Grundwissen Mathematik 8.Jahrgangsstufe G8

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1 Grundwissen Mathematik 8.Jahrgangsstufe G8 Funktionale Zusammenhänge Direkte Proportionalität Entspricht bei zwei einander zugeordneten Größen und y dem -, -, -, k-fachen der einen Größe das -, -, -, k-fache der anderen Größe, so nennt man die Größen direkt proportional. Beispiel: Masse und Preis von Äpfeln. Masse in kg 5 8 y Die Quotienten sind für alle Paare gleich y Preis in,60 5,0 9,00 1,0 (Quotientengleichheit). Preis in 1 Dieser konstante Wert q heißt Proportionalitätsfaktor (im Beispiel q 1,80 kg ). 8 Die Zuordnungsvorschrift lautet: a y q 0 6 Masse in kg Die Punkte des Graphen der Zuordnung liegen auf einer Geraden durch den Ursprung des Koordinatensystems (Ursprungsgerade). Schlussrechnung: kg,60 1 kg,60 : 1,80 7 kg 7 1,80 1,60 Indirekte Proportionalität Entspricht bei zwei einander zugeordneten Größen und y dem -, -, k-fachen der einen Größe der -, -, k-te Teil der anderen Größe, so nennt man die Größen indirekt (umgekehrt) proportional. Das Produkt p y ist für alle Paare gleich (Produktgleichheit). Zeit in h Arbeiter Die Zuordnungsvorschrift lautet: a y Der Graph einer indirekten Proportionalität heißt Hyperbel. Umgekehrte Schlussrechnung: Beispiel: 9 Arbeiter brauchen für die Ernte auf dem Spargelfeld 8 Stunden. 9 Arbeiter 8 h 1 Arbeiter 9 8 h 7 h 1 Arbeiter 7 h: 1 6h p 1

2 Funktion und Term Eine Zuordnung f: a y heißt Funktion f, wenn sie jedem aus der Definitionsmenge D genau ein y aus der Wertemenge W zuordnet. Beschreibung von Funktionen: Funktion f: Funktion g: Funktionsvorschrift: a 0,5 a Funktionsterm: 0,5 Funktionsgleichung: y f () 0,5 y g() Die maimale Definitionsmenge D ma einer Funktion enthält alle rationalen Zahlen, für die der Funktionswert berechnet werden kann. In den Beispielen gilt: f kann für alle rat. Zahlen berechnet werden: D ma f Q g kann für nicht berechnet werden: D ma g Q\{ } Zeichnet man die Wertepaare ( / y f()) als Punkte in ein Koordinatensystem, so erhält man den Graphen G f. Beispiel: Liegen die Punkte P(- / 6), bzw. R( / ) auf G f? Setze die -Werte in die Gleichung ein: 0,5 ( ) 8 6 yp P Gf 0,5,5,5 yr R Gf Die -Koordinate eines Schnittpunktes des Funktionsgraphen Gf mit der -Achse heißt Nullstelle der Funktion f. Jede Nullstelle der Funktion f ist Lösung der Gleichung f() 0. 0,5 0 : 1 -; Lineare Funktionen Eine Funktion f : a y m + t mit m, t Q, D Q heißt lineare Funktion. Der Graph G f ist eine Gerade. Die Zahl m gibt die Steigung, die Zahl t die Schnittstelle mit der y-achse (y-abschnitt) des Graphen an. m>0 Die Gerade steigt. m<0 Die Gerade fällt. m0 Die Gerade ist parallel zur -Achse. Beispiel: y 0,5-1 m 0,5; t -1 Nullstelle: 0,5 1 0 Besondere Geraden: Ursprungsgerade: t 0 y m und y sind dann zueinander proportional.

3 Aufstellen der Gleichung einer Geraden g durch zwei Punkte, z.b. A(- /1) und B( /-5): yb ya 5 1 y m + t m B A ( ) y + t Koordinaten von B einsetzen: 5 + t t y Lineare Ungleichungen Beispiele: 7 ; y > 1; 9 Lineare Ungleichungen kann man durch Äquivalenzumformungen lösen. Dazu gehören: beidseitige Addition oder Subtraktion einer Zahl oder eines Terms beidseitige Multiplikation mit einer positiven Zahl, bzw. Division durch eine positive Zahl beidseitige Multiplikation mit einer negativen Zahl, bzw. Division durch eine negative Zahl und gleichzeitige Umkehr des Ungleichheitszeichens. Beispiele: > 17-5 : 9 > 18 :(-9) 8 < Die Lösungsmenge wird entweder in der Mengen- oder Intervallschreibweise angegeben. L { 8} [ 8; [ L { < } ] ;[ Intervallarten: [ ;9 ] geschlossenes Intervall von bis 9 Lineare Gleichungssysteme ] 7; [ offenes Intervall von -7 bis [ ;5 [ halboffenes Intervall von bis 5 Lösen mit dem Einsetzungsverfahren: Beispiel: I. y - I. nach y aufgelöst: y 0,5 + 1 in II. eingesetzt: II. y ( 0,5 + 1) , ,5 15 in I. eingesetzt: y 0,5 + 1 L {( ; )} Lösen durch das Additionsverfahren: Beispiel: I. y 0 I. 8 6 y 0 II. + y 6 II y 18 I. + II y 18 5y -0 y -6 in II. + (-18) 6 1 L {(1; -6)} Graphische Lösung: Die den Gleichungen I. und II. entsprechenden Geraden werden gezeichnet. Das Koordinatenpaar des Schnittpunktes bildet die Lösungsmenge. Sonderfälle: Parallele Geraden L { } Identische Geraden L { alle Punkte der Geraden }

4 Gebrochen rationale Funktionen Bruchterme: Terme, bei denen eine Variable im Nenner auftritt, heißen Bruchterme. z Beispiele: Definitionsmenge D Q\{-}; + z D Q\{-; } 9 Funktionen, deren Term ein Bruchterm ist, nennt man gebrochen rationale Funktionen. + 1 Beispiel: f : a y O - - D Q\{0} 0 nennt man Definitionslücke von f. Eine Gerade, der sich der Graph einer Funktion beliebig genau annähert, nennt man Asymptote des Graphen. Die y-achse (Gleichung 0) ist senkrechte Asymptote von G f an der Definitionslücke. Die Gerade y 1 ist waagrechte Asymptote des Graphen. -6 Kürzen von Bruchtermen: 1a 7a 7a ( a 1) 7 Beispiel: a 10a 5a 5a( a 1) ) 5 Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division von Bruchtermen: Beispiele: + y + 1 y +,5 ( y + 1) ( y +,5) y+ y 5 y y 6 y 6 y 7 : 8a a Bruchgleichungen: Beispiele: 9 + 1a a 8a 5 y 1 ( ) ( ) 6( y ) 6 ( a + ) ( a + ) 9 6 ( ) ( 1)( ) + ( 5 ) ( 6 ) (-) D Q\{ 0;} ,5 D L {-0,5}

5 Potenzen mit negativen Eponenten: n 1 a für jede rationale Zahl a mit a 0 und jede natürliche Zahl n 1. n a 1 für a 0. Für Potenzen mit gleicher Basis a (a 0) und ganzzahlige Eponenten k,m gilt: a 0 a k a m a k+ m und a k :a m a k m Stochastik Ergebnismenge und Ereignisse: Die Menge aller möglichen Ergebnisse eines Zufallseperiments heißt Ergebnismenge Ω, auch Ergebnisraum. Ω bezeichnet die Anzahl der Elemente von Ω. Jede Teilmenge der Ergebnismenge Ω nennt man Ereignis E. Auch die leere Menge {} und Ω sind Ereignisse. Ω heißt das sichere Ereignis, {} das unmögliche Ereignis. Mit E bezeichnet man das Gegenereignis zu E. Es enthält alle Ergebnisse aus Ω, die nicht in E enthalten sind. Jedem Ereignis E wird eine Wahrscheinlichkeit P(E), ein Wert zwischen 0 und 1 zugeordnet. Beispiel: Einmaliges Werfen eines Würfels: Ω {1;;;;5;6}, Ω 6 E: gerade Zahl : E {;;6} E E {1;;5} P(E) 0,5 P( E) 1- P(E ) 0,5 Speziell: P( Ω) 1 P({}) 0 Laplace-Eperimente: Ein Zufallseperiment, bei dem alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind, nennt man Laplace-Eperiment. Hat es n Ergebnisse, so beträgt die Wahrscheinlichkeit für jedes Ergebnis n 1. Bei einem Laplace-Eperiment gilt für jedes Ereignis E: E Anzahlder für günstigen Ergebnisse P(E) Ω Anzahlder möglichen Ergebnisse Zählprinzip: Zieht man aus k verschiedenen Mengen mit m 1, m, m k Elementen jeweils ein Element, so gibt es insgesamt m 1 m m k Möglichkeiten. Beispiel: Wie viele dreistellige Zahlen lassen sich aus den Ziffern 1,, 9 bilden, wenn jede Ziffer nur einmal vorkommen darf? Lösung: Möglichkeiten 5

6 Geometrie Kreismessung: Der Umfang U eines Kreises ist proportional zu seinem Durchmesser d (d r, r Radius): U d π r π, Kreiszahl π,115965,1 Für den Flächeninhalt A eines Kreises mit dem Radius r gilt: A r² π Strahlensatz und Ähnlichkeit Der Strahlensatz: Wird eine Geradenkreuzung von einem Parallelenpaar geschnitten, das den Kreuzungspunkt nicht enthält, dann gilt: Je zwei Abschnitte auf der einen Kreuzungsgeraden verhalten sich wie die entsprechenden Abschnitte auf der anderen Kreuzungsgeraden. Die ausgeschnittenen Parallelstrecken verhalten sich wie die Entfernungen entsprechender Endpunkte vom Kreuzungspunkt. Beispiele: ZA' ZA ZB' ZB A' B' AB ; ZA AA' ZB BB' Ähnlichkeit: Zwei Figuren F 1 und F, bei denen alle Verhältnisse entsprechender Streckenlängen gleich und bei denen alle entsprechenden Winkel gleich groß sind, heißen ähnlich zueinander, kurz F 1 ~ F. Das Verhältnis entsprechender Streckenlängen heißt Ähnlichkeitsfaktor oder Streckfaktor k. Ist k>1, so wird vergrößert, für 0<k<1 wird verkleinert. Ähnlichkeitssätze: Dreiecke sind bereits dann ähnlich, wenn gilt: Sie stimmen in zwei (und damit in allen drei) Winkeln überein (WW-Satz). oder Sie stimmen im Verhältnis ihrer Seiten überein (S:S:S-Satz). Beispiel: Prüfe, ob die Dreiecke Δ ABC mit a9cm, b7,5cm, c5cm und Δ A B C mit a 1,6cm, b 10,5cm und c 7cm ähnlich sind! a :a b :b c :c 1, k Die Dreiecke sind ähnlich. 6