5) Impuls und Energie

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1 5) Impuls und Energie 5.) Arbeit und Energie 5.) Energieerhaltung 5.3) Impuls und Impulserhaltung 5.4) Stöße

2 5.) Arbeit und Energie 5..) Arbeit 5..) Arbeit bei konseratien Kräften 5..3) Zusammenhang Potential potentielle Energie 5..4) Leistung

3 5..) Arbeit Definition on Arbeit: W = dw = - F() d Zugkraft Speialfälle (F = const): y Kraft F ist parallel um Weg ( F ) W = - F F = -mg a y = -g Kraft F ist senkrecht um Weg ( F ) W = F = -mg a = keine Zugkraft nötig Kraft F (= Schwerkraft) parallel ur Bewegungsrichtung y es kostet Arbeit, Wagen nach oben u iehen Kraft F (= Schwerkraft) senkrecht ur Bewegungsrichtung es kostet KEINE Arbeit, Wagen nach rechts u iehen (Reibung ernachlässigen)

4 5..) Arbeit Arbeit W = Integral aus Produkt on Kraft und Weg, wenn ein Körper om Ort = (, y, ) um Ort = (, y, ) entlang eines Weges unter Aufwendung der ortsabhängigen Kraft F() bewegt wird. d d F() F() dw = -F()d Arbeit die bei urücklegen des Wegstückchens d geleistet wurde Arbeit ist Skalar mit Einheit Joule: J = Nm

5 5..) Arbeit F d α Weg d F α r Weg

6 5..) Arbeit Arbeit hängt on der Richtung des Weges und der Kraft ab! Beispiel: Gewicht der Masse m soll bewegt werden auf das Gewicht wirkt die Gewichtskraft F G = mg in negatie -Richtung. Diese Kraft hängt nicht (!) om Ort ab. Fall : Gewicht wird auf einem Weg senkrecht um Boden bewegt (Wir wissen, dass Gewichtskraft entgegen Bewegungsrichtung wirkt; wenn man Körper frei lassen würde, würde er im freien Fall u Boden fallen) Skalarprodukt wischen wei Vektoren F parallel d d F = -mg W = - = - F() d d - F () d = - F () d F () d = F () =, F () = - mg ( mg) d = mg d = mg( - ) = m g F F =, F = F () d

7 5..) Arbeit W = - F() d = m g Δ F parallel d d F = -mg Arbeit um ein Gewicht mit Masse m um Höhe = h u heben: W = m g h

8 5..) Arbeit Fall : Gewicht wird auf Weg parallel um Boden bewegt (Vernachlässigung der Reibung) Skalarprodukt wischen wei Vektoren F und d stehen senkrecht aufeinander d F = -mg W = - = - F() d d - F () d = - F () d F () d = F () =, F () = - mg F () d ( mg) d = mg d = mg( - ) = m g = F hängt hier nicht om Ort ab F d es folgt direkt: W = (Skalarprodukt weier senkrechter Vektoren ist Null) Arbeit um ein Gewicht mit Masse m um Strecke u erschieben: W = Arbeit findet nur statt, wenn Kraft parallel um Weg eigt (bw. Kraft muss in Komponente parallel und senkrecht um Weg erlegt werden)

9 Fall 3: Gewicht wird auf schiefer Ebene hochgeogen (Vernachlässigung der Reibung) r d α d d F = -mg r: Koordinate in Bewegungsrichtung d = cos(α)dr d = sin(α)dr d = dr 5..) Arbeit W = - = - = - F() d r r F () cos( α) dr r r r cos( α) dr = mg sin ( α) F () d = F () d r F () =, F () = - mg r ( mg) = - F () sin ( α) dr sin ( α) dr ( r r ) = mg sin ( α) r r F () d = mg sin ( α) Wird Gewicht der Masse m auf schiefer Ebene mit Neigungswinkel α um Strecke r entlang Ebene bewegt, so ist geleistete Arbeit W = mgsin(α) r r = / sin(α) W = mg für Arbeit ist nur parallel ur Kraft urückgelegter Weganteil entscheidend r r F () d dr

10 Versuch: Heben eines Gewichtes parallel ur Schwerkraft kostet Arbeit Schieben eines Gewichtes senkrecht ur Schwerkraft kostet keine Arbeit (unter Vernachlässigung der Reibung)

11 5..) Arbeit Beispiel: Hand die Masse nach oben bewegt (Hand hält Masse fest) F H F H m F G Massepunkt m wird senkrecht ur Erdoberfläche (-Koordinate) bewegt. Auf die Masse m wirken dabei Kräfte: F H = Kraft die Hand auf Masse ausübt, damit diese bewegt wird F G = Gewichtskraft der Masse F G = - mg = Auslenkung der Masse = Auslenkung der Hand H F H = -F H = Kraft, die Masse auf Hand ausübt (actio = reaction)

12 5..) Arbeit (t) = H (t) = = t ; F H (t) = mg = const; F H () = mg = const;

13 5..) Arbeit Beispiel: Hand die Hammer auf Erde hin und her schüttelt (gl. clicker-aufgabe Kap 3..) F H m F G Massepunkt m (Hammer) wird senkrecht ur Erdoberfläche (- Koordinate) hin- und her-bewegt. F H = Kraft die Hand auf Hammer ausübt, damit dieser hin- und herbewegt wird F G = Gewichtskraft des Hammers F G = - mg Erde: g 9,8 N/kg; Spacestation g = = Auslenkung des Hammers F H = -F H = Kraft die Hammer auf Hand ausübt

14 5..) Arbeit (t) = H (t) = sin(ωt); F H (t) = mg -mω sin(ωt); F H () = mg -mω ; (t) + mg+mω mg ωt π - π mg-mω F H (t) π π ωt mg+mω mg - mg-mω F H () +

15 5..) Arbeit y = l(y) ϕ -y > F F y, F F

16 F y = +ksin(ϕ) l(y) 5..) Arbeit + rücktreibende Kraft entgegen der Auslenkungsrichtung (aufgrund des hier gewählten Koordinatensystems) Federn k Federkonstante sin(ϕ) Es interessiert nicht Kraft parallel ur Feder, sondern in Richtung der y-richtung l Hookesches Geset: Kraft proportional ur Auslenkung l(y) ϕ y = Voreichen richtig! Kraft entgegen der Auslenkung -y >

17 5..) Arbeit Arbeit bei Weg on einem Ort um anderen hängt im Allgemeinen om gewählten Weg ab Beispiel: es wirke fiktie Kraft F immer parallel um Weg (.B. Reibungskraft). Dann wäre Arbeit W proportional um urückgelegten Weg r. Zwischen wei Punkten sind aber iele erschiedene Wege möglich, d.h. für jeden der gewählten Wege mit Länge r würde eine andere Arbeit benötigt werden: Es gelte für eine fiktie Reibungskraft : F() d und F() = F = const. Dann gilt : W = - F() d d = d = - dr d Weg d Weg + d F() = dr d = - F d d F() Weg 3 = - F dr = Fr Länge r on Weg ist kürer als Länge r on Weg, d.h. geleistete Arbeit beim Weg on Punkt nach Punkt ist bei Weg kleiner als bei Weg

18 5..) Arbeit

19 5..) Arbeit bei konseratien Kräften (entnommen aus:

20 5..) Arbeit bei konseratien Kräften

21 5..) Arbeit bei konseratien Kräften Weg P Auf allen geeigten Wegen wird Arbeit W = mgh benötigt, um Gewicht on Punkt P auf Punkt P u bewegen: nur für Bewegungsabschnitte parallel ur -Achse wird Arbeit geleistet, für Bewegungsabschnitte parallel ur -Achse wird (Reibung ernachlässigt, nicht in Graitation enthalten!) keine Arbeit errichtet P Weg Weg 3 F = -mg = - = h

22 5..) Arbeit bei konseratien Kräften

23 5..) Arbeit bei konseratien Kräften Bewegung entlang Äquipotentiallinien: es wird KEINE Arbeit errichtet, da Kraft um Mittelpunkt eigt, und daher senkrecht auf Bewegungsrichtung eigt. y Arbeit entlang Weg ist identisch u Arbeit entlang Weg Bewegung senkrecht u Äquipotentiallininen: es wird Arbeit errichtet, da Kraft parallel ur Bewegung. m Jeder Weg kann aus Wegstücken parallel und senkrecht u den Äquipotentiallinien usammengesett werden Arbeit hängt NUR om Anfangs und Endpunkt, NICHT om Weg ab! Trick: bei konseratien Kräften kann man immer um Ausrechnen on Arbeit den EINFACHSTEN Weg aussuchen, da Arbeit nicht on gewähltem Weg abhängt

24 5..3) Zusammenhang Potential potentielle Energie E pot F(r) = c grad( ϕ(r)) (r) = E pot r F(r)dr (r) = c ϕ(r) ϕ(r) = c r F(r)dr

25 5..) Arbeit bei konseratien Kräften Beispiel: Arbeit um eine bewegliche Masse m im Graitationsfeld einer festen Masse m on P nach P u erschieben: W r r = Fdr = γ m m r r dr r = γ m m r r r Weg B m m r P P Weg A D.h., die Arbeit um m on P nach P u erschieben hängt nur on den Beträgen r und r ab, aber nicht om Weg. Jeder beliebige Weg S im Zentralpotential lässt sich aus kleinen Wegstücken ds in radialer bw. tangentialer Richtung usammenseten jedes beliebige Massenerteilung lässt sich wegen der Additiität der Graitationskraft aus Feldern on Punkmassen usammensetten. Das Potential ϕ(r ) = c F(r) dr am Ort r ist unabhängig daon, auf welchem Weg man on nach r gelangt ist. r

26 Arbeit und potentialle Energie bei Zentralkräften: Aus der Wegunabhängigkeit des elektrischen Potentials folgt unmittelbar: Der Kreis im Integral bedeutet dabei, daß das (Linien-) Integral entlang einer geschlossenen Kure C, d.h. einer Kure, die wieder u ihrem Ausgangspunkt urückkehrt, berechnet wird. Diese Gleichung gilt für beliebige geschlossene Kuren C- Man sagt auch: Die Zirkulation des elektrischen Feldes ist null, oder das elektrische Feld ist wirbelfrei. Hinweis: Der Begriff Zirkulation stammt aus der Strömungslehre. Unter der Zirkulation einer Strömung ersteht man: Mathematisch kann man die Zirkulation nicht nur entlang einer geschlossenen Kure berechnen, sondern auch an einem beliebigen Punkt. Man spricht dann on der Rotation : dr F(r) C = r d F = = = y F F F F F y F F F F y F rot F y y y C 5..) Arbeit bei konseratien Kräften m

27 5..3) Zusammenhang Potential potentielle Energie (entnommen aus: Potential (Physik) Wikipedia)

28 5..3) Zusammenhang Potential potentielle Energie Kraft F(r) F = c E Feld E(r) E pot (r) = - r d F(r) = - E dr F(r) dr pot (r) ϕ(r) = - r E(r) dr d E(r) = - ϕ(r) dr potentielle Energie E pot (r) E pot (r) = c ϕ(r) Potential ϕ( r)

29 5..4) Leistung Definition Leistung P: P = dw/dt Leistung = Arbeit pro Zeit wenn dieselbe Arbeit in der doppelten Zeit errichtet wurde, dann war Leistung nur die Hälfte Einheit der Leistung ist das Watt: W = J/s Beispiele für Leistungsangaben: Leistung eines Autos: PS (Pferdestärke) = 736 W Leistung einer Glühbirne: 7 W - W Speialfall: W = const P = W/t

30 5.) Energieerhaltung 5..) Formen on Energie 5..) Potentielle und kinetische Energie 5..3) Umwandlung kinetische potentielle Energie 5..4) Potentiallandschaften

31 5..) Formen on Energie Es gibt erschiedene Formen on Energie (alle haben gleiche Einheit Joule): - mechanische Energie (Arbeit) W (gl. Kap. 5..) - elektrische Energie - Wärme Q - chemische Energie - kinetische Energie eines Massepunktes - potentielle Energie eines Massepunktes etc. Energien können ineinander umgewandelt werden (. Hauptsat; aber. HS berücksichtigen! Wärme kann.b. nicht ohne Einschränkung in Arbeit umgewandelt werden). Es geht keine Energie erloren! (gl. 5.) Beispiele für Energieumwandlung: Elektromotor: elektrische Energie mechanische Energie Wasserkraftwerk, Dynamo: mechanische Energie elektrische Energie Herdplatte, Glühbirne: elektrische Energie Wärme Kohlekraftwerk: chemische Energie Wärme elektrische E. Kernkraftwerk: (Masse Wärme elektrische E.) (E = mc gl. Kap. )

32 5..) Formen on Energie Die Gesamtenergie E eines geschlossenen Systems ist eine Erhaltungsgröße E = const. ( de/dt =, d E/dt =,...) Die Gesamtenergie eines Systems kann sich aus erschiedenen Arten on Energie usammenseten,.b. kinetischer Energie, potentieller Energie, Wärme, etc. E = E kin + E pot + Q +... Es kann Energie der einen Art in eine andere Art gewandelt werden,.b. kinetische Energie in potentielle Energie. Die Gesamtenergie bleibt konstant, aber nicht die Teilenergien..B. ist die kinetische Energie im Allgemeinen keine Erhaltungsgröße! Erhalten ist nur die Gesamtenergie! (gl. auch. +. Hauptsat der der Thermodynamik)

33 5..) Potentielle und kinetische Energie Beispiel Feder: Feder mit der Federkonstante k (gl. 3..) wird um Strecke ausgeogen. Dau ist nach Hooke schem Geset die Kraft F = -k k = Federkonstante; = Auslenkung der Feder Dau ist nach Kap. 5.. die mechanische Arbeit W = ½k nötig: W = - = - F() d (-k ) d = k (rücktreibenden Kraft F() = - k wirkt entgegen der Zugrichtung) (Kraft und Zugrichtung sind (anti-) parallelin - Richtung) d = k = k [ ] = k ( ) = k Diese Energie ist nun "in der Feder gespeichert", die Feder hat potentielle Energie! Diese Energie kann durch Loslassen der Feder wieder freigesett werden: Wenn Feder aus ihrer gestreckter Position losgelassen wird schnallt sie urück. Dabei wird potentielle Energie in Bewegungsenergie (= kinetische Energie) umgewandelt potentielle Energie einer gespannten Feder: W = ½k

34 5..) Potentielle und kinetische Energie Feder in Ruhelage hat keine Energie F Es wird an Feder geogen; Feder wird dabei ausgedehnt. Nach dem Hookeschen Geset wirkt dabei rücktreibende Kraft proportional ur Auslenkung auf Feder: F=-k Beim Ausiehen der Feder wurde Arbeit W = ½k > geleistet. Diese Arbeit ist nun als potentielle Energie in Feder "gespeichert": E pot = ½k Lässt man Feder los, schnellt sie urück. Potentielle Energie wird in Bewegungsenergie (= kinetische Energie) umgewandelt. wenn Feder in Ausgangslage urückkehrt ist sie nicht in Ruhe, sondern hat eine Geschwindigkeit

35 durch mechanische Arbeit (.B. Spannen einer Feder) kann in einem System potentielle Energie E pot gespeichert werden. Diese läßt sich als kinetische Energie ½m m freiseten (gl. Kap. 5.) E pot = ½m m m = E pot /m m = (E pot /m ) / m = maimale Geschwindigkeit der Kugel kleine Kugel bekommt (bei selber in Feder gespeicherter Energie) eine höhere Maimalgeschwindigkeit (wenn Gewicht fest an Feder gekoppelt wäre, dann würde es um Ruhelage hin-und-herschwingen und dabei laufend potentielle in kinetische Energie (und umgekehrt) umwandeln

36 5..) Potentielle und kinetische Energie Anderer Aufbau: Masse auf Feder legen. Wie groß ist gespeicherte potentielle Energie? entspannte Feder durch Gewicht gestauchte Feder Kräfte auf Feder auf der Gewicht liegt: Gewichtskraft F G = mg in positie -Richtung Rücktreibende Kraft F H = -k in negatie - Richtung (Hookesches Geset) Gesamtkraft F = F G + F H = mg - k Im Gleichgewicht kann Gewicht die Feder um F H Strecke = nach unten drücken, bis F G rücktreibende Kraft nach oben genauso groß wie Gewichtskraft nach unten ist im Gleichgewicht gilt F = = mg - k = mg/k Wie iel mechanische Arbeit W wird errichtet wenn Feder on = nach = nach unten gedrückt wird? W = - F()d = - (mg - k)d = mg k mg mg m g m g = mg( ) + k( ) = + = k k k k = mg k( ) + m g k = k( )

37 Potentielle Energie wird ollständig in kinetische Energie umgewandelt: ½m g /k = ½M m m = m g /Mk m = (m g /Mk) / (maimale Geschwindigkeit der Kugel) Wird Feder durch großes Gewicht m gespannt, bekommt Kugel M höhere Maimalgeschwindigkeit! 5..) Potentielle und kinetische Energie Arbeit W beim Eindrücken der Feder durch Auflegen der Masse m: W = - ½k( ) (negaties Voreichen, weil Energie "gespeichert wird"; Gewicht ist durch Schwerkraft "freiwillig" nach unten gefallen) Feder wird hier nur durch Gewichtskraft gestaucht. Gestauchte Feder wird arretiert, Masse m entfernt. Nach Drücken (und Arretierung!) der Feder hat diese die potentielle Energie E pot = ½k( ) = ½m g /k (gl. Seite orher!) Je größer die Masse bei Stauchen der Feder war, umso höher potentielle Energie Achtung: die potentielle Energie kann erst freigesett werden, wenn die Masse die um Stauchen erwendet wurde wieder entfernt wird. Solange Orginalmasse m auf Feder liegt, wird diese durch Schwerkraft gestaucht; Trick: Feder wird durch Auflegen on Masse m gestaucht, dann arretiert, Masse m kann entfernt werden, und potentielle Energie ist gespeichert (wegen Arretierung der Feder) Nun: auf arretierte Feder Kugel der Masse M legen, und Arretierung lösen Wie groß ist maimale Geschwindigkeit der Kugel nach Loslassen der Feder?

38 Beispiel Heben und Fallen einer Kugel: Kugel der Masse m on Boden ( = ) auf Höhe = h heben. Dau ist nach Kap. 5.. die mechanische Arbeit W = mgh nötig (g = Graitationskonstante); Diese Energie ist nun "in Kugel gespeichert", die Kugel hat potentielle Energie! Diese Energie kann durch Loslassen der Kugel freigesett werden: Wenn Kugel auf Höhe h gehoben wurde kann sie on dort herunterfallen. Dabei wird potentielle Energie in Bewegungsenergie (= kinetische Energie) umgewandelt h..) Potentielle und kinetische Energie F Kugel liegt auf Boden Kugel wird mit Kraft auf Höhe h gehoben. Die Kraft muss dabei die Schwerkraft F = -mg überwinden. Die geleistete Arbeit um Heben der Kugel ist W = mgh Kugel hat nun diese Energie "gespeichert": E pot = mgh Wird Kugel losgelassen, fällt sie nach unten auf Boden urück. Dabei wird die potentielle Energie in Bewegungsenergie (= kinetische Energie) umgewandelt Kugel kommt auf Boden nicht in Ruhe sondern mit Geschwindigkeit an (Test: Finger drunter halten... tut weh")

39 5..) Potentielle und kinetische Energie Wird an System mechanische Arbeit geleistet (.B. Ziehen an Feder, Heben on Gewicht), kann geleistete Arbeit als potentielle Energie gespeichert werden. Energie kann später "beim Loslassen" (Ungleichgewichtsustand) in Bewegungsenergie (= kinetische Energie) umgewandelt werden. Kugel mit Masse m um Höhe h heben um Heben war Arbeit W = mgh nötig, die nun als potentielle Energie "gespeichert ist. Fällt Kugel, wird die potentielle Energie in kinetische Energie umgewandelt. Wie groß ist Geschwindigkeit der Kugel wenn sie wieder auf Boden trifft (Strecke h nach unten gefallen ist)?

40 5..) Potentielle und kinetische Energie Aus Kap. 4.3: fallende Kugel = geradlinige gleichmäßig beschleunigte Bewegung (a = -g); entspricht freier Fall: (t) = -½gt + t + = h -½gt (t) = -gt + = -gt =, Kugel ist beim Loslassen in Ruhe und auf Höhe = h t = -/g Beim Fallen auf Boden urückgelegte Strecke (ur Zeit t' treffe Kugel auf Boden auf): (t') = = h - ½gt' h = ½gt' = ½g(-/g) = ½g /g = ½ /g gh = ½ mgh = ½m E pot = mgh, E kin = ½m Nach Fallen der Höhe h wurde die potentielle Energie der Kugel mgh in die kinetische Energie ½m umgewandelt: Kugel kommt mit Geschwindigkeit auf Boden an

41 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ( ) ( ) kin kin i yi i i i y y y y y y ) (t ) (t ) (t ) (t t t t t ) (t ) (t ) (t ) (t ) (t ) (t E E - m m,) (i mit m - m - m - -m d d d -m d d d -m d -m d -m d dt d -m dt dt d dt d -m dt dt d dt d -m d dt d -m d a m dt d a und ma F mit d F() W Arbeit Wnötig : Dauist y y y y y y = = = + + = = = = + + = + + = + + = = = = = = = = = = = = Beispiel Beschleunigung einer Kugel der Masse on Geschwindigkeit auf : Zeitpunkt t : Zeitpunkt t : 5..) Potentielle und kinetische Energie

42 5..) Potentielle und kinetische Energie potentielle Energie beim Heben einer Masse um Höhe h: E pot = mgh kinetische Energie einer mit Geschwindigkeit bewegten Masse m: E kin = ½m Dies ist die allgemeine Definition der kinetischen Energie keine Bewegung ( = ) kinetische Energie =

43 5..) Potentielle und kinetische Energie Beispiel: Wie groß ist die Bewegungsenergie eines Autos der Masse m= kg bei einer Geschwindigkeit on = km/h (in Joule)? Bewegungsenergie = kinetische Energie: E kin = ½m = ½kg (km/h) = ½kg (km/h) = 5kg ( m/ (66s) ) = 5kg (m/36s ) 5kg (7,8 m/s ) 5kg 77m /s 386 kgm /s = 386 Nm = 386 J = 386 kj

44 5..3) Umwandlung kinetische potentielle Energie Beispiel für Energieerhaltung: Springender Ball h h ma am Boden: nur kinetische Energie ½m in maimaler Höhe: nur potentielle Energie mgh t Bei jedem Stoß erliert Ball etwas kinetische Energie die in Wärme / Deformationsenergie gewandelt wird Gesamtenergie = kinetische Energie + potentielle Energie + Wärme/Reibungsenergie/Deformationsenergie... Erhalten ist die Gesamtenergie! Dies gilt IMMER kinetische Energie i.a. NICHT erhalten! Falls Reibung etc. ernachlässigt wird, ist oft Summe aus kinetische und potentieller Energie erhalten

45 5..3) Umwandlung kinetische potentielle Energie Ball wird aus Höhe h = h ma mit Anfangsgeschwindigkeit = auf Boden fallen gelassen. Ball hat in Höhe h ma potentielle Energie E pot = mgh ma und kinetische Energie E kin = ½m =, also Gesamtenergie E = E pot + E kin = mgh ma + = mgh ma Ball fällt nun im freien Fall (gl. 4.3) wegen Schwerkraft nach unten. Dabei erliert der Ball laufend an Höhe, d.h. an potentieller Energie E pot = mgh. Dafür nimmt Geschwindigkeit u (linear mit Zeit). Am Boden angekommen h = hat Körper keine potentielle Energie mehr E pot = mg =, dafür hat er maimale Geschwindigkeit ma (da Geschwindigkeit beim Fall permanent gewachsen ist) und damit die kinetische Energie E kin = ½m ma. Die Gesamtenergie des Körpers bei Auftreffen auf Boden ist damit E = E pot + E kin = + ½m ma Es gilt Energieerhaltung: Energie in maimaler Höhe ist gleich wie Energie auf Boden, d.h. mgh ma = ½m ma ma = (gh ma ) /. Es wurde beim Fall also potentielle Energie komplett in kinetische Energie gewandelt. Gesamtenergie bleibt dabei erhalten Auf Boden wird Ball reflektiert (elastischer Stoß, gl. Kap. 5.4). Dabei bleibt der Betrag der Geschwindigkeit erhalten, nur die Richtung der Geschwindigkeit dreht sich um (orher ist der Ball nach unten gefallen, jett steigt er nach oben)

46 5..3) Umwandlung kinetische potentielle Energie Ball steigt nun mit Anfangsgeschwindigkeit ma nach oben entgegen der Schwerkraft. Dabei nimmt die Höhe h und damit die potentielle Energie mgh laufend u. Die Geschwindigkeit nimmt dagegen ab, solange bis der Ball auf maimaler Höhe angekommen ist. Dort ist die Geschwindigkeit =, d.h. beim Steigen des Balls wurde die komplette kinetische Energie in potentielle Energie gewandelt nun fällt der Ball wieder nach unten, d.h. potentielle Energie wird in kinetische gewandelt, u.s.w. Die Steighöhe des Balls nimmt aber im Verlauf der Zeit ab, d.h. der Ball steigt immer weniger. Warum? Bei Stoß des Balls auf Boden geht in Realität kinetische Energie erloren ( inelastischer Stoß, gl. Kap. 5.4). Der Ball wird bei Aufprall deformiert und dabei entsteht Wärme Q. Dieser Energiebetrag (Wärme) fehlt jett in der kinetischen Energie, d.h. die Geschwindigkeit ma wird erringert. Der Ball steigt also mit geringerer Geschwindigkeit nach oben, kommt also nur noch auf geringere Höhe. Die Energie bleibt dabei immer erhalten. E = E pot + E kin + Q. Mit dem Laufe der Zeit entsteht immer mehr Wärme und der Teil der Energie der yklisch wischen potentieller und kinetischer Energie wechselt wird kleiner

47 5..3) Umwandlung kinetische potentielle Energie Ein Ball mit der Masse kg fällt mit m/s auf den Fußboden. Es gibt keine Deformation des Balles / Fußbodens. Wie hoch springt der Ball maimal (Abschätung!) 5% 5% 5% 5%.,5 m.,5 m 3., m 4., m

48 5..3) Umwandlung kinetische potentielle Energie bei Auftreffen am Boden: nur kinetische Energie (Höhe h =!) E kin = ½ m nach Refleion and Boden, wenn Ball auf maimaler Höhe ist (Geschwindigkeit = ): nur potentielle Energie E pot = mgh Energieerhaltung: alle kinetische Energie beim Auftreffen wird in potentielle Energie bei maimaler Höhe umgewandelt: E kin = E pot ½ m = mgh h = ½ /g =.5 (m/s) / m/s =.5 m

49 5..3) Umwandlung kinetische potentielle Energie Ein Ball mit der Masse kg fällt mit m/s auf den Fußboden. Es gibt keine Deformation des Balles / Fußbodens. Wie hoch springt der Ball maimal (Abschätung!). niedriger als Ball mit kg. gleich wie Ball mit kg 3. höher als Ball mit kg 96% % 4%.. 3.

50 5..3) Umwandlung kinetische potentielle Energie bei Auftreffen am Boden: nur kinetische Energie (Höhe h =!) E kin = ½ m nach Refleion am Boden, wenn Ball auf maimaler Höhe ist (Geschwindigkeit = ): nur potentielle Energie E pot = mgh Energieerhaltung: alle kinetische Energie beim Auftreffen wird in potentielle Energie bei maimaler Höhe umgewandelt: E kin = E pot ½ m = mgh h = ½ /g Masse kürt sich raus!!! Sprunghöhe hängt nicht on Masse ab!

51 5..3) Umwandlung kinetische potentielle Energie Beispiel für yklische Umwandlung on potentielle Energie in kinetische Energie: Konstruktion on Escher: Am Wasserfall wird potentielle Energie in kinetische Energie gewandelt: Wassermoleküle fallen aus Höhe h herunter und gewinnen dabei an Geschwindigkeit in Rinne wird kinetische Energie in potentielle Energie gewandelt: Wassermoleküle fließen durch ihre Anfangsgeschwindigkeit entgegen der Schwerkraft die Rinne nach oben. Dabei nimmt die Höhe laufend u und die kinetische Energie (Geschwindigkeit) ab. Oben angekommen fallen die Wassermoleküle wieder den Wasserfall hinunter, etc. Würde dieses System für immer laufen wäre dies ein perpetuum mobile in welchem yklische kinetische und potentielle Energie ineinander umgewandelt werden. Dies funktioniert aber nicht, da ein Teil der kinetischen Energie immer als Reibungsenergie / Deformationsenergie / Wärme erloren geht.

52 5..3) Umwandlung kinetische potentielle Energie ausgelenktes Pendel hat potentielle Energie E pot = mgh h = Höhe der ausgelenkten Kugel Kugel loslassen potentielle Energie wird in kinetische Energie umgewandelt Kugel schwingt on linker Seite nach rechte Seite. Auf rechter Seite wird Kugel wieder bis ur Höhe h ausgelenkt. Bei maimaler Auslenkung ist alle kinetische Energie in potentielle Energie gewandelt Kugel schwingt wieder on rechts nach links. Wegen Energieerhaltung kann Kugel nie mehr als auf Höhe h steigen, da die maimale Energie E pot = mgh ist Kugel pendelt periodisch on hin und her. An Auslenkungspunkten ist jeweils potentielle Energie maimal und kinetische Energie (=), am Mittelpunkt ist potentielle Energie und kinetische Energie maimal Wegen Reibung wird Auslenkungshöhe mit Zeit abnehmen, d.h. es geht potentielle/kinetische Energie als Reibungsenergie "erloren"

53 5..3) Umwandlung kinetische potentielle Energie An Ausgangsposition auf Höhe h hat Kugel maimale potentielle Energie E pot = mgh (m = Masse der Kugel) am Boden ist alle potentielle Energie in kinetische Energie E kin = ½m maimal umgewandelt mgh = ½m m gh = m m = (gh) / h Die Maimalgeschwindigkeit hängt on der Starthöhe, aber nicht on der Masse der Kugel an, d.h. nur die Starthöhe entscheidet ob Kugel genügend Geschwindigkeit hat um Looping u durchlaufen

54 5..3) Umwandlung kinetische potentielle Energie Beispiel: Achterbahn Auf einer Achterbahn bewegt sich ein Wagen (Gesamtmasse: m = 7 kg) mit der Geschwindigkeit 3 m/s durch den Punkt A und rollt dann ohne Antrieb über B nach C. a) Wie groß ist die Geschwindigkeit des Wagens je im Punkt C und Punkt B, wenn man on Reibungskräften absieht? b) Ändert ein Looping im Punkt B etwas an der Geschwindigkeit im Punkt C? Begründe!

55 b) Solange keine Reibung orhanden ist, ist es für die Geschwindigkeit des Wagens an Punkt C irreleant, auf welchem Weg er dort hingefahren ist. 5..3) Umwandlung kinetische potentielle Energie a) Energieerhaltung: In Punkt B ist die gesamte kinetische und potentielle Energie des Wagens, die dieser an Punkt A hatte, in kinetische Energie umgewandelt: Am Punkt C ist wird nur ein Teil der potentiellen Energie des Wagens in Punkt A in kinetische Energie umgewandelt:

56 5..3) Umwandlung kinetische potentielle Energie Ein Puck (Eishockey-Ball) läuft eine Eisrampe reibungsfrei hinauf. Wird er es auf das obere Nieau schaffen? = 4m/s h = m 48%. Ja. Nein 3. ohne Massenangabe nicht u beantworten 37% 5%.. 3.

57 5..3) Umwandlung kinetische potentielle Energie Ein Puck (Eishockey-Ball) läuft eine Eisrampe reibungsfrei hinauf. Wird er es auf das obere Nieau schaffen? = 4m/s h = m

58 5..3) Umwandlung kinetische potentielle Energie Kugel an Schlauchspite in Höhe h maimale potentielle Energie und keine kinetische Energie (Geschwindigkeit ) Saugen am Schlauch abstellen Kugel fällt im freien Fall nach unten potentielle Energie wird in kinetische Energie umgewandelt. Bei Ankunft auf Boden ist alle potentielle Energie (mgh) in kinetische Energie umgewandelt Kugel hat maimale Geschwindigkeit. An Boden wird Kugel reflektiert (elastischer Stoß, gl. 5.4) Betrag der Geschwindigkeit bleibt erhalten, aber Richtung kehrt sich um. Geschwindigkeit bewegt Kugel jett entgegen Schwerkraft nach oben. Dabei erringert sich Geschwindigkeit bw. kinetische Energie der Kugel. Kugel gewinnt Höhe und so potentielle Energie. Kugel kommt an Schlauchspite an, alle kinetische Energie ist jett in potentielle Energie gewandelt Geschwindigkeit der Kugel ist. Kugel fällt wieder nach unten, u.s.w.

59 5..3) Umwandlung kinetische potentielle Energie Beispiel: Armbrust Eine Armbrust kann einen Pfeil (m = g) h = m hoch schießen. Der Spannweg l beträgt cm. Mit welcher Maimalkraft F ma muss die Armbrust gespannt werden? Lösung: Energieerhaltung: Die potentielle Energie E pot, die der Pfeil bei h=m hat, muss mit der Spannarbeit W Spann der Armbrust gleichgesett werden. Über diesen Zusammenhängt ergibt ich die Federkonstante k der Armbrust. Bei maimaler Auslenkung ist die benötigte Kraft nach dem Hook schen Geset am größten, daraus folg der Wert für die Maimalkraft. W Spann = ½kl (Arbeit um Spannen einer Feder, gl. Kap. 5..) E pot = mgh (Potentielle Energie einer Masse die auf Höhe h gebracht wird) W Spann (l = cm) = E pot (h = m) ½kl = mgh k = mgh/l =.kg 9,8N/kg m /(,m) N/m F ma = kl = N/m, m = N

60 5..3) Umwandlung kinetische potentielle Energie Beispiel: Schleuder: Federn der Länge l, Federkonstante k; Masse m wird in y Richtung on y = nach y = -l ausgelenkt (Spannen der Federn), gl. Kap Wie groß ist die Geschwindigkeit der Masse bei y = wenn die Schleuder losgelassen wird. l

61 5..4) Potentiallandschaften Beispiel: ortsabhängige potentielle Energie E pot () = k (gl. Kap. 8 harmonischer Osillator) E pot () E kin () E pot () - -½ ½ E E Gesamtenergie E = const = E kin () + E pot () An jeder Stelle kann kinetische Energie und damit Geschwindingkeit () des Massepunktes angegeben werden: E kin () = E - E pot () = ½m Masse starte bei = - E kin = = (da E = E pot ) Kraft in + Richtung: F = -de pot ()/d > maimale Kraft, da maimale Steigung de pot /d maimale Beschleunigung der Masse nach rechts. Masse erreicht = -½ E kin () = E - E pot () > Immer noch Kraft in -Richtung, da Steigung de pot /d weiter negati; > Masse erreicht = E kin () = E >, da E pot = maimale Geschwindigkeit = ma nach rechts keine Kraft, da F = -de pot (=)/d = Masse erreicht = ½ E kin () = E - E pot () > Nun Kraft in --Richtung, da Steigung de pot /d negati; > Masse erreicht = E kin = = (da E = E pot ) Kraft in - Richtung: F = -de pot ()/d < (gl Kap. 5..3) maimale Kraft, da maimale Steigung de pot /d maimale Beschleunigung der Masse nach links. Bewegungsrichtung dreht sich Masse erreicht = ½ E kin () = E - E pot () > Kraft in --Richtung, da Steigung de pot /d negati; < Masse erreicht = E kin () = E >, da E pot = maimale Geschwindigkeit = - nach links; F = -de (=)/d =

62 5..4) Potentiallandschaften E pot (r) E > E < E kin (r) E kin (r) E > ungebundener Zustand wenn Masse sich nach rechts bewegt gibt es keinen Umkehrpunkt (da keine ausreichende rücktreibende nach links), d.h. Masse wird sich für immer nach rechts bewegen

63 5..4) Potentiallandschaften Ein Objekt bewegt sich entlang der -Richtung. Welche Aussage muß korrekt sein? E pot () U() =A %. Die Geschwindigkeit ist negati, also entlang. Die Beschleunigung ist negati 3. Die Gesamtenergie ist negati 4. Die kinetische Energie ist positi 5. Keine der Aussagen -4 muß richtig sein % % % %

64 5..4) Potentiallandschaften E pot () U() E =A

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