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1 Arbeit und Energie Brückenkurs, 4. Tag

2 Worum geht s? Tricks für einfachere Problemlösung Arbeit Skalarprodukt von Vektoren Leistung Kinetische Energie Potentielle Energie Brückenkurs Physik: Arbeit und Energie 2

3 Bewegung in einer Dimension: konstante Kraft Definition Arbeit Spezialfall: konstante Kraft W Fcos x F x x Einheit: W J Nm Brückenkurs Physik: Arbeit und Energie 3

4 Arbeit in einer Dimension mehrere konstante Kräfte Kräfte addieren sich, also auch Arbeit Gesamtarbeit an einem Teilchen: W F xf xf x... ges 1x 2x 3x ( F F F...) x F 1x 2x 3x ges, x x Brückenkurs Physik: Arbeit und Energie 4

5 Kinetische Energie Auch Arbeit: Kraft F ma wirkt über eine Strecke Resultat: Beschleunigung / Geschwindigkeitänderung Gesucht: Zusammenhang Geschwindigkeitsänderung - Arbeit Definiert man kinetische Energie E kin 1 mv 2 2 Dann ist die Arbeit zur Beschleunigung eines Körpers: W E 1 mv 1 mv kin Ende Anfang Brückenkurs Physik: Arbeit und Energie 5

6 Aufg.: Schlittenrennen Ein Mann muss nach einer verlorenen Wette bei einem Schlittenrennen seinen Schlitten (Gesamtmasse 80 kg) von Hand ziehen. Beim Start zieht er mit einer Kraft von 180 N unter einem Winkel von 20. a) Welche Arbeit leistet der Mann? b) Wie groß ist die Geschwindigkeit des Schlittens nach x = 5 m, falls die Reibung vernachlässigt werden kann? Brückenkurs Physik: Arbeit und Energie 6

7 Schlittenrennen: Lösung Geleistete Arbeit: W F x Fcos 20 x x 180 Ncos 205m 848J W tot... führt zu Änderung der kinetischen Energie: W E 1 mv 1 mv 1 mv v tot kin Ende Anfang Ende f 2Wtot 2846J 4,60 m/s m 80kg Brückenkurs Physik: Arbeit und Energie 7

8 Kein Weg keine Arbeit Brückenkurs Physik: Arbeit und Energie 8

9 Spezialfall: Arbeit bei konstanter Kraft Brückenkurs Physik: Arbeit und Energie 9

10 Verallgemeinerung: Arbeit bei veränderlicher Kraft W lim F x x 0 i F x i Arbeit entspricht Fläche unter x x Funktion i Brückenkurs Physik: Arbeit und Energie 10

11 Beispiel Eine Kraft F x variiert mit dem Ort x wie in der Abbildung dargestellt. Bestimmen Sie die Arbeit, die die Kraft an einem Teilchen leistet, während es sich von x = 0 nach x = 6 m bewegt. W A W A A A 1 2 5N4m 1 5N2m 2 20 J5J 25J Brückenkurs Physik: Arbeit und Energie 11

12 Feder auf Tisch Ein Körper (m = 4 kg) ist auf einem reibungsfreien Tisch mit einer horizontal liegenden Feder verbunden, die dem Hookeschen Gesetz gehorcht (F x = -kx). Der Ort x wird von der Gleichgewichtslage aus gemessen, die Federkonstante ist k =400 N/m. Die Feder wird bis x 1 = -5 cm gestaucht. Bestimme: a) Die Arbeit, die die Feder an dem Körper verrichtet, während dieser sich von x 1 bis zur Gleichgewichtslage x 2 = 0 cm bewegt und b) die Geschwindigkeit des Körpers bei x 2 = Brückenkurs Physik: Arbeit und Energie 12

13 Feder auf Tisch, Lösung a) Kraftfunktion: F k x400 N/mx x Speziell: Kraft bei -5 cm: F x 5cm 400 N/m 0,05m 20 N Fx x ist Gerade durch Nullpunkt und -5cm 20 N Arbeit W: Fläche unter Kraft-Weg-Kurve: W 1 0,05m20 N 2 0,5 Nm 0,5J Brückenkurs Physik: Arbeit und Energie 13

14 Feder auf Tisch, Lösung b) Arbeit Differenz E kin: W Ekin mv mv mv Nach v aufgelöst: 2 2 v wegen v 0 2W 20,5J 0,5 m/s m 4kg Brückenkurs Physik: Arbeit und Energie 14

15 Das Skalarprodukt Wir wissen: W Fs s Fcos s Eleganter geschrieben: W Fs Skalarprodukt: AB ABcos Alternative Berechnung: A B A B A B A B x x y y z z Vektorlänge: A A AA Ax Ay Az A B Komponente von A in Richtung B: AB B Brückenkurs Physik: Arbeit und Energie 15

16 Beispiel zum Skalarprodukt a) Wie groß ist der Winkel zwischen: 3m 4m A und B 2m 3m b) Wie groß ist die Komponente von A in Richtung B? Brückenkurs Physik: Arbeit und Energie 16

17 Beispiel zum Skalarprodukt Lösung zu a) AB AB ABcos cos AB AB A B A B 3m4m) 2m 3m 6m x x y y Betrag Länge A: 2 2 A AA A A 2m 3m 13 m 2 2 x y Betrag Länge B: x y B B B 4m 3m 25m 5m 2 AB 6m cos 0,33 70 AB 13 m5m Brückenkurs Physik: Arbeit und Energie 17

18 Beispiel zum Skalarprodukt Lösung zu b) A B 2 AB 6m 1, 2 m B 5m Brückenkurs Physik: Arbeit und Energie 18

19 Schussfahrt h F N mg s Ein Skifahrer (Masse m) fährt reibungfrei den Hang hinunter (Neigungswinkel ). Er startet aus Ruheposition in der Höhe h. a) Welche Arbeit wird von den beteiligten Kräften an der Skifahrerin verrichtet? b) Welche Geschwindigkeit besitzt sie am Ende des Abhanges? Brückenkurs Physik: Arbeit und Energie 19

20 Schussfahrt: Kräftediagramm und Lösung h a) Lösungsweg 1, siehe schiefe Ebene : Schwerkraft mg zerlegen. Komponente in Wegrichtung F mgsin und senkrecht dazu F mgcos. Ha m F Ha s F N mg : F Ha der Hangwinkel leistet die Arbeit, F nicht; W F s mgsin s Ha N h hssin s somit: s W mgh Brückenkurs Physik: Arbeit und Energie 20 N

21 Schussfahrt: Kräftediagramm und Lösung a) Lösungsweg 2, Arbeit mit Skalarprodukt : Mit Schwerkraft Fg mg ist die Arbeit: W mgs mgscos : Winkel zwischen Weg s und Schwerkraft F m mg s h h hscos s cos h W mg cos cos somit: W mgh g Brückenkurs Physik: Arbeit und Energie 21

22 Schussfahrt: Geschwindigkeit b) Arbeit bewirkt Differenz von E : 1 W mgh E E E mv 2 2 kin kin Ende kin Anf v 2gh Egal wie steil!! kin 0 Wichtiges Ergebnis Gilt allgemein für reibungsfreie Bewegung durch Schwerkraft Gilt auch für krumme Bahnen, denn die sind stückweise gut durch kleine Geradenstücke zu beschreiben Brückenkurs Physik: Arbeit und Energie 22

23 Definition der Leistung Mittlere Leistung: Momentane Leistung: Einheit: W P t W dw P lim W t 0 t dt 2 kg m P J W s 3 s Brückenkurs Physik: Arbeit und Energie 23

24 Leistung Teilchen bewegt sich mit der Geschwindigkeit v Verschiebung im Zeitintervall t: s v t Arbeit der Kraft während t: W Fs F v t Durch t teilen: Mittlere Leistung W E P P F v t t Formalismus bekannt, z.b. von mittlerer Geschwindigkeit! Brückenkurs Physik: Arbeit und Energie 24

25 Beispiel zur Leistung Ein kleiner Motor treibt eine Hebebühne an, mit der eine Ladung Steine (Gewicht 800 N) in 20 s um 10 m gehoben werden können. Welche minimale Leistung muss der Motor aufbringen? Kraft (keine Beschleunigung): F mg 800 N Geschwindigkeit: v 10m / 20s 0,5m/s Leistung: P Fv800 N0,5m/s 400 Nm/s 400 W Brückenkurs Physik: Arbeit und Energie 25

26 Potentielle Energie Potenzielle Energie: Energie, die mit dem Ort oder der Anordnung eines oder mehrerer Körper, (die Kräfte aufeinander ausüben) verknüpft ist Brückenkurs Physik: Arbeit und Energie 26

27 Konservative Kräfte Pfad A Pfad B Konservative Kraft, falls: Arbeit hängt nicht vom Pfad, nur von den Endpunkten ab! oder Die gesamte Arbeit entlang eines beliebigen, geschlossenen Weges ist gleich Null! Brückenkurs Physik: Arbeit und Energie 27

28 Potenzielle Energie als Folge der Gravitation F ext Kraft Fext leistet Arbeit: Wext Fext s mghcos0 w mg Ein Ziegelstein wird angehoben: 2 1 Gravitationskraft w leistet Arbeit: W ws mghcos 180 G mghmg y y mghmg y y Brückenkurs Physik: Arbeit und Energie 28

29 Potenzielle Energie als Folge der Gravitation Ziegelstein fällt (aus der Ruhe heraus) F ext Berechne Endgeschwindigkeit bei v 2 2gh siehe Schussfahrt y 1 : w mg Kinetische Energie: 2 1 K 1 mv m2gh 2 mgh Brückenkurs Physik: Arbeit und Energie 29

30 Das Bild kann zurzeit nicht angezeigt werden. Potenzielle Energie als Folge der Gravitation F ext w mg Brückenkurs Physik: Arbeit und Energie 30

31 Potenzielle Energie als Folge der Gravitation Wir definieren als Änderung der potenziellen Energie E pot bei der Bewegung eines Körpers von einer Höhe y auf eine Höhe y 1 2 E E E W W mg y y pot pot 2 pot1 ext G 2 1 : Wie kann man E definieren, damit dieses erreicht wird? pot pot E E mg yc C: beliebige Konstante. pot Brückenkurs Physik: Arbeit und Energie 31

32 Beispiel zum Gravitationspotential Eine Flasche der Masse 0,350 kg fällt aus der Ruheposition heraus von einem Regal herunter, das sich 1,75 m oberhalb des Bodens befindet. Bestimmen Sie: a) die potentielle Energie des Flasche-Erde-Systems vor dem Fall b) die kinetische Energie der Flasche im Moment des Aufschlags a) Wir setzen für Flasche am Boden: Dann ist: pot Boden E mg y 0,350 kg9,81 N/ kg1, 75m6, 01J pot Regal b) Die Differenz der potentiellen Energie wird als Beschleunigungsarbeit geleistet, d. h. steht als kinetische Energie zur Verfügung: E E E E 6,01J kin pot pot Regal pot Boden E Brückenkurs Physik: Arbeit und Energie 32

33 Potentielle Energie einer Feder Aus Hookschem Gesetz folgt Angreifende Kraft: F p kx Federkraft: F F kx mit Federkonstante k Brückenkurs Physik: Arbeit und Energie 33

34 Potentielle Energie einer Feder Die zur Dehnung einer Feder um einen Weg x verrichtete Arbeit ist gleich der Fläche unter Kurve. Also ist: Federarbeit / potentielle Energie der Feder: W E 1 1 pot Feder 2 x k x k x 2 Basis Höhe Brückenkurs Physik: Arbeit und Energie 34

35 Zusammenfassung Falls Kraft in Richtung des Weges konstant: Arbeit ist: W Fcos x F x :Kraft in Wegrichtung Allgemeiner Fall: Arbeit ist die Fläche unter der F x x Funktion Kinetische Energie E ist Funktion von Masse Geschwindigkeit: kin E kin 1 mv 2 2 und Gesamtearbeit am Massepunkt ist die Änderung der kinetischen Energie: W E 1 mv 1 mv 2 2 tot kin Brückenkurs Physik: Arbeit und Energie 2 Ende 2 Anfang 35

36 Zusammenfassung Das Skalarprodukt von zwei Vektoren ist definiert als: AB AB AB AB AB cos x x y y z z Die von einer Kraft F bei einer Verschiebung s an einem Massepunkt verrichtete Arbeit lässt sich schreiben: W Fs Konservative Kraft: Die gesamte Arbeit entlang eines geschlossenen Weges ist Null. oder: Die von einer konservativen Kraft verrichtete Arbeit ist wegunabhängig, solange die Endpunkte fest bleiben Brückenkurs Physik: Arbeit und Energie 36

37 Zusammenfassung Mittlere Leistung: Einheit: P P W Fv t J W s Die potentielle Energie eines Körpers der Masse Näherung nahe Erdoberfläche : y: Höhe zu beliebigem Bezugspunkt, g: Erdbeschleunigung E pot mg y m Potentielle Energie einer Feder: Epot 1 k x 2 2 k: Federkonstante, x: Auslenkung Brückenkurs Physik: Arbeit und Energie 37

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