Wichtige Begriffe dieser Vorlesung:

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1 Wichtige Begiffe diese Volesung: Impuls Abeit, Enegie, kinetische Enegie Ehaltungssätze: - Impulsehaltung - Enegieehaltung

2 Die Newtonschen Gundgesetze 1. Newtonsches Axiom (Tägheitspinzip) Ein Köpe, de sich völlig selbst übelassen ist, vehat im Zustand de Ruhe ode de gleichfömigen Bewegung. 2. Newtonsches Axiom (Aktionspinzip) Usache fü eine Bewegungsändeung ist eine Kaft. Sie ist definiet als F = m " a [N=kg m/s 2 = 1 Newton] m : täge Masse 3. Newtonsches Axiom (Reaktionspinzip) Bei zwei Köpen, die nu miteinande, abe nicht mit andeen Köpen wechselwiken, ist die Kaft F 12 auf den einen Köpe entgegengesetzt gleich de Kaft F 21 auf den andeen Köpe. F 12 = " F 21 (actio=eactio)

3 Impuls p = m " v Definition des Impulses als Bewegungszustand (Newton) Exakte Fomulieung des 2. Newtonschen Axioms (Aktionspinzip) Usache fü eine Ändeung des Bewegungszustands ist eine Kaft. Sie ist definiet als die Ableitung des Impulses nach de Zeit F = d dt p fü m=const. F = m " a Beweis : F dt = dp F = d dt p = d dt m " v ( ) = m " d dt Kaftstoß=Impulsändeung v = m " a

4 Impulsehaltungssatz

5 Impulsehaltungssatz m 1 m 2 v 1 v 2 m 1 m 2 Aus dem Wechselwikungssatz (Actio=Reactio) folgt: Die Käfte auf Wagen 1 und Wagen2 sind zu jedem Zeitpunkt gleich goß abe entgegengeichtet. m 1 " v 1 = p 1 = $ F 1 dt = # $ F 2 dt = # m 1 " v 1 + m 2 " v 2 = 0 p 2 = #m 2 " In einem abgeschlossenen System (keine äußeen Käfte) bleibt de Gesamtimpuls konstant v 2

6 De zentale Stoß v 1 v 2 Vesuch elastische Stoß

7 De zentale Stoß v 1 v 2 nachhe vohe m 1 v 1 + m 2 v 2 = m 1 v 1 " + m 2 " v 2 Impulsehaltungssatz In einem abgeschlossenen System (keine äußeen Käfte) bleibt de Gesamtimpuls konstant # m i " v i = const i

8 Die Raketengleichung

9 Die Raketengleichung Impulsehaltung "v R = #v Gas $ "m m infinitesimal dv R = "v Gas # dm m v e 1 " dv R = #v Gas m dm v a m e " m a " v Rakete = v Gas ln m a $ # m e % ' + v 0 &

10 Vesuch Impulssatz

11 Die gleichfömige Rotation (t) = " #t ω: Winkelgeschwindigkeit = & $ % ' cos( ( t) # ' sin( ( t) " y (t) v (t) y = sin" j x = cos" x v (t) = %"# $ $ sin(# $ t) ( ' * = # $ $ e (t) & # $ $ cos(# $ t) ) De Geschwindigkeitsbetag ist konstant : &' sin( t # Die Richtung des Geschwindgkeitsvektos keist : e ( t) = $ v = v = " # % cos( t "

12 Die Zentipetalbeschleunigung de gleichfömigen Rotationsbewegung = & $ % ' cos( ( t) # ' sin( ( t) " % $sin(" # t) ( v (t) = " # ' * & cos(" # t) ) v a = dv v dt " a v &%cos(# $ t) ) (t) = # 2 $ ( + '%sin(# $ t) * v y y = sin" j x = cos" a x v a (t) = 2 " " cos 2 ( " t) + sin 2 ( "t) = 2 " Zentipetalbeschleunigung: a = " 2 mit v = " # folgt a = v 2

13 Scheinkäfte Scheinkäfte sind Tägheitskäfte, welche von mitbewegten Beobachten in beschleunigten Bezugssystemen beobachtet weden. F t a Beobachte im Wagen: -Eine Kaft zieht die Kugel plötzlich nach hinten. Beobachte außehalb: -Wagen wid beschleunigt, dahe Zugkaft auf Fede.

14 Scheinkäfte: die Zentifugalkaft Newtonsche Axiome gelten nu in uhenden ode gleichfömig bewegten Systemen. In beschleunigten Systemen teten Scheinkäfte auf.

15 Inetialsysteme

16 Das Newtonsche Gavitationsgesetz F G = "G m # M 2 G=6, Nm 2 /kg 2 (Gavitationskonstante) G m " M = m v 2 2 Ansatz : F G =F P (Gavitationskaft=Zentipetalkaft) = " Ditte Keplesche Gesetz T G M mit v = 2" /T T 2 / 3 = const folgt das

17 Die elastische Fedekaft Käfte können übe das dynamische Gundgesetz gemessen weden: 1 N ist die Kaft, die eine Masse von 1 kg mit 1 m/s 2 beschleunigt. ode auch übe ihe Defomationswikung auf eine Fede: F D ( x x ) D = " 0 Fedekonstante Fedeauslenkung Hooke sches Gesetz F Robet Hooke,

18 Beispiel eines modenen Kaftmessgeäts: Das Kaftmikoskop (AFM) D " 0.05 #1 N m x = F D = 1 nn " m 0.1 N =10 #8 m

19 AFM-Expeimente mit einzelnen Molekülen (M. Rief, H. Gaub et al., Science 275, 1295 (1997) Deflection Piezopath intemolecula foces (binding inteactions) intamolecula foces (polyme elasticity) Foce [pn] Extension [nm]

20 Reibungslehe (Tibologie) > Vesuch

21 Tockene Reibung Reibungskäfte wiken entgegen de angelegten Kaft und de Geschwindigkeit. F ext F R = µ F N F N =mg Tockene Reibungskaft unabhängig von Geschwindigkeit und Auflagefäche Typen de Reibung: µ H µ G - Hafteibung µ H - Gleiteibung µ G - Rolleibung µ R Stahl/Stahl 0,78 0,42 Stahl/Stahl(Öl) 0,05 0,03 Gummi-Asphalt 0,8-1,1 0,7-0,9

22 Gleiteibung auf atomae Skala - de Kleben-Rutschen Pozess (stick-slip)

23 Rolleibung Eisenbahn µ R =0,002 KFZ µ R =0,02 Rolleibung ist eine ständige Begaufbewegung, weil de Untegund inelastisch vefomt wid.

24 Abeit und Enegie

25 Mechanische Abeit Abeit = Kaft x Weg W ab = b # a F ( ) " d

26 Mechanische Abeit h F G x F = m g W = m g h W# = m" g " x Gewichtskaft Hubabeit Eine eibungsfeie waageechte Veschiebung veichtet keine Abeit (gegen die Schwekaft) = 0 Zug-Abeit am Schlitten W = F " s "cos

27 Die Abeit Die Abeit W (wok) wid definiet als das Podukt aus dem Weg den ein Köpe zuücklegt und de Kaft, die in Richtung dieses Weges wikt. W = v F " v s = F " s " cos(#) Die Abeit ist das Skalapodukt aus Kaft und Weg Einheit: 1 J(oule)=1 N m = 1 kg m 2 /s 2 v F F cos() v s Bei veändeliche Kaft summieen wi übe kleine Wegelemente W = $ F " # s = % F " d s v s v F

28 Die elastische Vefomungsabeit x=0 s F Fü die Fedekaft gilt: F = "D# s W D = # F " d s = # $D" s" ds = $ D 2 s2

29 Kann man Abeit spaen? Goldene Regel de Mechanik: Bei eibungsfeien (idealen) Maschinen gilt: Die dem Kaftwandle zugefühte Abeit W zu ist gleich de von ihm abgegebenen Abeit W ab. W zu = W ab Geleistete Zugabeit : W zu = F s Ebachte Hub-Abeit : W ab = F G h Da am Flaschenzug mit eine losen Rolle F G = 2 F und h = s/2 gilt, egibt sich daaus W zu = W ab. h s

30 Potentielle Enegie Potentielle Enegie ist die Fähigkeit, Abeit zu veichten. Ein Köpe, an dem mechanische Abeit geleistet woden ist, hat die Fähigkeit gewonnen diese Abeit wiede zuückzugeben. Die von ihm aufgenommene Enegie wid potentielle Enegie genannt Fede: E pot = WD = D 2 2 s Lage: E pot = " WH = m g h

31 Konsevative Kaft und potentielle Enegie F = de dx pot Im deidimensionalen Raum gilt : F ' = % & dv dx dv dv $,, " = gad V ( ) dy dz #

32 Beschleunigungsabeit und kinetische Enegie Heleitung fü den Fall gleichfömig beschleunigte Bewegung F Bei de Beschleunigung veichtete Abeit : De zuückgelegte Weg : s = a 2 " t 2 = a 2 " # v % & $ a' 2 ( W = F " s = m " a" v 2 = v 2 2a 2a = m " v 2 2 W kin = m 2 2 v Def. Kinetische Enegie

33 Beschleunigungsabeit und kinetische Enegie allgemeine Heleitung

34 Enegiesatz de Mechanik Wenn nu konsevative Käfte wiken, also keine Reibung auftitt, dann gilt: Die Summe aus potentielle und kinetische Enegie eines abgeschlossenen Systems ist unveändelich. E pot + E kin = E tot = const.

35 Vesuch Pendel

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