Mathematik für Fachoberschulen

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1 Dr. Kuno Füssel, Reinhard Jansen, Dr. William Middendorf, Dietmar Mrusek Mathematik für Fachoberschulen 13. Auflage Bestellnummer 0234

2 Haben Sie Anregungen oder Kritikpunkte zu diesem Produkt? Dann senden Sie eine an 0234 Autoren und Verlag freuen sich auf Ihre Rückmeldung. Bildungsverlag EINS GmbH Sieglarer Straße 2, Troisdorf ISBN Copyright 2010: Bildungsverlag EINS GmbH, Troisdorf Das Werk und seine Teile sind urheberrechtlich geschützt. Jede Nutzung in anderen als den gesetzlich zugelassenen Fällen bedarf der vorherigen schriftlichen Einwilligung des Verlages. Hinweis zu 52 a UrhG: Weder das Werk noch seine Teile dürfen ohne eine solche Einwilligung eingescannt und in ein Netzwerk eingestellt werden. Dies gilt auch für Intranets von Schulen und sonstigen Bildungseinrichtungen.

3 Inhaltsverzeichnis 1 Von der Menge der natürlichen zur Menge der reellen Zahlen 1.1 Mengen Die Menge der natürlichen Zahlen Die Menge der ganzen Zahlen Die Menge der rationalen Zahlen (Brüche) Rationale Zahlen Die Potenzgesetze Die Menge der reellen Zahlen Die Notwendigkeit der Zahlenbereichserweiterung Intervall und Umgebung Die Menge der reellen Zahlen als Intervallschachtelung Rechenoperationen in r Die Wurzel als Potenz mit gebrochenem Exponenten Der Logarithmus Gleichungen und Ungleichungen 2.1 Gleichungen und Ungleichungen als Aussageformen Terme und Äquivalenzumformungen Lineare Gleichungen und Ungleichungen Bruchgleichungen und Bruchungleichungen Betragsgleichungen und Betragsungleichungen Quadratische Gleichungen und Ungleichungen Lösung der quadratischen Gleichung Lösung der quadratischen Ungleichung Wurzelgleichungen Exponentialgleichungen Gleichungssysteme mit 2 Variablen Das Additionsverfahren Das Einsetzungsverfahren

4 3 Funktionen 3.1 Erläuterung des Funktionsbegriffs Die Umkehrfunktion Die ganzrationalen Funktionen Die Grundfunktionen Ganzrationale Funktionen 1. Grades Ganzrationale Funktionen 2. Grades Linearfaktoren und Polynomdivision Ganzrationale Funktionen 3. Grades Ganzrationale Funktionen 4. Grades Allgemeine Kriterien des Kurvenverlaufs ganzrationaler Funktionen Binome höherer Ordnung Die gebrochenrationalen Funktionen Die Hyperbeln n-ter Ordnung Die gebrochenrationalen Funktionen als Quotient zweier ganzrationaler Funktionen Die Wurzelfunktion Exponential- und Logarithmusfunktion Die allgemeine Exponentialfunktion Die e-funktion Die allgemeine Logarithmusfunktion Die trigonometrischen Funktionen Die trigonometrischen Funktionen im rechtwinkligen Dreieck Die Sinusfunktion Die Kosinusfunktion Die Tangensfunktion Die Kotangensfunktion Beziehungen zwischen den trigonometrischen Funktionen Die Additionstheoreme Die Arkusfunktionen Die allgemeine Sinusfunktion Spezielle Funktionen Die Betragsfunktion Die Gaußfunktion Die Vorzeichenfunktion Lineare Algebra 4.1 Der Begriff des Vektors Rechnen mit Vektoren Der dreidimensionale Vektor und seine geometrische Deutung Das Vektorprodukt Darstellung von Geraden und Ebenen im r

5 4.3 Matrizen Einführung von Matrizen und Vektoren Verknüpfungen von Matrizen Addition und Subtraktion S-Multiplikation Skalarprodukt und Matrizenmultiplikation Lineare Gleichungssysteme (LGS) Umformungen und Lösung eines linearen Gleichungssystems (LGS) Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems (LGS) Homogene und inhomogene lineare Gleichungssysteme (LGS) Lösen von Matrizengleichungen Lösung von Matrizengleichung mit einem unbekannten Vektor Lösung von Matrizengleichungen mit einer unbekannten Matrix Die komplexen Zahlen 5.1 Die imaginären Zahlen Einführung der komplexen Zahlen Darstellungsformen der komplexen Zahlen Anwenden der komplexen Rechnung für Aufgaben in der Elektrotechnik Folgen und Reihen 6.1 Definition von Folgen und Reihen Arithmetische Folgen und Reihen Geometrische Folgen und Reihen Finanzmathematische Anwendungen Zinseszinsrechnung Geometrisch-degressive Abschreibung Rentenrechnung Rentenendwert Rentenbarwert Kapitalaufbau und Kapitalabbau Annuitätentilgung Grenzwert und Stetigkeit 7.1 Zahlenfolgen und Funktionen Grenzwerte unendlicher Zahlenfolgen Grenzwerte von Funktionen Stetigkeit von Funktionen

6 8 Differenzialrechnung 8.1 Ableitung einer Funktion Problemstellung Ableitung einer Funktion an der Stelle x Die Ableitungsfunktion Differenzialrechnung für ganzrationale Funktionen Ableitungsregeln Die Ableitung einer konstanten Funktion Die Potenzregel Die Faktorregel Die Summenregel Die Produktregel Die Ableitung einer allgemeinen ganzrationalen Funktion Kurvendiskussion Monotonieverhalten Lokale Extrempunkte Wendepunkte Diskussion des Graphen einer ganzrationalen Funktion Aufstellung von Funktionsgleichungen Das Newton-Verfahren zur Bestimmung von Nullstellen Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen Anwendung der Differenzialrechnung auf ökonomische Funktionen Preisabsatzfunktionen und Erlösfunktionen Kostenfunktionen Gewinnfunktionen Differenzialrechnung für gebrochen rationale Funktionen Weitere Ableitungsregeln Die Quotientenregel Die Kettenregel Kurvendiskussion gebrochen rationaler Funktionen Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen Differenzialrechnung für irrationale Funktionen Wurzelfunktionen Exponential- und Logarithmusfunktionen Die Ableitung der trigonometrischen Funktionen Besondere Grenzwerte Die Ableitungsfunktion der Sinusfunktion Die Ableitung der Kosinusfunktion Die Ableitungsfunktionen der Tangens- und Kotangensfunktionen

7 9 Integralrechnung 9.1 Die Stammfunktion Die Definition der Stammfunktion Die Stammfunktionen bestimmter Grundfunktionen Die Stammfunktionen der ganzrationalen Funktionen Die Stammfunktion als unbestimmtes Integral Flächenberechnung Fläche zwischen Kurve und x-achse Fläche zwischen zwei Kurven Integralfunktion Integrationsregeln Die Substitution Die partielle Integration Anwendungen der Integralrechnung Rotationsvolumina Physikalische Größen Weiterführende Anwendungen der Differenzial- und Integralrechnung 10.1 Anwendungen für alle Fachrichtungen: Funktionenschar Aufgaben für die Fachrichtung Technik Anwendungen für die Fachrichtung Wirtschaft und Verwaltung Lösungen

8 1.2 Die Menge der natürlichen Zahlen 1.2 Die Menge der natürlichen Zahlen Die natürlichen Zahlen 1, 2, 3, usw. bilden die Grundlage der Zahlentheorie. Alle natürlichen Zahlen zusammengenommen bezeichnen wir als Menge der natürlichen Zahlen n. n {1; 2; 3; 4; 5; } ist eine unendliche Menge. Aus n wird n 0, wenn die Zahl Null zur Menge n hinzugenommen wird. (gesprochen: n Null) Darstellung der natürlichen Zahlen auf der Zahlenhalbgeraden: 0 Ursprung E Einheitswertdarstellung der Eins Teilmengen von n: 1. Menge n G der geraden Zahlen: n G {2;4;6;8; } andere Schreibweise: n G {x x 2 k k n} (gelesen: x ist Element der Menge n G, für das gilt, dass x 2 k ist und k Element der natürlichen Zahlen ist.) 2. Menge n U der ungeraden Zahlen: n U {1;3;5;7; } andere Schreibweise: n U {x x (2 k 1) k n} 3. Endliche Menge n k : n k {x x k k n} oder n k {x x k} n Beispiel für eine endliche Menge n 8 {x x 8} n n 8 {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8} In n gelten folgende Gesetze: a b b a a b b a a (b c) (a b) c a (b c) (a b) c a (b c) a b a c Kommutativgesetz der Addition Kommutativgesetz der Multiplikation Assoziativgesetz der Addition Assoziativgesetz der Multiplikation Distributivgesetz 1.3 Die Menge der ganzen Zahlen Die Gleichung a b x ist in n lösbar. Denn mit a; b n 0 ist auch x n 0. Die Gleichung a x b kann unlösbar sein. Falls a b, ist x n 0. Beispiel für den Fall, dass a b ist 8 x 3 Dürfen für x nur natürliche Zahlen eingesetzt werden, ist diese Gleichung in n nicht lösbar. 11

9 1 Von der Menge der natürlichen zur Menge der reellen Zahlen Soll die zweite Gleichung uneingeschränkt lösbar sein, ist es notwendig den Zahlenbereich zu erweitern. Mit z wird die Menge der ganzen Zahlen bezeichnet. z { 4; 3; 2; 1; ±0; 1; 2; 3; 4; } und sind Vorzeichen von n n 0. Darstellung der ganzen Zahlen auf der Zahlengeraden: Zu jeder Zahl existiert eine Gegenzahl mit der Eigenschaft gleich weit von 0 entfernt zu sein. Teilmengen von z: Menge z der positiven ganzen Zahlen: z { 1; 2; 3; 4; } Menge z der negativen ganzen Zahlen: z { 4; 3; 2; 1} Menge {0} des Elementes Null. Mit n z und z z {0} z z, ist z eine unendliche Menge. Innerhalb der Menge z ist die Addition, die Subtraktion und die Multiplikation uneingeschränkt durchführbar. Beispiele für Rechenoperationen in z ( 1) ( 3) ( 2) ( 3) ( 7) ( 4) ( 6) ( 4) ( 3) ( 12) ( 3) ( 5) ( 15) 1.4 Die Menge der rationalen Zahlen (Brüche) Rationale Zahlen Die Gleichung a b x ist in z lösbar. Die Gleichung a x b ist jedoch nur in Sonderfällen in z lösbar, nämlich genau dann, wenn a ein Teiler von b ist. Außerdem muss a 0 sein. Beispiel für den Fall, dass a nicht Teiler von b ist 4 x 9 Darf für x nur eine ganze Zahl eingesetzt werden, ist die Gleichung nicht lösbar. Wird der Zahlenbereich durch Brüche erweitert, ist die zweite Gleichung lösbar. Mit q wird die Menge der rationalen Zahlen bezeichnet. q

10 1.4 Die Menge der rationalen Zahlen (Brüche) Auf der Zahlengeraden kommt jedem Element von q eine bestimmte Stelle zu: Die rationalen Zahlen liegen so dicht beieinander, dass sie auf der Zahlengeraden nicht alle zusammen darstellbar sind. Eine eindeutige Darstellung bietet die Bezeichnungsform: q x x a b ; mit a, b z b 0 Es gilt: n z q In q sind wie in z alle Rechenoperationen durchführbar, darüber hinaus uneingeschränkt auch die Division, wenn der Nenner von Null verschieden ist. Beachte: Das Teilen durch 0 ist nicht zulässig Die Potenzgesetze Definition der Potenz a a a a a a n a q, n n n Faktoren a n c a Basis; n Exponent (Hochzahl); a n Potenz; c Potenzwert Das Vorzeichen des Potenzwertes: ( a) 2 n a 2n negative Basis und gerader Exponent Potenzwert positiv ( a) 2n 1 a 2 n 1 negative Basis und ungerader Exponent Potenzwert negativ Beispiele für Vorzeichen von Potenzwerten ( 3) 3 ( 3) ( 3) ( 3) 27 ( 3) 2 ( 3) ( 3) Die Addition von Potenzen: Potenzen können nur dann addiert oder subtrahiert werden, wenn sie in Basis und Exponent übereinstimmen. Beispiele für die Addition und Subtraktion von Potenzen a b 3 c d 4 a b 7 c d 3 a b 3 a b 4 c d 13

11 1 Von der Menge der natürlichen zur Menge der reellen Zahlen Die Multiplikation und Division von Potenzen: 1. Potenzen mit gleichem Exponenten: a n b n (a b) n a n b n a b n a, b z, n n Beispiele für Potenzen mit gleichem Exponenten (2 2 2) (3 3 3) (2 3) (2 3) (2 3) (2 3) Potenzen mit gleicher Basis: a n a m a n m a n m an m a n Sonderfall: a 0 1, da an a 0 n a a n 1 a a 0 m a m da m a0 m a a z, n, m n Beispiele für Potenzen mit gleicher Basis Das Potenzieren von Potenzen: (a n ) m a n m Achtung: Klammern setzen hilft, uneindeutige Ausdrücke zu vermeiden! Beispiele für das Potenzieren von Potenzen (a n ) m (2 3 ) 2 (2 3 ) (2 3 ) (2 2 2) (2 2 2) (10 2 ) a (nm ) 10 (25)

12 1.4 Die Menge der rationalen Zahlen (Brüche) Das Potenzieren von Summen: Die algebraische Summe (Differenz) zweier Glieder a und b wird Binom 1) genannt. (a ± b) 2 a 2 ± 2 ab b 2 (a ± b) 3 a 3 ± 3 a 2 b 3 ab 2 ± b 3 Höhere Potenzen des Binoms werden in behandelt. Beispiele für die Anwendung der binomischen Formeln (2 x 3y) 2 4 x 2 12 xy 9y 2 (3 u 2v) 3 27u 2 54u 2 v 36uv 2 8v (50 1) (50 1) AUFGABEN 1 Vergleichen Sie: a) 2 1,1 2 b) 2 3,3 2 c) 0 4,4 0 d) 2 10, Berechnen Sie folgende Potenzen und merken Sie sich das Ergebnis: a) 2 0,2 1,2 2,2 3, 2 12 b) 0 2,1 2,2 2,3 2, Berechnen Sie folgende Potenzen: a) ( 3) 3 ( 2) 4 c) ( 15x) 2 ( 5x) 3 e) ( ab) 3 ( ab) 2 ( 2 ab) 3 b) ( 4a) 2 ( 3a) 3 d) ( 2a) 5 ( 3 a) 3 f) ( 8a) 4 (16a) 3 4 Fassen Sie so weit wie möglich zusammen: a) 5a 3 11a 3 10a 3 e) 4a 4 2a 2 4a 4 2a 2 b) 6a 2 b 3n 2 x 2 3a 2 b 2n 2 x 2 f) 3x 2 y 3xy 2 4x 2 y 3xy 2 c) b 3 b 3 b 3 b 3 g) ab 2 c 3 3a 3 bc 3 4a 3 b 2 c 2ab 2 c 3 4a 2 bc 3 3a 3 b 2 c d) 4m 2 x m 2 x 2m 2 x 5 Fassen Sie folgende Potenzen zusammen: 12 4 a) h) a 4 b 4 p) (ax) 3 a x b) i) q) 14 5 c) 1 3 :3 3 k) a 5 b r) a 2 b ab 2 (a b) 5 d) 12 8 :6 8 l) s) 2 (a b) ) Binom, lat.: Zwei Namen (a und b) 15

13 1 Von der Menge der natürlichen zur Menge der reellen Zahlen (x y) 2 e) m) x n y n t) x n f) n) a t v : b t v u) (a b) x y g) 3 o) v) b 4 (b a) y x 2 3 a 4 6 a) h) y n 1 y 2 p) 2 a 2 4a 3 b) a 4 a 5 i) b n 1 b n 1 q) 2 a 2 b 3 3a 3 b 2 c) a a 3 k) c 0 c t 3 c 3 t r) (a b) n (a b) 1 2 n d) b b 2 b 3 l) r a 1 r 2a 2 s) (a b) 2m 1 (a b) m 2 e) x 2 x 3 x n m) x t x 2 t x 2 3 t t) (u v) u (u v) v f) u n u m u 3 n) a 6x y a 2x 3 y u) 15(xy) 2 3x 2 y 3 (2xy) 3 g) v 2 v t 2 o) b x y z x y z b 7 a) 7 8 :7 6 e) (a b) 5 14 a 4 b 5 x i) (a b) 3 24ab 7 x 2 b) 2a 3 :2a f) 15x 3 n 2 b a 3 b (a b) 7 k) 5xn 0 b ab 3 (a b) 6 c) 3a 4 b :2a 3 b 0 g) 3 a 4 b 3 c x 2 y(a b) 2 l) 5a 3 b 4 c 2 xy(a b) 3 (abx) x 5a 2 bc a 2 (a 3b) 4 a x 10ab 2 c a 3 (a 3 b) 7 8 Schreiben Sie folgende Potenzen mit positivem Exponenten und rechnen Sie dann so weit wie möglich aus: a) 3 1 g) n) t) b) 2 4 h) o) u) c) 4 2 i) p) v) d) 3 4 k) q) w) e) 7 2 l) r) x) f) 10 3 m) s) a 3 y) a 1 6 n 16

14 1.4 Die Menge der rationalen Zahlen (Brüche) 9 Formen Sie die gegebenen Ausdrücke in einfache Potenzen um und rechnen Sie diese dann soweit wie möglich aus: a) (2 2 ) 2 g) (4 2 ) 3 n) (2 a b)a b t) [( 5) 2 ] 3 b) (2 2 ) 3 h) (4 4 ) 0 o) (3 2 x ) 4 u) ( 5 2 ) 3 c) (2 3 ) 2 i) (n x ) 2 p) (3x 2 ) 4 v) (2a 4 ) 3 d) (2 3 ) 4 k) (a 3 ) b q) (2x 2 y 3 ) 3 w) [(2a) 4 ] 3 e) (3 2 ) 2 l) (b 3 ) x 1 r) (2 3 ) 4 x) (3 a 2 b 3 ) 4 f) (3 3 ) 2 m) (a x 1 ) 2 s) (3 2 ) 1 y) 5a 2 b 4 3 c 2 b Lösen Sie die Binome auf: a) (2x 4y) 2 f) (3a 2 b 3 2xy 3 ) 2 l) (x 2 3y 2 ) 2 b) (6x 5y) 2 g) (2x 3y) 3 m) (3 x 4 2a 2 ) 2 c) (2,5 a b) 2 h) (x 2 2y 2 ) 3 n) 39 2 d) 1 3 ab 3 4 mn 2 i) (2 a 3 3b 2 ) 3 o) ( 98) 2 e) 21 2 x2 y ab2 k) (3a 7b) 2 p) Vereinfachen Sie so weit wie möglich: a) x n 1 y 3n 2 z 2 n 1 x 2 n 1 y n 3 z x 2 y 1 n n 1 z n 3 x n 2 y n 3 z 3 b) a x 3 b 2x 5 3x 4 c a 1 x b 2 x 5 c : a 3x 1 b 1 x c 3 x 1 a x 1 b 2 x 1 c x uy 1 v 2y 3 w y 4 u 2v 1 v y 1 w : u3 y 1 v y 1 w y 3 c) 1 y u 2y v 3 3 2y w 2 d) e) xk 1 y 2k 1 z 3 x k y k 4 z : x k 1 y k 1 z 2k 2k 2 x 2k y 3 z 1 k 3 an 1 b n 1 c 2n 3 a 2 n 5 b 1 2n c n 1 : a 3 b n 1 c 2 n a n b 1 2n c 3 2 : a 2n 1 b n c 2 a n b 2 c n : an b 2 c 3 n 1 a 3 b n 1 c Rechnen Sie aus: a) 6 2 2n n n 4 2n b) 54 3 k k k k 1 c) x x x 2 3x

15 1 Von der Menge der natürlichen zur Menge der reellen Zahlen 1.5 Die Menge der reellen Zahlen Die Notwendigkeit der Zahlenbereichserweiterung Die Gleichung a m x mit a q, m z ist in q uneingeschränkt lösbar. (Basis a und Exponent m sind bekannt. Der Potenzwert x wird gesucht.) Für die Gleichung x m c existiert nur dann eine Lösung, wenn c eine Potenz von x ist. (Potenzwert c und Exponent m sind bekannt Die Basis x wird gesucht.) Diese Gleichung lässt sich nach x auflösen, wenn wir zur Darstellung das Wurzelzeichen verwenden: x m c c Radikand 1) m Wurzelexponent x Wurzelwert Der Wurzelexponent gibt an, in wie viele gleiche Faktoren der Radikand c zerlegt werden soll. (Siehe Definition der Potenz Kap ) x ist der gesuchte Faktor. Bei der Quadratwurzel wird der Wurzelexponent 2 im Allgemeinen weggelassen: 2 Die Berechnung eines Wurzelwertes aus einer Zahl kann zweideutig sein. Beispiel einer Zweideutigkeit bei Quadratwurzeln oder 4 ( 2) ( 2) 2 Um Eindeutigkeit zu erzielen, wird daher Folgendes vereinbart: Definition der Quadratwurzel a 2 a gelesen: Wurzel a 2 gleich Betrag von a a ist der Absolutbetrag von a, d. h.: a a, wenn a 0 a a, wenn a 0 Beispiele für Absolutbeträge ( 3) 3 ( 2) ( 7) Ist der Radikand c keine Quadratzahl, dann sind die Quadratwurzelwerte Zahlen, die nicht zur Menge der rationalen Zahlen gehören, d. h., sie sind nicht als Bruch darstellbar. 1) Radikand, von radix (lat.) Wurzel 18