Was bisher geschah: Formale Sprachen

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1 Was bisher geschah: Formale Sprachen Alphabet, Wort, Sprache Operationen und Relationen auf Wörtern und Sprachen Darstellung unendlicher Sprachen durch reguläre Ausdrücke (Syntax, Semantik, Äquivalenz) Wortersetzungssysteme Algorithmen für w? L(S, u) für nichtverlängernde Wortersetzungssysteme nichtverkürzende Wortersetzungssysteme Grammatiken (Ableitung, definierte Sprache, Äquivalenz) 91

2 Chomsky-Hierarchie (Noam Chomsky) Eine Grammatik G = (N, T, P, S) ist vom Chomsky-Typ 0 immer, 1, falls für jede Regel (l r) P gilt: l r (monoton, kontextsensitiv) 2, falls Typ 1 und für jede Regel (l r) P gilt: l N (kontextfrei) 3, falls Typ 2 und für jede Regel (l r) P gilt: l N und r (T TN) (regulär) Eine Sprache L T heißt vom Typ i für i {0,..., 3}, falls L \ {ε} = L(G) für eine Grammatik G vom Typ i. L i bezeichnet die Menge aller Sprachen vom Typ i. Es gibt Sprachen, die durch keine Grammatik erzeugt werden, also keinen Chomsky-Typ haben (Begründung später). 92

3 Beispiele G = ({S}, {a, b}, P, S) mit P = {S asb, S ab, S a, S b} ist vom Typ 2 G = ({S, A, B}, {a, b}, P, S) mit P = {S aa, A ab, B bb, B b} ist vom Typ 3 G = ({A, B, C}, {a, b, c}, P, A) mit P = A aabc, A abc, CB BC, ab ab, bb bb, bc bc, cc cc 93

4 Dyck-Sprache Klammerpaar (, ) Dyck-Sprache: Menge aller korrekt geklammerten Ausdrücke erzeugt durch Grammatik Beispiele: ()(()()) L(G) ())( L(G) G = ({S}, {(, )}, P, S) mit S ε P = S SS S (S) 94

5 Allgemeine Dyck-Sprachen Menge aller korrekt geklammerten Ausdrücke mit n Paaren von Klammern: ( i, ) i für i {1,..., n} erzeugt durch Grammatik G = ({S}, {( i, ) i i {1,..., n}}, P, S) mit { } S ε P = {S ( S SS i S) i i {1,..., n}} Symbole müssen nicht notwendig Klammern sein, z.b. aacdacababdbbcabdb Dyck-Sprache mit a statt ( 1, b statt ) 1, c statt ( 2 und d statt ) 2 95

6 Wortproblem für durch Grammatiken definierte Sprachen Satz Es existiert ein Algorithmus, welcher für jede beliebige Eingabe (G, u), wobei G eine monotone Grammatik (Chomsky-Typ 1) und u A sind, die Wahrheit der Aussage u L(G) korrekt beantwortet. (folgt aus entsprechendem Satz für nichtverkürzende Wortersetzungssysteme) demnächst spezielle (schnellere) Verfahren für Grammatiken vom Chomsky-Typ 2 und 3 96

7 Ordnungen auf A Präfix-, Postfix-, Infix-Relation auf A : Halbordnungen bei gegebener totaler Ordnung < auf dem Alphabet A: lexikographische Ordnung auf A : u, v A : u lex v gdw. 1. u v oder 2. w A a, b A : a < b wa u wb v quasi-lexikographische Ordnung auf A : u, v A : u qlex v gdw. 1. u v oder 2. u = v u lex v Beispiele: für A = {a, b} mit a < b ab aba, ab lex aba, ab qlex aba abab abba, aber abab lex abba und abab qlex abba, aaa lex ab, aber aaa qlex ab ab lex aaba, aber ab qlex aaba 97

8 Mächtigkeitsvergleich unendlicher Mengen Eine Menge M heißt genau dann höchstens so mächtig wie die Menge N, wenn eine surjektive Funktion f : N M existiert. (f : N M ist surjektiv, gdw. x M n N : f (n) = x) Beispiele: M = {1, 2, 3} ist höchstens so mächtig wie N = {a, b, c, d} N ist höchstens so mächtig wie 3N Zwei Mengen M und N heißen genau dann gleichmächtig, wenn M höchstens so mächtig wie N und N höchstens so mächtig wie M ist. (genau dann, wenn eine bijektive Funktion f : N M existiert) Beispiele: M = {1, 2, 3, 4} und N = {a, b, c, d} sind gleichmächtig N und 3N sind gleichmächtig. 98

9 Abzählbarkeit Eine Menge M heißt genau dann abzählbar, wenn sie höchstens so mächtig wie N ist. (also eine surjektive Funktion f : N M existiert) (Unendliche) Mengen, die nicht abzählbar sind, heißen überabzählbar. Beispiele: N, Menge aller geraden Zahlen, Menge aller Primzahlen, jede endliche Menge, Menge aller Paare natürlicher Zahlen, Q sind abzählbar, R ist überabzählbar. 99

10 Erstes Diagonalverfahren von Cantor (z.b. zum Nachweis der Abzählbarkeit einer Menge) Satz Die Menge alle Paare natürlicher Zahlen ist abzählbar. Beweisidee (Tafel): zweidimensionale (unendliche) Darstellung diagonale Durchquerung Dovetailing: analoge Idee zur sequentiellen Simulation paralleler Berechnungen Für jedes endliche Alphabet A ist die Menge A abzählbar. Für jedes endliche Alphabet A ist jede Sprache L A abzählbar. 100

11 Zweites Diagonalverfahren von Cantor (z.b. zum Nachweis der Überabzählbarkeit einer Menge) Satz Es existieren überabzählbar viele unendliche 01-Folgen. ({0, 1} ω ist überabzählbar.) Beweisidee: indirekt (Tafel) allgemeinere Aussage: Satz (Cantor) Für jede Menge M ist ihre Potenzmenge 2 M von M mächtiger als M. 101

12 Beispiele überabzählbarer Mengen R ist mächtiger als N. Es gibt überabzählbar viele reelle Zahlen. [0, 1] ist mächtiger als N. Es gibt überabzählbar viele reelle Zahlen im Intervall [0, 1]. 2 N (Menge aller Mengen natürlicher Zahlen) ist mächtiger als N. (Überabzählbarkeit der Menge M = 2 N ) Es gibt überabzählbar viele Mengen natürlicher Zahlen. 2 {0,1} Menge aller Sprachen L {0, 1} ist mächtiger als {0, 1}. Es gibt überabzählbar viele Sprachen über dem Alphabet {0, 1}. 2 A für beliebiges endliches Alphabet A Für jedes endliche Alphabet A ist die Menge aller Sprachen über A überabzählbar. 102

13 Lässt sich jede Sprache durch eine Grammatik repräsentieren? Existiert zu jeder Sprache L A eine Grammatik G mit L = L(G)? Nein (Gegenbeispiel später) Begründung: (Aussage für A = {0, 1} zu zeigen, genügt) 1. Wieviele Grammatiken über dem endlichen Alphabet A gibt es? abzählbar viele (weil Grammatiken endliche Beschreibungen sind, nach erstem Diagonalverfahren von Cantor) 2. Wieviele Sprachen L {0, 1} gibt es? überabzählbar viele (zweites Diagonalverfahren von Cantor) Damit existieren sogar sehr viel mehr (überabzählbar viele) Sprachen, die nicht durch Grammatiken beschrieben werden können. 103

14 Formale Sprachen Zusammenfassung Alphabet, Wort, Sprache Operationen und Relationen auf Wörtern und Sprachen reguläre Ausdrücke Syntax, Semantik, Äquivalenz Wortersetzungssysteme Wortersetzungsregeln und -systeme Ableitungen, Ableitungsgraph durch Wortersetzungssysteme definierte Sprachen Wortproblem in Wortersetzungssystemen im Allgemeinen nicht algorithmisch lösbar, aber algorithmisch lösbar für nichtverlängernde Systeme nichtverkürzende Systeme Grammatiken Terminal-, Nichtterminalsymbole Ableitungen in Grammatiken durch Grammatiken definierte Sprachen Äquivalenz von Grammatiken Chomsky-Hierarchie für Grammatiken und Sprachen 104

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