96 KOMPLEXE RECHNUNG II (Potenzen, Logarithmen, Ortskurven)

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Franz Bergmann
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1 STR-ING ELEKTROTECHNIK KOMPLEXE RECHNUNG II (Potnzn, Logarithmn, Ortskurvn) 96. Potnzirn mit ganzzahlig positivm Eponntn Potnzirn in kartsischr Darstllung Ein kompl Zahl si in dr Form z = a + b j ggbn. Multiplizirn wir dis kompl Zahl n Mal mit sich slbr, so ntstht in nu kompl Zahl w = z n : w = z n = (a + b j) n = a n + n a n- (bj) n a (bj) n- + (bj) n n n! = k) k a (n - (bj) (96-) (n - k)!k! k=0 Potnzirn in dr Zigrdarstllung Ein kompl Zahl si in dr EULER schn Form z = z ϕ ggbn. Di n- t Potnz von z rgibt sich folgndrmassn: w = z n = [ z ϕ ] n n = z ϕ n (96-) Slbstvrständlich kann di n-t Potnz von z auch in dr trigonomtrischn Form anggbn wrdn: w = z n = z n (cosϕ + sinϕ ) n (96-3) Dis Form lässt sich wi (a + b j) n ntwickln. Dr Satz von DE MOIVRE Aus dm Vrglich dr voranghndn Formn kann folgnd Bzihung abglsn wrdn: Abraham d MOIVRE, , französischr Mathmatikr. Er baut di Wahrschinlichkitsrchnung aus und vrknüpft di Lhr von dn kompln Zahln mit dn Winklfunktionn (730 MOIVRE schr Satz). Kurt Studlr 96 - str

2 STR-ING ELEKTROTECHNIK 96 - ϕ n = (cosϕ + sinϕ ) n = cos(n ϕ ) + sin(n ϕ ) (96-4) Praktisch Anwndungn ds Satzs von DE MOIVRE lign u.a. in dr Trigonomtri (Brchnung von Winklfunktionn), dr Goniomtri, dn Amplitudnund dn Winkl-Modulationn. Bispil: Aus (cosϕ + sinϕ ) = (cos ϕ - sin ϕ ) + cosϕ sinϕ = cos( ϕ ) + sin( ϕ ) lässt sich ablsn, dass gltn muss cos( ϕ ) = cos ϕ - sin ϕ und sin( ϕ ) = cosϕ sinϕ 96. Potnzirn mit ganzzahlig ngativm Eponntn Di Potnz inr kompln Zahl z mit inm ganzzahlign ngativn Eponntn rgibt sich in dr Zigrdarstllung und mit Hilf dr EULER schn Form folgndrmassn: w = z -m = z m = [ z ϕ ] m = z -m - m ϕ (96-5) 96.3 Radizirn Das Radizirn odr Wurzlzihn ist mhrdutig. Wird di n-t Wurzl aus inr kompln Zahl z gzogn, lassn sich gnau n kompl Zahln findn, di hoch n grchnt, di ursprünglich kompl Zahl rgbn. Ggbn ist di kompl Zahl z = z und gsucht si w als di n- t Wurzl von z : w = n z = z n = [ z ( ϕ + k π) ] ϕ π + k = z n n n ; n, k (96-6) n Dis Form lässt rknnn, dass für w als n-t Wurzl aus z gnau n Zigr auf- Das Potnzirn mit ngativn Eponntn ist auch in dr kartsischn Form möglich. Dr Nnnr im Bruch /(a+jb) m wird nach (96.) ntwicklt und gordnt. Anschlissnd kann konjugirt kompl rwitrt wrdn. Kurt Studlr 96 - str

3 STR-ING ELEKTROTECHNIK 96-3 trtn, di sich in ihrm Winkl untrschidn und in ihrm Btrag übrinstimmn. Di n Zigrspitzn lign damit auf inm Kris mit dm Mittlpunkt im Ursprung und dm Radius w. w = z n = n z und w = ϕ π ϕ + k ; k = 0,,,... n- n n Dr Wrt für w, dr mit k = 0 rschint, wird Hauptwrt gnannt. Dr Hauptwrt dr n-tn Wurzl aus z rschint mit dm Winkl n ϕ. Bispil: 5π Ggbn si di kompl Zahl z = j 3. Gsucht si w = 5 z. Es wrdn: w = π ϕ w 0 = als Hauptwrt (für k = 0) und ϕ w = 9π, ϕ 60 w = 53π, ϕ 60 w 3 = 77π, ϕ 60 w 4 = 0π 60 w = π ; k = 0,,, 3, 4 Mit Hilf ds Radizirns lassn sich auch Glichungn dr Form z n - z = 0 lösn, worin z gfragt ist. Für z falln n Lösungn an Rziprokwrt von Wurzln w = m z = z m - = [ z ( ϕ + k π) ] - m - ϕ = z - m ϕ m = - m ; m, k (96-7) m z Bispil: Ggbn si z = = 8 j 8 Es wrdn: w = ϕ w 0 = ϕ w = Kurt Studlr 96-3 str π -. Gsucht wird w =. 3 z + π als Hauptwrt (für k = 0) und 6 5π 3π, ϕ 6 w =

4 STR-ING ELEKTROTECHNIK 96-4 w = π 6 ; k = 0,, 96.5 Potnzirn mit gbrochnn Eponntn Das Potnzirn mit gbrochnn Eponntn 3 binhaltt all bishr btrachttn Möglichkitn ds Potnzirns und ds Radizirns. Es sin p und q ganz Zahln m, k. Das Potnzirn mit dm gbrochnm Eponntn p/q rgibt sich dann, mit q Lösungn, folgndrmassn: w = q p p z = z q = [ z ( ϕ + k π) ] p p ϕ p = z j k q + π q q ; m, k, k (96-8) Für dn Btrag und dn Winkl von w sind abzulsn: p q p w = z q und p ϕ p ϕw = j + k π q q Aus dm Winkl von w wird rsichtlich, dass s gnau q Zahln w gibt, di hoch q/p grchnt widr z rgbn. Bispil: 5π 3 Ggbn si di Zahl z = 3 6. Gsucht si w = 5 3 z = z5. Es wrdn: w = 8 π ϕ w 0 = als Hauptwrt (für k = 0) und ϕ w = 7π, ϕ 0 w = 9π, ϕ 0 w 3 = 4π, ϕ 0 w 4 = 53π 0 w = π 8 ; k = 0,,, 3, 4 3 Anwndungn findn sich zum Bispil in dr Übrtragungstchnik. Kurt Studlr 96-4 str

5 STR-ING ELEKTROTECHNIK Potnzirn, wnn Basis und Eponnt kompl Zahln sind Ggbn sin di kompln Zahln z = z und z = a + b. Aus dn bidn Zahln soll dr Ausdruck w = z z gbildt wrdn. 4 w = z z = [ z ] ( a + b) Wir wndn auf disn Ausdruck di Rgln dr Potnzrchnung an und gwinnn: w = z a z jb a b Mit dr Bzihung z = ln z wird dr Faktor z jb = ln z disn umgwandltn Ausdruck in, wird: jb. Stzn wir [ ] w = - b ( + k z ) j a ( + k ) + b ln z a ϕ π ϕ π ; k = 0,,. (96-9) Di gfundn Zahl w stllt sich dar in Btrag und Winkl: w = - b z ( ϕ + k ) und ϕ a ( ϕ + k π) a π w = + b lnz Das Potnzirn mit inm kompln Eponntn zu inr kompln Basis ist mhrdutig. Dr Wrt, dr sich für w mit k = 0 instllt, nnnn wir dn Hauptwrt. Bispil: Es sin ggbn z = und z = 3 π - 4. Gsucht wrd w = z z. π In di gignt Form gbracht wrdn z = 3 und z = 3-3. Eingstzt wird: π π w = k j 3 + k - 3 ln π 3 π 3 ; k = 0,,... odr witr ausgwrtt [ ] ( ) w = 483,933 ( k 6π ) [ π,338+ k 6 ] ; k = 0,,... 4 Wnn di Zahln blibig vorlign, wandl man di Basis in di Zigrdarstllung (EULER) und dn Eponntn in di kartsisch Form. Kurt Studlr 96-5 str

6 STR-ING ELEKTROTECHNIK Dr Logarithmus inr kompln Zahl Dr natürlich Logarithmus inr kompln Zahl 5 Ggbn si di kompl Zahl z = z. Wir suchn dn natürlichn Logarithmus dr Zahl z nämlich w = ln z. [ ] [ ] w = ln z = ln z = ln z + ln + = u + v ;k = 0,,,.. (96-0) w = ln z + ( ϕ k π) Dr aginärtil dr gfundnn kompln Zahl ist mhrdutig. Dr Wrt, dr sich für w mit k = 0 instllt, nnnn wir dn Hauptwrt ds natürlichn Logarithmus von z. Dr Logarithmus zur Basis a von inr kompln Zahl Aus dm Brich dr rlln Zahln ist dr Zusammnhang zwischn dm natürlichn Logarithmus und dm Logarithmus zur blibign Basis a bkannt: ln = a log ln a. Di Bzihung ntstht aus = a y, wnn wir = a y zur Basis und zur Basis a logarithmirn und das Ergbnis vrglichn. Dr Logarithmus inr kompln Zahl zur blibign Basis a lässt sich somit folgndrmassn angbn: lnz w = log a z = und s wird lna = [ ln z + ( ϕ + k π) ] lna = u + v ;k = 0,,,... (96-) Dr Logarithmus inr kompln Zahl zur Basis a ist mhrdutig. Dn Wrt für w mit k = 0 nnnn wir dn Hauptwrt. Di Basis a braucht nicht notwndigrwis rll zu sin. Mit a = A ( ψ+q π) wird übrführt in w = log a z = lnz lna 5 Es ist gignt, di ggbn kompl Zahl z in di Zigrdarstllung (EULER) zu bringn, bvor di Logarithums-Funktion ausgübt wird. Kurt Studlr 96-6 str

7 STR-ING ELEKTROTECHNIK 96-7 ( ϕ + k π) ( ψ + q π) ln z + = = u + v ;k, q = 0,,,... (96-) ln A + j Bispil: ) Es si z = -0 = 0 ( π + k π). Gsucht si w = ln z. π k π π + k w = ln z = ln(0) + ( + ) =,3 + ( ) ) Es si z = 0 ( π + k π). Gsucht si w = log z. Es wird w = 3,3 + (4,53 + k 9,065) π 3) Es si z = -3 = - - k 3 π. Gsucht si w = log a z, worin a =. - π ln3 + + k π Es wird w = 0, (- ) = ln+ ( π + q π) j ( + q 4) 4 k - 0,6994 = - j ; k = 0,,,... q = 0,,,... + q + q ( ) ( ) 96.8 Di Ortskurv Di kompl Zahl z si in kontinuirlich Funktion ds rlln Paramtrs p, das Hisst z = z(p) ;p. Di Zigrspitzn disr kompln Zahl laufn mit variablm p ntlang inr Kurv. Dis Kurv in dr GAUSS schn Zahlnbn wird Ortskurv gnannt. 6 Ortskurv, rzugt durch dn Paramtr p: 3j j z(p ) j z(p 4 ) j z(p 3 ) z(p ) -3j 6 R Fig. 96- Ortskurv 6 Ortskurvn wrdn in dr Elktrotchnik häufig vrwndt um zu bschribn, wi pdanzn und Spannungs-, Strom- odr Listungsvrhältniss von variirndn Frqunzn abhängn. Orstkurvn zign di frqunzabhängign Eignschaftn von Ein- und Zwitorn vollständig. Kurt Studlr 96-7 str

8 STR-ING ELEKTROTECHNIK 96-8 Ist z(p) in priodisch Funktion von p, das hisst, ist z(p + P) = z(p), worin P als Priod bzichnt wird, dann ist di Ortskurv gschlossn. Ortskurv inr priodischn Funktion 3j j z(p ) j z(p 4 ) j z(p 3 ) z(p ) -3j 6 R Fig. 96- Ortskurv inr priodischn Funktion Bispil: ) Es si z(t) = (t) + y(t) = t + t 3 ; - t Mit Hilf inr Wrttabll lassn sich Wrt zu (t) und y(t) findn. Dis Wrtpaar stlln dann Ort dr Zigrspitzn dar und di Ortskurv lässt sich zichnn. t - -,5 - -0,5 0 0,5,5 (t) - -,5 - -0,5 0 0,5,5 y(t) -8-3,4 - -0, 0 0, 3,4 8 Als Bild rgibt sich in kubisch Parabl: 5j 0 R Fig Bispil Kurt Studlr 96-8 str

9 STR-ING ELEKTROTECHNIK 96-9 ) Es si z(p) = (p) + y(p) = sin(p) + sin (p) ; - < p < j 0 R Fig Bispil 3) Es si z(p) = (p) + y(p) = 0-9 p - j 9 p ; 0 p < j 0 z(p) R Fig Bispil 3 Kurt Studlr 96-9 str

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LOG 3 log 4 = log 43 = log 64 x a log 2 + log 3 = log 2 3 = log 6 : * 8 log 8 log 2 = log = log PreStudy 2018 Torsten Schreiber 56 5 Widrholung Dis Fragn solltn Si ohn Skript bantwortn könnn: Was bdutt in ngativr Eponnt? Wi kann man dn Grad inr Wurzl noch darstlln? Wi wrdn Potnzn potnzirt? Was bwirkt in Null im Eponntn? Wann kann