Technische Thermodynamik. FB Maschinenwesen. Formelsammlung. Technische Thermodynamik. Wärmeübertragung. University of Applied Sciences

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1 Uniersity of lied Sciences Formelsammlung echnische hermodynamik Wärmeübertragung Prof Dr-Ing habil H-J Kretzschmar FB Maschinenwesen echnische hermodynamik

2 HOCHSCHULE ZIU/GÖRLIZ (FH) - Uniersity of lied Sciences FCHBEREICH MSCHINENWESEN Fachgebiet echnische hermodynamik Prof Dr-Ing habil H-J Kretzschmar Formelsammlung echnische hermodynamik Wärmeübertragung Seite Internationales Einheitensystem "SI" Schaltbilder für Bauelemente der Energietechnik (DIN 48) Größen / hermische Zustandsgrößen / Energetische Zustandsgrößen 3/ Entroie 4/ Exergie 5/ Ermittlung on Zustandsgrößen 6/ Zustandsdiagramme 6/3 Massebilanz 7/ Energiebilanz - I Hautsatz der hermodynamik 8/ Entroiebilanz - II Hautsatz der hermodynamik 9/ Exergiebilanz 0/ Einfache technische Prozesse / Wärmeleitung / Wärmedurchgang 3/ Konektier Wärmeübergang 4/ Wärmestrahlung 5/ Wärmeübertrager 6/ Instationäre Wärmeleitung 7/

3 Internationales Einheitensystem SI Größe SI - Einheit emfohlene Einheit Länge z m m Zeit τ s s Masse m kg kg Molmenge n mol kmol 000 mol hermodynamische emeratur K K Kraft F Druck kg m N kn 000 N s N Pa m 5 bar 0 Pa bar 00 kpa 0, MPa kn kpa m kpa 0,0 bar Enthalie H Innere Energie U Exergie E Wärme Q rbeit W sezische Enthalie h sezische innere Energie u sezische Exergie e sezische Wärme q sezische rbeit w Enthaliestrom H Exergiestrom E Wärmestrom Q rbeitsleistung P W J Nm kj knm J Nm m kj m 000 kg kg s kg s J Nm kj W kw s s s knm s Sez Wärmekaazitäten c, c Sezische Entroie s Sezische Gaskonstante R Entroiestrom S Wärmekaazitätsstrom C J Nm kg K kg K W J Nm K s K s K kj knm kg K kg K kw kj knm K s K s K * in der echnik oft erwendete Einheit bar für Druck

4 Schaltbilder für Bauelemente der Energietechnik (DIN 48) Mischwärmeübertrager Wärmeübertrager als Rekuerator allgemein (Wärmetauscher) Verdamfer (Kessel) Verdamfer (Kessel) mit Überhitzer Drosselentil (Druckminderentil) Kondensator Kühlmedium Verdichter allgemein Pume allgemein urbine mit Generator - Damfturbine - Gasturbine - Wasserturbine Brennkammer für Gase Kernreaktor Wärmeerbraucher mit Heizflächen Kühlturm

5 Schaltbilder für weitere Bauelemente (DIN 48) bsorber ustreiber (Kocher) Gekoelte Rektiziersäule Rohrleitungen für Schaltungen der Energietechnik (DIN 48) Wasser Luft Verbrennungsgase Damf Feste Brennstoffe Brenngase Heizöl

6 Größen / Umrechnung Beisiele sezische Größe Z: (massebezogen) Zeitbezogene Größe Z (Strom): Volumenbezogene Größe Z: Molare Größe Z: Flächenbezogene Größe Z: Stromdichte: Z z, u, h, s, c, q, w m dz Z d τ Z m z m, n, V,H, Q, W P Z z V z ρ z ρ m, q Z z n z M z, h, s, q, w Z ẑ ˆq Z ẑ q,m ˆ ˆ emeratur Maßeinheit Umrechnung hermodyn (KELVIN)-em: K CELSIUS-em: t t C FHRENHEI-em: ϑf ϑ F F RNKINE-em: ϑr ϑ R R t 73,5 C K ϑ F 9 459,67 F 5 K ϑ R 9 R 5 K emeraturdferenz: t K t Druck dfn, kpa 0,0 bar d Überdruck: üb - u u - barometrischer Druck der Umgebung Unterdruck: un u - Vakuum: Va un u

7 / Statischer Druck einer Flüsskeitssäule ρfl g zfl ρ Fl Dichte der Flüsskeit z Fl Höhe der Flüsskeitssäule uftriebskraft F g V ( ρ- ρ ) er er F V er Volumen des erdrängenden Körers (Fluids) g ρ V er ρ er ρ er ρ Dichte des erdrängenden Fluids Dichte des Fluids in Umgebung Normzustand n n 0,35 kpa,035 bar n 73,5 K n bei n, n n ρ des Fluids

8 hermische Zustandsgrößen Sezisches Volumen und Dichte ρ / Dichte: ρ Reales Fluid f (,) technische Formulierung ρ f (,) zb WD, Stoffwerte Realgasfaktor z real R f (,) hysikalische Formulierung Dferenz für Zustandsänderung,, (,) zb WD, Stoffwerte Ideales Gas Zustandsgleichung des idealen Gases: Sezisches Volumen: Dichte: V m R R R M R V n R ρ R R Sezische Gaskonstante eines Stoffes: R R M M Molare Masse des Stoffes M m n R, M Stoffwerte Strömendes ideales Gas: V m R Dferenz für Zustandsänderung R

9 / Inkomressible (ideale) Flüsskeiten und Festkörer nur f () ρ () Dferenz für Zustandsänderung ( ) () Stoffwerte Stoffwerte Näherung '() '() zb WD Dferenz für Zustandsänderung ( ) ' ' '() Stoffwerte Berechnung mit Isobarem Volumenausdehnungskoeffizienten () o +α ( o) α Isobarer Volumenausdehnungskoeff( α β) Stoffwerte (Mittelwert im em-bereich o ) Berechnung mit Längenausdehnungskoeffizienten für Länge L >> Querschnitt bei Festkörern L() Lo +αlin ( o) αlin Längenausdehnungskoeffizient (Mittelwert im em-bereich o )

10 Energetische Zustandsgrößen 3/ Isochore Wärmekaazität C Isobare Wärmekaazität C C c m Definition C c m c u h c : : Reales Fluid c f (,), c f (,) c f(,), c f (,) z B WD Ideales Gas c 3 R Einatome Gase c 5 R c nur f () Mehratome Gase c c + R nur c f() Stoffwerte Berechnung mit Isentroenexonenten κ emeraturunabhänge Festwerte als Näherung Einatome ideale Gase Zweiatome ideale Gase Dreiatome ideale Gase κ,666 κ,4 κ,3 (exakt) (gute Näherung) zb Luft (grobe Näherung) c R κ c κ c c κ R κ Ideale Flüsskeiten und Festkörer c nur f () c nur f Stoffwerte Näherung c c' () z B WD

11 3/ Innere Energie U Enthalie H Definition U Energiegehalt eines Systems H: U + V U u m, U m u h H m, H m h Reales Fluid u f(,), u f(,) u h h f (,), h f(,) z B WD Dferenz für Zustandsänderung (, ) (, ) u u h, h, h h h, h,, h(,) z B WD h(,) z B WD

12 Innere Energie U u f () u h R h () Stoffwerte o Ideales Gas Enthalie H h nur u u + c ()d h h + o u u c ()d Dferenz für Zustandsänderung f() Stoffwerte o h h c ()d o c ()d 3/3 ( ) h h h h u u h h R h () Stoffwerte h () Stoffwerte o + o u u c ( ) o O o c c R mit Mittelwerten c m bzw cm const o O O o + o h h c ( ) Mittelwert c bzw c zwischen und Dferenz für Zustandsänderung h h c o c ()d o o o o Stoffwerte ( ) h h c ( ) u u c m m O c m c m R c m c o o c ( ) c ( ) o ( ) c Stoffwerte o : m + ( ) Näherung für kleine Dferenz c c c c c () Stoffwerte o

13 3/4 Innere Energie U Enthalie H Ideale Flüsskeiten und Festkörer h nur f() Stoffwerte u uo + c () d h ho + c () d o u h () () h, Stoffwerte o u u c ()d Dferenz für Zustandsänderung u u h h ( ) h, Stoffwerte o + o u u c ( ) u o O c c R mit Mittelwerten h h c ()d h () Stoffwerte h h h h c m bzw c m const h ho + c ( o) O o O O h ho c c ()d o o o o Stoffwerte Mittelwert c bzw c zwischen und o Dferenz für Zustandsänderung ( ) h h c ( ) u u c m m c ( o) c ( o) o o c m c c Stoffwerte ( ) o Näherung für kleine Dferenz ( ) : c m c c ( ) + c ( ) c () Stoffwerte Näherungen h' () ' () h h'() ',h' z B WD h' z B WD Dferenz für Zustandsänderung u u h' h' h h h' h' ' ' ',h'() z B WD h'() z B WD

14 Entroie S sez Entroie S s Entroiestrom S m s m Reales Fluid s f(, ) z B WD bzw s f(, ) Dferenz für Zustandsänderung (, ) (, ) s s s s s f, z B WD 4/ Ideales Gas s f (, ) s f(,) o c () o o s s + d R ln o o c () s s + d+ R ln o s s R ln mit s o s o + o c () d s f Stoffwerte, berechnet für: s o 0 bei o 73,5 K usnahmen - Wasserdamf: kj s o 9, 56 kg K - Luft: kj s o 0,689 kg K Dferenz für Zustandsänderung s s s s R ln s Stoffwerte mit Mittelwerten m bzw c m c const: s so + c ln R ln o o o s so + c ln + R ln o o o Dferenz für Zustandsänderung s s cm R ln ln s s c R m ln + ln Näherung für kleine Dferenz ( ) c + m c c c c () Stoffwerte : m m c c R

15 4/ Ideale Flüsskeiten und Festkörer ( es gilt: f(), h f() ) s f (,) o c () d () s s + d o d o c() mit s s o + d d () o s s d Näherung: o d'() s s'() ( s() ) d s (), s'(), '() z B WD s f Stoffwerte, ab 4 für Wasser, berechnet für s o 0 bei o 73,5 K f Stoffwerte ab 4 für Wasser Dferenz für Zustandsänderung s s s s s Näherung:, Stoffwerte ' ( ) ' s s s' s' s', ' zb WD mit Mittelwert c m const: d () s s + c ln o d o o o Dferenz für Zustandsänderung () s s cm ln ( ) () Stoffwerte Näherung für kleine Dferenz ( ) : c m c c () + c ( ) c Stoffwerte Sonderfall const (+δ) ( δ) s s ( +δ) ( δ ) mit δ 0,K bzw benachbarte abellenwerte zu

16 Exergie E 5/ sezische Exergie E e m Exergiestrom E m e Sezische Exergie (der Enthalie) bei offenen Systemen: e e ( h h ) ( s ) ( h) : u u su h u, s u des betreffendenfluids bei, u u Dferenz für Zustandsänderung e ( h h ) ( s ) e u s Exergie im Stoffstrom - echnische rbeitsfähkeit: st st E m e+ c + g z m e mit st e e+ c + g z Sezische Exergie der inneren Energie e (u) bei geschlossenen Systemen: e ( u u ) ( s s ) + ( ) ( u) : u u u u u u, s, u u u des betreffenden Fluids bei, u u Dferenz für Zustandsänderung ( s s ) + ( ) e( u) e(u) u u u u

17 6/ Ermittlung on Zustandsgrößen aus Stoffwerttabellen (Wasserdamftafel) Bezugszustand der Wasserdamftafel: rielzustand auf der Siedelinie (tr ) uo 0 o 73,6 K so 0 bei o 0,6 kpa ho uo + o o 0 0,00000 m kg Fluide Einhasengebiete (Flüsskeit, überhitzter Damf) o C t 800 C (Flüss) (überh Damf) (Flüss) (überh Damf) (überkrit Fluid) Werte für, h, s, c, λ, η 3 rennstrich in abelle überkrit Fluid kr Damfdruckkure Flüss überh Damf tr t s t s t Phasengrenzkuren aus abelle für Nassdamfgebiet sowie t s f(),, h, h, r, s, s f() und c, c, λ, λ, η, η f() t s f(t),, h, h, r, s, s f(t) und c, c, λ, λ, η, η f(t) kr " h () s x0 ' h" h' x s' s" s h" kr h' " x0 ' s' s" s() x s

18 Zustandsgrößen des Zweihasengemisches Nassdamf 6/ Siededruck (Damfdruck, Sättungsdruck): Siedetemeratur (Sättungstemeratur): s s f() f() für beide Phasen nteil siedender Flüsskeit: m', V' ' V' m' nteil trocken gesättten Damfes: m", V" " V" m" Nassdamfgemisch: m m' + m" V Vx V ' + V " x x m Damfanteil m" m" x m m' + m" Damfolumenanteil V" V" " y y x Vx V' + V" x sezisches Volumen: x ' + x (" ') ρ x x ', " f oder f () zb WD sezische Enthalie: hx h' + x (h" h') h', h", r f oder f () zb WD Verdamfungsenthalie r h h'' h' sezische innere Energie: ux hx s x s f zb WD sezische Entroie: sx s' + x (s" s') s', s" f () oder f () zb WD sezische Exergie: e x (hx h u) u (sx s u) hu, su f u, u zb WD

19 6/3 c,064 MPa Schmelzdruckkuren Wasser feste Phase Feststoff melt () andere Fluide flüsse Phase Flüsskeit überkritisches Fluid kritischer Punkt c Damfdruckkure s () reales Fluid s () t 0,67 kpa t rielzustand inkomressible Flüsskeit ideales Gas Sublimationsdruckkure sub () Gashase überhitzter Damf t Werte on Wasser 73,6 K,-Diagramm mit Berechnungsbereichen c 647,096 K Siedelinie x0 - Zustand siedender Flüsskeit (Zeer ') aulinie x - Zustand trocken gesättten Damfes (Zeer '') max Flüsskeit Zweihasengemisch flüss - gasförm,-diagramm für Fluide mit Phasengebieten und charakteristischen Isolinien

20 max 6/4 const const const max h const const kritischer Punkt reales Fluid c c inkomressible Flüsskeit Flüsskeit x 0 h c c h const c x überhitzter Damf ideales Gas s () t' h'() const x 0, const Nassdamf Zweihasengemisch flüss-gasförm x 0,4 const h"() t s t ' s'() s c s"() s t " x 0,6 x 0,8 " () const t " t t" s,s-diagramm mit Phasengebieten und Berechnungsbereichen h c h h"() h t " h'() h t ' inkomressible Flüsskeit t, t kritischer Punkt Flüsskeit const max x 0 in Bild 87 x 0,4 Nassdamf Zweihasengebiet flüss-gasförm,s() const ideales Gas t' s t ' s'() s c s"() s t " Mollier h,s-diagramm mit Phasengebieten und Berechnungsbereichen c x 0,8 c c x const max "() überhitzter Damf s () t, t const t " t" t

21 7/ Massebilanz Instationär: m m zu ab dm dτ Sonderfall: m, m const im Zeitraum τ zu ab ( ) mzu mab τ m m mit τ τ - τ Stationär: m zu m ab (m const im System) Massestrom: m ρ V, ρ Volumenstrom: V c q q durchströmte Querschnittsfläche c mittlere Strömungsgeschwindkeit über Querschnittsfläche Einfache Mischung on Massen: m m m m zu ab

22 Energiebilanz - I Hautsatz der hermodynamik 8/ Energiebilanz bei geschlossenen Systemen Instationäre Energiebilanz: Q + W du mit: d τ Dferentielle Formen δq Q, d τ W δw P d τ Q + δw + δw du δ V diss δ Q+ V d+δ Wr +δ Wdiss dh Zustandsänderung on Zeitunkt bis Form mit innerer Energie Form mit Enthalie Q WV + Wdiss U U + Q + V d+ W + W H H r diss Dissiierte rbeiten: Wdiss Wel + WW + Volumenänderungsarbeit: Zustandsänderung on Zeitunkt bis V V r δ WV dv+δwr V W dv+ W Äußere Kolben - Nutzarbeit: (bei u const) W W + V V N V u u barom Druck in Umgebung d Kolbens W N z z F (z) dz K F K (z) - Äußere Kolbenkraft in bhängkeit on z (ositi in Richtung Volumenerringerung) z - Ortskoordinate in Richtung Volumenerringerung Sonderfall: diabate Mischung Q 0 bei V const bei const U U H H

23 8/ Energiebilanz bei offenen Systemen Instationäre Energiebilanz: st Q W H st H du + + st zu ab dτ Stationäre Energiebilanz om Eintritt bis ustritt : st Q P W H st H st + t + diss Gesamtenthalieströme: H m h c g z m h st st + + Eintritt H m h c g z m h st st + + ustritt echnische Nutzleistung des Fluidstroms: st st st Pt W t m wt Sezische technische st rbeit des Fluidstroms: w t d+ wr + ( c c ) + g ( z z ) Sezische innere technische rbeit: wt d+ w r Sonderfall: Ein Eintritt und ein ustritt ( m m m ) - stationärer Fließrozeß Q P W m h h c c g z z st + t + diss + + Dferentielle Form: st t st t δ q+δ w +δ w dh+ c dc+ g dz mit diss δ w d +δ w + c dc + g dz r Sonderfall: diabate Mischung on Fluidströmen st st H H

24 Entroiebilanz - II Hautsatz der hermodynamik 9/ Definition der Entroie: Form mit U: Form mit H: du + dv ds dh V d ds Entroiebilanz bei geschlossenen Systemen Instationäre Entroiebilanz: S Q + S irr ds dτ Dferentielle Form: δ Q + δ S irr ds Quasistatische Zustandsänderung om Zeitunkt bis : irr Q S + S S S SQ S irr Q δ Entroie der Wärme Entroieroduktion im System S S m s m s Entroie im Fluid Sonderfall: diabate Mischung irr S S S

25 9/ Entroiebilanz bei offenen Systemen Instationäre Entroiebilanz: S S S S irr ds Q+ zu ab + dτ Stationäre Entroiebilanz om Eintritt zum ustritt : irr Q S + S S S S Q Q δ Entroie des Wärmestroms irr S Entroieroduktionsstrom im System S m s Entroiestrom im Fluidstrom S m s Sonderfall: Ein Eintritt und ein ustritt ( m m m ) stationärer Fließrozeß S Q irr + S m ( s s ) Dferentielle Form: δq irr + δs ds Sonderfall: diabate Mischung on Fluidströmen irr S S S

26 Exergiebilanz 0/ Exergiebilanz bei geschlossenen Systemen Form mit Exergie der inneren Energie: EQ + WN + Wdiss EV E() u E() u u EQ δ Q Exergie der Wärme WN WV + u ( V V ) Nutzarbeit V V r Volumenänderungsarbeit V W dv+ W Wdiss Wel + WW + Dissiierte rbeiten E irr u S Exergieerlust im System E() u m e() u Stoffgebundene Exergie der inneren Energie Form mit Exergie der Enthalie: P E + V d+ W + W E E E Q r diss P E m e Stoffgebundene Exergie (der Enthalie)

27 0/ Exergiebilanz bei offenen Systemen Stationäre Exergiebilanz om Eintritt bis ustritt : E Q + P st t + W diss E st E E st mit u E Q Q δ Exergie des Wärmestroms E S Exergieerluststrom im System u irr ( ) E m e c g z m e Exergie im Stoffstrom am Eintritt st st + + E m e c g z m e Exergie im Stoffstrom am ustritt st st + + Sonderfall: Ein Eintritt und ein ustritt ( m m m ) stationärer Fließrozeß E st Q + P t + W diss E m e e + c c + g z z Exergetischer Wirkungsgrad: E Nutzen η ex E ufwand Sonderfall: diabate Mischung on Fluidströmen E st st E E

28 Energieformen als reine Exergie 0/3 Sez Nutzarbeit am Kolben bei geschlossenen Systemen: en wn w + u Sez echnische rbeit bei offenen Systemen: ( ) t t r e w d+ w Sez Elektrische rbeit: Sez Wellenarbeit: Sez kinetische Energie: e w el e W w W ekin c el Sez otentielle Energie: eot g z Energieformen mit Exergie und nergie Sez Exergie (der Enthalie): - bei offenen Systemen e ( h h ) ( s s ) u u u Sez Exergie der inneren Energie: - bei geschlossenen Systemen Sez Exergie der Wärme: e u q δq e ( u u ) ( s s ) + ( ) ( u) u u u u u Energieformen als reine nergie Sez Enthalie bei Umgebungszustand: h f, h, e u 0 u u u Sez Innere Energie bei Umgebungszustand: u f, u, e 0 u u u Sez übertragene Wärme bei u : q ( s s ) ( u) u u, e q (u) 0 Sez Volumenänderungsarbeit bei u : w ( ), e w ( V u) 0 V u

29 / Einfache technische Prozesse Drosselentsannung - Näherung: adiabat m const H st H st, c, z <, c, z irr ( ) S m s s E m s s, U h Sonderfall: c c, z z h h h const h h st E η ex st E s s s Reale Fluide: < falls innerhalb Inersionskure > falls außerhalb Inersionskure (,h) s(, ) s s s h f(, zb WD wobei ) zb WD Ideales Gas: s s R R ln ln Ideale Flüss: und d () s s ( ) wobei d d () ( + δ) ( δ) d ( +δ) ( δ) mit δ 0, K bzw benachbarte abellenwerte zu mit wobei ρ ρ gute Näherung f Stoffwerte '( ) zb WD

30 / Verdichtung (Komression) - Näherung: Verdichter, Pume - adiabat M st P t Pume Verdichter (Komressor) > adiabat η sv m m Flüsskeit Gas Damf M st P t st Pt m h h + c c + g z z mit h h+ ( hs h) ηsv Für realesfluid : h f(, ), h s f(,s ) WD Für ideales Gas mit c m, κ const : ( h h) c m ( ) + (s ) ηsv κ mit κ s Für ideale Flüss : hs h m h h ( ) ( ) Stoffwerte irr ( ) S m s s E m s s u h h h h s s s Näherung: s irr s w ts w t s Isentroer Verdichtergütegrad (innerer Wirkungsgrad) w h h ts η sv w t h h s Sonderfälle: Für Ideales Gas mit cm const oder Ideale Flüss mit c const: η sv s adiabate reersible Verdichtung sconst s η sv w w h h t ts s m

31 /3 urbinenentsannung (-exansion) - Näherung: urbine adiabat Gasturbine Damfturbine Wasserturbine adiabat η s m G st -P t st P m h h + c c + g z z mit h h +η h h t s s Für reales Fluid: h f(, ), hs f(, s) WD m m Für ideales Gas mit c, κ const : h h c +η ( ) s s κ κ s mit ( ) ( ) Für ideale Flüss : h h irr ( ) S m s s E m s s u s m h h Stoffwerte h Isentroer urbinengütegrad (innerer urbinenwirkungsgrad) h h h s s -w t -w ts s s s irr s w t h h η s w h h ts s Sonderfälle: Für Ideales Gas mit cm const oder Ideale Flüss mit cm const: η s s Näherung: adiabate reersible Entsannung sconst s η s w w h h t ts s

32 /4 Reersible Zustandsänderungen idealer Gase on nach für c, c, κ const R c R c R c c c c R +,,,, κ κ κ κ u u h h s s Isochore const const u u c h h c s s c ln Isobare const const u u c h h c s s c ln Isotherme const const u u 0 h h 0 s s R s s R ln ln Isentroe s const const κ κ κ κ κ κ κ κ κ u u c h h c s s 0 Polytroe const n n n n n n n n n u u c h h c s s n c ln n κ

33 Reersible Prozesse idealer Gase on nach für c, c, κ const κ R, c R, c R, c κ c, c c + R κ κ q w (bei geschl Systemen) w t (bei stat off Systemen) Isochore const const Isobare const const Isotherme const const Isentroe s const κ const Polytroe, q c ( ) w 0, q c ( ) w ( ) R( ) const w t ( ) R ( ) w t 0 q w w t w w q R R t ln ln mit: R q 0 R w c( ) ( ) n q c( ) w q c w t ( ) ( n κ) q R ( n )( κ ) κ κ R κ w κ R w κ κ mit: R w w t κ n R n w n n R w n mit: R R w ( ) w n n w - t κ ( ) w t c R κ κ κ κ wt R κ κ κ w t R κ mit: R w t κ w n n n wt R n n n w t R n w mit: R R n ( ) n w n w t t /5

34 Eindimensionale stationäre Wärmeleitung ohne Wärmequellen (λconst) Gleichung des emeraturfeldes: Wärmestromdichte: (Betrag) Wärmestrom durch Wand: Wärmeleitwiderstand: Ebene Wand: grad t dt dx Zylinderwand: Rohrwand Hohlzylinder mit Länge l grad t dt dr Kugelwand: grad t dt dr t t t Eb tx) ( Zyl tr () drad t 0 ˆq λ gradt t Q λ λ Rλ R λ δ λ m i a t λ wi Q t wa t wa t wi Q δ x x i x a δ xa xi i t wi i t wi r i λ δ Q Q r a a a t wa t wa r δ r r d d i Kug t(r) i a i a i t wi t wi r i λ δ Q Q r a δ r r d d a i a i a a t wa t wa r Q qˆ t t t δ λ m wi wa - Wanddicke - mittlere om Wärmestrom durchdrungene Fläche emeraturerlauf (linear) Eb ( x x ) i tx) ( t t t wi wi wa Eb m a b i a const (a, b bmessungen der Wand) Näherung für wandarte Gebilde emeraturerlauf (logarithmisch) r ln Zyl ri tr () twi ( twi twa) ra ln r ( ) da di π l da ln a ln di i Zyl a i m Näherung für kanalarte Gebilde bei a < 3 i emeraturerlauf (hyerbolisch) Kug ri r tr () twi ( twi twa) ri ra Kug ( da di ) m π a i di d a Näherung für geschlossene Gefäße bei a < 3 i δ i / (logarithmisches Mittel) (geometrisches Mittel)

35 3/ Eindimensionaler stationärer Wärmedurchgang (λ, α const) i λ λ B λ C t F i t W i t W t W Qk t W 3 t W a t W 4 t t m m F m a α i, α B C i a, a x i x x x 3 x a x 4 x a Sonderfall: Ebene Wand const i m a (j, B, C) j Wärmestrom: Q k t k Rk tk tf t i Fa Wärmedurchgangswiderstand Rk Rα + Rλ + Rα (j,b,c) i j a j R k k a a k i i k a - Wärmedurchgangskoeffizient bezogen auf Fläche a k i - Wärmedurchgangskoeffizient bezogen auf Fläche i Wärmeübergangswiderstände R αi α i i R αa α - Wärmeübergangskoeffizient α a a Wärmeleitwiderstand der Schicht j (j, B, C) Rλ j δ j λ j mj Kontinuitätsgleichung des stationären Wärmestroms: Q Q Q Q Q k αi λj α a t t k α t i λ t j αa Q k, Q α, Q, Q R i λ j α a k Rα R R i λj αa

36 3/ Verallgemeinerung: Q t R th R th - thermischer Widerstand zwischen den emeraturen on t Berechnung des thermischen Widerstandes: i t Fi Q λ λ 3 λ 4 λ λ 6 a tf a Näherung für Vernachlässung der W-Ströme quer: R R + R + R + R + R th αi λ λ 5 λ6 αa (Reihenschaltung) α i λ 5 α a R R + λ λ R + λ R + λ R λ (Parallelschaltung) Wärmedurchgang bei aneinander orbeließenden Fluiden (durch Wand getrennt) ṁi 0 Gl ṁa i a Q k Geg ṁ a Gl - Fluide im Gleichstrom Geg - Fluide im Gegenstrom emeraturschaubild t t ṁi i Geg t Gl k0 k Wand Gl t k0 Gl k ṁa ṁ Geg a a t Geg k 0 Weg Mittlere emeraturdferenz zwischen m i und m a on 0 bis : t m k0 k tk k0 Fi Fa tk0 ln t t k t t k t t F i t t F a 0 Hinweis: Unterschied ob Gleichoder Gegenströmer Wärmestrom Q k m tk Rk

37 4/ Konektier Wärmeübergang Wärmestrom (NEWONsches Wärmeübergangsgesetz) Q α α t α tα tf t W tf t W tf t W ln t F t W t F ändert sich on t F auf t F, bei Mittelwert t W m tα tf tw bei Mittelwerten für Fluidtemeratur t F m und Wandtemeratur t W Wärmeübergangskoeffizient: α λ Nu lchar Nu - Nußelt-Zahl l char - charakteristische Länge für jeweile Geometrie λ bei t st Reynolds -Zahl: Re cl char ν ν bei t st Fluid λ c - Wärmeleitkoeffizient - Geschwindkeit ν - kinematische Viskosität ν η ρ ν η Prandtl -Zahl: Pr c a λ η, c, λ bei t st η ρ a - dynamische Zähkeit - Dichte ρ λ - emeraturleitkoeff a ρ c Grashof -Zahl: 3 Gr β g l t α char ν ν, β bei t st β - isobarer Volumenausdehnungskoeffizient g - Erdbeschleunung β für idealegase st β α für Flüss st Stoffwerte Stoffwerte bei Stoffwert- emeratur t st Korrekturfaktor für emeratur-bhängkeit der Stoffwerte falls in Nu-Glg angegeben Gase: K η Flüsskeiten : K ηw 04, η Dyn Zähkeit des Fluids bei Stoffwerttem tst ηw Dyn Zähkeit des Fluids bei Wandtem t W

38 4/ Freie Konektion Nu f (Gr,Pr) Platten, Zylinder, Kugeln Q α α tf tw Nu 0 Gr Gr K, ( Pr) ( Pr), t ( t t ) st F + W 7 gült für Pr > 0, 5, 0 ( Gr Pr) 0 l char Höhe bei senkrechten Wänden und Rohren l char ußendurchmesser bei waagerechten Rohren und Kugeln l char kleinere Seitenlänge bei waagerechter Platte Enge Salte Q α α tw tw n k Gr Nu + ( Pr) m+ Gr t ( Pr) st 05, ( tw + t W ) tw, tw - emeraturen der Saltoberflächen gült für Pr > 0, 5, 700 ( Gr Pr) 0 8 Nu für (Gr Pr)<700 t W t W C t W q δ δ q t W t W B q D δ δ t W q t W t W E q B C D E k m n 0,07 300,333 0, ,393 0,9 4500,7 0, ,36 0, ,36 l char δ (Saltbreite)

39 4/3 Erzwungene Konektion Nu f (Re,Pr) Strömung in Rohren l d char d gl t F tw tf t W Qα α t F t W ln t F W t q gl 4 m F Uq q - durchströmte Querschnittsfläche U q - benetzter Umfang Sonderfall: Kreisrohr dgl di Laminare Strömung bei Re < 300 bzw m Q α α tf t W t - mittlere Fluidtemeratur t W - mittlere Wandtemeratur t F - Eintrittstemeratur Fluid t F - ustrittstemeratur Fluid L - Rohrlänge dgl 0, 0677 Re Pr L Nu 366, + dgl + 0, Pr Re L d gl gült für: Re Pr >, Pr > 0, 6 L 3 33, 0,83 K st F F m st F t t + t bzw t t (Mittelwert) urbulente Strömung bei Re 300 Nu + 0, 035 Re 30 8, Pr 0, 8 L L gült für: >, 300 Re < 0 6, 0,6 < Pr < 0 3 d gl d 3 0,8 gl 0,3 ( ) K st F + F m st F t t t bzw t t (Mittelwert) Strömung entlang ebener Wände (Platten) Q α α tf tw l char - Länge der Wand (Platte) in Strömungsrichtung t F - nströmtemeratur des Fluids, t W mittlere Wandtemeratur 5 Laminare Grenzschicht bei Re < 3,5 0, Re Pr t ( t + t ) Nu gült für: Pr > 0,6 K st urbulente Grenzschicht bei Re 3, , 043, Nu 0, 037 Re Pr K t st t F gült für: 0,6 Pr 00 F W

40 Wärmestrahlung 5/ Strahlungskoeffizient: C ε C s ε a ε - Emissionserhältnis a - bsortionskoeffizient 8 W Cs σs 0 5,6705 m K 4 - Strahlungskoeffizient des Schwarzen Strahlers Emittierter Energiestrom: E C 00 Wärmestrom durch Strahlung Q C a) Sich umhüllende Körer ( innerer Körer) 4 4 Q C + C C C s b) unendlich großer Raum bei: >> 0 Q C C c) und unendlich große arallele Wände Q bei: falls bstand iel kleiner als bmessungen der Wände C C + C C s

41 5/ d) Berechnung mit Einstrahlzahl Q C C C C + C + s ϕ s Cs ϕ Einstrahlzahl Diagramme für bestimmte Geometrien Rezirozitätsbeziehung: ϕ ϕ Wärmeübergangskoeffizient durch Strahlung 4 Q α Str C ( ) U 4 Strahlungsschirm Strahlungsschirm (Sch) 3 Sch Q 3 Q Q Q sch 3 3 Q C C 4 4 Sch C C C3 + C3 3

42 Rekueratoren (Wärmetauscher) 6/ Wärmekaazitätsstrom: m j j HK Q k t C m c j Flächenbezug j i Innenfläche j a - ußenfläche Mittlere emeraturdferenz zwischen Heiz- und Kühlmedium: 0 m t t t HK HK HK 0 t ln HK t HK Gleichstrom: thk th tk 0 thk th tk Gegenstrom: thk th tk 0 HK t t t H K Sonderfall bei Gegenstrom und m 0 HK HK HK t t t Festlegungen: H - Heizmedium gibt Wärme ab K - Kühlmedium nimmt Wärme auf - jeweils Eintritt on H und K - jeweils ustritt on H und K 0 - Eintritt Heizmedium (a 0) - ustritt Heizmedium (a ) a - laufende Heizfläche (a 0 ) Heizfläche des Wärmeübertragers C C : H K Q C H th th th th, C H m H ch, c H th H H H H th c H (th t o) c H (th t o) hh hh to to t t (t t ) t o Bezugstemeratur für Enthalie Näherung: ch c (t H) + c (t H) Stoffwerte Q C K tk tk tk tk, C K m K ck, tk tk c K (tk t o) c K (tk t o) hk hk to to ck tk t K (tk t K) t o Bezugstemeratur für Enthalie Näherung: c K c (t K) + c (t K) Stoffwerte

43 6/ Q Φ C H th tk Betriebscharakteristik Φ: th H t K ( t ) kj j C f ; H Φ C H C K mit kj j C H t C H H tk t C t HK m ; K H Diagramme für - Gleichströmer - Gegenströmer - Kreuzströmer j Flächenbezug j i Innenfläche j a - ußenfläche Sonderfall: Verdamfer t K 0 Q m K ( h h ) K K, C C H K 0 Sonderfall: Kondensator t H 0 Q m H ( h h ) H H ( t t ) Φ Q C K H K,, K C C 0 H k j j C Φ f ; K 0 C K C H, Φ : tk ( t t ) H K

44 7/ Instationäre Wärmeleitung Zu- bzw abgeführte Wärme Q( τ ) ρ V c [ t ( τ) t ] Quasistatische instationäre Wärmeleitung m o t m (τ) - Mitteltemeratur des Körers nach Zeit τ Näherung für langsame Erwärmung bzw bkühlung on kleinen Körern mit guten Wärmeleiteenschaften Mitteltemeratur t m im gesamten Körer gleich groß Körer mit - Masse m - Oberfäche - c nfangstemeratur t o im gesamten Körer gleich Eintauchen in Fluid zur Zeit τ o 0 α Fluid mit emeratur t const F Mittlere emeratur im Körer erändert sich mit Zeit τ t f (τ) m Definition: Normierte Mitteltemeratur tm t ϑ F m t o tf Normierte Mitteltemeratur als Funktion der Zeit: α ϑm() τ ex τ m c

45 nalytische Lösung nach Gröber für symmetrische Bedingungen 7/ Körer mit - m, c,λ - geometrische Länge Lgeo nfangstemeratur to im gesamten Körer gleich Eintauchen in Fluid zur Zeit τ o 0 α Fluid mit emeratur t const F emeratur an Oberfläche t W f (τ) emeratur im Kern t f (τ) K Mitteltemeratur t f (τ) m Funktionaler Zusammenhang emeratur Zeit Stoffwerte t ϑ K K to tf tf t W t ϑ F W to tf tm t ϑ F m to tf Normierte emeratur a Fo τ L geo Fourier-Zahl mit: a λ ρ c L geo Bi α λ Biot-Zahl bei t W bekannt: Bi und Berechnung für t F t W im Diagramm für Unendliche ebene Wand (Platte) Unendlich langer Zylinder Vollkugel L geo δ ; δ - Wanddicke d Lgeo ; d - Durchmesser d Lgeo ; d - Durchmesser

46 7/3 Näherungen für weitere Geometrien: Plattenähnliche Gebilde Zylinderähnliche Gebilde Kugelähnliche Gebilde L L L geo geo geo V 3 V V V - Volumen - Oberfläche Suerositionsrinzi ϑ ϑx ϑy ϑz Beisiel: Endlicher Zylinder als Überlagerung on: unendlich große Platte (Pl) unendlich langer Zylinder (Zyl) d δ δ emeratur an Stelle : ϑ ϑ : ϑ ϑ : ϑ ϑ : ϑ ϑ K Pl K Pl W Pl W Pl ϑ ϑ ϑ ϑ K Zyl W Zyl W Zyl K Zyl