Neuronale Netze. Gehirn: ca Neuronen. stark vernetzt. Schaltzeit ca. 1 ms (relativ langsam, vgl. Prozessor)

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1 29 Neuronale Netze Gehirn: ca Neuronen stark vernetzt Schaltzeit ca. 1 ms (relativ langsam, vgl. Prozessor) Mustererkennung in 0.1s 100 Schritte Regel

2 30 Was ist ein künstl. neuronales Netz? Ein (künstliches) neuronales Netz ist ein massiv paralleler, verteilter Prozessor, bestehend aus einfachen Prozessoreinheiten. Damit kann man Daten bzw. experimentelles Wissen sehr gut speichern, um sie in einer Anwendung zu benutzen. Ein neuronales Netz ähnelt dem Gehirn in zwei Aspekten: 1. Wissen wird vom Netz durch einen Lernprozess aufgenommen 2. Die Stärke der Verbindungen wird benutzt, um das Wissen zu speichern

3 31 Historischer Überblick (Quelle: Zell) Frühe Anfänge ( ): McCulloch/Pitts - Neuron, Hebb - Lernregel, Lashley - verteilte Repräsentation Erste Blüte ( ): Rosenblatt - Perzeptron (512 Potis), Steinbuch, Widrow/Hoff - Adaline (Neurocomputing-Firma!) Stille Jahre ( /85): Minsky/Papert - Perceptrons (1969), Kohohnen (1972) - SOMs, v.d. Malsburg, Barto/Sutton - AHC/ACE (1983), Hopfield (1982)

4 32 Historischer Überblick II Renaissance, Blüte : Rumelhart et. al. Backpropagation (1986), PDP; Barto, Sutton Reinforcement Learning, NDP (1989); Sejnowski - Nettalk (1986), viele Anwendungen seit 1995: Realismus bzgl. Verwendung als Methode: eines von vielen möglichen Modellen des Maschinellen Lernens

5 33 Grober Überblick 1. Lineare Modelle Perzeptrons 2. Nichtlineare Modelle MLPs, RBFs, Selbstorganisierende Karten (Kohonenkarten, SOMs) 4. Rekurrente Netze Es gibt sehr verschiedenartige Modelle mit sehr unterschiedlichen Zielsetzungen/ Anwendungsgebieten (z.b. Verständnis biologischer Informationsverarbeitung, Einsatz als maschinelles Lernverfahren,...) Schwerpunkt hier: Lernen aus Daten (NNs ein Modell unter vielen)

6 34 Lineares Neuronenmodell x 0 =1 x 1 w 1 w 0 y w n x n y( x) = ω 0 + n ω i x i (1) i=1 = w T x (2) Lernen: Suche möglichst guten Parametervektor, um die Daten zu beschreiben Methode der kleinsten Quadrate LMS

7 35 Lernen mit Least Square Trainingsmenge: D = {( x 1, y 1 soll), ( x 2, y 2 soll),..., ( x P, y P soll)} Gesamtfehler über alle Trainingsbeispiele: E = 1 2 P (y soll y( x p )) 2 p=1

8 36 Lernen mit Least Square II gesucht ω mit ω = arg min ω 1 E = arg min ω 2 P (y soll y( x p )) 2 p=1 Suche ω, welches den Abstand der Ausgabe zu den Zielwerten minimiert. Lernregel über Gradientenabstiegsverfahren: ω = ɛ δe δ ω

9 37 Das Perzeptron (Schwellwertneuron) x 0 =1 x 1 w 1 w 0 y w n x n Einfaches lineares Neuronenmodell, ergänzt um eine Schwellwertfunktion Nur linear trennbare Funktionen sind darstellbar Perzeptron Lernalgorithmus für Klassifikation Berühmtes Problem: XOR

10 38 Das Multi-Lagen-Perzeptron (MLP) Idee: Hintereinanderschaltung vieler Neuronen

11 39 Das Multi-Lagen-Perzeptron II Berechnungsrichtung (vorwärts) gerichtet, keine Rückkopplung Allgemeiner Funktionsapproximator Lernregel: Backpropagation (Rumelhart, McClelland, 1985)

12 40 Anwendungen von MLPs Dollar-DM-Wechselkursprognose Autofahren: ALVINN (CMU) Absatzprognose Bildzeitung Harmonet, Melonet ( musik/)

13 41 Künstliches Neuron s 1 w i 1 s 0 =1 w i 0 s i Neuron, Unit i s n w i n k ankommende Gewichte von Neuron j zu Neuron i : ω i1,..., ω ij,..., ω ik Netzeingabe, interne Aktivierung:net i = n j=0 ω ijs j Aktivierung bzw. Ausgabewert von Neuron i: s i = act(net i ) mit act: Aktivierungsfunktion

14 42 Die Aktivierungsfunktion Motivation: Die Schwellwertfunktion, wie sie im Perzeptron Verwendung findet, wird angenähert durch eine differenzierbare, monoton wachsende Funktion. Hier haben sich die sogenannten Sigmoidfunktionen durchgesetzt. act sig (z) = e az

15 43 Eigenschaften: Die Aktivierungsfunktion II differenzierbar, streng monoton wachsend, Wertebereich zwischen 0 und 1 (manchmal auch durch einfache Transformation zwischen -1 und 1) für kleines a einen fast linearen mittleren Bereich für großes a nähert sich act sig einer Schwellwertfunktion an In der Praxis wird der Parameter a nicht explizit verwendet; man kann zeigen, dass dieser sich durch entsprechende Wahl des Gewichtsvektors (Parametervektors) ω ausdrücken lässt

16 44 Approximation Annährung einer kontinuierlichen Relation zwischen x und y (Kurven, Fläche, Hyperfläche ) durch ein anderes Rechenmodell; gegeben sei eine begrenzte Zahl von Beispielen D = {x i, y i } l i=1.

17 45 Approximation vs. Interpolation Ein Sonderfall der Approximation ist die Interpolation: hierbei durchläuft das Modell exakt alle Daten. Wenn sehr viele Meßdaten vorliegen oder die Daten verrauscht sind, verwendet man Approximation.

18 Approximation ohne Overfitting 46

19 47 Interpolation mit Polynomen Einige Interpolationsverfahren mit Polynomen: Lagrange-Polynome, Newton-Polynome, Bernstein-Polynome, Basis-Splines.

20 48 Lagrangesche Interpolation Um durch l + 1 Punkte (x i, y i ) (i = 0, 1,..., l) ein Polynom vom Grade l hindurchzulegen, kann man nach LAGRANGE den folgenden Ansatz benutzen: p l (x) = l i=0 y i L i (x) Die LAGRANGEschen Grundpolynome werden wie folgt definiert: L i (x) = (x x 0)(x x 1 ) (x x i 1 )(x x i+1 ) (x x l ) (x i x 0 )(x i x 1 ) (x i x i 1 )(x i x i+1 ) (x i x l ) = { 1 wenn x = xi 0 wenn x x i

21 49 Newtonsche Interpolation Ein Newtonsches Polynom vom Grade l wird wie folgt konstruiert: p l (x) = a 0 +a 1 (x x 0 )+a 2 (x x 0 )(x x 1 )+ +a l (x x 0 ) (x x l 1 ) Dieser Ansatz ermöglicht die einfache Berechnung der Koeffizienten. Für n = 2 erhält man das folgende Gleichungssystem: p 2 (x 0 ) = a 0 = y 0 p 2 (x 1 ) = a 0 + a 1 (x 1 x 0 ) = y 1 p 2 (x 2 ) = a 0 + a 1 (x 2 x 0 ) + a 2 (x 2 x 0 )(x 2 x 1 ) = y 2

22 50 Interpolation mit Bernstein-Polynomen - I Interpolation von zwei Punkten mit Bernstein-Polynomen: y = x 0 B 0,1 (t) + x 1 B 1,1 (t) = x 0 (1 t) + x 1 t

23 51 Interpolation mit Bernstein-Polynomen - II Interpolation von drei Punkten mit Bernstein-Polynomen: y = x 0 B 0,2 (t)+x 1 B 1,2 (t)+x 2 B 2,2 (t) = x 0 (1 t) 2 +x 1 2t(1 t)+x 2 t 2

24 52 Interpolation mit Bernstein-Polynomen - III Interpolation von vier Punkten mit Bernstein-Polynomen: y = x 0 B 0,3 (t) + x 1 B 1,3 (t) + x 2 B 2,3 (t)x 3 B 3,3 (t) = x 0 (1 t) 3 + x 1 3t(1 t) 2 + x 2 3t 2 (1 t) + x 3 t 3

25 53 Interpolation mit Bernstein-Polynomen - IV Die Bernstein-Polynome der Ordnung k + 1 werden wie folgt definiert: B i,k (t) = ( ) k (1 t) k i t i, i = 0, 1,..., k i Interpolation mit Bernstein-Polynomen B i,k : y = x 0 B 0,k (t) + x 1 B 1,k (t) + + x k B k,k (t)

26 B-Splines Als normalisierte B-Splines N i,k der Ordnung k (vom Grad k 1) werden folgende Funktionen bezeichnet: Für k = 1, N i,k (t) = { 1 : für ti t < t i+1 0 : sonst sowie für k > 1, eine rekursive Darstellung: N i,k (t) = t t i N i,k 1 (t)+ t i+k 1 t i t i+k t N i+1,k 1 (t) t i+k t i+1 mit i = 0,..., m. 54

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