Algorithmen zum Lösen von Vertex und Set Cover Instanzen zur Planung von Angriffen auf Netzwerke

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1 Algorithmen zum Lösen von Vertex und Set Cover Instanzen zur Planung von Angriffen auf Netzwerke Steve Göring /18

2 Gliederung Einleitung Grundlagen Vertex-Cover-Problem Set-Cover-Problem Lösungsalgorithmen Vertex-Cover-Problem Set-Cover-Problem Auswertung/Fazit 2/18

3 Angriffe Angriffe auf Netzwerke mehrere Knoten Netzwerk Graphenabstraktion Zerfall durch Angriff auf: Vertex-Cover/ Set-Cover Lösungen Einleitung 3/18

4 Angriffe Angriffe auf Netzwerke mehrere Knoten Netzwerk Graphenabstraktion Zerfall durch Angriff auf: Vertex-Cover/ Set-Cover Lösungen Einleitung 3/18

5 Angriffe Angriffe auf Netzwerke mehrere Knoten d e Netzwerk Graphenabstraktion Zerfall durch Angriff auf: f c b Vertex-Cover/ Set-Cover Lösungen a Einleitung 3/18

6 Angriffe Angriffe auf Netzwerke mehrere Knoten Netzwerk Graphenabstraktion Zerfall durch Angriff auf: Vertex-Cover/ Set-Cover Lösungen Einleitung 3/18

7 Angriffe Angriffe auf Netzwerke mehrere Knoten d e Netzwerk Graphenabstraktion Zerfall durch Angriff auf: f c b Vertex-Cover/ Set-Cover Lösungen a Einleitung 3/18

8 Vertex-Cover-Problem VC = Knotenüberdeckung eines Graphen Problemvarianten: minimales VCP k-vcp gewichtetes VCP (später) partielles VCP + exaktes partielles VCP im allgemeinen NP-vollständig Spezialfälle: Baum, bipartiter Graph.. Grundlagen Vertex-Cover-Problem 4/18

9 Vertex-Cover-Problem- Varianten: mvcp d e minimale Knotenmenge C gesucht f c b a Grundlagen Vertex-Cover-Problem 5/18

10 Vertex-Cover-Problem- Varianten: kvcp d e k-elementige Knotenmenge C gesucht Bsp: k = 4 f c b a Grundlagen Vertex-Cover-Problem 6/18

11 Vertex-Cover-Problem- Varianten: pvcp k-elementige Knotenmenge C, die mindestens t Kanten überdeckt gesucht Bsp: t = 4, k = 1 f c d b e a Grundlagen Vertex-Cover-Problem 7/18

12 Vertex-Cover-Problem- glop Zielfunktion: d e F ( x) = x i w v (i) x i min f c b Nebenbedingungen: x i + x j 1, (i, j) E x i {0, 1} Relaxation 0 x i 1, x i R a F ( x) = x a +x b +x c +x d +x f min x a + x b 1, x a + x c 1 x b + x c 1, x b + x e 1 x c + x d 1, x c + x f 1 x d + x e 1 Grundlagen Vertex-Cover-Problem 8/18

13 Vertex-Cover-Problem- glop Zielfunktion: d e F ( x) = x i w v (i) x i min f c b Nebenbedingungen: x i + x j 1, (i, j) E x i {0, 1} Relaxation 0 x i 1, x i R a F ( x) = x a +x b +x c +x d +x f min x a + x b 1, x a + x c 1 x b + x c 1, x b + x e 1 x c + x d 1, x c + x f 1 x d + x e 1 Grundlagen Vertex-Cover-Problem 8/18

14 Vertex-Cover-Problem- glop Zielfunktion: d e F ( x) = x i w v (i) x i min f c b Nebenbedingungen: x i + x j 1, (i, j) E x i {0, 1} Relaxation 0 x i 1, x i R a F ( x) = x a +x b +x c +x d +x f min x a + x b 1, x a + x c 1 x b + x c 1, x b + x e 1 x c + x d 1, x c + x f 1 x d + x e 1 Grundlagen Vertex-Cover-Problem 8/18

15 Vertex-Cover-Problem- glop Zielfunktion: d e F ( x) = x i w v (i) x i min f c b Nebenbedingungen: x i + x j 1, (i, j) E x i {0, 1} Relaxation 0 x i 1, x i R a F ( x) = x a +x b +x c +x d +x f min x a + x b 1, x a + x c 1 x b + x c 1, x b + x e 1 x c + x d 1, x c + x f 1 x d + x e 1 Grundlagen Vertex-Cover-Problem 8/18

16 Set-Cover-Problem SC = Mengenüberdeckung Varianten: minimales SCP gewichtetes SCP im allgemeinen NP-vollständig Grundlagen Set-Cover-Problem 9/18

17 minimales Set-Cover-Problem Universum U Teilmengen V i U gesucht: Auswahl Z von Teilmengen die U überdecken mit minimaler Größe Optimierungsproblem analog VCP Grundlagen Set-Cover-Problem 10/18

18 Set-Cover-Problem-Bsp U = V 1 V 2 V 3 V 2 V 3 V Z 1 = {1, 2, 3} oder Z 2 = {2, 3} Grundlagen Set-Cover-Problem 11/18

19 Lösungsalgorithmen Lösungsalgorithmen 12/18

20 Algorithmen VCP minimales VCP: naiv: O(2 n m) Cormen: O(n + m) 2-AP Monien-Speckenmeyer: O(m n) (2 1 k+1 )-AP k-vcp: Buss (k-vertex Cover): O(kn + 2k k 2k+2 ) gewichtetes VCP: Bar-Yehuda-Even: O(m) 2-AP Halperin: polyomiell (2 ɛ)-ap partielles VCP: KneisDet O (1.369 t ) KneisRand O ( t ) Mestre O(n log n + m) 2-AP exaktes partielles VCP: KneisExact: O (3 t ) Beispiel: Cormen und Bar-Yehuda-Even Lösungsalgorithmen Vertex-Cover-Problem 13/18

21 Algorithmen VCP minimales VCP: naiv: O(2 n m) Cormen: O(n + m) 2-AP Monien-Speckenmeyer: O(m n) (2 1 k+1 )-AP k-vcp: Buss (k-vertex Cover): O(kn + 2k k 2k+2 ) gewichtetes VCP: Bar-Yehuda-Even: O(m) 2-AP Halperin: polyomiell (2 ɛ)-ap partielles VCP: KneisDet O (1.369 t ) KneisRand O ( t ) Mestre O(n log n + m) 2-AP exaktes partielles VCP: KneisExact: O (3 t ) Beispiel: Cormen und Bar-Yehuda-Even Lösungsalgorithmen Vertex-Cover-Problem 13/18

22 Algorithmen VCP minimales VCP: naiv: O(2 n m) Cormen: O(n + m) 2-AP Monien-Speckenmeyer: O(m n) (2 1 k+1 )-AP k-vcp: Buss (k-vertex Cover): O(kn + 2k k 2k+2 ) gewichtetes VCP: Bar-Yehuda-Even: O(m) 2-AP Halperin: polyomiell (2 ɛ)-ap partielles VCP: KneisDet O (1.369 t ) KneisRand O ( t ) Mestre O(n log n + m) 2-AP exaktes partielles VCP: KneisExact: O (3 t ) Beispiel: Cormen und Bar-Yehuda-Even Lösungsalgorithmen Vertex-Cover-Problem 13/18

23 Algorithmen VCP minimales VCP: naiv: O(2 n m) Cormen: O(n + m) 2-AP Monien-Speckenmeyer: O(m n) (2 1 k+1 )-AP k-vcp: Buss (k-vertex Cover): O(kn + 2k k 2k+2 ) gewichtetes VCP: Bar-Yehuda-Even: O(m) 2-AP Halperin: polyomiell (2 ɛ)-ap partielles VCP: KneisDet O (1.369 t ) KneisRand O ( t ) Mestre O(n log n + m) 2-AP exaktes partielles VCP: KneisExact: O (3 t ) Beispiel: Cormen und Bar-Yehuda-Even Lösungsalgorithmen Vertex-Cover-Problem 13/18

24 Algorithmen VCP minimales VCP: naiv: O(2 n m) Cormen: O(n + m) 2-AP Monien-Speckenmeyer: O(m n) (2 1 k+1 )-AP k-vcp: Buss (k-vertex Cover): O(kn + 2k k 2k+2 ) gewichtetes VCP: Bar-Yehuda-Even: O(m) 2-AP Halperin: polyomiell (2 ɛ)-ap partielles VCP: KneisDet O (1.369 t ) KneisRand O ( t ) Mestre O(n log n + m) 2-AP exaktes partielles VCP: KneisExact: O (3 t ) Beispiel: Cormen und Bar-Yehuda-Even Lösungsalgorithmen Vertex-Cover-Problem 13/18

25 Algorithmen VCP minimales VCP: naiv: O(2 n m) Cormen: O(n + m) 2-AP Monien-Speckenmeyer: O(m n) (2 1 k+1 )-AP k-vcp: Buss (k-vertex Cover): O(kn + 2k k 2k+2 ) gewichtetes VCP: Bar-Yehuda-Even: O(m) 2-AP Halperin: polyomiell (2 ɛ)-ap partielles VCP: KneisDet O (1.369 t ) KneisRand O ( t ) Mestre O(n log n + m) 2-AP exaktes partielles VCP: KneisExact: O (3 t ) Beispiel: Cormen und Bar-Yehuda-Even Lösungsalgorithmen Vertex-Cover-Problem 13/18

26 Algorithmen VCP minimales VCP: naiv: O(2 n m) Cormen: O(n + m) 2-AP Monien-Speckenmeyer: O(m n) (2 1 k+1 )-AP k-vcp: Buss (k-vertex Cover): O(kn + 2k k 2k+2 ) gewichtetes VCP: Bar-Yehuda-Even: O(m) 2-AP Halperin: polyomiell (2 ɛ)-ap partielles VCP: KneisDet O (1.369 t ) KneisRand O ( t ) Mestre O(n log n + m) 2-AP exaktes partielles VCP: KneisExact: O (3 t ) Beispiel: Cormen und Bar-Yehuda-Even Lösungsalgorithmen Vertex-Cover-Problem 13/18

27 Algorithmen VCP minimales VCP: naiv: O(2 n m) Cormen: O(n + m) 2-AP Monien-Speckenmeyer: O(m n) (2 1 k+1 )-AP k-vcp: Buss (k-vertex Cover): O(kn + 2k k 2k+2 ) gewichtetes VCP: Bar-Yehuda-Even: O(m) 2-AP Halperin: polyomiell (2 ɛ)-ap partielles VCP: KneisDet O (1.369 t ) KneisRand O ( t ) Mestre O(n log n + m) 2-AP exaktes partielles VCP: KneisExact: O (3 t ) Beispiel: Cormen und Bar-Yehuda-Even Lösungsalgorithmen Vertex-Cover-Problem 13/18

28 Algorithmen VCP minimales VCP: naiv: O(2 n m) Cormen: O(n + m) 2-AP Monien-Speckenmeyer: O(m n) (2 1 k+1 )-AP k-vcp: Buss (k-vertex Cover): O(kn + 2k k 2k+2 ) gewichtetes VCP: Bar-Yehuda-Even: O(m) 2-AP Halperin: polyomiell (2 ɛ)-ap partielles VCP: KneisDet O (1.369 t ) KneisRand O ( t ) Mestre O(n log n + m) 2-AP exaktes partielles VCP: KneisExact: O (3 t ) Beispiel: Cormen und Bar-Yehuda-Even Lösungsalgorithmen Vertex-Cover-Problem 13/18

29 Algorithmen VCP minimales VCP: naiv: O(2 n m) Cormen: O(n + m) 2-AP Monien-Speckenmeyer: O(m n) (2 1 k+1 )-AP k-vcp: Buss (k-vertex Cover): O(kn + 2k k 2k+2 ) gewichtetes VCP: Bar-Yehuda-Even: O(m) 2-AP Halperin: polyomiell (2 ɛ)-ap partielles VCP: KneisDet O (1.369 t ) KneisRand O ( t ) Mestre O(n log n + m) 2-AP exaktes partielles VCP: KneisExact: O (3 t ) Beispiel: Cormen und Bar-Yehuda-Even Lösungsalgorithmen Vertex-Cover-Problem 13/18

30 Algorithmen VCP minimales VCP: naiv: O(2 n m) Cormen: O(n + m) 2-AP Monien-Speckenmeyer: O(m n) (2 1 k+1 )-AP k-vcp: Buss (k-vertex Cover): O(kn + 2k k 2k+2 ) gewichtetes VCP: Bar-Yehuda-Even: O(m) 2-AP Halperin: polyomiell (2 ɛ)-ap partielles VCP: KneisDet O (1.369 t ) KneisRand O ( t ) Mestre O(n log n + m) 2-AP exaktes partielles VCP: KneisExact: O (3 t ) Beispiel: Cormen und Bar-Yehuda-Even Lösungsalgorithmen Vertex-Cover-Problem 13/18

31 Algorithmen VCP minimales VCP: naiv: O(2 n m) Cormen: O(n + m) 2-AP Monien-Speckenmeyer: O(m n) (2 1 k+1 )-AP k-vcp: Buss (k-vertex Cover): O(kn + 2k k 2k+2 ) gewichtetes VCP: Bar-Yehuda-Even: O(m) 2-AP Halperin: polyomiell (2 ɛ)-ap partielles VCP: KneisDet O (1.369 t ) KneisRand O ( t ) Mestre O(n log n + m) 2-AP exaktes partielles VCP: KneisExact: O (3 t ) Beispiel: Cormen und Bar-Yehuda-Even Lösungsalgorithmen Vertex-Cover-Problem 13/18

32 Algorithmen VCP minimales VCP: naiv: O(2 n m) Cormen: O(n + m) 2-AP Monien-Speckenmeyer: O(m n) (2 1 k+1 )-AP k-vcp: Buss (k-vertex Cover): O(kn + 2k k 2k+2 ) gewichtetes VCP: Bar-Yehuda-Even: O(m) 2-AP Halperin: polyomiell (2 ɛ)-ap partielles VCP: KneisDet O (1.369 t ) KneisRand O ( t ) Mestre O(n log n + m) 2-AP exaktes partielles VCP: KneisExact: O (3 t ) Beispiel: Cormen und Bar-Yehuda-Even Lösungsalgorithmen Vertex-Cover-Problem 13/18

33 Algorithmen VCP minimales VCP: naiv: O(2 n m) Cormen: O(n + m) 2-AP Monien-Speckenmeyer: O(m n) (2 1 k+1 )-AP k-vcp: Buss (k-vertex Cover): O(kn + 2k k 2k+2 ) gewichtetes VCP: Bar-Yehuda-Even: O(m) 2-AP Halperin: polyomiell (2 ɛ)-ap partielles VCP: KneisDet O (1.369 t ) KneisRand O ( t ) Mestre O(n log n + m) 2-AP exaktes partielles VCP: KneisExact: O (3 t ) Beispiel: Cormen und Bar-Yehuda-Even Lösungsalgorithmen Vertex-Cover-Problem 13/18

34 Algorithmen VCP minimales VCP: naiv: O(2 n m) Cormen: O(n + m) 2-AP Monien-Speckenmeyer: O(m n) (2 1 k+1 )-AP k-vcp: Buss (k-vertex Cover): O(kn + 2k k 2k+2 ) gewichtetes VCP: Bar-Yehuda-Even: O(m) 2-AP Halperin: polyomiell (2 ɛ)-ap partielles VCP: KneisDet O (1.369 t ) KneisRand O ( t ) Mestre O(n log n + m) 2-AP exaktes partielles VCP: KneisExact: O (3 t ) Beispiel: Cormen und Bar-Yehuda-Even Lösungsalgorithmen Vertex-Cover-Problem 13/18

35 Algorithmen VCP minimales VCP: naiv: O(2 n m) Cormen: O(n + m) 2-AP Monien-Speckenmeyer: O(m n) (2 1 k+1 )-AP k-vcp: Buss (k-vertex Cover): O(kn + 2k k 2k+2 ) gewichtetes VCP: Bar-Yehuda-Even: O(m) 2-AP Halperin: polyomiell (2 ɛ)-ap partielles VCP: KneisDet O (1.369 t ) KneisRand O ( t ) Mestre O(n log n + m) 2-AP exaktes partielles VCP: KneisExact: O (3 t ) Beispiel: Cormen und Bar-Yehuda-Even Lösungsalgorithmen Vertex-Cover-Problem 13/18

36 Algorithmen VCP minimales VCP: naiv: O(2 n m) Cormen: O(n + m) 2-AP Monien-Speckenmeyer: O(m n) (2 1 k+1 )-AP k-vcp: Buss (k-vertex Cover): O(kn + 2k k 2k+2 ) gewichtetes VCP: Bar-Yehuda-Even: O(m) 2-AP Halperin: polyomiell (2 ɛ)-ap partielles VCP: KneisDet O (1.369 t ) KneisRand O ( t ) Mestre O(n log n + m) 2-AP exaktes partielles VCP: KneisExact: O (3 t ) Beispiel: Cormen und Bar-Yehuda-Even Lösungsalgorithmen Vertex-Cover-Problem 13/18

37 Cormen (1) 2-Approximation minimales VCP C =, E = E solange wie E!= wähle beliebige Kante {u, v} aus E C = C {u, v} lösche alle in u und v hineingehenden Kanten gib C zurück f c a d b e Lösungsalgorithmen Vertex-Cover-Problem 14/18

38 Cormen (2) d Kante (a, b) C = {a, b} f c e Lösche Kanten (a, b), (a, c), (b, c), (b, e) b a Lösungsalgorithmen Vertex-Cover-Problem 14/18

39 Cormen (2) d Kante (a, b) C = {a, b} f c e Lösche Kanten (a, b), (a, c), (b, c), (b, e) b a Lösungsalgorithmen Vertex-Cover-Problem 14/18

40 Cormen (3) Kante (c, d) d C = {a, b, c, d} Lösche Kanten (c, f ), (c, d), (d, e) f c e Vertex-Cover C berechnet nicht minimal! C = {c, b, e} a b Lösungsalgorithmen Vertex-Cover-Problem 14/18

41 Cormen (3) Kante (c, d) d C = {a, b, c, d} Lösche Kanten (c, f ), (c, d), (d, e) f c e Vertex-Cover C berechnet nicht minimal! C = {c, b, e} a b Lösungsalgorithmen Vertex-Cover-Problem 14/18

42 Bar-Yehuda-Even (1) 2-Approximation d 1 gewichtetes VCP für jede Kante (u, v): d = min{wv (v), w v (u)} wv (u) = w v (u) d wv (v) = w v (v) d f 1 c 4 b 2 e 2 C = {v V w v (v) = 0} a 1 Lösungsalgorithmen Vertex-Cover-Problem 15/18

43 Bar-Yehuda-Even (1) 2-Approximation d 1 gewichtetes VCP für jede Kante (u, v): d = min{wv (v), w v (u)} wv (u) = w v (u) d wv (v) = w v (v) d f 1 c 4 b 2 e 2 C = {v V w v (v) = 0} a 1 Lösungsalgorithmen Vertex-Cover-Problem 15/18

44 Bar-Yehuda-Even (2) d 1 Optimale Lösung: C = {a, b, d, f } Kosten: 5 f 1 c 4 e 2 b 2 a 1 Lösungsalgorithmen Vertex-Cover-Problem 15/18

45 Bar-Yehuda-Even (3) d 1 Kante (a, b) d = 1 f 1 c 4 e 2 neue Gewichte a 0, b 1 b 2 a 1 Lösungsalgorithmen Vertex-Cover-Problem 15/18

46 Bar-Yehuda-Even (3) d 1 Kante (a, b) d = 1 f 1 c 4 e 2 neue Gewichte a 0, b 1 b 1 a 0 Lösungsalgorithmen Vertex-Cover-Problem 15/18

47 Bar-Yehuda-Even (4) d 1 Kante (c, d) d = 1 f 1 c 4 e 2 neue Gewichte c 3, d 0 b 1 a 0 Lösungsalgorithmen Vertex-Cover-Problem 15/18

48 Bar-Yehuda-Even (4) d 0 Kante (c, d) d = 1 f 1 c 3 e 2 neue Gewichte c 3, d 0 b 1 a 0 Lösungsalgorithmen Vertex-Cover-Problem 15/18

49 Bar-Yehuda-Even (5) d 0 Kante (b, e) d = 1 f 1 c 3 e 2 neue Gewichte b 0, e 1 b 1 a 0 Lösungsalgorithmen Vertex-Cover-Problem 15/18

50 Bar-Yehuda-Even (5) d 0 Kante (b, e) d = 1 f 1 c 3 e 1 neue Gewichte b 0, e 1 b 0 a 0 Lösungsalgorithmen Vertex-Cover-Problem 15/18

51 Bar-Yehuda-Even (6) d 0 Kante (f, c) d = 1 f 1 c 3 e 1 neue Gewichte f 0, c 2 b 0 a 0 Lösungsalgorithmen Vertex-Cover-Problem 15/18

52 Bar-Yehuda-Even (6) d 0 Kante (f, c) d = 1 f 0 c 2 e 1 neue Gewichte f 0, c 2 b 0 a 0 Lösungsalgorithmen Vertex-Cover-Problem 15/18

53 Bar-Yehuda-Even (7) Kanten (a, c), (b, c), (d, e) d = 0 d 0 keine Änderungen an den Gewichten f 0 c 2 e 1 gewichtetes VC: C = {a, b, d, f } b 0 optimal, aber nicht die Regel a 0 Lösungsalgorithmen Vertex-Cover-Problem 15/18

54 Algorithmen SCP Johnson: polyomiell log m -AP gewichtetes SCP: Bar-Yehuda-Even SC: O( i Z mit x max { {i u V i} } u U Yung: polynomiell ln m-ap V i ) x-ap Lösungsalgorithmen Set-Cover-Problem 16/18

55 Fazit verschiedene Problemvarianten Approximationen der gewichteten / ungewichteten Varianten gut partielles VCP schlecht SCP schlecht kleiner Einstieg in die Problematik Auswertung/Fazit 17/18

56 Fragen? cover vertex algorithmus knoten algorithmen graphen laufzeit kanten betrachtet problems function menge beschrieben graph covers return approximationsalgorithmen minimales muss kapitel lösen genauigkeit optimierungsproblem algorithms teilmengen überdeckt folgt netzwerke approximation verschiedene gewichtete partielles varianten abbildung grösse yehuda heisst baum polynomieller mvcp even gewichteten eingabe minimale algorithm ergibt while abschnitt anschliessend bestimmt clique angriff band then zeile benutzt graphs johnson with kante approximationsalgorithmus ieee lösungen gewichtetes partiellen vertexcover olhy knlr optimale angriffe vergleiche halperin problemvarianten formulierung reduktion beweis vertices independent angriffen erfüllt clrs lineares aufgeführten from hinzugefügt setcover byev relaxation grad anzahl maximal young buss dargestellt beschriebene gvcp genannten Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit. Auswertung/Fazit 18/18

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