Mathematik für Fachoberschulen

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Mathematik für Fachoberschulen"

Transkript

1 Dr. Kuno Füssel, Reinhard Jansen, Dr. William Middendorf, Dietmar Mrusek Mathematik für Fachoberschulen 13. Auflage Bestellnummer 0234

2 Haben Sie Anregungen oder Kritikpunkte zu diesem Produkt? Dann senden Sie eine an 0234 Autoren und Verlag freuen sich auf Ihre Rückmeldung. Bildungsverlag EINS GmbH Sieglarer Straße 2, Troisdorf ISBN Copyright 2010: Bildungsverlag EINS GmbH, Troisdorf Das Werk und seine Teile sind urheberrechtlich geschützt. Jede Nutzung in anderen als den gesetzlich zugelassenen Fällen bedarf der vorherigen schriftlichen Einwilligung des Verlages. Hinweis zu 52 a UrhG: Weder das Werk noch seine Teile dürfen ohne eine solche Einwilligung eingescannt und in ein Netzwerk eingestellt werden. Dies gilt auch für Intranets von Schulen und sonstigen Bildungseinrichtungen.

3 Inhaltsverzeichnis 1 Von der Menge der natürlichen zur Menge der reellen Zahlen 1.1 Mengen Die Menge der natürlichen Zahlen Die Menge der ganzen Zahlen Die Menge der rationalen Zahlen (Brüche) Rationale Zahlen Die Potenzgesetze Die Menge der reellen Zahlen Die Notwendigkeit der Zahlenbereichserweiterung Intervall und Umgebung Die Menge der reellen Zahlen als Intervallschachtelung Rechenoperationen in r Die Wurzel als Potenz mit gebrochenem Exponenten Der Logarithmus Gleichungen und Ungleichungen 2.1 Gleichungen und Ungleichungen als Aussageformen Terme und Äquivalenzumformungen Lineare Gleichungen und Ungleichungen Bruchgleichungen und Bruchungleichungen Betragsgleichungen und Betragsungleichungen Quadratische Gleichungen und Ungleichungen Lösung der quadratischen Gleichung Lösung der quadratischen Ungleichung Wurzelgleichungen Exponentialgleichungen Gleichungssysteme mit 2 Variablen Das Additionsverfahren Das Einsetzungsverfahren

4 3 Funktionen 3.1 Erläuterung des Funktionsbegriffs Die Umkehrfunktion Die ganzrationalen Funktionen Die Grundfunktionen Ganzrationale Funktionen 1. Grades Ganzrationale Funktionen 2. Grades Linearfaktoren und Polynomdivision Ganzrationale Funktionen 3. Grades Ganzrationale Funktionen 4. Grades Allgemeine Kriterien des Kurvenverlaufs ganzrationaler Funktionen Binome höherer Ordnung Die gebrochenrationalen Funktionen Die Hyperbeln n-ter Ordnung Die gebrochenrationalen Funktionen als Quotient zweier ganzrationaler Funktionen Die Wurzelfunktion Exponential- und Logarithmusfunktion Die allgemeine Exponentialfunktion Die e-funktion Die allgemeine Logarithmusfunktion Die trigonometrischen Funktionen Die trigonometrischen Funktionen im rechtwinkligen Dreieck Die Sinusfunktion Die Kosinusfunktion Die Tangensfunktion Die Kotangensfunktion Beziehungen zwischen den trigonometrischen Funktionen Die Additionstheoreme Die Arkusfunktionen Die allgemeine Sinusfunktion Spezielle Funktionen Die Betragsfunktion Die Gaußfunktion Die Vorzeichenfunktion Lineare Algebra 4.1 Der Begriff des Vektors Rechnen mit Vektoren Der dreidimensionale Vektor und seine geometrische Deutung Das Vektorprodukt Darstellung von Geraden und Ebenen im r

5 4.3 Matrizen Einführung von Matrizen und Vektoren Verknüpfungen von Matrizen Addition und Subtraktion S-Multiplikation Skalarprodukt und Matrizenmultiplikation Lineare Gleichungssysteme (LGS) Umformungen und Lösung eines linearen Gleichungssystems (LGS) Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems (LGS) Homogene und inhomogene lineare Gleichungssysteme (LGS) Lösen von Matrizengleichungen Lösung von Matrizengleichung mit einem unbekannten Vektor Lösung von Matrizengleichungen mit einer unbekannten Matrix Die komplexen Zahlen 5.1 Die imaginären Zahlen Einführung der komplexen Zahlen Darstellungsformen der komplexen Zahlen Anwenden der komplexen Rechnung für Aufgaben in der Elektrotechnik Folgen und Reihen 6.1 Definition von Folgen und Reihen Arithmetische Folgen und Reihen Geometrische Folgen und Reihen Finanzmathematische Anwendungen Zinseszinsrechnung Geometrisch-degressive Abschreibung Rentenrechnung Rentenendwert Rentenbarwert Kapitalaufbau und Kapitalabbau Annuitätentilgung Grenzwert und Stetigkeit 7.1 Zahlenfolgen und Funktionen Grenzwerte unendlicher Zahlenfolgen Grenzwerte von Funktionen Stetigkeit von Funktionen

6 8 Differenzialrechnung 8.1 Ableitung einer Funktion Problemstellung Ableitung einer Funktion an der Stelle x Die Ableitungsfunktion Differenzialrechnung für ganzrationale Funktionen Ableitungsregeln Die Ableitung einer konstanten Funktion Die Potenzregel Die Faktorregel Die Summenregel Die Produktregel Die Ableitung einer allgemeinen ganzrationalen Funktion Kurvendiskussion Monotonieverhalten Lokale Extrempunkte Wendepunkte Diskussion des Graphen einer ganzrationalen Funktion Aufstellung von Funktionsgleichungen Das Newton-Verfahren zur Bestimmung von Nullstellen Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen Anwendung der Differenzialrechnung auf ökonomische Funktionen Preisabsatzfunktionen und Erlösfunktionen Kostenfunktionen Gewinnfunktionen Differenzialrechnung für gebrochen rationale Funktionen Weitere Ableitungsregeln Die Quotientenregel Die Kettenregel Kurvendiskussion gebrochen rationaler Funktionen Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen Differenzialrechnung für irrationale Funktionen Wurzelfunktionen Exponential- und Logarithmusfunktionen Die Ableitung der trigonometrischen Funktionen Besondere Grenzwerte Die Ableitungsfunktion der Sinusfunktion Die Ableitung der Kosinusfunktion Die Ableitungsfunktionen der Tangens- und Kotangensfunktionen

7 9 Integralrechnung 9.1 Die Stammfunktion Die Definition der Stammfunktion Die Stammfunktionen bestimmter Grundfunktionen Die Stammfunktionen der ganzrationalen Funktionen Die Stammfunktion als unbestimmtes Integral Flächenberechnung Fläche zwischen Kurve und x-achse Fläche zwischen zwei Kurven Integralfunktion Integrationsregeln Die Substitution Die partielle Integration Anwendungen der Integralrechnung Rotationsvolumina Physikalische Größen Weiterführende Anwendungen der Differenzial- und Integralrechnung 10.1 Anwendungen für alle Fachrichtungen: Funktionenschar Aufgaben für die Fachrichtung Technik Anwendungen für die Fachrichtung Wirtschaft und Verwaltung Lösungen

8 1.2 Die Menge der natürlichen Zahlen 1.2 Die Menge der natürlichen Zahlen Die natürlichen Zahlen 1, 2, 3, usw. bilden die Grundlage der Zahlentheorie. Alle natürlichen Zahlen zusammengenommen bezeichnen wir als Menge der natürlichen Zahlen n. n {1; 2; 3; 4; 5; } ist eine unendliche Menge. Aus n wird n 0, wenn die Zahl Null zur Menge n hinzugenommen wird. (gesprochen: n Null) Darstellung der natürlichen Zahlen auf der Zahlenhalbgeraden: 0 Ursprung E Einheitswertdarstellung der Eins Teilmengen von n: 1. Menge n G der geraden Zahlen: n G {2;4;6;8; } andere Schreibweise: n G {x x 2 k k n} (gelesen: x ist Element der Menge n G, für das gilt, dass x 2 k ist und k Element der natürlichen Zahlen ist.) 2. Menge n U der ungeraden Zahlen: n U {1;3;5;7; } andere Schreibweise: n U {x x (2 k 1) k n} 3. Endliche Menge n k : n k {x x k k n} oder n k {x x k} n Beispiel für eine endliche Menge n 8 {x x 8} n n 8 {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8} In n gelten folgende Gesetze: a b b a a b b a a (b c) (a b) c a (b c) (a b) c a (b c) a b a c Kommutativgesetz der Addition Kommutativgesetz der Multiplikation Assoziativgesetz der Addition Assoziativgesetz der Multiplikation Distributivgesetz 1.3 Die Menge der ganzen Zahlen Die Gleichung a b x ist in n lösbar. Denn mit a; b n 0 ist auch x n 0. Die Gleichung a x b kann unlösbar sein. Falls a b, ist x n 0. Beispiel für den Fall, dass a b ist 8 x 3 Dürfen für x nur natürliche Zahlen eingesetzt werden, ist diese Gleichung in n nicht lösbar. 11

9 1 Von der Menge der natürlichen zur Menge der reellen Zahlen Soll die zweite Gleichung uneingeschränkt lösbar sein, ist es notwendig den Zahlenbereich zu erweitern. Mit z wird die Menge der ganzen Zahlen bezeichnet. z { 4; 3; 2; 1; ±0; 1; 2; 3; 4; } und sind Vorzeichen von n n 0. Darstellung der ganzen Zahlen auf der Zahlengeraden: Zu jeder Zahl existiert eine Gegenzahl mit der Eigenschaft gleich weit von 0 entfernt zu sein. Teilmengen von z: Menge z der positiven ganzen Zahlen: z { 1; 2; 3; 4; } Menge z der negativen ganzen Zahlen: z { 4; 3; 2; 1} Menge {0} des Elementes Null. Mit n z und z z {0} z z, ist z eine unendliche Menge. Innerhalb der Menge z ist die Addition, die Subtraktion und die Multiplikation uneingeschränkt durchführbar. Beispiele für Rechenoperationen in z ( 1) ( 3) ( 2) ( 3) ( 7) ( 4) ( 6) ( 4) ( 3) ( 12) ( 3) ( 5) ( 15) 1.4 Die Menge der rationalen Zahlen (Brüche) Rationale Zahlen Die Gleichung a b x ist in z lösbar. Die Gleichung a x b ist jedoch nur in Sonderfällen in z lösbar, nämlich genau dann, wenn a ein Teiler von b ist. Außerdem muss a 0 sein. Beispiel für den Fall, dass a nicht Teiler von b ist 4 x 9 Darf für x nur eine ganze Zahl eingesetzt werden, ist die Gleichung nicht lösbar. Wird der Zahlenbereich durch Brüche erweitert, ist die zweite Gleichung lösbar. Mit q wird die Menge der rationalen Zahlen bezeichnet. q

10 1.4 Die Menge der rationalen Zahlen (Brüche) Auf der Zahlengeraden kommt jedem Element von q eine bestimmte Stelle zu: Die rationalen Zahlen liegen so dicht beieinander, dass sie auf der Zahlengeraden nicht alle zusammen darstellbar sind. Eine eindeutige Darstellung bietet die Bezeichnungsform: q x x a b ; mit a, b z b 0 Es gilt: n z q In q sind wie in z alle Rechenoperationen durchführbar, darüber hinaus uneingeschränkt auch die Division, wenn der Nenner von Null verschieden ist. Beachte: Das Teilen durch 0 ist nicht zulässig Die Potenzgesetze Definition der Potenz a a a a a a n a q, n n n Faktoren a n c a Basis; n Exponent (Hochzahl); a n Potenz; c Potenzwert Das Vorzeichen des Potenzwertes: ( a) 2 n a 2n negative Basis und gerader Exponent Potenzwert positiv ( a) 2n 1 a 2 n 1 negative Basis und ungerader Exponent Potenzwert negativ Beispiele für Vorzeichen von Potenzwerten ( 3) 3 ( 3) ( 3) ( 3) 27 ( 3) 2 ( 3) ( 3) Die Addition von Potenzen: Potenzen können nur dann addiert oder subtrahiert werden, wenn sie in Basis und Exponent übereinstimmen. Beispiele für die Addition und Subtraktion von Potenzen a b 3 c d 4 a b 7 c d 3 a b 3 a b 4 c d 13

11 1 Von der Menge der natürlichen zur Menge der reellen Zahlen Die Multiplikation und Division von Potenzen: 1. Potenzen mit gleichem Exponenten: a n b n (a b) n a n b n a b n a, b z, n n Beispiele für Potenzen mit gleichem Exponenten (2 2 2) (3 3 3) (2 3) (2 3) (2 3) (2 3) Potenzen mit gleicher Basis: a n a m a n m a n m an m a n Sonderfall: a 0 1, da an a 0 n a a n 1 a a 0 m a m da m a0 m a a z, n, m n Beispiele für Potenzen mit gleicher Basis Das Potenzieren von Potenzen: (a n ) m a n m Achtung: Klammern setzen hilft, uneindeutige Ausdrücke zu vermeiden! Beispiele für das Potenzieren von Potenzen (a n ) m (2 3 ) 2 (2 3 ) (2 3 ) (2 2 2) (2 2 2) (10 2 ) a (nm ) 10 (25)

12 1.4 Die Menge der rationalen Zahlen (Brüche) Das Potenzieren von Summen: Die algebraische Summe (Differenz) zweier Glieder a und b wird Binom 1) genannt. (a ± b) 2 a 2 ± 2 ab b 2 (a ± b) 3 a 3 ± 3 a 2 b 3 ab 2 ± b 3 Höhere Potenzen des Binoms werden in behandelt. Beispiele für die Anwendung der binomischen Formeln (2 x 3y) 2 4 x 2 12 xy 9y 2 (3 u 2v) 3 27u 2 54u 2 v 36uv 2 8v (50 1) (50 1) AUFGABEN 1 Vergleichen Sie: a) 2 1,1 2 b) 2 3,3 2 c) 0 4,4 0 d) 2 10, Berechnen Sie folgende Potenzen und merken Sie sich das Ergebnis: a) 2 0,2 1,2 2,2 3, 2 12 b) 0 2,1 2,2 2,3 2, Berechnen Sie folgende Potenzen: a) ( 3) 3 ( 2) 4 c) ( 15x) 2 ( 5x) 3 e) ( ab) 3 ( ab) 2 ( 2 ab) 3 b) ( 4a) 2 ( 3a) 3 d) ( 2a) 5 ( 3 a) 3 f) ( 8a) 4 (16a) 3 4 Fassen Sie so weit wie möglich zusammen: a) 5a 3 11a 3 10a 3 e) 4a 4 2a 2 4a 4 2a 2 b) 6a 2 b 3n 2 x 2 3a 2 b 2n 2 x 2 f) 3x 2 y 3xy 2 4x 2 y 3xy 2 c) b 3 b 3 b 3 b 3 g) ab 2 c 3 3a 3 bc 3 4a 3 b 2 c 2ab 2 c 3 4a 2 bc 3 3a 3 b 2 c d) 4m 2 x m 2 x 2m 2 x 5 Fassen Sie folgende Potenzen zusammen: 12 4 a) h) a 4 b 4 p) (ax) 3 a x b) i) q) 14 5 c) 1 3 :3 3 k) a 5 b r) a 2 b ab 2 (a b) 5 d) 12 8 :6 8 l) s) 2 (a b) ) Binom, lat.: Zwei Namen (a und b) 15

13 1 Von der Menge der natürlichen zur Menge der reellen Zahlen (x y) 2 e) m) x n y n t) x n f) n) a t v : b t v u) (a b) x y g) 3 o) v) b 4 (b a) y x 2 3 a 4 6 a) h) y n 1 y 2 p) 2 a 2 4a 3 b) a 4 a 5 i) b n 1 b n 1 q) 2 a 2 b 3 3a 3 b 2 c) a a 3 k) c 0 c t 3 c 3 t r) (a b) n (a b) 1 2 n d) b b 2 b 3 l) r a 1 r 2a 2 s) (a b) 2m 1 (a b) m 2 e) x 2 x 3 x n m) x t x 2 t x 2 3 t t) (u v) u (u v) v f) u n u m u 3 n) a 6x y a 2x 3 y u) 15(xy) 2 3x 2 y 3 (2xy) 3 g) v 2 v t 2 o) b x y z x y z b 7 a) 7 8 :7 6 e) (a b) 5 14 a 4 b 5 x i) (a b) 3 24ab 7 x 2 b) 2a 3 :2a f) 15x 3 n 2 b a 3 b (a b) 7 k) 5xn 0 b ab 3 (a b) 6 c) 3a 4 b :2a 3 b 0 g) 3 a 4 b 3 c x 2 y(a b) 2 l) 5a 3 b 4 c 2 xy(a b) 3 (abx) x 5a 2 bc a 2 (a 3b) 4 a x 10ab 2 c a 3 (a 3 b) 7 8 Schreiben Sie folgende Potenzen mit positivem Exponenten und rechnen Sie dann so weit wie möglich aus: a) 3 1 g) n) t) b) 2 4 h) o) u) c) 4 2 i) p) v) d) 3 4 k) q) w) e) 7 2 l) r) x) f) 10 3 m) s) a 3 y) a 1 6 n 16

14 1.4 Die Menge der rationalen Zahlen (Brüche) 9 Formen Sie die gegebenen Ausdrücke in einfache Potenzen um und rechnen Sie diese dann soweit wie möglich aus: a) (2 2 ) 2 g) (4 2 ) 3 n) (2 a b)a b t) [( 5) 2 ] 3 b) (2 2 ) 3 h) (4 4 ) 0 o) (3 2 x ) 4 u) ( 5 2 ) 3 c) (2 3 ) 2 i) (n x ) 2 p) (3x 2 ) 4 v) (2a 4 ) 3 d) (2 3 ) 4 k) (a 3 ) b q) (2x 2 y 3 ) 3 w) [(2a) 4 ] 3 e) (3 2 ) 2 l) (b 3 ) x 1 r) (2 3 ) 4 x) (3 a 2 b 3 ) 4 f) (3 3 ) 2 m) (a x 1 ) 2 s) (3 2 ) 1 y) 5a 2 b 4 3 c 2 b Lösen Sie die Binome auf: a) (2x 4y) 2 f) (3a 2 b 3 2xy 3 ) 2 l) (x 2 3y 2 ) 2 b) (6x 5y) 2 g) (2x 3y) 3 m) (3 x 4 2a 2 ) 2 c) (2,5 a b) 2 h) (x 2 2y 2 ) 3 n) 39 2 d) 1 3 ab 3 4 mn 2 i) (2 a 3 3b 2 ) 3 o) ( 98) 2 e) 21 2 x2 y ab2 k) (3a 7b) 2 p) Vereinfachen Sie so weit wie möglich: a) x n 1 y 3n 2 z 2 n 1 x 2 n 1 y n 3 z x 2 y 1 n n 1 z n 3 x n 2 y n 3 z 3 b) a x 3 b 2x 5 3x 4 c a 1 x b 2 x 5 c : a 3x 1 b 1 x c 3 x 1 a x 1 b 2 x 1 c x uy 1 v 2y 3 w y 4 u 2v 1 v y 1 w : u3 y 1 v y 1 w y 3 c) 1 y u 2y v 3 3 2y w 2 d) e) xk 1 y 2k 1 z 3 x k y k 4 z : x k 1 y k 1 z 2k 2k 2 x 2k y 3 z 1 k 3 an 1 b n 1 c 2n 3 a 2 n 5 b 1 2n c n 1 : a 3 b n 1 c 2 n a n b 1 2n c 3 2 : a 2n 1 b n c 2 a n b 2 c n : an b 2 c 3 n 1 a 3 b n 1 c Rechnen Sie aus: a) 6 2 2n n n 4 2n b) 54 3 k k k k 1 c) x x x 2 3x

15 1 Von der Menge der natürlichen zur Menge der reellen Zahlen 1.5 Die Menge der reellen Zahlen Die Notwendigkeit der Zahlenbereichserweiterung Die Gleichung a m x mit a q, m z ist in q uneingeschränkt lösbar. (Basis a und Exponent m sind bekannt. Der Potenzwert x wird gesucht.) Für die Gleichung x m c existiert nur dann eine Lösung, wenn c eine Potenz von x ist. (Potenzwert c und Exponent m sind bekannt Die Basis x wird gesucht.) Diese Gleichung lässt sich nach x auflösen, wenn wir zur Darstellung das Wurzelzeichen verwenden: x m c c Radikand 1) m Wurzelexponent x Wurzelwert Der Wurzelexponent gibt an, in wie viele gleiche Faktoren der Radikand c zerlegt werden soll. (Siehe Definition der Potenz Kap ) x ist der gesuchte Faktor. Bei der Quadratwurzel wird der Wurzelexponent 2 im Allgemeinen weggelassen: 2 Die Berechnung eines Wurzelwertes aus einer Zahl kann zweideutig sein. Beispiel einer Zweideutigkeit bei Quadratwurzeln oder 4 ( 2) ( 2) 2 Um Eindeutigkeit zu erzielen, wird daher Folgendes vereinbart: Definition der Quadratwurzel a 2 a gelesen: Wurzel a 2 gleich Betrag von a a ist der Absolutbetrag von a, d. h.: a a, wenn a 0 a a, wenn a 0 Beispiele für Absolutbeträge ( 3) 3 ( 2) ( 7) Ist der Radikand c keine Quadratzahl, dann sind die Quadratwurzelwerte Zahlen, die nicht zur Menge der rationalen Zahlen gehören, d. h., sie sind nicht als Bruch darstellbar. 1) Radikand, von radix (lat.) Wurzel 18

Oberstufenmathematik leicht gemacht

Oberstufenmathematik leicht gemacht Peter Dörsam Oberstufenmathematik leicht gemacht Band 1: Differential- und Integralrechnung 5. überarbeitete Auflage mit zahlreichen Abbildungen und Beispielaufgaben PD-Verlag Heidenau Inhaltsverzeichnis

Mehr

Brückenkurs Mathematik

Brückenkurs Mathematik Brückenkurs Mathematik Eine Einführung mit Beispielen und Übungsaufgaben von Prof. Dr. Karl Bosch 14., korrigierte Auflage Oldenbourg Verlag München Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen der Mengenlehre 1 1.1

Mehr

Definitions- und Formelübersicht Mathematik

Definitions- und Formelübersicht Mathematik Definitions- Formelübersicht Mathematik Definitions- Formelübersicht Mathematik Mengen Intervalle Eine Menge ist eine Zusammenfassung von wohlunterschiedenen Elementen zu einem Ganzen. Dabei muss entscheidbar

Mehr

Inhalt 1 GRUNDLAGEN Zahlen Natürliche Zahlen Ganze Zahlen Rationale Zahlen Reelle Zahlen 4

Inhalt 1 GRUNDLAGEN Zahlen Natürliche Zahlen Ganze Zahlen Rationale Zahlen Reelle Zahlen 4 Inhalt 1 GRUNDLAGEN 1 1.1 Zahlen 1 1.1.1 Natürliche Zahlen 1 1.1.2 Ganze Zahlen 2 1.1.3 Rationale Zahlen 3 1.1.4 Reelle Zahlen 4 1.2 Rechnen mit reellen Zahlen 8 1.2.1 Grundgesetze der Addition 8 1.2.2

Mehr

Brückenkurs Mathematik

Brückenkurs Mathematik Brückenkurs Mathematik Von Dr. Karl Bosch Professor für angewandte Mathematik und Statistik an der Universität Stuttgart-Hohenheim 10., verbesserte Auflage R. Oldenbourg Verlag München Wien Inhaltsverzeichnis

Mehr

Inhalt. 1 Rechenoperationen Gleichungen und Ungleichungen... 86

Inhalt. 1 Rechenoperationen Gleichungen und Ungleichungen... 86 Inhalt 1 Rechenoperationen.................................. 13 1.1 Grundbegriffe der Mengenlehre und Logik............................. 13 1.1.0 Vorbemerkung.................................................

Mehr

Mathematik anschaulich dargestellt

Mathematik anschaulich dargestellt Peter Dörsam Mathematik anschaulich dargestellt für Studierende der Wirtschaftswissenschaften 15. überarbeitete Auflage mit zahlreichen Abbildungen PD-Verlag Heidenau Inhaltsverzeichnis 1 Lineare Algebra

Mehr

Inhaltsverzeichnis. Vorwort 1. I Zahlen 5. II Algebra 29

Inhaltsverzeichnis. Vorwort 1. I Zahlen 5. II Algebra 29 Inhaltsverzeichnis Vorwort 1 I Zahlen 5 1. Rechnen mit ganzen Zahlen 6 Addition, Subtraktion und Multiplikation............. 7 Division mit Rest........................... 7 Teiler und Primzahlen........................

Mehr

Mathematik für die Allgemeine Fachhochschulreife

Mathematik für die Allgemeine Fachhochschulreife Dr. Kuno Füssel, Reinhard Jansen, Dr. William Middendorf, Dietmar Mrusek Mathematik für die Allgemeine Fachhochschulreife 14. Auflage Bestellnummer 0234 Die in diesem Produkt gemachten Angaben zu Unternehmen

Mehr

Inhaltsverzeichnis. 1 Lineare Algebra 12

Inhaltsverzeichnis. 1 Lineare Algebra 12 Inhaltsverzeichnis 1 Lineare Algebra 12 1.1 Vektorrechnung 12 1.1.1 Grundlagen 12 1.1.2 Lineare Abhängigkeit 18 1.1.3 Vektorräume 22 1.1.4 Dimension und Basis 24 1.2 Matrizen 26 1.2.1 Definition einer

Mehr

Inhaltsverzeichnis. Vorwort. I Zahlen 5. II Algebra 29

Inhaltsverzeichnis. Vorwort. I Zahlen 5. II Algebra 29 Inhaltsverzeichnis Vorwort I Zahlen 5 1. Rechnen mit ganzen Zahlen 6 Addition, Subtraktion und Multiplikation 7 Division mit Rest 7 Teiler und Primzahlen 9 Der ggt und das kgv 11 2. Rechnen mit Brüchen

Mehr

Vorkurs der Ingenieurmathematik

Vorkurs der Ingenieurmathematik Jürgen Wendeler 2008 AGI-Information Management Consultants May be used for personal purporses only or by libraries associated to dandelon.com network. Vorkurs der Ingenieurmathematik Mit 249 Aufgaben

Mehr

Großes Lehrbuch der Mathematik für Ökonomen

Großes Lehrbuch der Mathematik für Ökonomen Großes Lehrbuch der Mathematik für Ökonomen Von Professor Dr. Karl Bosch o. Professor für angewandte Mathematik und Statistik an der Universität Stuttgart-Hohenheim und Professor Dr. Uwe Jensen R. Oldenbourg

Mehr

Inhaltsverzeichnis. Inhalt. Einleitung Vektoralgebra

Inhaltsverzeichnis. Inhalt. Einleitung Vektoralgebra Inhalt 3 Inhaltsverzeichnis Einleitung...9 1 Vektoralgebra 1.1 Geometrische Darstellung von Vektoren... 14 1.1.1 Begriff des Vektors... 14 1.1.2 Inverser Vektor und Nullvektor... 17 1.1.3 Addition von

Mehr

Mathematik 1. ^A Springer. Albert Fetzer Heiner Fränkel. Lehrbuch für ingenieurwissenschaftliche Studiengänge

Mathematik 1. ^A Springer. Albert Fetzer Heiner Fränkel. Lehrbuch für ingenieurwissenschaftliche Studiengänge Albert Fetzer Heiner Fränkel Mathematik 1 Lehrbuch für ingenieurwissenschaftliche Studiengänge Mit Beiträgen von Akad. Dir. Dr. rer. nat. Dietrich Feldmann Prof. Dr. rer. nat. Albert Fetzer Prof. Dr. rer.

Mehr

MATHEMATISCHE AUFGABENSAMMLUNG

MATHEMATISCHE AUFGABENSAMMLUNG MATHEMATISCHE AUFGABENSAMMLUNG Arithmetik Algebra und Analysis Zweite verbesserte Auflage 1956 VEB DEUTSCHER VERLAG DER WISSENSCHAFTEN BERLIN VII INHALT ERSTER ABSCHNITT Rechnen mit natürlichen Zahlen

Mehr

Inhaltsverzeichnis Mathematik

Inhaltsverzeichnis Mathematik 1. Mengenlehre 1.1 Begriff der Menge 1.2 Beziehungen zwischen Mengen 1.3 Verknüpfungen von Mengen (Mengenoperationen) 1.4 Übungen 1.5 Übungen (alte BM-Prüfungen) 1.6 Zahlenmengen 1.7 Grundmenge (Bezugsmenge)

Mehr

Friederike Goerigk (Autor) Mathematik nicht nur für Wirtschaftswissenschaftler

Friederike Goerigk (Autor) Mathematik nicht nur für Wirtschaftswissenschaftler Friederike Goerigk (Autor) Mathematik nicht nur für Wirtschaftswissenschaftler https://cuvillier.de/de/shop/publications/1601 Copyright: Cuvillier Verlag, Inhaberin Annette Jentzsch-Cuvillier, Nonnenstieg

Mehr

Mathematik. FOS 11. Jahrgangsstufe (technisch) c 2003, Thomas Barmetler Stand: 23. Juli Kontakt und weitere Infos:

Mathematik. FOS 11. Jahrgangsstufe (technisch) c 2003, Thomas Barmetler Stand: 23. Juli Kontakt und weitere Infos: FOS 11. Jahrgangsstufe (technisch) c 2003, Thomas Barmetler Stand: 23. Juli 2004 Kontakt und weitere Infos: www.schule.barmetler.de Inhaltsverzeichnis 1 Wiederholung 5 1.1 Bruchrechnen.............................

Mehr

Inhaltsverzeichnis VII

Inhaltsverzeichnis VII Inhaltsverzeichnis Teil I Analysis 1 Mengen... 3 1.1 Grundbegriffe..... 3 1.2 Mengenverknüpfungen... 5 1.3 Zahlenmengen... 6 1.3.1 Natürliche,ganzeundrationaleZahlen... 7 1.3.2 ReelleZahlen... 8 2 Elementare

Mehr

Inhaltsverzeichnis. Grundlagen. 1. Grundlagen 13. Algebra I. 2. Das Rechnen mit ganzen Zahlen (Rechnen in ) 25

Inhaltsverzeichnis. Grundlagen. 1. Grundlagen 13. Algebra I. 2. Das Rechnen mit ganzen Zahlen (Rechnen in ) 25 Inhaltsverzeichnis I Grundlagen 1. Grundlagen 13 1.1 Von Mengen... 13 1.2 Mengenschreibweise... 13 1.3 Zahlenmengen... 14 1.4 Die Grundoperationen... 16 1.5 Rechenhierarchie (1. Teil)... 16 1.6 Reihenfolge

Mehr

Mathematik für Ingenieure mit Maple

Mathematik für Ingenieure mit Maple Thomas Westermann Mathematik für Ingenieure mit Maple Band 1: Differential- und Integralrechnung für Funktionen einer Variablen, Vektor- und Matrizenrechnung, Komplexe Zahlen, Funktionenreihen 2. Auflage

Mehr

Inhaltsverzeichnis. xiii. Vorworte

Inhaltsverzeichnis. xiii. Vorworte Inhaltsverzeichnis Vorworte xiii I Einführung 1 I.1 Ein paar Beispiele............................... 1 I.2 Interpretation von Schaubildern....................... 3 I.3 Mathematische Beschreibung von Abhängigkeiten.............

Mehr

1 Mathematische Zeichen und Symbole 1. 2 Logik 9. 3 Arithmetik 11

1 Mathematische Zeichen und Symbole 1. 2 Logik 9. 3 Arithmetik 11 IX 1 Mathematische Zeichen und Symbole 1 2 Logik 9 3 Arithmetik 11 3.1 Mengen 11 3.1.1 Allgemeines 11 3.1.2 Mengenrelationen 12 3.1.3 Mengenoperationen 12 3.1.4 Beziehungen, Gesetze, Rechenregeln 14 3.1.5

Mehr

Inhaltsverzeichnis. Vorwort Kapitel 1 Einführung, I: Algebra Kapitel 2 Einführung, II: Gleichungen... 57

Inhaltsverzeichnis. Vorwort Kapitel 1 Einführung, I: Algebra Kapitel 2 Einführung, II: Gleichungen... 57 Vorwort... 13 Vorwort zur 3. deutschen Auflage... 17 Kapitel 1 Einführung, I: Algebra... 19 1.1 Die reellen Zahlen... 20 1.2 Ganzzahlige Potenzen... 23 1.3 Regeln der Algebra... 29 1.4 Brüche... 34 1.5

Mehr

Mathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium

Mathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium Hochschule für Technik und Wirtschaft Dresden Fakultät Informatik / Mathematik Mathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium Studiengänge Kartographie/Geoinformatik Vermessung/Geoinformatik Dresden

Mehr

(Hoch)Schulmathematik

(Hoch)Schulmathematik Tobias Glosauer (Hoch)Schulmathematik Ein Sprungbrett vom Gymnasium an die Uni ~ Springer Spektrum Inhalt..2 2 2. 2.2 2. 2.4..2 Formales Fundament Ein wenig Logik. Aussagenlogik.... Aussagen...2 Junktoren..

Mehr

Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler

Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler Knut Sydsaeter Peter HammondJ Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler Basiswissen mit Praxisbezug 2., aktualisierte Auflage Inhaltsverzeichnis Vorwort 13 Vorwort zur zweiten Auflage 19 Kapitel 1 Einführung,

Mehr

Mathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium

Mathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium Hochschule für Technik und Wirtschaft Dresden (FH) Fachbereich Informatik/Mathematik Mathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium Studiengänge Allgemeiner Maschinenbau Fahrzeugtechnik Dresden 2002

Mehr

Stichwortverzeichnis. Symbole. Stichwortverzeichnis

Stichwortverzeichnis. Symbole. Stichwortverzeichnis Stichwortverzeichnis Stichwortverzeichnis Symbole ( ) (Runde Klammern) 32, 66 (Betragszeichen) 32 (Multiplikations-Zeichen) 31 + (Plus-Zeichen) 31, 69 - (Minus-Zeichen) 31, 69 < (Kleiner-als-Zeichen) 33,

Mehr

Inhaltsverzeichnis. Mathematische Zeichen und Abkürzungen 9

Inhaltsverzeichnis. Mathematische Zeichen und Abkürzungen 9 Inhaltsverzeichnis Mathematische Zeichen und Abkürzungen 9 1 Zahlenmengen und Anordnung der Zahlen auf der Zahlengeraden 11 1.1 Die Menge IN 0 der natürlichen Zahlen einschließlich der Null 11 1.2 Die

Mehr

Mathematik im Betrieb

Mathematik im Betrieb Heinrich Holland/Doris Holland Mathematik im Betrieb Praxisbezogene Einführung mit Beispielen 7, überarbeitete Auflage GABLER Inhaltsverzeichnis Vorwort 1 Mathematische Grundlagen 1.1 Zahlbegriffe 1.2

Mehr

Brückenkurs Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler

Brückenkurs Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler VlEWEG+ TIUBNER Walter Purkert Brückenkurs Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler Z, aktualisierte Auflage STUDIUM Inhaltsverzeichnis 1 Das Rechnen mit reellen Zahlen 1.1 Grundregeln des Rechnens....

Mehr

Mathematik für. Wirtschaftswissenschaftler. Basiswissen mit Praxisbezug. 4., aktualisierte und erweiterte Auflage

Mathematik für. Wirtschaftswissenschaftler. Basiswissen mit Praxisbezug. 4., aktualisierte und erweiterte Auflage Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler Basiswissen mit Praxisbezug 4., aktualisierte und erweiterte Auflage Knut Sydsaeter Peter Hammond mit Arne Strom Übersetzt und fach lektoriert durch Dr. Fred Böker

Mehr

Heinz Rapp. Mathematik. Grundlagen für die Fachschule Technik. Mit über 500 Abbildungen 2., überarbeitete Auflage. vieweg

Heinz Rapp. Mathematik. Grundlagen für die Fachschule Technik. Mit über 500 Abbildungen 2., überarbeitete Auflage. vieweg Heinz Rapp Mathematik Grundlagen für die Fachschule Technik Mit über 500 Abbildungen 2., überarbeitete Auflage 31 vieweg Inhaltsverzeichnis 1 Mathematische Begriffe und Schreibweisen 1 1.1 Zahlen 1 1.1.1

Mehr

Inhaltsverzeichnis 1 Rechnen 1.1 Die Zahlen 1.2 Zahlen darstellen 1.3 Addieren 1.4 Subtrahieren 1.5 Vereinfachen algebraischer Summen

Inhaltsverzeichnis 1 Rechnen 1.1 Die Zahlen 1.2 Zahlen darstellen 1.3 Addieren 1.4 Subtrahieren 1.5 Vereinfachen algebraischer Summen 6 Inhaltsverzeichnis 1 Rechnen... 11 1.1 Die Zahlen... 11 1.1.1 Zahlenmengen und ihre Darstellung... 11 1.1.2 Übersicht über weitere Zahlenmengen... 17 1.1.3 Zahlen vergleichen... 18 1.1.4 Größen, Variablen

Mehr

Mathematik für Ingenieure mit Maple

Mathematik für Ingenieure mit Maple Thomas Westermann Mathematik für Ingenieure mit Maple Bandl: Differential- und Integralrechnung für Funktionen einer Variablen, Vektor- und Matrizenrechnung, Komplexe Zahlen, Funktionenreihen 4., neu bearbeitete

Mehr

Mathematik für Ingenieure mit Maple

Mathematik für Ingenieure mit Maple Thomas Westermann Mathematik für Ingenieure mit Maple Band 1: Differential- und Integralrechnung für Funktionen einer Variablen, Vektor- und Matrizenrechnung, Komplexe Zahlen, Funktionenreihen Mit 300

Mehr

1 Grundlagen 8 Funktionen 8 Differenzenquotient und Änderungsrate 9 Ableitung 11

1 Grundlagen 8 Funktionen 8 Differenzenquotient und Änderungsrate 9 Ableitung 11 Inhalt A Differenzialrechnung 8 Grundlagen 8 Funktionen 8 Differenzenquotient und Änderungsrate 9 Ableitung 2 Ableitungsregeln 2 Potenzregel 2 Konstantenregel 3 Summenregel 4 Produktregel 4 Quotientenregel

Mehr

Brückenkurs Mathematik

Brückenkurs Mathematik Walter Purkert 2008 AGI-Information Management Consultants May be used for personal purporses only or by libraries associated to dandelon.com network. Brückenkurs Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler.

Mehr

Rtattiematische Zenchem) und Abkürzungen 11

Rtattiematische Zenchem) und Abkürzungen 11 Inhaltsverzeichnis Rtattiematische Zenchem) und Abkürzungen 11 1 Grundbegriffe der Mengenlehre 13 1.1 Mengen und Elemente von Mengen 13 1.2 Beziehungen zwischen Mengen 16 1.2.1 Gleiche und gleichmächtige

Mehr

Mathematik im Betrieb

Mathematik im Betrieb Mathematik im Betrieb Praxisbezogene Einführung mit Beispielen von Heinrich Holland, Doris Holland 11., durchgesehene und korrigierte Auflage Springer Gabler Wiesbaden 2014 Verlag C.H. Beck im Internet:

Mehr

Übersicht über wichtige und häufig benötigte mathematische Operationen

Übersicht über wichtige und häufig benötigte mathematische Operationen Bruchrechnung Übersicht über wichtige und häufig benötigte mathematische Operationen Addition/Subtraktion von (ungleichnamigen) Brüchen: Brüche erweitern, sodass die Nenner gleichnamig sind, indem Zähler

Mehr

Inhaltsverzeichnis VII. Vorwort...

Inhaltsverzeichnis VII. Vorwort... VII Vorwort... V 1 Mathematische Begriffe und Schreibweisen... 1 1.1 Zahlen... 1 1.1.1 Zahlendarstellung auf der Zahlengeraden... 2 1.2 Mengen... 3 1.2.1 Aufzählende Mengenschreibweise... 4 1.2.2 Beschreibende

Mehr

Inhaltsverzeichnis VII. Vorwort...

Inhaltsverzeichnis VII. Vorwort... VII Inhaltsverzeichnis Vorwort... V 1 Mathematische Begriffe und Schreibweisen... 1 1.1 Zahlen... 1 1.1.1 Zahlendarstellung auf der Zahlengeraden... 1 1.2 Mengen... 3 1.2.1 Aufzählende Mengenschreibweise...

Mehr

Inhaltsverzeichnis. 3 Folgen Achilles und die Schildkröte Grundbegriffe Fraktale... 49

Inhaltsverzeichnis. 3 Folgen Achilles und die Schildkröte Grundbegriffe Fraktale... 49 Inhaltsverzeichnis 1 Analytische Geometrie: Geraden 8 1.1 Lineare Gleichungen........................ 8 1.2 Die Hauptform einer linearen Gleichung............. 8 1.3 Wertetabellen............................

Mehr

0 Einleitung I. 1 Elementarmathematik 1

0 Einleitung I. 1 Elementarmathematik 1 Inhaltsverzeichnis 0 Einleitung I i Das Team ist der Primus............................... II ii Eingangstest...................................... III iii Wolfis Welt.......................................

Mehr

Mathematik I+II. für FT, LOT, PT, WT im WS 2015/2016 und SS 2016

Mathematik I+II. für FT, LOT, PT, WT im WS 2015/2016 und SS 2016 Mathematik I+II für FT, LOT, PT, WT im WS 2015/2016 und SS 2016 I. Wiederholung Schulwissen 1.1. Zahlbereiche 1.2. Rechnen mit reellen Zahlen 1.2.1. Bruchrechnung 1.2.2. Betrag 1.2.3. Potenzen 1.2.4. Wurzeln

Mehr

Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler

Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler Fred Böker Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler Das Übungsbuch 2., aktualisierte Auflage Higher Education München Harlow Amsterdam Madrid Boston San Francisco Don Mills Mexico City Sydney a part of

Mehr

Berufliche Schulen des Landes Hessen Lehrplan Fachoberschule Allgemein bildender Lernbereich Mathematik

Berufliche Schulen des Landes Hessen Lehrplan Fachoberschule Allgemein bildender Lernbereich Mathematik Berufliche Schulen des Landes Hessen Lehrplan Fachoberschule Allgemein bildender Lernbereich Mathematik Unterrichtsinhalte Funktionale Zusammenhänge Ausbildungsabschnitt I, 50Stunden Lineare Funktionen

Mehr

Wiwi-Vorkurs Mathematik (Uni Leipzig, Fabricius)

Wiwi-Vorkurs Mathematik (Uni Leipzig, Fabricius) Wiwi-Vorkurs Mathematik (Uni Leipzig, Fabricius) 1 Grundregeln des Rechnens 1.1 Zahlbereiche......... Zahlen N {1, 2, 3,...}......... Zahlen Z {..., 2, 1, 0, 1, 2,...}......... Zahlen Q { a b a Z, b N}.........

Mehr

Zahlen und elementares Rechnen

Zahlen und elementares Rechnen und elementares Rechnen Christian Serpé Universität Münster 7. September 2011 Christian Serpé (Universität Münster) und elementares Rechnen 7. September 2011 1 / 51 Gliederung 1 2 Elementares Rechnen 3

Mehr

Mathematik für Fachhochschule, Duale Hochschule und Berufsakademie

Mathematik für Fachhochschule, Duale Hochschule und Berufsakademie Mathematik für Fachhochschule, Duale Hochschule und Berufsakademie mit ausführlichen Erläuterungen und zahlreichen Beispielen Bearbeitet von Prof. Dr. Guido Walz 1. Auflage 2010. Taschenbuch. xi, 580 S.

Mehr

Passerelle. Beschrieb der Fach-Module. von der Berufsmaturität. zu den universitären Hochschulen

Passerelle. Beschrieb der Fach-Module. von der Berufsmaturität. zu den universitären Hochschulen Passerelle von der Berufsmaturität zu den universitären Hochschulen Beschrieb der Fach-Module Fachbereich Mathematik Teilmodule Teilmodul 1: Analysis (Differential- und Integralrechnung) Teilmodul 2: Vektorgeometrie

Mehr

Mathematik für Physiker 1

Mathematik für Physiker 1 Klaus Weltner Mathematik für Physiker 1 Basiswissen für das Grundstudium der Experimentalphysik 14. überarbeitete Auflage mit 231 Abbildungen und CD-ROM verfasst von Klaus Weltner, Hartmut Wiesner, Paul-Bernd

Mehr

Vorkurs Mathematik Dozent: Dipl.-Math. Karsten Runge.

Vorkurs Mathematik Dozent: Dipl.-Math. Karsten Runge. Vorkurs Mathematik 17.08.-28.08.15 Dozent: Dipl.-Math. Karsten Runge E-mail: karsten.runge@hs-bochum.de www.hs-bochum.de\imt > Mathematik-Vorkurs > Mathematik-Werkstatt Die Mathematik-Werkstatt bietet

Mehr

Mathematische Zeichen und Abkürzungen 11. Grundlagen der Aussagenlogik und der Mengenlehre 13

Mathematische Zeichen und Abkürzungen 11. Grundlagen der Aussagenlogik und der Mengenlehre 13 Inhaltsverzeichnis Mathematische Zeichen und Abkürzungen 11 Grundlagen der Aussagenlogik und der Mengenlehre 13 1 Grundbegriffe der Aussagenlogik und ihre Verwendung in der Datenverarbeitung 13 1.1 Aussagen

Mehr

REPETITORIUM DER HÖHEREN MATHEMATIK. Gerhard Merziger Thomas Wirth

REPETITORIUM DER HÖHEREN MATHEMATIK. Gerhard Merziger Thomas Wirth REPETITORIUM DER HÖHEREN MATHEMATIK Gerhard Merziger Thomas Wirth 6 INHALTSVERZEICHNIS Inhaltsverzeichnis Fl Formelsammlung F2 Formelsammlung Alphabete 11 Zeichenindex 12 1 Grundbegriffe 14 1.1 Logische

Mehr

Mathematik für Physiker und Ingenieure 1

Mathematik für Physiker und Ingenieure 1 Klaus Weltner Mathematik für Physiker und Ingenieure 1 Basiswissen für das Grundstudium - lnit n1ehr als 1400 Aufgaben und Lösungen anline unter Mitwirkung von Hartmut Wiesner, PauI-Bemd Heinrich, Peter

Mehr

Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler

Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler Fred Böker Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler Basiswissen mit Praxisbezug Das Übungsbuch ein Imprint von Pearson Education München Boston San Francisco Harlow, England Don Mills, Ontario Sydney

Mehr

1 Mengen und Mengenoperationen

1 Mengen und Mengenoperationen 1 Mengen und Mengenoperationen Man kann verschiedene Objekte mit gemeinsamen Eigenschaften zu Mengen zusammenfassen. In der Mathematik kann man z.b. Zahlen zu Mengen zusammenfassen. Die Zahlen 0; 1; 2;

Mehr

Mathematik für die Fachschule Technik

Mathematik für die Fachschule Technik Heinz Rapp Mathematik für die Fachschule Technik Algebra, Geometrie, Differentialrechnung, Integralrechnung, Vektorrechnung, Komplexe Rechnung Mit 587 Abbildungen, 620 Beispielen und 1298 Aufgaben 6.,

Mehr

Mathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium

Mathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium Hochschule für Technik und Wirtschaft Dresden Fakultät Informatik / Mathematik Mathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium Studiengänge Betriebswirtschaft International Business Dresden 05 . Mengen

Mehr

Modul Mathematik Grundlagen I (BA) Dr. Andreas Harder / Hugo Krause 1. Semester (Januar- März 2007)

Modul Mathematik Grundlagen I (BA) Dr. Andreas Harder / Hugo Krause 1. Semester (Januar- März 2007) Modul Mathematik Grundlagen I (BA) Dr. Andreas Harder / Hugo Krause 1. Semester (Januar- März 2007) 1. grundlagen I: gleichungen 1.1. nullstellen von polynomen 1.1.1. lineare gleichungen 1.1.1.1. form

Mehr

Übungsbuch Mathematik für Fachschule Technik und Berufskolleg

Übungsbuch Mathematik für Fachschule Technik und Berufskolleg Übungsbuch Mathematik für Fachschule Technik und Berufskolleg Heinz Rapp Jörg Matthias Rapp Übungsbuch Mathematik für Fachschule Technik und Berufskolleg Anwendungsorientierte Aufgaben mit ausführlichen

Mehr

- Zusammenhang lineare, quadratische Funktion betonen

- Zusammenhang lineare, quadratische Funktion betonen Curriculum Mathematik JS 11/ Eph Kernlehrplan Methodische Vorgaben/ Koordinatengeometrie - Gerade, Parabel, Kreis - Lineare Gleichungssysteme zur Bestimmung von Geraden und Parabeln - Zusammenhang lineare,

Mehr

Wirtschaftsmathematik: Mathematische Grundlagen

Wirtschaftsmathematik: Mathematische Grundlagen Wirtschaftsmathematik: Mathematische Grundlagen 1. Zahlen 2. Potenzen und Wurzeln 3. Rechenregeln und Vereinfachungen 4. Ungleichungen 5. Intervalle 6. Beträge 7. Lösen von Gleichungen 8. Logarithmen 9.

Mehr

INHALTSVERZEICHNIS. Mathematische Zeichen Formelzeichen Verwendung der Begriffe Masse und Gewicht. A. Grundbegriffe der Mengenlehre. 1.

INHALTSVERZEICHNIS. Mathematische Zeichen Formelzeichen Verwendung der Begriffe Masse und Gewicht. A. Grundbegriffe der Mengenlehre. 1. INHALTSVERZEICHNIS 10 13 14 Mathematische Zeichen Formelzeichen Verwendung der Begriffe Masse und Gewicht A. Grundbegriffe der Mengenlehre 15 16 17 17 20 21 22 25 28 33 35 36 36 44 46 49 50 52 53 56 56

Mehr

Unterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form. Auszug aus: Kopiervorlagen Terme, Gleichungen, Ungleichungen

Unterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form. Auszug aus: Kopiervorlagen Terme, Gleichungen, Ungleichungen Unterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form Auszug aus Kopiervorlagen Terme, Gleichungen, Ungleichungen Das komplette Material finden Sie hier School-Scout.de Autoren Kristina Hilgarth Dr.

Mehr

Vorbemerkungen zur schriftlichen und mündlichen Prüfung und zu den allgemeinen Prüfungsanforderungen im Fach Mathematik

Vorbemerkungen zur schriftlichen und mündlichen Prüfung und zu den allgemeinen Prüfungsanforderungen im Fach Mathematik Mathematik Vorbemerkungen zur schriftlichen und mündlichen Prüfung und zu den allgemeinen Prüfungsanforderungen im Fach Mathematik Die Lösung mathematischer Problemstellungen erfordert in der schriftlichen

Mehr

Potenzen - Wurzeln - Logarithmen

Potenzen - Wurzeln - Logarithmen Potenzen - Wurzeln - Logarithmen Anna Geyer 4. Oktober 2006 1 Potenzrechnung Potenz Produkt mehrerer gleicher Faktoren 1.1 Definition (Potenz): (i) a n : a... a, n N, a R a... Basis n... Exponent od. Hochzahl

Mehr

Brüche, Polynome, Terme

Brüche, Polynome, Terme KAPITEL 1 Brüche, Polynome, Terme 1.1 Zahlen............................. 1 1. Lineare Gleichung....................... 3 1.3 Quadratische Gleichung................... 6 1.4 Polynomdivision........................

Mehr

@ GN GRUNDWISSEN MATHEMATIK. Inhalt... Seite

@ GN GRUNDWISSEN MATHEMATIK. Inhalt... Seite Inhaltverzeichnis Inhalt... Seite Klasse 5: 1 Zahlen... 1 1.1 Zahlenmengen... 1 1.2 Dezimalsystem... 1 1.3 Römische Zahlen... 1 1.4 Runden... 1 1.5 Termarten... 1 1.6 Rechengesetze... 2 1.7 Rechnen mit

Mehr

BAYERISCHES STAATSMINISTERIUM FÜR UNTERRICHT UND KULTUS. Lehrplan für Berufsschule Plus

BAYERISCHES STAATSMINISTERIUM FÜR UNTERRICHT UND KULTUS. Lehrplan für Berufsschule Plus BAYERISCHES STAATSMINISTERIUM FÜR UNTERRICHT UND KULTUS Lehrplan für Berufsschule Plus Unterrichtsfach: MATHEMATIK Fachprofil: Die ist heute eine wichtige wissenschaftliche Disziplin, die umfangreiches

Mehr

Mathe- Multiple-Choice-Test für Wirtschaftsinformatiker

Mathe- Multiple-Choice-Test für Wirtschaftsinformatiker REELLE FUNKTIONEN 1 Was muss aufgeführt werden, wenn man eine reelle Funktion angibt? a) Ihre Funktionsvorschrift und ihren Wertebereich. Ihre Funktionsvorschrift und ihren Definitionsbereich. c) Den Wertebereich

Mehr

Mathematik für Ahnungslose

Mathematik für Ahnungslose Mathematik für Ahnungslose Eine Einstiegshilfe für Studierende Von Dipl.-lng. Yära Detert, Rodenberg S. Hirzel Verlag Stuttgart VII Inhaltsverzeichnis Vorwort Verzeichnis mathematischer Symbole V XII 1

Mehr

Arithmetik, Algebra, Mengen- und Funktionenlehre

Arithmetik, Algebra, Mengen- und Funktionenlehre Carsten Gellrich Regina Gellrich Arithmetik, Algebra, Mengen- und Funktionenlehre Mit zahlreichen Abbildungen, Aufgaben mit Lösungen und durchgerechneten Beispielen VERLAG HARRI DEUTSCH Inhaltsverzeichnis

Mehr

1 ALLGEMEINE HINWEISE Das Fach Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler Bisheriger Aufbau der Klausur...

1 ALLGEMEINE HINWEISE Das Fach Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler Bisheriger Aufbau der Klausur... Grundlagen Mathe V Inhaltsverzeichnis 1 ALLGEMEINE HINWEISE... 1-1 1.1 Das Fach Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler... 1-1 1.2 Bisheriger Aufbau der Klausur... 1-1 1.3 Zugelassene Hilfsmittel und

Mehr

Arbeitsplan Mathematik. Fachoberschule FOS 12. Klasse / Berufsoberschule BOS 12. Klasse

Arbeitsplan Mathematik. Fachoberschule FOS 12. Klasse / Berufsoberschule BOS 12. Klasse OSZ Kfz-Technik Fachoberschule/Berufsoberschule Fachbereich Mathematik FB - Lehnen 1 Arbeitsplan Mathematik Fachoberschule FOS 1. Klasse / Berufsoberschule BOS 1. Klasse Gesamtstundenzahl: davon verplant:

Mehr

Teil I: Algebra.

Teil I: Algebra. Teil I: Algebra 1 Mathematische Begriffe und Schreibweisen 1 1.1 Zahlen 1 1.2 Mengen 1 1.2.1 Aufzählende Mengenschreibweise 1 1.2.2 Beschreibende Mengenschreibweise 2 1.2.3 Mengendiagramme 2 1.2.4 Beziehungen

Mehr

Mathematik für Physiker und Ingenieure 1

Mathematik für Physiker und Ingenieure 1 Springer-Lehrbuch Mathematik für Physiker und Ingenieure 1 Basiswissen für das Grundstudium - mit mehr als 1400 Aufgaben und Lösungen online Bearbeitet von Klaus Weltner 1. Auflage 2012. Buch. IX, 301

Mehr

Gleichungen und Ungleichungen

Gleichungen und Ungleichungen Kapitel 3 Gleichungen und Ungleichungen Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 2017/18 3 Gleichungen und Ungleichungen 1 / 58 Gleichung Eine Gleichung erhalten wir durch Gleichsetzen zweier Terme.

Mehr

Gleichungen und Ungleichungen

Gleichungen und Ungleichungen Kapitel 3 Gleichungen und Ungleichungen Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 2017/18 3 Gleichungen und Ungleichungen 1 / 58 Gleichung Eine Gleichung erhalten wir durch Gleichsetzen zweier Terme.

Mehr

Gleichungen und Ungleichungen

Gleichungen und Ungleichungen Gleichung Eine Gleichung erhalten wir durch Gleichsetzen zweier Terme. Kapitel 3 Gleichungen und Ungleichungen linke Seite = rechte Seite Grundmenge: Menge aller Zahlen, die wir als Lösung der Gleichung

Mehr

Vorbereitungskurs Mathematik

Vorbereitungskurs Mathematik BBS Gerolstein Vorbereitungskurs Mathematik Vorbereitungskurs Mathematik für die Berufsoberschule II www.bbs-gerolstein.de/cms/download/mathematik/vorkurs-mathe-bos-.pdf bzw. www.p-merkelbach.de/bos/mathe/vorkurs-mathe-bos-.pdf

Mehr

RRL GO- KMK EPA Mathematik. Ulf-Hermann KRÜGER Fachberater für Mathematik bei der Landesschulbehörde, Abteilung Hannover

RRL GO- KMK EPA Mathematik. Ulf-Hermann KRÜGER Fachberater für Mathematik bei der Landesschulbehörde, Abteilung Hannover RRL GO- KMK EPA Mathematik Jahrgang 11 Propädeutischer Grenzwertbegriff Rekursion /Iteration Ableitung Ableitungsfunktion von Ganzrationalen Funktionen bis 4. Grades x 1/(ax+b) x sin(ax+b) Regeln zur Berechnung

Mehr

LEISTUNGSKURS GESAMTBAND. bearbeitet von Heidi Bück Rolf Dürr Hans Freudigmann Günther Reinelt Manfred Zinser

LEISTUNGSKURS GESAMTBAND. bearbeitet von Heidi Bück Rolf Dürr Hans Freudigmann Günther Reinelt Manfred Zinser nsivsr i, LEISTUNGSKURS GESAMTBAND Mathematisches Unterrichtswerk für das Gymnasium Ausgabe A bearbeitet von Heidi Bück Rolf Dürr Hans Freudigmann Günther Reinelt Manfred Zinser unter Mitwirkung von Jürgen

Mehr

Wirtschaftsmathematik

Wirtschaftsmathematik Helge Röpcke Markus Wessler Wirtschaftsmathematik Methoden - Beispiele - Anwendungen Mit 84 Bildern, 113 durchgerechneten Beispielen und 94 Aufgaben mit ausführlichen Lösungen im Internet Fachbuchverlag

Mehr

Mathematik. Subtraktion (Minuend Subtrahend = Differenz) Division (Dividend / Divisor = Quotient)

Mathematik. Subtraktion (Minuend Subtrahend = Differenz) Division (Dividend / Divisor = Quotient) Inhalt: Mathematik 2.2003 2003 by Reto Da Forno Termumformungen - Operationsstufen Seite 1 - Gesetze Seite 1 - Addition + Subtraktion Seite 2 - Potenzen Seite 2 - Polynomdivision Seite 3 - Ausklammern

Mehr

Wirtschaftsmathematik und Statistik

Wirtschaftsmathematik und Statistik Beruf und Weiterbildung Walter Lagemann Wolf Rambatz Wirtschaftsmathematik und Statistik Ein Praktikum für die Weiterbildung zum Betriebswirt und zur Betriebswirtin HERAUSGEBER DR. RUDOLF RÖHR Inhaltsverzeichnis

Mehr

Themenpool teilzentrale Reifeprüfung Mathematik Europagymnasium Auhof, Aubrunnerweg 4, 4040 Linz; Schulkennzahl:

Themenpool teilzentrale Reifeprüfung Mathematik Europagymnasium Auhof, Aubrunnerweg 4, 4040 Linz; Schulkennzahl: Themenpool teilzentrale Reifeprüfung Mathematik Europagymnasium Auhof, Aubrunnerweg 4, 4040 Linz; Schulkennzahl: 401546 Thema 1: Zahlenbereiche und Rechengesetze Reflektieren über das Erweitern von Zahlenbereichen

Mehr

Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler

Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler Basiswissen mit Praxisbezug 4., aktualisierte und erweiterte Auflage Knut Sydsæter Peter Hammond mit Arne Strøm Übersetzt und fachlektoriert durch Dr. Fred Böker

Mehr

Zahlen 25 = = 0.08

Zahlen 25 = = 0.08 2. Zahlen Uns bisher bekannte Zahlenbereiche: N Z Q R ( C). }{{} später Schreibweisen von rationalen/reellen Zahlen als unendliche Dezimalbrüche = Dezimalentwicklungen. Beispiel (Rationale Zahlen) 1 10

Mehr

Schulinternes Curriculum Goethe-Oberschule Mathematik Sekundarstufe II

Schulinternes Curriculum Goethe-Oberschule Mathematik Sekundarstufe II Schulinternes Curriculum Goethe-Oberschule Mathematik Sekundarstufe II Auf Zeitangeben wurde bewusst verzichtet, da im kommenden Schuljahr 2010/2011 zum ersten Mal der Übergang von Klasse 10 ins Kurssystem

Mehr

Stoffverteilungsplan Sek II

Stoffverteilungsplan Sek II Klasse 11 (3-stündig) Stoffverteilungsplan Sek II Analysis - Differenzialrechnung Inhalte Hinweise Schulbuch Funktionen - Begriff der Funktion 12-15 - Symmetrien 22-24 - Verhalten im Unendlichen 20-21

Mehr

gebrochene Zahl gekürzt mit 9 sind erweitert mit 8 sind

gebrochene Zahl gekürzt mit 9 sind erweitert mit 8 sind Vorbereitungsaufgaben Mathematik. Bruchrechnung.. Grundlagen: gebrochene Zahl gemeiner Bruch Zähler Nenner Dezimalbruch Ganze, Zehntel Hundertstel Tausendstel Kürzen: Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl

Mehr

Vorkurs Mathematik 1

Vorkurs Mathematik 1 Vorkurs Mathematik 1 Einführung in die mathematische Notation Konstanten i komplexe Einheit i 2 + 1 = 0 e Eulersche Zahl Kreiszahl 2 Einführung in die mathematische Notation Bezeichner Primzahlen, Zähler

Mehr