Algebra/Arithmetik. Eine Variable ist ein Platzhalter oder ein Stellvertreter für eine Zahl.

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1 Algebr/Arithmetik 1. Grudbegriffe Geometrie: Lehre vo de Rumgrösse Algebr: Lehre vo de Gleichuge Arithmetik: Lehre vo de Zhlegrösse (Zhle, Vrible) Defiitio: Eie Vrible ist ei Pltzhlter oder ei Stellvertreter für eie Zhl. Bsp.: sei dsselbe wie + b, d ht de Wert 15 ud b de Wert 2. Diese "bestimmte" Zhle bilde jeweils eie Mege, die wir uf dem Zhlestrhl drstelle köe: Aus dem Zhlestrhl wird ersichtlich, dss die Zhle eie bestimmte Ordug hbe: Ordugsreltioe (<, =, >). Wir werde folgede Zhlemege treffe: Die türliche Zhle: Die gze Zhle: Die rtiole Zhle: Die reelle Zhle: Die komplexe Zhle: N Z Q R C 1

2 2. Grudopertioe Defiitio: Eie Opertio ist die Verküpfug zweier Zhle uf eie gz bestimmte Art ud Weise. 1. Additio Summd + Summd = Summe Kommuttivgesetz: Assozitivgesetz: + b = b + + (b + c) = ( + b) + c Eie Vrible k mehrstellig sei, bzw. us eier Zhl ud eiem Buchstbe bestehe. Der Multipliktiospukt zwische der Zhl ud dem Buchstbe wird dbei weggelsse: 3*=3. Ws m zwische zwei Zhle jedoch ie tu drf: 3*5 = 35 wäre prdox. Defiitio: Eie Zhl, bzw. Vrible verküpft mit dem eutrle Elemet bleibt uverädert. Bsp.: Neutrles Elemet der Additio: 0. Defiitio: Die Verküpfug eier Zhl mit ihrem iverse Elemet ergibt ds eutrle Elemet der Opertio. Bsp.: Iverses Elemet der Additio: Subtrktio Miued - Subtrhed = Differez Gilt ds Kommuttivgesetz? Gilt ds Assozitivgesetz? Nei Nei Neutrles Elemet der Subtrktio: 0 Iverses Elemet der Subtrktio: - Die Subtrktio ist ichts deres ls die Umkehrug der Additio. Die Zeiche + ud - sid etgegegesetzte Rechezeiche. 2

3 3. Multipliktio Fktor * Fktor = Produkt Kommuttivgesetz: Assozitivgesetz: * b = b * (*b) * c = *(b*c) Neutrles Elemet: 1 Iverses Elemet: 1/ Distributivgesetz: * (b + c) = * b + * c Die Multipliktio ist eie wiederholte Awedug der Additio: = 4 * = Divisio Divided : Divisor = Quotiet Kommuttivgesetz: Assozitivgesetz: Nei Nei Neutrles Elemet: 1 Iverses Elemet: Wir hbe gesgt, die Subtrktio ist die Umkehrug der Additio, beide besitze dsselbe eutrle Elemet. Die Divisio ist die Umkehrug der Multipliktio, lso besitze die zwei uch dsselbe eutrle Elemet. Verbot: Beweis: Durch Null k m icht dividiere. Die Subtrktio ist die Umkehrug der Additio: Flls + b = c, muss umgekehrt gelte: c - = b ud c - b = Die Divisio ist die Umkehrug der Multipliktio: Flls * b = c, muss umgekehrt gelte: c / = b ud c / b = lso: c / 0 = * 0 = c (c<>0) 3

4 3. Klmmerregel I eiem Ausdruck müsse immer zuerst die Terme i der Klmmer usgerechet werde. Stehe i eiem Ausdruck mehrere Klmmer ieiderverschchtelt, müsse die Klmmer vo ie ch usse ufgelöst werde. Steht vor eier Klmmer ei Plus, äder die Rechezeiche i der Klmmer icht, die Klmmer k ohe weiteres weggelsse werde. Steht vor eier Klmmer ei Mius, so äder sich die Rechezeiche i der Klmmer, de es gilt: + * + = + + * - = - - * - = + - * + = - Merke: Nur gleichrtige Vrible köe miteider ddiert/subtrhiert werde. Ausklmmer: Hbe mehrere Glieder eier Summe eie gemeisme Fktor, so k m ih usklmmer, ddurch wird er ur och eiml geschriebe. Bsp.: 2x + 6y 4z = 2(x + 3y 2z) 4

5 4. Poteze Bsis hoch Expoet = Potez Besteht ei Produkt us luter gleiche Fktore, so bezeichet m es verkürzt ls Potez. Der Expoet (Hochzhl) gibt, wie oft die Bsis (Grudzhl) ls Fktor gesetzt werde soll. M setzt 1 =. Eie Zhl mit Expoet Null ist immer gleich 1: 0 = 1. We wir positive Zhle miteider multipliziere, ist ds Produkt immer positiv. Also ist der Wert eier Potez mit positiver Bsis uch immer positiv. Der Wert eier Potez mit egtiver Bsis ist egtiv, we der Expoet ugerde ist ud positiv, we der Expoet gerde ist. Recheregel 1. Additio Poteze gleicher Bsis ud mit gleichem Expoete werde ddiert, idem m ihre Beizhle ddiert. Beispiel: = Subtrktio Alog Additio. Beispiel: 20 2 b b b c b 3 = 10 3 b b c 2 3. Multipliktio Poteze mit gleicher Bsis werde multipliziert, idem m die Expoete ddiert ud die Bsis beibehält. * = m m Beispiel: ( 2* 2* 2) * ( 2* 2* 2* 2) = 2 = 2 = 128 Poteze mit gleiche Expoete werde miteider multipliziert, idem m ds Produkt der Bsis mit dem gemeisme Expoete poteziert. * b = ( * b) Beispiel: 4 3 x 7 * 5 4 x 2 = 4 * 5 * 3 * 4 * x 7 * x 2 = 20 7 x 9 5

6 4. Divisio Poteze gleicher Bsis werde dividiert, idem m die Bsis beibehält ud die Expoete subtrhiert. m = m Poteze mit gleiche Expoete werde dividiert, idem m de Quotiete der Bse mit dem gemeisme Expoete poteziert. b = ( ) b 5. Poteziere vo Poteze Poteze werde poteziert, idem m die Expoete multipliziert. ( ) = ( ) = m m m* 6. Poteziere vo Summe (Biome) Eie Summe oder Differez wird poteziert, idem m die Potez i ei Produkt verwdelt ud die etstehede Klmmer usrechet. Biome: ( + b) 2 = ( + b)( + b) = 2 + 2b + b 2 ( - b) 2 = ( - b)( - b) = 2-2b + b 2 ( + b)( - b) = 2 - b 2 ( + b) 3 = ( + b)( + b)( + b) = b + 3b 2 + b 3 u.s.w. 6

7 5. Ds Pscl Dreieck 7

8 6. Fktorzerlegug 1. K ich etws usklmmer? 2. Sid Qudrte vorhde (Biome, Pseudobiome) 3. Polyomdivisio Polyomdivisio: ( y 3 10y y + 48 ) : ( y 6) = y 2 4y - 8 -(y 3 6y 2 ) - 4y y (- 4y y) - 8y ( - 8y + 48) 0 7. Primfktorzerlegug (kgv, ggt) Dies ist die Zerlegug eier Zhl, bzw. eier Vrible i ihre Primzhle. Primzhl: Ist eie Zhl ur durch sich selbst ud durch 1 teilbr, so ist sie eie Primzhl. Die kleiste Primzhl ist die 2, die zugleich uch die eizige gerde Primzhl ist. Die Primfktorzerlegug besteht u dri, dss m bei der kleiste Primzhl begit, kotrolliert, ob die Zhl, die m zerlege will, durch diese Primzhl teilbr ist. We j, teilt m die Zhl durch die Primzhl. M bleibt so lge bei dieser Primzhl, bis die zu zerlegede Zhl icht mehr durch sie teilbr ist, d immt m die ächste Primzhl. Zuletzt ht m die ursprügliche Zhl ls Drstellug luter Primzhle. Awedug der Primfktorzerlegug: kgv / ggt Kleistes Gemeismes Vielfches (kgv) 1. Zerlege die Zhle i ihre Primfktore. 2. Suche vo jeder vorkommede Primzhl die grösste Azhl. 3. Ds Produkt dieser Primfktore ergibt ds kgv. Auch für Vrible gilt dieses Verfhre. Ht m zum Beispiel die Vrible 120x, betrchtet m ud x ls Primzhle, d sie sich icht weiter zerlege lsse. Grösster gemeismer Teiler (ggt) 1. Zerlege die Zhle i ihre Primfktore. 2. Suche die gemeisme Primfktore. 3. Ds Produkt dieser Primfktore ergibt de ggt. Auch wedbr uf Vrible, log wie beim kgv. 8

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