Seminar zur Numerischen Analysis im Wintersemester 2009/2010 Splines Spline-Räume - B-Spline-Basen

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1 Semnar zur Numerschen Analyss m Wntersemester 2009/2010 Splnes Splne-Räume - B-Splne-Basen René Janssens Inhaltsverzechns 1 Enletung 1 2 Räume von Splnefunktonen Der Raum der Splnes Grundlegende Egenschaften Ene erste Bass B-Splnes Rekursonsformeln für B-Splnes Lnearkombnatonen von B-Splnes Reprodukton von Polynomen Enletung Deser Vortrag soll enen ersten Endruck der Splnes vermtteln und dazu geegnete Basen fnden. Dazu werden wr erstmal Splnes und de Splneräume defneren und enge hrer Egenschaften entdecken. Anschleßend wrd ene erste Bass entwckelt, de uns vermtteln wrd, was de gesuchte Bass für Egenschaften haben sollte, woraufhn wr de B-Splnes defneren und enge effzente Algorthmen zu hrer Berechnung bestmmen. 1

2 2 Räume von Splnefunktonen Abschleßend werden wr dann feststellen, dass de B-Splnes geegnete Basen der Splne- Räume snd. 2 Räume von Splnefunktonen In desem Abschntt werden wr zunächst en paar Grundbegrffe zu den Splnes defneren und uns ene erste Vorstellung von Räumen der Splnefunktonen machen, um schleßlch ene erste Bass von desen zu erhalten. Dafür beschränken wr uns auf den skalaren Fall für de enfachere Notaton, jedoch snd alle Aussagen auf den vektorellen Fall übertragbar, da se komponentenwese gelten. 2.1 Der Raum der Splnes Splnes snd stückwese Polynome, de ene Kurve anhand gegebener Daten approxmeren oder nterpoleren sollen und gewsse Glatthetsbedngungen erfüllen. Se also [a, b] R en Intervall mt ener Untertelung a ξ 0 < < ξ l+1 b. Außerdem se µ (µ 1,..., µ l ) T N l en zu der Untertelung gehörger Vektor, der de Glatthet n den Knoten ξ j regelt (mt µ 0 µ l+1 0), wobe für Splnes der Ordnung k gelten soll 1 µ j k 1, j 1,..., l. Im Folgenden se Π k 1 mmer der Raum der Polynome vom Grad k 1 und χ [a,b) (x) bezechne de charakterstsche Funkton auf dem Intervall [a, b). Defnton 1. Der Raum der Splnes der Ordnung k mt Bruchstellen ξ (ξ 0,..., ξ l+1 ) und Glatthet µ st folgendermaßen defnert: Π k,µ,ξ : {f : [a, b] R f (ξj,ξ j+1 ) Π k 1, j 0,..., l, f C k 1 µ j (ξ j 1, ξ j+1 ), j 1,..., l} 2.2 Grundlegende Egenschaften An deser Stelle wollen wr en paar Egenschaften der Splne-Räume festhalten. Defnton 2. Ene abgebrochene Potenz st defnert durch { ( ) m + : R R ; x m x + m, wenn x 0, 0, sonst. Bemerkung 1. () Π k,µ,ξ st en lnearer Raum. 2

3 2.3 Ene erste Bass () Π k 1 Π k,µ,ξ () (x ξ j ) m + Π k,µ,ξ für k µ j m k 1 (v) dm Π k,µ,ξ k + l j1 µ j Bewes. () Se a Π k,µ,ξ, dann gbt es Polynome p j Π k 1 für 0 j l, so dass glt a l 0 p χ [ξ,ξ +1 ). Mt der Addton lässt sch also lecht zegen, dass Π k,µ,ξ ene abelsche Gruppe st. Mt der Standardmultplkaton auf R lassen sch alle nötgen Egenschaften analog zum Polynomraum bewesen. () Se p Π k 1, dann st p C auf ganz R und somt nsbesondere auch n C k 1 µ j auf (ξ j 1, ξ j+1 ) für j 1,..., l und trvalerwese auch n Π k 1 auf (ξ j, ξ j+1 ) für j 0,..., l und somt n Π k,µ,ξ. () Se 0 j l, dann verschwndet (x ξ j ) m + für x < ξ j, st dort also en Polynom vom Grad 0. Für x ξ j st (x ξ j ) m + (x ξ j ) m also ebenfalls en Polynom n Π k 1. Da ξ j (ξ, ξ +1 ) für alle 0 l st, glt also (x ξ j ) m + Π k 1 auf (ξ j, ξ j+1 ) für j 0,..., l. Außerdem glt mt ( ) d dx (x ξj ) m + m(x ξ j ) m 1 + für m > 1, (x ξ j ) m + C m 1 mt m k µ j, somt (x ξ j ) m + C k µ j 1 (v) Für k 1 besteht der Raum Π 1,µ,ξ aus allen stückwese konstanten Funktonen auf den l + 1 Telntervallen (ξ j, ξ j+1 ), 0,..., l, da µ j 1 für 1 j l. Jedes Telntervall entsprcht n desem Fall enem Frehetsgrad. Also glt dm Π 1,µ,ξ 1 + l. Se nun k 2. Gbt man auf dem ersten Intervall (a, ξ 1 ) en belebges Polynom p 0 aus Π k 1 vor, lässt des genau k Frehetsgrade zu. Wenn man p berets hat, st das Polynomstück p +1 Π k 1 auf dem jewels nächsten Telntervall (ξ +1, ξ +2 ) dadurch festgelegt, dass p (j) (ξ +1 ) p (j) +1 (ξ +1), j 0,..., k 1 µ +1, glt. Des snd genau k µ +1 Bedngungen, so dass für p +1 noch genau µ +1 zusätzlche Frehetsgrade übrg bleben. Insgesamt erhält man dann also k + l j1 µ j Frehetsgrade. 2.3 Ene erste Bass Mt Bemerkung 1 versuchen wr nun ene Bass des Splne-Raums Π k,µ,ξ zu fnden. Dazu verwenden wr de Polynome und de abgebrochenen Potenzen aus der Bemerkung. Satz 1. De Monome und abgebrochenenen Potenzen blden ene Bass des Splneraums Π k,µ,ξ mt Koeffzenten a j und c jm aus R. Jedes S Π k,µ,ξ bestzt de endeutge Darstellung k 1 S(x) a j x j + j0 l j1 k 1 mk µ j c jm (x ξ j ) m + Bewes. Angenommen es exsteren a j, c jm R mt S(x) k 1 j0 a jx j + l k 1 j1 mk µ j c jm (x ξ j ) m + 0 für alle x, dann wäre S(x) 0 auf (, ξ 1 ), wo aber auch alle abgebrochenen Potenzen verschwnden. Her glt also k 1 j0 a jx j 0. De Monome snd l.u., also 3

4 3 B-Splnes glt a j 0 für 0 j k 1. Außerdem glt auch S(x) 0 auf (ξ 1, ξ 2 ), her verschwnden wederum alle abgebrochenen Potenzen (x ξ ) m + mt < 1, folglch glt her k 1 mk µ 1 c 1m (x ξ j ) m + 0. Auf dem Intervall snd dese abgebrochenen Potenzen verschobene Monome und somt l.u., folglch st c 1m 0 für k µ 1 m k 1. Durch nduktves Fortsetzen ergbt sch dasselbe für alle folgenden Koeffzenten als Wderspruch. Anhand der Abbldungen 1 und 2 lassen sch aber nun enge Nachtele erkennen. Bem Verändern enes Koeffzenten vor enem Monom oder ener frühen abgebrochenen Potenz verändert man de Kurve ncht nur lokal und engeschränkt sondern auf dem (nahezu) ganzen Berech der Kurve mt zum Tel großen Änderungen n den Werten. (vgl. Abb. 1) Das bedeutet, man muss de Kurve für jede klene Änderung komplett neu bestmmen. Deser Umstand wrd dadurch verursacht, dass de Basselemente kenen lokalen Träger haben, also ncht außerhalb enes vorgegebenen Berechs verschwnden. Es kann vorkommen, dass be ener klenen Änderung der Werte, de Koeffzenten n der entsprechenden Darstellung n deser Bass sch sehr stark verändern. So st z.b. n Abb. 2 de Änderung n den Werten nfntesmal, während jedoch de Koeffzenten der beden abgebrochen Potenzen sch verzehnfachen. Man kann also ncht anhand ener Änderung n den Koeffzenten abschätzen, we stark sch de Werte verändern oder umgekehrt. Des legt darn begründet, dass be 2 sehr nah beenanderlegenden Knoten de entsprechenden abgebrochenen Potenzen fast lnear unabhängg snd. De Bass st also numersch nstabl. Es besteht außerdem ken geometrscher Zusammenhang zwschen den Koeffzenten und der Kurve. We man wederum n Abb. 2 seht, snd de Kurven fast deckungsglech, de Koeffzenten unterscheden sch jedoch stark. 3 B-Splnes Wr benötgen also ene bessere Bass, de dese Nachtele ncht aufwest. Dazu werden wr kurz de Egenschaften der berets bekannten dvderten Dfferenzen wederholen. Bemerkung 2. De dvderten Dfferenzen zu den Stützstellen x 0 x n zu ener Funkton f C n (R) bestzen folgende Egenschaften: () [x 0,..., x n ]P 0 für alle P Π n 1. () Se π : {0,..., n} {0,..., n} ene belebge Permutaton. Dann glt [x 0,..., x n ]f [x π(0),..., x π(n) ]f für alle f C n (R). 4

5 Abbldung 1: S(x) 1+x+ 4 j1 ( 1)j (x j) + und S(x) 1+2x+ 4 j1 ( 1)j (x j) + Abbldung 2: S(x) 1 + x (x 0.5) + + (x 0.501) + und S(x) 1 + x 10(x 0.5) (x 0.501) + 5

6 3 B-Splnes () Für x x j glt folgende Rekursonsformel [x 0,..., x n ]f [x 0,..., x 1, x +1,..., x n ]f [x 0,..., x j 1, x j+1,..., x n ]f x j x (v) Für jedes f C n (R) glt [x 0,..., x n ]f f (n) (λ 0 x λ n x n )dλ 1... dλ n Σ n wobe Σ n : {(λ 0,..., λ n ) T : n j0 λ j 1, λ j 0 für j 0,..., n} der n-dmensonale Standardsmplex st. (v) [x 0,..., x }{{} 0 ]f f (n) (x 0 ) n! n+1 (v) [x 0,..., x n ]f f (n) (x) n! für en x [x 0,..., x n ] (konvexe Hülle der x ) (v) [x 0,..., x n ](fg) n j0 ([x 0,..., x j ]f)[x j,..., x n ]g (Lebnz-Regel) (v) Für x 0 < < x n glt [x 0,..., x n ]f j0 n0 f(x j ) x x j j (x) Es exsteren stets Konstanten α j α j (x 0,..., x n ) mt d j max{r; x j x j+r }, so dass glt [x 0,..., x n ]f α j f (dj) (x j ) j0 Bewes. Bewese zu ()-(),(v),(v),(v) fnden sch n [2]. (v) Bewes per vollständger Indukton: (IA) n1: [x 0, x 1 ]f f(x 1) f(x 0 ) x 1 x 0 1 x 1 x 0 x1 x 0 f (ξ)dξ (IV) Se n N belebg aber fest und es gelte de Beh. für deses. 1 0 f (x 0 + t 1 (x 1 x 0 ))dt 1 6

7 (IS) n n + 1 [x 0,..., x n+1 ]f [x 1,..., x n+1 ]f [x 0,..., x n ]f x n+1 x 0 [x n+1, x 1,..., x n ]f [x 0,..., x n ]f x n+1 x 0 1 t1 tn 1... (f (n) (t 0 x n+1 + t 1 x t n x n ) x n+1 x 0 0 f (n) (t 0 x t n x n ))dt 1... dt n 1 t1 tn 1... x n+1 x t0 x n+1 + +t nx n t 0 x 0 + +t nx n Σ n+1 (f (n+1) (t 0 x t n+1 x n+1 )dt 1... dt n+1 (f (n+1) (ξ)dξdt 1... dt n (v) Bewes per vollständger Indukton: (IA) n1: [x 0, x 1 ](fg) (fg)(x 1) (fg)(x 0 ) x 1 x 0 f(x 1)g(x 1 ) f(x 0 )g(x 1 ) + f(x 0 )g(x 1 ) f(x 0 )g(x 0 ) x 1 x 0 [x 0 ]f[x 0, x 1 ]g + [x 0, x 1 ]f[x 1 ]g (IV) Se n N belebg aber fest und es gelte de Beh. für deses. 7

8 3 B-Splnes (IS) n n + 1 [x 0,..., x n+1 ](fg) [x 1,..., x n+1 ](fg) [x 0,..., x n ](fg) x n+1 x 0 n+1 j1 [x 1,..., x j ]f[x j,..., x n+1 ]g n j0 [x 0,..., x j ]f[x j,..., x n ]g x n+1 x 0 ([x 1,..., x j+1 ]f [x 0,..., x j ]f)[x j+1,..., x n+1 ]g x n+1 x 0 j0 + [x 0,..., x j ]f([x j+1,..., x n+1 ]g [x j,..., x n ]g) x n+1 x 0 (x j+1 x 0 )[x 0,..., x j+1 ]f[x j+1,..., x n+1 ]g x n+1 x 0 j0 + [x 0,..., x j ]f(x n+1 x j )[x j,..., x n+1 ]g x n+1 x 0 n+1 [x 0,..., x j ]f[x j,..., x n+1 ]g, j0 wobe man m letzten Schrtt den ersten Tel der Summe mt dem jewels nächsten Index verrechnet. (x) Nach () kann man de dvderte Dfferenz solange zerlegen, we es noch ungleche Punkte als Stützstellen gbt. Man kann se also zerlegen, bs man nur noch dvderte Dfferenzen mt d j + 1-fachen Stützstellen hat, de man dann nach (v) umschreben kann und man erhält ene Zerlegung, we se gesucht st. Dese Egenschaften werden uns m weteren Verlauf helfen, enge Dnge über de B- Splnes nachzuwesen, welche wr nun über de dvderten Dfferenzen defneren werden. Defnton 3. Se x,..., x +k mt x < x +k ene Anordnung von Knoten, dann defnere N,k (t) : (x +k x )[x,..., x +k ]( t) k 1 + als den B-Splne k-ter Ordnung bezüglch x,..., x +k. De B-Splnes bs zur Ordnung 3 werden auf Abb. 3 veranschaulcht. Es lässt sch berets bem Betrachten der Graphen erahnen, welche Egenschaften de B-Splnes haben. Man erkennt, dass de enzelnen B-Splnes lokal snd und wengstens de B-Splnes erster und zweter Ordnung snd stückwese Polynome als Konstanten bzw. Geraden. Dese Egenschaften wollen wr nun auch festhalten und bewesen. Bemerkung 3. De B-Splnes bestzen folgende Egenschaften: 8

9 Abbldung 3: B-Splnes der Ordnung 1-3 9

10 3 B-Splnes () supp N,k [x, x +k ], d.h. N,k (t) 0 für t / [x, x +k ]. () N,k st en stückweses Polynom vom Grad höchstens k 1. Genauer: st x 1 < x x +d < x +d+1, so glt N,k C k 2 d (x 1, x +d+1 ). Spezell st N,k C k 2 (x 1, x +1 ), falls x 1 < x < x +1. Bewes. () Wenn t < x st, so handelt es sch be ( t) x k 1 um en Polynom vom Grad k 1 auf dem zu nterpolerenden Intervall und somt verschwndet der führende Koeffzent laut Bemerkung 2 (). Ist t > x +k so verschwndet ( t) k 1 x auf dem Intervall und der führende Koeffzent des Interpolatonspolynoms ebenfalls. () (1) Mt Bemerkung 2 (x) ergbt sch de Behauptung, da d dx (x t)k 1 + (k 1)(x für k > 2 glt und des wederum en stückweses Polynom st, also bs zur k 2-ten t) k 2 + Abletung en stückweses Polynom st. (2) Mt Bemerkung 2 (x) st N,k (x +k x ) n j0 α jf (dj) (x j ) mt f (dj) (x j ) 0 für x j < x 1 und für x j > x +d snd de abgebrochenen Potenzen Polynome n dem betrachteten Berech und somt n C. Interessant st also nur (x +k x ) +d j 1 α jf (dj) (x j ), wobe für d j max{r; x j x j + r}, also n desem Fall max{d j } d. Da (x t) k 1 + genau k 2 mal abletbar st, st dementsprechend (x t) k 1 d + noch genau k 2 d mal abletbar und somt N,k C k 2 d Im weteren Verlauf des Semnars gewnnt außerdem noch ene andere Charakterserung der B-Splnes über das Taylor-Polynom von f an Bedeutung, de wr her kurz anführen möchten: Se f C k (R). Stelle f als Taylor-Polynom dar f(x) k 1 j0 (x x ) j f (j) (x ) + j! 1 (k 1)! x (x ξ) k 1 + f (k) (ξ)dξ und wende auf bede Seten de k-te dvderte Dfferenz an (de erste Summe verschwndet dann wegen Bemerkung 2 ()) [x,..., x +k ]f(x) (x +k x )[x,..., x +k ]f(x) 1 (k 1)! x [x,..., x +k ]( ξ) k 1 + f (k) (ξ)dξ 1 N,k (ξ)f (k) (ξ)dξ (k 1)!(x +k x ) x 1 N,k (ξ)f (k) (ξ)dξ (k 1)! 10

11 3.1 Rekursonsformeln für B-Splnes für alle f C k (R). Der B-Splne hat nur lokalen Träger, weshalb de untere Intervallgrenze verschoben werden kann. Mt Bemerkung 2 (v) folgt 1 N,k (ξ)f (k) (ξ)dξ (x +k x ) f (k) (λ 0 x + + λ k x +k )dλ 1... dλ k (k 1)! Σ n und somt auch 1 (k 1)! N,k (ξ)f(ξ)dξ (x +k x ) f(λ 0 x + + λ k x +k )dλ 1... dλ k Σ n (1) für alle f C k (R). Ferner kann man mt deser Glechung de Nchtnegatvtät der B-Splnes nachwesen: Bemerkung 4. De B-Splnes snd ncht-negatv, d.h. N,k (x) 0 für alle x R. Bewes. Durch Wderspruch. Angenommen es exstert en x R mt N,k (x) < 0. Wegen der Stetgket exstert dann auch en ɛ > 0 und ene Umgebung (x ɛ, x + ɛ), so dass N,k (x) < 0, x (x ɛ, x + ɛ). Defnere dazu ene Funkton f, de auf desem Intervall postv st und sonst verschwndet, dann st f(x)n,k (x) < 0, x (x ɛ, x + ɛ) und sonst 0, somt st das Integral darüber negatv, was aber enen Wderspruch bldet, da de rechte Sete der Glechung stets postv st. 3.1 Rekursonsformeln für B-Splnes Wr werden nun enge Rekursonformeln für B-Splnes herleten und begnnen mt der ersten Abletung: Für de erste Abletung des B-Splnes k-ter Ordnung zu den Knoten x,..., x +k glt ( N,k 1 (x) Ṅ,k (x) (k 1) N ) +1,k 1(x) (2) x +k 1 x x +k x +1 Bewes. Zum Bewes der Rekursonsformel recht ene enfache Umformung der Abletung mt der Bemerkung 2 (). Ṅ,k (x) (k 1)(x +k x )[x,..., x +k ]( x) k 2 + ( [x+1,..., x +k ]( x) k 2 + (k 1)(x +k x ) [x ),..., x +k 1 ]( x) + k 2 x +k x ( N,k 1 (x) (k 1) N ) +1,k 1(x) x +k 1 x x +k x +1 11

12 3 B-Splnes Man kann de Abletungen von B-Splnes also anhand von Funktonauswertungen der B-Splnes klenerer Ordnung bestmmen. Es betet sch also an, ene Formel zur effzenten Funktonsauswertung zu entwckeln. Zu desem Zweck formen wr de B-Splnes k-ter Ordnung mt Hlfe der Lebnz-Regel um N,k (x) (x +k x )[x,..., x +k ]( x) + k 1 (x +k x )[x,..., x +k ](( x) k 2 + ( x)) ( (x +k x ) (x x)[x,..., x +k ]( x) k 2 +[x, x +1 ]( x)[x +1,..., x +k ]( x) k In der letzten Identtät fallen alle höheren Summanden wegen Bemerkung 2 () weg. Außerdem glt [x, x +1 ]( x) 1 und unter Verwendung der Rekursonsformel für dvderte Dfferenzen 2 () folgt weter ( N,k (x) (x +k x ) (x x) [x,..., x +k 1 ]( x) + k 2 +1,..., x +k ]( x) k x x +k ) 1 + N +1,k 1 (x) x +k x +1 x x N,k 1 (x) + x x + x +k x N +1,k 1 (x) x +k 1 x x +k x +1 N,k (x) x x N,k 1 (x) + x +k x N +1,k 1 (x) x +k 1 x x +k x +1 (3) Für den Fall, dass x +k 1 x glt oder x +k 1 x +1, verschwnden de Träger der B-Splnes und de entsprechenden Terme werden Null gesetzt. Zum Verständns der Rekursonsformeln folgt jetzt en kurzes Rechenbespel. Bespel 1. Se x 0, x +1 0, x Bestmme N,2 (1) und Ṅ,2(1) zu desen Knoten. Dabe kann man berückschtgen, dass N,1 χ [x,x +1 st, was sch lecht durch Ensetzen von k 1 n de Defnton der B-Splnes (Def. 3) bestmmen lässt. N,2 (1) N,1(1) N +1,1(1) 1 2 χ [0,2)(1) 1 2 Ṅ,2 (1) (2 1) N +1,k 1(1) Lnearkombnatonen von B-Splnes Da es sch be den B-Splnes tatsächlch um Splnefunktonen handelt, kann man mthlfe deser nun auch Splnefunktonen angeben. Se 1 2 T : {x } n+k 1, x < x +k für 1,..., n ) 12

13 3.2 Lnearkombnatonen von B-Splnes x 1 x k a < x k+1 x n < b x n+1 x n+k. Defnton 4. Wr defneren den Raum S k (T ) als das lneare Erzeugns der B-Splnes k-ter Ordnung auf T: S k (T ) : span {N,k : 1,..., n} De Elemente von S k (T ) lassen sch also darstellen durch S(x) n 1 c N,k (x) mt Koeffzenten c R, was sch für x [x j, x j+1 ) wegen Bemerkung 3 () auf S(x) j j k+1 c N,k (x), x [x j, x j+1 ) (4) reduzert. Mthlfe der Rekursonsformel (2) lässt sch ene Formel zur Berechnung der l-ten Abletung enes Splnes, der aus B-Splnes besteht, bestmmen. S (l) (x) (k 1)... (k l) l+1 c (l) N,k l (x) mt c (l) { c für l 0 c (l 1) c (l 1) x +k l x für l > 0 Bewes. Per vollständger Indukton. (IA) Für l 0 glt de Aussage trvalerwese. (IV) Se l N belebg aber fest und es gelte de Beh. für deses. (IS) l 1 l S (l) (x) (k 1)... (k l + 1) (k 1)... (k l) (k 1)... (k l) (k 1)... (k l) l l+1 l+1 l c (l 1) c (l 1) Ṅ,k l+1 (x) c (l 1) ( N,k l (x) x +k l x c (l 1) 1 x +k l x c (l) N,k l (x), N,k l (x) N +1,k l(x) x +k l+1 x +1 wobe jewels N l,k l wegfällt, da x l x k und der Träger somt verschwndet. ) 13

14 3 B-Splnes Das Berechnen der Abletung enes solchen Splnes lässt sch also weder auf ene Funktonsauswertung enes nederen Splnes zurückführen. Bestmmen wr also nun weder am Bespel von (3) enen effektven Weg, da man bem naven Vorgehen, wo man de B-Splnes enzeln berechnet und anschleßend mt den Koeffzenten multplzert, enge B-Splnes n der Rekursonsformel mehrfach berechnet und das Ausmultplzeren und Aufadderen zum Schluss sch als weng vortelhaft für de Stabltät erwesen kann. Wr formen also enen Splne aus B-Splnes weder mt Bemerkung 2 () um, bs wr ene Rekurson erhalten mt c [l] S(x) 1+l c [l] N,k l(x) c für l 0 x x x +k l x c [l 1] (x) + x +k l x x +k l x c [l 1] 1 (x) für l > 0 0 für x +k l x Bewes. Per vollständger Indukton. (IA) Für l 0 glt de Aussage trvalerwese. (IV) Se l N belebg aber fest und es gelte de Beh. für deses. (IS) l 1 l S(x) l l l+1 l+1 c [l 1] N,k l+1 (x) ( c [l 1] x x x ) +k l+1 x N +1,k l (x) x +k l+1 x +1 N,k l (x) + x +k l x ( x x c [l 1] (x) + x ) +k l x c [l 1] 1 x +k l x x +k l x (x) N,k l c [l] N,k l(x) wobe jewels N l,k l wegfällt, da x l x k und der Träger somt verschwndet. Man kann l nun so lange erhöhen, we de B-Splnes noch weter zu verenfachen snd. Man hat also als enzge Beschränkung l k 1. So erhält man für l k 1 de Formel S(x) k c [k 1] (x)n,1 (x) k de m Fall x [x, x +1 ) wegen Gelchung 4 so ausseht c [k 1] (x)χ [x,x +1 )(x) S(x) c [k 1] (x) (5) 14

15 3.2 Lnearkombnatonen von B-Splnes Zur Berechnung der c [k 1] betet sch also en Nevlle-Atken-artges Schema an, dessen zuletzt geleferter Wert gerade dem Funktonswert der Splnefunkton an der Stelle x [x, x +1 ) entsprcht. c j k+1 c j k+2 c [1] j k+2 (x) c j k+3 c [1] j k+3 (x) c[2] j k+3 (x).. c j c [1] j (x) c[2] j.... (x)... c[k 1] j (x) (6) Deses Schema benötgt denselben Rechenaufwand we de Berechnung enes enzelnen B- Splnes nach (3). Zur Verdeutlchung der Funktonswese deses Schemas folgt en kurzes Rechenbespel. Bespel 2. Se k 5 und T : {x } 13 1 mt x 1 x 5 0, x 6 0, 2, x 7 0, 6, x 8 0, 9, 1 x 9 x 13. Weter se S(x) N 4,5 (x) + 4N 5,5 (x) + 3N 6,5 (x) + N 7,5 (x) + 8N 8,5 (x) +..., wobe de Koeffzenten der anderen B-Splnes ncht von Interesse snd, da hre Träger außerhalb des von uns betrachteten Berechs legen. Bestmme S(0, 95) , ,95 1 3, , , , 25 1, 477 1, , 5 2, 875 2, 176 1, 929 Mestens st de Rekursonsformel dem naven Vorgehen vorzuzehen (besonders m skalaren Fall). Allerdngs können auch Stuatonen auftreten, be denen man das nave Vorgehen bevorzugen sollte, da man bem naven Vorgehen durch umschtge Datenverarbetung (d.h. man kann de B-Splnes zwschenspechern, de mehrfach berechnet würden) den Rechenaufwand zum Auswerten der B-Splnes senken kann und man se anschleßend ledglch mt den Koeffzenten multplzeren und aufadderen muss, während man be der Rekursonformel jeden Koeffzenten rekursv berechnen muss, was be velen Funktonsauswertungen erheblch aufwendger sen kann. 15

16 3 B-Splnes 3.3 Reprodukton von Polynomen Nachdem wr nun enge effzente Verfahren zur Berechnung der B-Splnes gefunden haben, wollen wr den B-Splnes nun enge wchtge Egenschaften nachwesen. Dazu gehört unter anderem de Bass-Egenschaft für alle Splne-Räume, was se zu der gesuchten Bass machen wrd. Dazu benötgen wr aber erstmal de Marsden-Identtät, de zum Nachwes der mesten Egenschaften benötgt wrd. De Marsden-Identtät und der Nachwes snd aus [1] übernommen. Satz 2. (Marsden-Identtät) Es glt für alle x [a, b), σ R mt (x σ) k 1 k 1 (x +j σ)n,k (x) 1 j1 ϕ,k (σ)n,k (x) 1 k 1 ϕ,k (x) : (x +j σ). j1 Bewes. Per Indukton nach k: Für k 1 st (x σ) 0 1 n 1 1 N,1(x) wahr nach Defnton. Annahme: De Behauptung glt berets für l k 1 und wr zegen, dass se dann auch für l k glt mt der Rekursonsformel (3) ( x x ϕ,k (σ)n,k (x) ϕ,k (σ) + x ) +k 1 x ϕ 1,k (σ) N,k 1 (x) x 1 2 +k 1 x x +k 1 x x x k 1 (x +j σ) + x k 1 +k 1 x (x 1+j σ) x +k 1 x x +k 1 x 2 N,k 1 (x) k 2 (x +j σ) 2 j1 j1 N,k 1 (x) (x σ) ϕ,k 1 (σ)n,k 1 (x) 2 (x σ)(x σ) k 2 (x σ) k 1 nach Induktonsannahme. Also ergbt sch de Behauptung. j1 ( x x (x +k 1 σ) + x ) +k 1 x (x σ) x +k 1 x x +k 1 x 16

17 3.3 Reprodukton von Polynomen Mt Hlfe deser Identtät st es uns nun möglch nachzuwesen, dass Korollar 1. Der Raum der Polynome vom Grad k 1 auf [a, b] st n dem von den B-Splnes aufgespannten Raum enthalten Π k 1 [a, b] S k (T ). Bewes. Mt der Marsden-Identtät (Satz 2) glt 1 ( ) ϕ (l) d l,k (0)N,k(x) (x σ) k 1 σ0 (k 1)... (k l)x k l 1 ( 1) l dσ (k 1)... (k l)x k l 1 ( 1) l x m 1 1 ϕ (l),k (0)N,k(x) ( 1) k m 1 (k 1)... (m + 1) ϕ(k m 1),k (0)N,k (x) für m k l 1 mt l k 1, also 0 m k 1. Jedes Monom aus Π k 1 [a, b] st also n S k (T ) und, da sch jedes Polynom aus den Monomen lnearkombneren lässt, somt st jedes Polynom n S k (T ). We man berets n Abb. 3 erahnen kann, blden de B-Splnes ene Zerlegung der Ens, was wr jetzt mt der Marsden-Identtät nachwesen können. De Zerlegung der Ens lässt sch auch n der später folgenden Abb. 4 erkennen. Korollar 2. Mt x R blden de B-Splnes ene Zerlegung der Ens Bewes. Mt N,k (x) 1. 1 ( 1) k 1 (k 1)! ϕ(k 1),k (0) ( 1)k 1 (k 1)! (( 1)k 1 σ k ) (k 1) 1 engesetzt n de Darstellung der Monome aus dem Bewes zu Korollar 1 für m 0 folgt de Behauptung. Nun können wr letztendlch de Bassegenschaften der B-Splnes für de Splne-Räume bewesen, also zuerst: 17

18 3 B-Splnes Satz 3. De N,k snd lokal lnear unabhängg, d.h glt c N,k (x) 0 für x (c, d) [a, b], 1 dann folgt c 0 falls (c, d) (x, x +k ). Bewes. O.B.d.A. enthalte das Intervall (c, d) kene Knoten (sonst zerlege es n Telntervalle), dann gbt es nur k B-Splnes, de n (c, d) ncht verschwnden. Nun wssen wr auch, dass alle Polynome vom Grad klener als k sch auf (c, d) durch B-Splnes darstellen lassen und es glt dm Π k 1 k. Somt blden dese k B-Splnes en mnmales Erzeugendensystem, also ene Bass von Π k 1 [c, d]. Se müssen also lokal lnear unabhängg sen. Damt kommen wr schleßlch zur Bassegenschaft. Wr müssen vorher nur noch ene geegnete Knotenfolge festlegen. Dazu betrachten wr weder de Intervalluntertelung aus dem vorgen Abschntt a ξ 0 < < ξ l+1 b mt Glatthetsvektor µ (µ 1,..., µ l ) T, µ j k 1 (vgl. Abschntt 1). Damt lässt sch der Raum der Splnes Π k,µ,ξ bestmmen. Nun defneren wr dazu de erweterte Knotenfolge T gemäß: x 1 x k ξ 0, x k+1 x k+µ1 ξ 1,..., x k+µ1 + +µ l +1 x 2k+µ1 + +µ l ξ l+1 De Randknoten snd also k-fach und de nneren Knoten jewels µ j -fach vertreten. Also st n k + µ µ l Damt können wr jetzt nachwesen, dass alle Splneräume sch als lneare Erzeugnsse von B-Splnes auffassen lassen. Satz 4. Mt ξ, µ, T {x } n+k 1 nach obgem Vorbld glt Π k,µ,ξ S k (T ), d.h. de B-Splnes der Ordnung k spannen den Raum der Splnes Π k,µ,ξ auf. Bewes. De B-Splnes snd laut Bemerkung 3 m Raum der Splnes enthalten, somt st das lneare Erzeugns deser ebenfalls m Raum der Splnes. Nach Konstrukton unserer erweterten Knotenfolge und Satz 3 glt dm S k (T ) n k + l 1 µ und weter glt nach Bemerkung 1 (v) dm Π k,µ,ξ k + l 1 µ, also dm S k (T ) dm Π k,µ,ξ. Da das lneare Erzeugns der B-Splnes m Raum der Splnes enthalten st, folgt sofort de Behauptung. 18

19 3.3 Reprodukton von Polynomen Abbldung 4: Betrachtung der Veränderung enes Graphen durch Beenflussen der Koeffzenten. 19

20 Lteratur Wr haben also ene neue Bass für de Splne-Räume entdeckt, de wesentlch bessere Egenschaften hat als de Bass aus Abschntt 1.3. Anhand von Abb. 4 lassen sch nun enge deser Egenschaften erkennen. Dazu aber zunächst ene Erläuterung zu den Bldern. Verwendet wurde de Intervalluntertelung ξ 0 0, ξ 1 1, 2, ξ 2 1, 201, ξ 3 2 mt µ (2, 1). Mt der entsprechenden erweterten Knotenfolge und den zugehörgen sechs B-Splnes. Im ersten Bld seht man, dass de Kurve konstant 1 st auf dem gezegten Intervall, her wurden alle Koeffzenten der B-Splnes auf 1 gesetzt, was de Zerlegung der Ens veranschaulcht. In den nächsten ver Bldern wurde jewels en Koeffzent auf 2 erhöht. Es lässt sch lecht erkennen, dass wegen des lokalen Trägers jewels nur en Abschntt der Kurve verändert wurde. Man erahnt also schnell de Lokaltät der B-Splne-Bass. De Bass st außerdem auch lokal lnear unabhängg und, we man auf den Grafken erkennen kann, bedeutet ene klene Änderung der Koeffzenten auch nur ene klene Änderung der Werte und umgekehrt. De Bass schent also numersch stabl zu sen. Der Nachwes deser Egenschaft folgt m nächsten Vortrag. Ene wetere wchtge Egenschaft st, dass de Koeffzenten ene geometrsche Bedeutung haben. Das Erhöhen enes Koeffzenten wrkt sch lokal auf de Graphen aus und da der B-Splne, be dem der Stützpunkt am ehesten n der Mtte legt, den größten Enfluss auf den Wert hat, lässt sch auch lecht erahnen, we de zugehörgen Koeffzenten aussehen. Zu guter Letzt st m letzten Bld noch ene Vergrößerung an den Punkt ξ 2 be der Koeffzentenwahl aus dem 4. Bld zu sehen, um zu veranschaulchen, dass trotz des starken optschen Kncks n der Kurve de Glatthetsbedngung stets erfüllt st, unabhängg von der Wahl der Koeffzenten. Das bedeutet, dass man de Koeffzenten ausschleßlch zur Modellerung der Kurve benutzen kann. Lteratur [1] Dahmen, W.: Mathematsche Methoden n der Geometrschen Datenverarbetung. Vorlesungsskrpt, Free Unverstät Berln, [2] Dahmen, W. und A. Reusken: Numerk für Ingeneure und Naturwssenschaftler. Sprnger-Verlag Berln Hedelberg,