Technische Mechanik III Teil 1. Formelsammlung

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1 Unverstät Stuttgart Insttut für Mechank Prof. Dr.-Ing. W. Ehers stuttgart.de Ergänzung zur Voresung Technsche Mechank III Te Formesammung Stand SS 204 etzte Änderung: Lehrstuh für Kontnuumsmechank, Pfaffenwadrng 7, D Stuttgart, Te.: (07)

2 Energesatz und Arbetssatz 30 TEIL IV: Energemethoden der nearen Eastostatk Energesatz und Arbetssatz Energesatz der Mechank Für en Gechgewchtssystem gt dw(b) = da a (B) (nnere Energe = äußere Energe) Darn snd dw = da = σ dε dv (Inkrement der Formänderungsarbet) V da a = t duda+ ρb dudv (Ink. der äußeren Oberfächen- und Voumenkräfte) S Arbetssatz der Mechank V Integraton der Inkremente von Formänderungsarbet und äußerer Arbet über den Deformatons- bzw. Verschebungsweg efert zwschen den Zuständen und 2. 2 W(B) 2 = A (B) 2 = σ dε V ds dvds 2 A a (B) 2 = t du 2 S ds dads+ ρb du V ds : Formänderungsarbet dvds : äußere Arbet Arbetssatz der Mechank: W(B) 2 = A a (B) 2 Für konservatve mechansche Systeme können nnere Spannungen und äußere Kräfte aus Potentaen hergeetet werden. Es fogt für den Arbetssatz: U (B) 2 U (B) = A a (B) 2 Zustand kann her der natürche undeformerte Zustand sen (U (B) = 0). Energeerhatungssatz für konservatve Systeme: U (B) 2 +U a (B) 2 = U (B) +U a (B) Bem.: En System st konservatv, wenn de Formänderungsarbet und de äußere Arbet zwschen den Zuständen und 2 ncht vom Weg abhängen, auf dem se geestet werden.

3 Energesatz und Arbetssatz 3 De gespecherte eastsche Energe Bem.: Im Rahmen der nearen Eastztät snd de gespecherte Energe u (ε) und de gespecherte Kompementärenerge u (σ) dentsch, d.h. u (ε) = u (σ) = u (σ). Eastsches Potenta: u (ε) = Eastsches Kompentärpotenta: E 2(+ν) [ε ε+ ν 2ν (ε I)2 ] Es gt u (σ) = 2E [(+ν)(σ σ) ν(σ I)2 ] σ = du (ε) dε und ε = du (σ) dσ Merke: Für den eastschen Körper snd der spannungsfree und der undeformerte Zustand dentsch. De Formänderungsarbet be geraden Stäben Kompementärpotenta: Formänderungsarbet: u (σ) = 2E σ2 + 2G τ2 W(B) = 2 ( ) N 2 + M2 2 + M2 3 Q 2 3 Q 2 2 +κ 3 +κ 2 + M2 T dx EA EJ 22 EJ 33 GA GA GJ T κ 2,3 : Formbewerte des Querschntt Querschntt κ Bemerkung 0, ,33 2,0-2,4 3-5 κ A 3-4 2,0-2,4 A Steg

4 Energesatz und Arbetssatz 32 De Sätze von Castgano. Satz von Castgano: u = A a(b) F = W(B) F W(B) wrd her durch de Schnttgrößen ausgedrückt (dargestet as Funkton der Kräfte/Momente F ). Vorgehenswese be der Berechnung von Verschebungen und Verdrehungen n Systemen: Grad der statschen Unbestmmthet erten System gegebenfas statsch bestmmt machen Enführung ener statsch unbestmmten Kraft/Moment (mest an enem Aufager) Ertung der statsch unbestmmten Kraft/Moment Kompatbtätsbedngung Berechnung von Verschebungen/Verdrehungen Enführung ener Hfskraft/Hfsmoment, dort wo Verschebung/Verdrehung gefragt st Abeten der Formänderungsarbet nach der Hfsgröße, dann Nusetzen der Hfsgröße 2. Satz von Castgano: F = A a(b) u = W(B) u W(B) wrd her as Funkton der Verschebungen/Verdrehungen u ausgedrückt. De Sätze von Bett und Maxwe Satz von Bett: Wrken 2 Kräftesysteme F und F k auf enen near-eastschen Körper, so st de Arbet A k, de von F auf den durch F k verursachten Verschebungsweg geestet wrd, gech der Arbet A k, de von F k auf den durch F verursachten Weg geestet wrd: A k = A k Satz von Maxwe: De Verschebung an der Stee nfoge ener Kraft der Größe an der Stee k st gech der Verschebung an der Stee k nfoge ener Kraft der Größe an der Stee.

5 Energesatz und Arbetssatz 33 Mt der Verschebungsformänderungsarbet fogt für de Berechnung von Weggrößen so dass für P = f = f k = W k = A k = W k = P f k ( N N k EA + M 2M 2k EJ 22 + M 3M 3k EJ κ 3 Q 3 Q 3k GA +κ 2 Q 2 Q 2k GA + M TM Tk GJ T De Berechnung von f k kann her Hfe der Überagerungstafe erfogen. Überagerungstafe / Koppetafe ) dx k k k k k 2 k 2 k 2 k 2 (k + k 2 ) 2 k 3 k 6 k 6 (k + 2 k 2 ) 2 2 ( + 2 ) k 6 ( ) k 6 (2 + 2 ) k 6 (2 k + k k k 2 ) quadr. Parabe 2 3 k 3 k 3 k 3 (k + k 2 ) quadr. Parabe 2 3 k 5 2 k 4 k 2 (3 k + 5 k 2 ) quadr. Parabe 3 k 4 k 2 k 2 (k + 3 k 2 ) kub. Parabe 4 k 5 k 20 k 20 (k + 4 k 2 ) kub. Parabe 3 8 k 40 k 0 k 40 (4 k + k 2 ) kub. Parabe 4 k 2 5 k 7 60 k 60 (7 k + 8 k 2 ) quadr. Parabe: Schetepunkt kub. Parabe: Nustee der Dreecksast

6 Energesatz und Arbetssatz 34 Das Prnzp der vrtueen Arbet (PdvA) Das PdvA as Prnzp der vrtueen Verrückungen (PdvV) In konservatven Systemen können δw und δa a as Varaton von Potentaen dargestet werden. du (ε) δw(b) = δεdv = σ(ε) δεdv dε V δa a (B) = A a(b) u V δu = P(u) δu { δε : vrtuee Verzerrung δu : vrtuee Verrückung Egenschaften der vrtueen Verzerrungen und Verschebungen: gedacht, unendch ken, den geometrschen Zwangsbedngungen des Systems verträgch. Das PdvA as Prnzp der vrtueen Kräfte (PdvK) In konservatven Systemen können δw und δa a as Varaton von Kompementärpotentaen dargestet werden. du (σ) δw(b) = V dσ δσdv = ε(σ) δσdv V δa a (B) = A a(b) δp = u(p) δp P { δσ : vrtuee Spannung δp : vrtuee Kraftgröße Egenschaften der vrtueen Spannungen und Kraftgrößen gedacht, unendch ken, den statschen Zwangsbedngungen (Gechgewchtsbedngungen) des Systems verträgch.

7 Anwendungen des Arbetssatzes (PdvK) auf Probeme der Stabtheore 35 Das PdvK n der Theore der geraden Stäbe Formuerung der Formänderungsarbet n Schnttgrößen δw(b) = ( N δn EA + M 2δM 2 EJ 22 + M 3δM 3 EJ 33 +κ 3 Q 3 δq 3 GA +κ 2 Q 2 δq 2 GA + M T δm T GJ T Enführung enes vrtueen Kraftzustandes der Größe : ) dx f = ( N N + M M M M 3 3 Q 3 Q3 Q 2 Q2 +κ 3 +κ 2 + M M ) T T dx EA EJ 22 EJ 33 GA GA GJ T { δn =: N, δm 2 =: M2, usw. δp =: P = 2 Anwendungen des Arbetssatzes (PdvK) auf Probeme der Stabtheore Berückschtgung von Temperaturänderungen Unter Berückschtgung von thermschen Anteen fogt für de Formänderungsarbet W(B) = ( ) N 2 + M2 2 + M2 3 Q 2 3 Q 2 2 +κ 3 +κ 2 + M2 T dx + 2 EA EJ 22 EJ 33 GA GA GJ T +α ϑ (N Θ m +M 2 Θ 3 M 3 Θ 2)dx Θ m = Θ o + Θ u 2 Θ 3 = Θ u Θ o h Θ 2 = Θ v Θ h b Entsprechend fogt für de Stabtheore unter Berückschtgung von Temperaturänderungen für enen vrtueen Kraftzustand der Größe f = ( N N + M M M M 3 3 Q 3 Q3 Q 2 Q2 +κ 3 +κ 2 + M M ) T T dx + EA EJ 22 EJ 33 GA GA GJ T +α ϑ ( N Θ m + M 2 Θ 3 M 3 Θ 2)dx

8 Anwendungen des Arbetssatzes (PdvK) auf Probeme der Stabtheore 36 Statsch unbestmmmte Systeme Berechung enes enfach statsch unbestmmten Tragwerks Hfe des PdvK durch Superposton von 0- und X-System Zeregung des enfach statsch unbestmmten Systems n en 0-System (statsch bestmmtes Grundsystem) und en X-System. Vorgehen:. Ausösen ener Kraftgröße, so daß en statsch bestmmes Grundsystem entsteht. De ausgeöste Kraftgröße wrd as statsch unbestmmte Beastung X an der ausgeösten Stee angetragen. 2. Berechung aer reevanten Schnttgrößen m 0- und X-System 0 Sytem X = 0 Aufbrngen aer äußeren Beastungen (Kraftastfäe und Temperaturastfäe) X System X = kene weteren Beastungen 3. Berechnung der Verschebungswerte δ k (Verschebung an der Stee nfoge Last an der Stee k) her: δ 0,δ δ 0 = ( N0 N + M M M M 30 3 Q 30 Q3 Q 20 Q2 +κ 3 +κ 2 + M M ) T0 T dx + EA EJ 22 EJ 33 GA GA GJ T +α ϑ ( N Θ m + M 2 Θ 3 M 3 Θ 2 )dx δ = ( N N + M ) 2 M dx EA EJ 22 Bem.: Aternatv können de Verschebungswerte auch Überagerungstafen berechnet werden (Koppen der Veräufe). 4. Aufsteen der Kompatbtätsbedngung. De Verschebung an der ausgeösten Stee muss sch zu Nu ergeben. X = δ 0 δ = f = δ = δ 0 + Xδ! = 0 ( N0 N + M M ) dx EA EJ 22 ( N N + M ) 2 M dx EA EJ Berechnung der gewünschten Schnttkraftveräufe durch Superposton, z. B. N = N 0 + X N M 2 = M 20 + X M 2

9 Anwendungen des Arbetssatzes (PdvK) auf Probeme der Stabtheore 37 Berechnung dskreter Verschebungsgrößen Hfe des Reduktonssatzes Bem.: Mt Hfe des Reduktonssatzes können dskrete Verschebungs- und Verdrehungsgrößen n statsch bestmmten sowe n statsch unbestmmten Tragwerken berechnet werden. De Schnttgrößenveräufe des Systems müssen n ener vorhergegangenen Rechnung bestmmt werden. Zur Berechnung der Weggröße werden ene Enhetsast n enem beebgen statsch bestmmten Grundsystem (. d. R. das stat. best. Grundsystem der vorangegangenen Rechnung) an der Stee der gewünschten Weggröße angesetzt und de daraus resuterenden Schnttkraftveräufe Ñ0, M0 bestmmt. De gesuchte Weggröße ergbt sch dann zu f = ( N Ñ 0 + M M M M 3 30 Q 3 Q30 Q 2 Q20 +κ 3 +κ 2 + M M ) T T0 dx EA EJ 22 EJ 33 GA GA GJ T

10 Eementare Stabtätsprobeme n der Eastostatk 38 TEIL V: Stabtätsprobeme der nearen Eastostatk 3 Eementare Stabtätsprobeme n der Eastostatk Agemene Voraussetzungen Gesamtpotenta (gespecherte Gesamtenerge) n konservatven Systemen: U(B)=U (B)+U a (B) =konst. U(B) U (B)=W(B) : Gesamtpotenta : n konservatven Systemen U a (B)= A a (B) : n konservatven Systemen Gechgewcht n konservatven Systemen durch de. Varaton des Gesamtpotentas: δu(b) = δu (B) + δu a (B) = 0 Stabtät n konservatven Systemen durch de 2. Varaton des Gesamtpotentas: δ 2 U(B) > 0 : stabes Gechgewcht = 0 : ndfferentes Gechgewcht < 0 : abes Gechgewcht Das Durchschagprobem Veranschauchung: P h 0 f 0 a a

11 Eementare Stabtätsprobeme n der Eastostatk 39 Gesamtpotenta: U(B) = 2EA ( 0 ) (h 0 f) 2 +a 2 EAf (2h 0 f) 0 Pf Gechgewcht efert: P = 2EA h 0 f 0 (h0 ) 2 f + 0 ( ) 2 a 0 Kncken enes Druckstabs (Euer-Fäe) Bem.: Das Kncken st verbunden dem Ausbegen der Stabachse enes Druckstabs n ene beebge Rchtung. Probemsteung: P k P k P k P k Fa Fa 2 Fa 3 Fa 4 Voraussetzung: prsmatsche Stäbe gerader Stabachse Bezugssystem se en Träghetshauptachsensystem Kncken verursacht gerade Begung um de x 2 - oder um de x 3 -Achse zentrsche, rchtungstreue Beastung es geten de Bernou schen Annahmen Bem.: Da de Knckrchtung a pror ncht bekannt st, wrd J anstee von J 22 bzw. J 33 verwendet.

12 Eementare Stabtätsprobeme n der Eastostatk 40 Berechnung der Knckast:. Fa: k = 2 P k = π2 EJ mn. 2 k 2. Fa: k = 3. Fa: k = 0,7 4. Fa: k = 0,5 Bem.: De krtsche Last st de kenste Knckast. Se ergbt sch aso für J mn.. De Knckänge k st der x -Abstand zwschen den Wendepunkten der Begene ( w = 0 M(x ) = 0 ). Berechnung der Knckspannung: σ k = P k A = π2 EJ mn. A 2 k = π2 E 2 2 k = mn. = Jmn. A : Träghetsradus Enführung der Schankhet λ: λ = k A = k mn. J mn. σ k = π2 E λ 2 Darsteung der krtschen Spannung (Euer-Hyperbe): σ F σ k Euer- Hyperbe eastsch-pastscher Übergangsberech σ P Bem.: De Euer- Hyperbe setzt andauernde Eastztät voraus. De zuässge Spannung so de Feßspannung σ F jedoch ncht überschreten. λ

13 Eementare Festgketshypothesen 4 TEIL VI: Festgketshypothesen 4 Eementare Festgketshypothesen Dskusson von Festgketsegenschaften Bem.: De Grenze des eastschen Berechs und da de Grenze der Gütgket der Gesetze der Eastostatk kann errecht werden durch: σ B : sofortger Bruch spröde Werkstoffe σ F : deapastsches bzw. verfestgendes Verhaten bs zum Bruch zähe Werkstoffe Hypothese der maxmaen Normaspannung Annahme: Das Matera versagt, wenn ene der dre Hauptspannungen de enaxae Vergechsspannung σ V (Feßspannung σ F oder Bruchspannung σ B ) errecht. Lamé- Ranknesche Normaspannungshypothese: σ σ V ; σ 3 σ V σ σ 2 σ 3 Hypothese der maxmaen Schubspannung Annahme: Das Matera versagt, wenn de größte Hauptschubspannung enen krtschen Wert errecht. Bem.: Der krtsche Wert st Hfe der enaxaen Vergechsspannung σ V festzuegen. Enaxae Vergechsspannung: τ = 2 σ V Festgketskrterum nach Tresca: σ σ 3 σ V σ σ 2 σ 3 τ = 2 (σ σ 3 )

14 Eementare Festgketshypothesen 42 Hypothese der maxmaen Gestatsänderungsarbet Bemerkungen: Man sucht a pror en 3-dmensonaes Festgketskrterum. Das Krterum se unabhängg vom teren (hydrostatschen) Spannungszustand (Untersuchung krstaner Stoffe). Das Krterum begrenze den eastschen Berech m Snne enes Energe- bzw. Arbetskrterums. Gestat- und Voumenänderungsarbet: u (σ) = 2E [(+ν)σ σ ν(σ I)2 ] Addtve Zeregung des Spannungstensors: σ =: σ D + σ K { σ D = σ (σ I)I 3 : Spannungsdevator σ K = (σ I)I 3 : Kugetensor Formuerung Get- und Kompressonsmodu: u (σ) = 4G σd σ D + (σ I)2 8k E G = 2( + ν) E k = 3( 2ν) Formuerung des Festgketskrterums (von-mses-krterum): Annahme: Das Matera versagt, wenn de Gestatänderungsarbet enen krtschen Wert errecht. σ D σ D 2 3 σ2 V