinnt man ein Buch zum Thema Räuchern im Wert von 15. Weitere Preise gibt es nicht, das Spiel ist für die Besucher kostenlos Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten für den Gewinn eines Räucherofens bzw. eines Buches bei einem Wurf Berechnen Sie den zu erwartenden Gesamtwert aller Gewinne, wenn 5000 Besucher jeweils genau einmal an diesem Spiel teilnehmen. 3.3 Auf der Messe wird ein neuer Räucherofen zum voraussichtlichen Verkaufspreis von 499 vorgestellt. Abzüglich der Händlerprovision würden dabei die Einnahmen für die Firma 329 je ausgelieferten Räucherofen betragen. Zur Untersuchung der Wirtschaftlichkeit werden als Modell die stetigen Funktionen U und K verwendet. Die Umsatzfunktion U beschreibt die Einnahmen in in Abhängigkeit von der Anzahl x der ausgelieferten Räucheröfen. U(x) = 329 x Die Kostenfunktion K beschreibt den Zusammenhang zwischen der Anzahl x der ausgelieferten Räucheröfen und den Produktionskosten in. K(x) = 0, x 3 2,888 x x Zeichnen Sie die Graphen von K und U in ein Koordinatensystem. Ermitteln Sie für die Anzahl der ausgelieferten Räucheröfen das Intervall, für das die Firma mit Gewinn arbeitet. Bestimmen Sie die Anzahl x, bei der die Firma den größtmöglichen Gewinn erzielt.

8 Abitur 2009 Mathematik mit CAS Seite 6 B1 Analysis Betrachtet wird die Funktion f mit der Gleichung 2 3 f(x) = 2,4x x ; x. Der Graph der Funktion f schließt mit der x-achse die Fläche A vollständig ein. 1.1 Berechnen Sie den Inhalt der Fläche A. 1.2 Die Fläche A soll durch Rechtecke der Breite 1 LE vollständig bedeckt werden. Die Rechtecke können verschiedene Längen besitzen. Die Länge wird in Richtung der y-achse festgelegt. Die Längen der einzelnen Rechtecke sollen möglichst klein sein. Die Rechtecke überdecken sich gegenseitig nicht Stellen Sie den Graphen der Funktion f und die Rechtecke in einem Koordinatensystem für den Fall dar, dass die linke Seite des linken Rechtecks auf der y-achse liegt. Berechnen Sie die Summe der Rechtecklängen Ermitteln Sie rechnerisch die Anzahl und Lage der Rechtecke so, dass die Summe der Rechtecklängen möglichst klein ist und beschreiben Sie die Lage der Rechtecke für diesen Fall.

9 Abitur 2009 Mathematik mit CAS Seite 7 B2 Analytische Geometrie In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte durch ihre Koordinaten A( ), B( ), C( ), D( x D y D z D ), S 1 ( ) und S 2 ( ) gegeben. Die Punkte A, B, C und D liegen in der Ebene ε und bilden ein Parallelogramm mit AC als Diagonale. 2.1 Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes D. 2.2 Begründen Sie, dass S 1 und S 2 auf verschiedenen Seiten von ε liegen. 2.3 Zeichnen Sie in ein Koordinatensystem die beiden Pyramiden ABCDS 1 und ABCDS 2. Prüfen Sie rechnerisch, ob die beiden Pyramiden ABCDS 1 und ABCDS 2 spiegelsymmetrisch zur Ebene ε liegen Die Gerade g besitzt die Gleichung g:x = 15 + t Zeigen Sie, dass S 1 auf g liegt. Auf der Geraden g gibt es einen Punkt S 3, sodass S 3 die Spitze einer geraden Pyramide mit der Grundfläche ABCD ist. Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes S 3.

10 Abitur 2009 Mathematik mit CAS Seite 8 B3 Analytische Geometrie und Stochastik 3.1 Eine Lagerhalle der Firma HAMMER & HART besitzt die Grundfläche ABCD und hat ein Pultdach EFGH (siehe Skizze). Beide Flächen haben die Form eines Rechtecks. In einem kartesischen Koordinatensystem (1 LE = 1 m) besitzen die Eckpunkte folgende Koordinaten: A(4 0 0), B(16 9 0), C( ), D(1 4 0), E(4 0 4), F(16 9 4), G( ), H(1 4 6). (Skizze nicht maßstäblich) Ermitteln Sie eine Koordinatengleichung der Ebene, in der die Dachfläche liegt. Berechnen Sie die Größe des Neigungswinkels der Dachfläche gegenüber der Grundflächenebene An einem im Mittelpunkt der Dachfläche EFGH befestigten Seil soll an dessen Ende im Punkt L ein Beleuchtungskörper aufgehängt werden. Prüfen Sie, ob bei einer Seillänge von 1,00 m der Abstand des Punktes L von der Dachfläche EFGH noch mindestens 0,90 m beträgt Im Punkt H der Dachfläche befindet sich ein in Richtung der z-achse verlaufender Fahnenmast, der 2,00 m aus der Dachfläche herausragt. 7 Bei Einfall von parallelem Sonnenlicht in Richtung des Vektors 1 wirft dieser 3 Mast einen Schatten, der sich zum Teil auf der Dachfläche EFGH befindet. Berechnen Sie die Länge des Schattens auf der Dachfläche EFGH. 3.2 Die Firma HAMMER & HART produziert Geräte, von denen erfahrungsgemäß 2 % als Garantiefälle reklamiert werden Berechnen Sie Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei 600 verkauften Geräten die Anzahl der Garantiefälle weniger als 15 beträgt Ermitteln Sie, nach wie vielen verkauften Geräten die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten mindestens eines Garantiefalles erstmals über 75 % liegt Es wird vermutet, dass der Anteil der Garantiefälle doch höher sein könnte als angegeben. Dazu sollen 1000 Geräte in ihrer Garantiezeit beobachtet werden. Formulieren und begründen Sie dazu eine Entscheidungsregel, wobei die Irrtumswahrscheinlichkeit zwischen 5 % und 6 % liegen soll.