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1 1 Arbeit und Energie Von Arbeit sprechen wir, wenn eine Kraft ~ F auf einen Körper entlang eines Weges ~s einwirkt und dadurch der "Energieinhalt" des Körpers verändert wird. Die Arbeit ist de niert als das Skalarprodukt von Kraft und Weg W 1!2 = ~ F ~s = P 2 Z P 1 ~ F d~r: (1) Beispiel für die Berechnung eines Wegintegrals: Eine Kraft die senkrecht zur Bahn des Körpers wirkt, vermag den Betrag der Geschwindigkeit des Körpers nicht zu verändern und leistet deshalb keine Arbeit an dem Körper. Arbeit und Energie werden in gleichen Einheiten gemessen, im SI System ist dies das Joule 1 J = 1 Nm = 1 kg m2 s 2 (2)

2 2 Konservative Kraftfelder Hängt die Arbeit gemäß(1) im Kraftfeld ~ F nur von der Lage der Punkte P 1 und P 2 ab, nicht aber von dem Weg der zwischen diesen Punkten zurückgelegt wird, so verschwindet auf jedem geschlossenen Weg die resultierende Arbeit I ~F d~r = 0; (3). Ein solches Kraftfeld heißt konservativ. Die Bedeutung konservativer Kraftfelder liegt darin, dass sie die mechanische Energie eines Körpers, der sich darin bewegt erhalten, d.h. die Summe von potentieller und kinetischer Energie ist konstant E kin + E pot = 1 2 m2 + E pot = konstant. (4) Wichtige konservative Kräfte: alle Zentralkräfte wie beispielsweise Gravitationskraft, Coulombkraft, Federkraft sowie alle elastischen Kräfte

3 Beispiel: konstantes Kraftfeld ~ F (~r) = m~g Gegenbeispiel: ~ F (x; y) = p y ~ex Notwendige Bedingungen für konservative Kräfte: Die Kraft darf nur eine Funktion des Ortes sein Sie muss am gleichen Ort zeitlich konstant sein. Sie darf nicht vom Bewegungszustand des Körpers, etwa seiner Geschwindigkeit, abhängen. Diese Forderung schließt insbesondere Reibungskräfte aus. Dies sind notwendige, aber keine hinreichenden Bedingungen für ein konservatives Kraftfeld. Gegenbeispiel: ~ F (~r) = (y; x),

4 Für nichtkonservative Kräfte (z.b. die Reibungskraft, sowie alle zeitabhängigen Kräfte) ist die Summe der mechanischen Energie nicht unbedingt konstant. Die Gesamtenergie einschließlich der thermischen, elektrischen, atomaren, nuklearen, etc. Energien, bleibt in einem abgeschlossenen System immer konstant. Dies ist eine grundlegende Erfahrungstatsache. 3 Das Potential In einem konservativen Kraftfeld ~ F kann man einen Referenzpunkt P 0 wählen und jeden anderen Punkt P 1 durch die Arbeit charakterisieren, die man aufbringen muss, um ihn gegen die Kraft ~ F, von P 0 dorthin zu bringen E pot (P 1 ) = P 1 Z P 0 ~ F d~r: (5)

5 Mit E pot (~r) ordnet man jedem Punkt im Raum eine skalare Größe, das Potential, zu (lat.: potentialis, von potentia Macht, Kraft, Leistung). Es handelt sich also um ein Skalarfeld, d.h. einer skalaren Funktion des Ortes. Die Wahl des Refernzpunktes P 0 ist dabei ebenso willkürlich wie die Festlegung des dortigen Potentials. Von Bedeutung ist lediglich die Di erenz der so de nierten potentiellen Energie zwischen einem Anfangspunkt P 1 und einem Endpunkt P 2 E pot (P 1 ) E pot (P 2 ) = = P 2 Z P 1 Z P 0 ~ F d~r + P 2 Z P 0 ~ F d~r(6) P 1 ~ F d~r = W1!2 (7) sie ist gleich der vom Kraftfeld geleisteten Arbeit. Das Potential eines Kraftfeldes lässt sich leicht veranschaulichen, wenn man Punkte gleichen Potentials durch

6 eine Linie verbindet. Diese Linien werden als Äquipotentiallinien bezeichnet. Die Höhenlinien auf einer topographischen Karte sind die Äquipotentiallinien der potentiellen Energie im Schwerefeld der Erde. In Umkehrung von (5) lässt sich jedes konservative Kraftfeld als Ableitung eines Potentials gewinnen: Im eindimensionalen Fall E pot = E pot (x), lautet dies de pot(x) F x = dx während im dreidimensionalen Fall E pot = E pot (x; y; z) die jeweilige Änderung von E pot in Richtung der verschiedenen Koordinatenachsen zu berücksichtigen ist ~F (x; y; z) = 0 B x E pot(x; y; z) y E pot(x; y; z) z E pot(x; y; z) 1 C A (8) = grad E pot (x; y; z) (9) = ~ repot (x; y; z): (10)

7 Der Klammerausdruck in (8) heisst Gradient der Funktion E pot und zeigt in die Richtung, in der E pot am stärksten wächst und sein Betrag ist proportional zur Steilheit mit der E pot wächst. Die Kraft hingegen besitzt das negative Vorzeichen und ist deshalb immer entgegengesetzt, in Richtung der steilsten Abnahme von E pot, gerichtet. Sie steht immer senkrecht auf den Äquipotentiallinien (im zweidimensionalen Fall), bzw. auf den Äquipotential ächen (im dreidimensionalen Fall). Die ist einleuchtend, da die Ableitung des Potentials entlang einer Äquipotentiallinie immer Null ist und daher der Kraftvektor keine Komponente in dieser Richtung besitzen kann. Beispiel: Äquipotentiallinien und Kraft für E pot (x; y) = q x 2 + y 2

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