Zusatzübung Wintersemester 2010/11 1

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1 Zusatzübung Wintersemester 2010/11 1 Aufgabe 1: (8 Punkte) Zeigen Sie durch vollständige Induktion die folgende Formel für die Potenzen der Matrix A: A = n 0 : A n = 1 a n n a n n 1 n n (n 1) mit a n := a n n 1 + a n [Hinweis: Es gilt: a n + n = a n+1 (Nachweis!). Verwenden Sie dies beim Induktionsschritt.] Wie ist die Matrixpotenz A 0 definiert? Welche Regel für die Potenzen von reellen Zahlen verallgemeinert das? Bei welchem n setzt man bei dieser Aufg. am Besten den Induktionsanfang (=Induktionsverankerung)? Ein Kommilitone von Ihnen ist versessen darauf, Matrizen zu multiplizieren, und berechnet A, A A = A 2,...,A 100, indem er hundertmal die Matrix auf sich selbst multipliziert. Jedesmal stellt er fest, dass die angegebene Formel für A n stimmt. Erklären Sie ihm, warum er sich den Aufwand hätte sparen können, wenn er a) die Formel für n = 0 überprüft und b) nachweist: Wenn die Formel für ein n stimmt, dann stimmt sie auch für n + 1; das n muss dabei nur eine beliebige ganze Zahl zwischen 0 und 99 sein. Erklären Sie ihm auch, dass er, da die Bedingung n 99 gar nicht benötigt wird, dann die Formel gleich für alle n N 0 bekommt (jedenfalls wenn man das Induktionsaxiom akzeptiert, was abgesehen von einigen abgedrehten Mathematikern kaum einem normalen Menschen so richtig schwerfällt). Rekapitulieren Sie den Standardansatz zur Durchführung des Induktionsschrittes, z.b. bei einer Summeninduktion: n+1 n a i = + a n+1 i=1 Produktinduktion: i=1 a i }{{} IV n+1 i=1 a i = }{{}... IV... Ableitungsinduktion: f (n+1) (x) = d dx }{{}... IV Matrixpotenzinduktion: A n+1 = }{{}... IV... Könnte man die Matrixpotenz-Induktion auch folgendermaßen ansetzen?: Matrixpotenzinduktion: A n+1 =... }{{}... IV

2 Zusatzübung Wintersemester 2010/11 2 Aufgabe 2: (6 Punkte) Bestimmen Sie folgende Grenzwerte (ggf. mit der Regel von l Hospital) x 2 a) lim x x, lim 1 + x 2 x + 1 x x 2 und lim x x x2 1 x b) lim x x e 2x 1 + x 2 und lim e x x x e 2x 1 + x 2 e 2x. c) lim x 0 e x 1 ln(1 + x) und ( e x 1 ) lim exp x 0 ln(1 + x)

3 Zusatzübung Wintersemester 2010/11 3 Aufgabe 3: (8 Punkte) a) Lösen Sie die folgende Gleichung (bei gegebenem n, r 0, r 1, r eff mit r 0 > r eff > r 1 ) nach n 0 auf: (1 + r 0 ) n0 (1 + r 1 ) n n0 = (1 + r eff ) n. Hinweis: Nach Logarithmieren der Gleichung entsteht eine lineare Gleichung in n 0 mit der Lösung n 0 = n ln(1 + r eff) ln(1 + r 1 ) ln(1 + r 0 ) ln(1 + r 1 ) b) Ein Kapital wird für einen Zeitraum von 10 Jahren verzinslich angelegt. Der Zins beträgt in den ersten Jahren 5% p.a. und danach 3% p.a. Die Zinsen werden jeweils am Jahresende gutgeschrieben. In welchem Jahr muss der Wechsel des Zinses stattfinden, damit eine effektive Verzinsung von 4.4% p.a. für den gesamten Zeitraum entsteht? c) Lösen Sie obige Gleichung nach r 0 (statt nach n 0 ) auf (da r 0 kein Exponent, sondern Bestandteil einer Basis ist, muss man statt zu logarithmieren etwas anderes machen, nämlich was?) Überlegen Sie sich, wie eine entsprechende Fragestellung lauten könnte. d) Welche Formel ergibt sich in a) und wie verändert sich das numerische Ergebnis in b), wenn man die (für kleine r gültige) Näherungsformel ln(1 + r) r einsetzt? Zeigen Sie außerdem, dass die Formel in a) auch folgendermaßen dargestellt werden kann: n 0 = n log 1+r 1 (1 + r eff ) 1 log 1+r1 (1 + r 0 ) 1 ( 1 + reff ) und n 0 = n log 1+r 0 1+r r 1 e) Wie lautet die Funktionalgleichung des Logarithmus (aus dem Kopf)? Bezieht sie sich auf die Summe oder das Produkt von Logarithmen? Bezieht sie sich auf den Logarithmus einer Summe oder den eines Produkts? Wie lautet die Basiswechselformel des Logarithmus (aus dem Kopf): log a (x) = ln(x)? Finden sie eine Darstellung von ln(x/y) als Differenz von Logarithmen und eine Darstellung von ln(x)/ ln(y) als Logarithmus. Finden Sie den Fehler in folgender Beziehung und korrigieren Sie ihn (durch einen einzigen Strich): Falsch: ln(x/y) = ln(x) ln(1/y) f) Beantworten Sie die ersten vier Fragen in e), wenn Sie Logarithmus durch Exponentialfunktion ersetzen.

4 Zusatzübung Wintersemester 2010/11 4 Aufgabe 4: (9 Punkte) Die Installation einer Solaranlage erfordert eine Investition von Euro. Die Solaranlage erwirtschaftet in den nächsten 12 Jahren einen monatlichen Cash Flow von Euro. Die Alternativanlage am Kapitalmarkt hat eine Zinssatz von 7.8% pro Jahr bei unterjähriger monatlicher Verzinsung (d.h. r = 7.8/12 % = pro Monat.) a) Sollte die Solaranlage (aus wirtschaftlichen Gründen) installiert werden? b) Bei welchem monatlichen Cash Flow würde der Barwert der Anlage genau Euro betragen? c) Wie lange müsste ein monatlicher Cash Flow von Euro laufen, damit sein Barwert gerade Euro beträgt? [Hinweise: , ln(0.35) 1.05, ln(1.0065) ] Warum muss man in dieser Aufgabe den Barwert (nicht den Endwert) gegen die Euro vergleichen? Warum muss man die Formel für den Barwert mit r = (statt r = 0.078) verwenden? Interpretieren Sie die Formel für den Barwert, wenn man sie in der Form V 0 n = V 0 1 (1 + r) n V n schreibt, wobei V 0 = V n der Barwert einer ewigen Rente der Höhe c ist. Welche Formel gilt für den Barwert der ewigen Rente und wie lässt sie sich erklären?

5 Zusatzübung Wintersemester 2010/11 5 Aufgabe 5: (8 Punkte) Für ein Produkt sei die Nachfragemenge x in Abhängigkeit vom Verkaufspreis p durch x = D(p) = ( ) p+3 gegeben. Die Kosten K bei der Herstellungsmenge x sind K(x) = 1 5 x 3 2. Bei welchem Preis p 0 bzw. Herstellungsmenge x 0 wird der Gewinn maximal? (Voraussetzung: hergestellte Menge = nachgefragte Menge). [Zur Kontrolle: G (x) = 60 x 3 3 x 10. Hinweis: Substituieren Sie z = x zur Lösung von G (x) = 0.] Was ist die ökonomische Bezeichnung für D(p) und die Umkehrfunktion davon? Was genau gibt die Umkehrfunktion x p(x) an? Hat man bei dieser Aufgabe fallende oder steigende Grenzkosten oder beides? Was bedeuten steigende Grenzkosten in Bezug auf das Krümmungsverhalten der Kostenfunktion? Skizzieren Sie den Verlauf von p(x), E (x) und K (x) in dieser Aufgabe. Ermitteln Sie rechnerisch die Absatzmenge und den Preis, der sich in der Situation vollständiger Konkurrenz zwischen den Anbietern ergeben würde (Grenzkosten = Preis).

6 Zusatzübung Wintersemester 2010/11 6 Aufgabe 6: (10 Punkte) Gegeben ist die Funktion f(x) = (x 2 + 2) e 1 2 x2. a) Bestimmen Sie die Bereiche, auf denen die Funktion monoton wachsend bzw. fallend ist. Welche Extremstellen hat diese Funktion? b) Bestimmen Sie die Bereiche, auf denen die Funktion konvex bzw. konkav ist. [Zur Kontrolle: f (x) = x 3 e 1 2 x2, f (x) = (x 4 3 x 2 ) e 1 2 x2.] c) Welchen Vorteil hat eine Monotonie-Untersuchung gegenüber dem Vorgehen notwendige und hinreichende Bedingung in Bezug auf die Extremwert-Bestimmung? Warum ist es bei Fktnen einer Variablen i.a. einfacher als im Mehrdimensionalen, die globalen Extrema zu finden? Wie lauten notw. u. hinr. Bedingung für ein lokales Extremum bei Fktnen mehrerer Variablen?

7 Zusatzübung Wintersemester 2010/ Aufgabe 7: (8 Punkte) Gegeben ist die Funktion f(x, y) = x 2. Zeigen Sie: + y2 ( ) 2 3x a) Die Hesse-Matrix der Funktion ist H f (x, y) = 2 y 2 4xy (x 2 + y 2 ) 3 4xy 3y 2 x 2. b) det ( H f (x, y) ) 12 = (x 2 + y 2 ) 4. c) Die Funktion ist nirgendwo konvex oder konkav. (D.h.: Es gibt keine Menge D R 2, so dass f eine konvexe oder konkave Funktion auf D ist.) 1 Wie leitet man x 2 +y am besten partiell nach x ab, mit der Quotientenregel oder mit der Kettenregel? 2 (Wenn man die Kettenregel anwendet, was ist dabei die innere Funktion und was die äußere?) x Welche Regel sollte man anwenden, um (x 2 +y 2 ) partiell nach x abzuleiten und welche, um es partiell 2 nach y abzuleiten? (Bei der Kettenregel: was ist dabei die innere und was die äußere Fkt.?) Ist folgende Aussage korrekt: Wenn für eine quadrat. Matrix A eine der Hauptunterdeterminanten d i mit geradem Index i strikt negativ ist, dann ist A weder positiv noch negativ semidefinit (also indefinit).?

8 Zusatzübung Wintersemester 2010/11 8 Aufgabe 8: (9 Punkte) Für ein Produkt seien die angebotene Menge x = S(p) und die nachgefragte Menge x = D(p) als Funktionen des Preises p durch S(p) = 30 p 4+p (p > 0), D(p) = 40 p 10 (0 < p < 4) gegeben. a) Bestimmen Sie den Gleichgewichtspreis p sowie die Gleichgewichtsmenge x. [Zur Kontrolle: p = 2, x = 10.] b) Bestimmen Sie die Konsumenten- und Produzentenrente des Marktes. [Zur Kontrolle: p S (x) = 4x 30 x = x 4, p D(x) = 40 x+10.]

9 Zusatzübung Wintersemester 2010/11 9 Aufgabe 9: (8 Punkte) Gegeben sind die Matrizen A = , X = , b = a) Lösen Sie das lineare Gleichungssystem Ax = b durch Gauß-Elimination. Wie lauten rang(a), rang(a, b) und det(a)? b) Es gilt A 1 = X. Wie kann man das (möglichst einfach) verifizieren? Lösen Sie das lineare Gleichungssystem Ax = b unter Verwendung von A 1. c) Allgemein bei einer quadratischen Matrix A: Drücken Sie die Regularität von A sowohl mit rang(a) als auch mit det(a) äquivalent aus. Was bedeutet die Bedingung rang(a) = rang(a, b) in Bezug auf die Lösbarkeit des LGS Ax = b? d) Wie kann man die Determinante einer quadrat. Matrix als Nebenprodukt der Gauß-Elimination bekommen und was muss man dabei beachten? e) Welche der folgenden Aussagen sind korrekt (bei beliebigem LGS Ax = b): Die Spalten der Matrix A spannen einen Unterraum der Dimension rang(a) in auf. Das LGS kann auch lösbar sein, wenn die Spalten der Matrix A lin. abhängig sind. Wenn die Spalten von A lin. abh. sind und das LGS lösbar ist, dann ist es mehrdeutig lösbar. Das LGS ist genau dann lösbar, wenn b in dem von den Spalten von A aufgespannten Raum liegt

10 Zusatzübung Wintersemester 2010/11 10 Aufgabe 10: (9 Punkte) Die Matrix A sei darstellbar als A = LL mit L = a) Bestimmen Sie A Zur Kontrolle: A = b) Bestimmen Sie L 1. c) Wie lautet (L ) 1? d) Bestimmen Sie A 1 aus L 1 und (L ) 1. Überprüfen Sie Ihr Ergebnis anhand einiger Einträge. e) Wäre es möglich, dass A = LL nicht symmetrisch ist? f) Wäre es möglich, dass eine untere Dreiecksmatrix L (außer L = I) eine orthogonale Matrix ist? Wenn es gehen würde, was hätte das für Konsequenzen für die Matrix A = LL? g) Ermitteln Sie (ohne Rechnung) die Determinanten von L, L 1, (L ) 1, L 2, A, A, A 1, A 2. h) Wäre es möglich, dass A = LL singulär ist (wenn L eine untere Dreiecksmatrix ist mit (i) möglicherweise Nullen in der Diagonale (ii) keinen Nullen in der Diagonale) i) Welche der folg. Beziehungen ist korrekt: A 2 = L 2 (L ) 2 oder A 2 = L(L L)L? (ohne num. Rechnung!) Aus welcher der beiden Beziehungen würde A 2 = LAL folgen? Gilt dies im Allgemeinen? j) Beweisen Sie allgemein: Wenn eine quadrat. Matrix A regulär ist, dann ist auch A 2 regulär. k) Ermitteln Sie eine korrekte Formel zur Berechnung von (A 2 ) 1 aus L 1 und (L ) 1. l) Angenommen, die Aufgabe wäre mit der Matrix L 2 statt L gestellt worden, d.h. A = L 2 (L ) 2. Würde sich (abgesehen von numerischen Ergebnissen) strukturell etwas ändern? m) Angenommen, die Matrix A hätte die Darstellung A = UDU mit einer orthogonalen Matrix U und einer Diagonalmatrix D gehabt. Wie lautet U 1 und wie ermitteln Sie (am einfachsten) A 1?

11 Zusatzübung Wintersemester 2010/11 11 Aufgabe 11: (9 Punkte) Gegeben ist die Matrix A = a) Zeigen Sie: det(a) = 4 x 3 3 x 2. b) Bestimmen Sie alle x R, für die A singulär wird. c) Für welche x R ist A positiv definit? [Hinweis: 4 x 3 3 x 2 = x 2 (4x 3). ] x x x.

12 Zusatzübung Wintersemester 2010/11 12 Aufgabe 12: (8 Punkte) Behandeln Sie das folgende Problem mit der Lagrange-Methode: max / min f(x, y, z) := (x 1) (y 1)+(x 2) (z 2)+(y 3)(z 3) u.d. Nbd. g(x, y, z) := x+y+z = 3 Hinweis: Siehe Aufgabe 9 zur Lösung des entstehenden Gleichungssystems.