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1 DOWNLOAD Thomas Röser Lineare Funktionen und lineare Gleichungen Stationenlernen Mathematik 8. Klasse Thomas Röser 8. Klasse Bergedorfer Unterrichtsideen Bergedorfer Lernstationen Downloadauszug aus dem Originaltitel: Stationenlernen Mathematik 8. Klasse Terme Lineare Gleichungen und Funktionen Prozentund Zinsrechnung Körper Stochastik

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3 . Lineare Funktionen und lineare Gleichungen Laufzettel zum Stationenlernen Lineare Funktionen und lineare Gleichungen Station Der Begriff Funktion Station Wertetabellen und Funktionsgraphen Zusatzstation A Sachaufgaben Station Grundform einer linearen Funktion Zusatzstation B Lineare Ungleichungenen Station Steigung einer rfunktion Zusatzstation statio C Zwei-Punkte-Form Station Lösungen linearer Gleichungen durch Zahlenpaare Station Schnittpunkte von linearen Funktionen Kommentare:

4 Station Der Begriff Funktion Aufgabe Aufgabe: Übe Aufgaben zum Begriff der Funktion.. Bei welchem Pfeildiagramm handelt es sich um eine Funktion? Begründe in deinem Heft.. Bei welchem Schaubild (Graph) handelt es sich um eine Funktion? Begründe in deinem Heft.. a) Bei welchen Zuordnungen handelt es sich um Funktionen? Begründe e in deinem Heft. b) Denke dir selbst jeweils zwei Zuordnungen aus: für Funktionen und für keine Funktionen. Begründe in deinem Heft. Station Wertetabellen und Funktionsgraphen Aufgabe Aufgabe: Zeichne Graphen mithilfe einer Wertetabelle.. Welche Wertetabelle gehört zu welcher Funktion? Schreibe in dein Heft und rechne nach.. Lese e aus den folgenden Wertetabellen die Funktionsgleichung ab. Schreibe in dein Heft und rechne nach.. Erstelle aus den Funktionsgleichungen in deinem Heft eine Wertetabelle und den dazugehörigen Funktionsgraph.

5 Station Grundform einer linearen Funktion Aufgabe Aufgabe: Lese die Steigung einer Funktion ab.. Betrachte die Grafik und beantworte die Fragen in deinem Heft. a) Welche Geraden sind fallend, welche steigend? b) Bei welchen Geraden handelt es sich um lineare, bei welchen um proportionale Funktionen? c) Bestimme b bei jeder Geraden. d) Welche der steigenden Geraden hat den höchsten, welche den kleinsten Wert von m?. Übernimm die folgenden Punkte in ein Koordinatensystem in deinem Heft und zeichne den Graph. Welche Geraden sind steigend, welche fallend, lend, welche haben keine Steigung? Bestimme zusätzlich b der Geraden.. Zeichne in deinem Heft eine steigende und eine fallende Gerade und gib b an. Station Steigung einer Funktion Aufgabe Aufgabe: Übe das Ablesen der Steigung einer Funktion.. Welche Gerade gehört zu welcher Gleichung? Schreibe in dein Heft.. Lese e die Funktionsgleichung aus dem Graphen ab und schreibe in dein Heft.. Zeichne die folgenden Funktionsgleichungen ins Koordinatensystem in dein Heft.

6 Station Lösungen linearer Gleichungen durch Zahlenpaare Aufgabe Aufgabe: Löse lineare Gleichungen durch verschiedene Zahlenpaare.. Prüfe in deinem Heft, welche dieser Zahlenpaare Lösungen der Gleichung y x = sind.. Prüfe in deinem Heft, welche dieser Zahlenpaare Lösungen der Gleichung y + x = sind.. a) Löse die Gleichung y + x = nach y auf. b) Lege eine Wertetabelle von bis in,er-schritten an. c) Gib L an. Station Schnittpunkte von linearen en Funktionen Aufgabe Aufgabe: Berechne Nullstellen sowie den Schnittpunkt von zwei Geraden.. Bestimme e die Nullstellen in deinem Heft.. Bestimme die Schnittpunkte der gegebenen Geradenpaare in deinem Heft.. Überlege dir zwei Geraden, die keinen gemeinsamen Schnittpunkt haben und schreibe sie in dein Heft.

7 Zusatzstation A Sachaufgaben Augabe Aufgabe: Bearbeite die Sachaufgaben. Gegeben sind jeweils ein Sachverhalt und eine Frage. Deine Aufgabe ist es, die Rechnung/Zeichnung durchzuführen und den Antwortsatz zu formulieren. Zusatzstation B Lineare Ungleichungen Aufgabe Aufgabe: Löse die linearen n Ungleichungen.. Untersuche die folgenden Zahlenpaare in deinem Heft. Liegen sie in der unteren oder oberen Halbebene oder auf der Geraden y = x +?. Trage die Punkte aus ) in ein Koordinatensystem ein und überprüfe deine Ergebnisse.. Zeichne den Graph der Funktion y =,x. Bestimme anschließend die Ungleichung für die obere und für die untere Halbebene. Trage danach folgende Zahlenpaare ins Koordinatensystem ein und überprüfe rechnerisch wo die Punkte liegen.

8 Zusatzstation C Zwei-Punkte-Form Aufgabe Aufgabe: Erstelle Funktionsgleichungen mithilfe der Zwei-Punkte-Form.. Bestimme aus den folgenden Punkten die Funktionsgleichung rechnerisch in deinem Heft.. Bestimme aus den folgenden Punkten die Funktionsgleichung rechnerisch in deinem Heft. Zeichne zusätzlich die Graphen in ein Koordinatensystem.. Bestimme in deinem Heft die Funktionsgleichung von P und P und überprüfe, ob der Graph auch durch P verläuft.

9 Station Material Der Begriff Funktion Eine Funktion ist eine eindeutige Zuordnung. Dabei wird jedem Element des Definitionsbereichs D genau ein Element des Wertebereichs W zugeordnet. Eine Funktion kann in einer Wertetabelle, einer Funktionsgleichung, einem Pfeilbild oder einem Schaubild (Funktionsgraph) dargestellt werden. x beschreibt eine unabhängige Variable (frei wählbar) und y ist die abhängige Variable. Bemerkung: y wird auch oft als f(x) bezeichnet.. a) b) c) D W D W D W 9. a) b) c) d). a) Eingabegröße Ausgabegröße a) Alter Gewicht b) Arbeitsstunden Lohn c) Versandkosten Paketgewicht d) Warenmenge Preis e) Tankinhalt Kilometerleistung f) Telefonminuten Handyflatrate b) Eingabegröße Ausgabegröße Funktion Funktion keine Funktion keine Funktion 7

10 Station Material Wertetabellen und Funktionsgraphen Bei einer gegebenen Funktionsgleichung kann mithilfe einer Wertetabelle (häufig im Intervall bis ) ein Schaubild (Funktionsgraph) erstellt werden. Gegeben ist die Funktionsgleichung f(x) = x +. In einer Wertetabelle werden für x-werte von bis (diese werden nacheinander in die Gleichung eingesetzt) die zugehörigen y-werte berechnet, z.b. f(x) = ( ) +, f(x) = y x 8 f(x) 7 Mithilfe dieser Wertetabelle lässt sich ein Graph zeichnen, indem alle Werte auf einer Linie (Geraden) liegen. An der Stelle x = hat y den Wert. x Koordinatenwerte (auch Wertepaare genannt): P ( ), P ( ),. a) x f(x) 9 7 f(x) = x b) x f(x) f(x) = x + c) x f(x) f(x) = x. a) x y,,,, b) x y 7,,,,,,, c) x y 8 8. a) f(x) = x b) f(x) = x + c) f(x) = x + d) f(x) = x 8

11 Station Grundform einer linearen Funktion Material Die Grundform einer linearen Funktion ist die Gleichung f(x) = m x + b. Der Graph ist eine Gerade und schneidet die y-achse im Punkt P ( b). Daher ist b der Schnittpunkt mit der y-achse, m beschreibt die Steigung der Geraden. Hat m ein positives Vorzeichen, so steigt die Gerade (von links unten nach rechts oben), andernfalls fällt sie. Je größer die Zahl m, desto steiler steigt oder fällt die Gerade. Hat m den Wert Null so liegt keine Steigung vor und die Gerade läuft auf Höhe b parallel zur x-achse. Liegt eine Funktionsgleichung nur in der Form f(x) = m x vor, so verläuft diese Gerade durch den Ursprung des Koordinatensystems (Nullpunkt) und wird proportionale Funktion genannt. Beispiel: Die lineare Funktion f(x) = x + schneidet die y-achse bei +. Es handelt sich um eine steigende Gerade (positives m). Die proportionale Funktion f(x) = x verläuft durch den Ursprung und fällt (negatives m).. y g g g g x g. a) P ( ) P ( ) b) P ( ) P ( ) c) P ( ) P ( ) d) P ( ) P (, ). steigend (b =?): fallend: (b =?) 9

12 Station Steigung einer Funktion Material Die Funktionsgleichung der Form f(x) = m x + b kann auch anhand des Graphen abgelesen werden. Wichtig hierfür ist neben dem Schnittpunkt mit der y-achse, wie steil die Gerade steigt/fällt. Um die Steigung m festzulegen, wird ein Steigungsdreieck angesetzt, welches eine Einheit nach rechts und m Einheiten nach oben bzw. unten geht. Beispiel: y m b Bemerkung: Besitzt m z.b. den Wert so man geht drei Einheiten nach unten und vier Einheiten e nach rechts. Der Graph schneidet die y-achse bei +. Mithilfe des Steigungsdreiecks gsdre ecks sieht man, dass der Graph eine Einheit nach rechts und zwei Einheiten nach oben verläuft. m wird definiert als m =. Gegeben ist hier also die Funktion f(x) = x +. =. a) (x) = x b) f(x) =,x +,7 c) f(x) = x d) f(x) = x +,7 e) f(x) = x f) f(x) = x. Graph von. a b c d. a) y =,x b) y =,7x + c) y = x

13 Station Lösungen linearer Gleichungen durch Zahlenpaare Material Zahlenpaare, die die Gleichung y = m x + b lösen, bilden eine Lösungsmenge L der betreffenden Gleichung. Um die Lösungen zu berechnen, werden die Gleichungen durch Äquivalenzumformung nach y aufgelöst. Beispiel: Gegeben ist die Gleichung y x = 8. Umformen nach y führt zu y = x +. Für bestimmte x-werte können nun die dazugehörigen y-werte berechnet werden. x = führt zu y = 8. Das Zahlenpaar ( 8) ist Lösung der Gleichung y = x +. x = führt zu y =. Das Zahlenpaar ( ) ist Lösung der Gleichung y = x +. Die Lösungsmenge sieht so aus: L = {(x,y) y = x + }. a) (,) b) ( ) c) (,,) d) ( 8) e) ( 8,,) f) (, 7,). a) (,) b) ( 8,) c) (,,) d) ( ) e) (, 7,7) f) (,8,9)

14 Station Schnittpunkte von linearen Funktionen Material Die Stelle, wo der Funktionsgraph die x-achse schneidet, wird Nullstelle (x ) genannt. Überall auf der x-achse gilt f(x) = y =. Daher liegt das Zahlenpaar immer in der Form (x ) vor. Um diese Stelle zu ermitteln, wird die bekannte Funktionsgleichung gleich Null gesetzt und nach x aufgelöst. Jede lineare Funktion (sofern eine Steigung m vorliegt) hat genau eine Nullstelle. Beispiel: Gesucht ist die Nullstelle der Funktion f(x) = x,. Setze f(x) = y = : = x, ; Auflösen liefert x =, =. Der Funktionsgraph schneidet die x-achse an der Stelle x =, bzw. im Punkt (, ). Für die Probe gilt: f(,) = (,), =. Sind zwei Funktionsgleichungen in einem Koordinatensystem ordina vorhanden und der Schnittpunkt soll ermittelt werden, setzt man die Funktionen gleich. Gesucht ist der Schnittpunkt der Funktionen n f (x) =x + und f (x) = x : Setze f (x) = f (x) und löse nach x auf: x + = x ; Auflösen liefert x =. Für den y-wert setze x in die Gleichungen und prüfe Gleichheit: heit: () + = () =. Schnittpunkt nkt S ( ).. a) f(x) =,x + 7 b) f(x) =, x c) f(x) =,x +, d) f(x) =,x, e) f(x) = 8,x, f), x + y =. a) f (x) = x + ; f (x) = b) f (x) =,x ; f (x) = x, c) f (x) =, x ; f (x) = x d) f (x) =,x; f (x) = x + e) f (x) = x + ; f (x) = x f) f (x) =,x + 7; f (x) = x,

15 Zusatzstation A Sachaufgaben Material Beispiel: Zwei Autos fahren konstant mit km/h auf der Autobahn. Zu Beginn startet Auto A bei km, Auto B bei km. Aufgabe: Zeichne die Funktionsgraphen der Autos. Wähle Maße für das Koordinatensystem. Strecke [km] 8 Auto B Auto A Bemerkung: Zeit [min] Für die Minuten (x-achse) lassen sich nun die jeweils gefahrenen e en Kilometer (y-achse) am Graph ablesen oder rechnerisch lösen.. Zwei Handyverträge sollen verglichen werden. en. Vertrag A kostet, Grundgebühr und Cent pro Minute, Vertrag B kostet 7, Grundgebühr und Cent pro Minute. a) Zeichne die beiden Funktionsgraphen. b) Bei wie viel Minuten sind die aufgelaufenen Kosten gleich und wie hoch sind die Kosten? c) Ab wie viel Minuten ist Vertrag A, ab wie viel Vertrag B günstiger? d) Herr Albrecht telefoniert mit Vertrag A nur Minuten. Wie viel bezahlt er? e) Frau Bayer bezahlt für Vertrag B,. Wie viele Minuten hat sie telefoniert?. Die Gerade g hat die Steigung, die Gerade g eine von,. Die beiden Geraden schneiden sich im Punkt P( ). a) Zeichne die beiden Funktionsgraphen. b) Wie lauten die Funktionsgleichungen der beiden Geraden?. Eine Kerze ist cm lang und brennt nach acht Stunden ab. a) Zeichne den Funktionsgraphen und bestimme die Funktionsgleichung. b) Wie lang ist die Kerze nach sieben Stunden? c) Wie viel cm sind in zwei Stunden abgebrannt?

16 Zusatzstation B Lineare Ungleichungen Material Eine Gerade y = x + teilt das Koordinatensystem in zwei Halbebenen, eine unterhalb (L ), eine oberhalb (L ) der Geraden (L ). y L y > x + L y = x + L y < x + Lösungsmenge: nge: Gleichung: L = {(x,y) y = x + } - - x Ungleichung: L = {(x,y) y < x + } - - Ungleichung: L = {(x,y) y )y > x + } - Prüfe nun, ob ein beliebiger bi Punkt (Zahlenpaar) Lösung der Gleichung oder einer der Ungleichungen ist, z.b. der Punkt ( ). Einsetzen en in L liefert t, Einsetzen in L liefert <, Einsetzen e in L liefert -, damit liegt der Punkt ( ) in der unteren Halbebene. Bemerkung: e Werden beide Seiten einer er Ungleichung mit einer negativen Zahl multipliziert oder dividiert, dreht sich der Vergleichsoperator e um.. a) ( ) b) ( ) c) ( ) d) ( ) e) ( ) f) ( ). a) ( ) b) ( ) c) ( ) d) (,,) e) ( ) f) ( )

17 Zusatzstation C Zwei-Punkte-Form Material Bei einer Geraden reichen zwei vorgegebene Punkte aus, um m und die Funktionsgleichung zu ermitteln und damit auch den Graph zu zeichnen. Beispiel: Eine Gerade g verläuft durch die Punkte P (,) und P (,7). Die Steigung m rechnet man so: m = y y x x =,7, ( ) =, =, m in y = m x + b einsetzen, wofür x oder x,y oder y gewählt werden kann, z.b. mit x, y :,7 =, () + b, b = Oder b im Schaubild ablesen. Die Funktion heißt y =,x +. y P = (,,7) y y P = (-,,) x x x. a) P ( 7) und P ( ) b) P ( 7) und P ( 9) c) P (,) und P ( 8) d) P ( ) und P ( 7). a) P (,) und P (,) b) P ( ) und P ( ). a) P (,) und P ( ), P ( 8,) b) P ( 9) und P ( ), P ( 9) c) P ( 7,) und P (,), P ( 8,)

18 Abschließende Bündelung des Stationenlernens Material Aufgaben zur Wiederholung Wiederholung der Stationen sowie der Zusatzstationen A C. a) Bestimme die Funktionsgleichungen der folgenden Funktionen. Welcher dieser Funktionen sind linear, welche proportional? b) Bestimme die Funktionsgleichung der Funktion, wenn die beiden Punkte ( ) und ( ) gegeben sind. Löse rechnerisch (ohne Zeichnung) b) c) a) d) e). Prüfe in deinem Heft, welche dieser Zahlenpaare Lösungen der Gleichung,y +,x = 8 sind. Gib die Lösungsmenge an. a) (,88) b) (,,) c) (7,,) d) (,,) e) (,). In einer Badewanne befinden sich Liter Wasser und pro Minute fließen Liter durch den Abfluss. a) Bestimme me die Funktionsgleichung und zeichne den Graph im passenden Maßstab. b) Zu welchem Zeitpunkt befinden noch 8 Liter in der Wanne? Löse rechnerisch. c) Nach wie viel Minuten ist die Badewanne leer? Löse rechnerisch und überprüfe das Ergebnis mit der Zeichnung.. Bestimme die Nullstellen der beiden Geraden f (x) = x und f (x) =,x +, sowie deren gemeinsamen Schnittpunkt. Zeichne danach die Graphen mithilfe einer Wertetabelle. Welche Besonderheit erkennst du, wenn du die Lage der beiden Geraden betrachtest?. Welcher diese Wertepaare ist Lösung der Ungleichung,x + y <,7? a) ( ) b) (, ) c) (, 7,) d) (, )

19 . Lineare Funktionen und lineare Gleichungen Lösungen Station : Der Begriff Funktion. a) ist eine Funktion (jedem Element des Definitionsbereichs wird genau ein Element des Wertebereichs zugeordnet, eindeutige Zuordnung), b) und c) sind keine Funktionen.. b) und c) sind Funktionen; a) und d) sind keine Funktionen. a) b), d) und e) sind Funktionen; a), c), f) sind keine Funktionen b) Individuelle Lösungen Station : Wertetabellen und Funktionsgraphen. a) f(x) = x b) f(x) = x c) f(x) = x +. a) y = x + b) y = x, c) y = x. x a) f(x) = x f(x) 7 8 x b) f(x) = x + f(x) x f(x),,,, c) f(x) = x + x d) f(x) x f(x) 7 8 7

20 a) b) c) d) Station : Grundform einer linearen Funktion kennen. a) fallend: g, g ; steigend: g, g, g b) linear: g, g, g ; proportional: g, g c) g : b = ; g : b = ; g : b = ; g : b =,; g : b =, d) g hat den größten Wert bei m, g den kleinsten 8

21 . steigend: a), d) fallend: b) keine Steigung: c) a) a) b: b) b: c) b: d) b: c). Individuelle Lösung d) b) Station : Steigung einer Funktion. a c b e f d. a) f(x) =,x + b) f(x) =,x c) f(x) =,x d),x 9

22 . b c a Station : Lösungen linearer Gleichungen n durch Zahlenpaare. a), b), d), e) sind Lösungen; c), f) sind keine Lösungen. a), d), f) sind Lösungen; b), c), e) sind keine Lösungen. a) y = x + b) x,,,,,, f(x) c) L = {(x,y) y = x + } Station : Schnittpunkte von linearen Funktionen. a) x = b) x =, c) x =, d) x =, e) x =, f) x =,. a) S (8 ) b) S (,) c) S ( ) d) S (,8,8) e) S (, ) f) S (,,)

23 . Individuelle Lösung: Die Geraden müssen parallel zueinander verlaufen. Die beiden Geraden dürfen keine Steigung (kein m) haben, z.b.: f (x) = ; f (x) =. Die Geraden müssen die gleiche Steigung (gleiches m) haben, z.b.: f (x) = x + ; f (x) = x +. Zusatzstation A: Anwendungs- und Sachaufgaben. a) 8 S 8 B A min b) Rechnung: Gleichsetzen liefert:,x + =,x + 7; x = Einsetzen:, () + =, () + 7 = Antwort: Bei Telefonminuten nu sind die Kosten beider Verträge gleich und kosten,. c) Rechnung: Für x < :,x + <,x + 7 Für x > :,x + >,x + 7 Antwort: Vertrag A ist für weniger als Telefonminuten günstiger und Vertrag B für mehr als Telefonminuten. d) Rechnung:, () + = 8 Antwort: Er bezahlt 8,. e) Rechnung: =,x + 7; x = Antwort: Sie hat Minuten telefoniert.

24 . g : y = x + ; g : y =,x +, g P g. a) y = x + cm h b) Rechnung: cm (7) + cm = cm Antwort: Nach sieben Stunden ist die Kerze noch cm lang. c) Rechnung: cm () + cm = cm; cm cm = cm Antwort: In zwei Stunden brennen cm ab. Alternativ für b), c): Ablesen aus dem Graph

25 Zusatzstation B: Lineare Ungleichungen. Der Punkt liegt in a) L b) L c) L d) L e) L f) L ) e b c d f a. L = {(x,y) y <,x } b), e), f) L = {(x,y) y >,x } a), c), d) d c f a e b

26 Zusatzstation C: Zwei-Punkte-Form. a) f(x) = x + b) f(x) = x c) f(x) =,x + 7 d) f(x) = x +. a) y = x, b),x +, b a. a) f(x) =,x +,; Graph geht nicht durch P b) f(x) = x; Graph geht durch P c) f(x) = x +,; Graph geht durch P Abschließende e Bündelung des Stationenlernens. a) y = x + b) y = x c) y = x d) y =,x + e) y =,x linear: a), d), e) proportional: b), c) b) m = y y x x = ( ) = =, ; Einsetzen: =, () + b ; b =, ; Funktionsgleichung: f(x) =, x +,

27 I min. L = {(x,y) y =,x,88} Lösung: a), b), d) nicht Lösung: c), e). a) y: Menge in Litern, x: Zeit/Minuten, m =, b =, Funktionsgleichung: nsgle y = x + b) Rechnung: Setze y = 8 8 = x + x =,7 min Antwort: Nach,7 ( min s) Minuten befinden sich noch 8 Liter in der Wanne. c) (ges: Nullstelle) Rechnung: Setze y = = x +

28 x = 7, min Antwort: Nach 7, Minuten (7 min s) ist die Wanne leer.. S f f f x f(x) 8 f x f(x) 7,,, Nullstelle f : x =, x = Nullstelle f :,x +, = ; x = Schnittpunkte: x =,x +,; x =. Setze x-wert ein: () =, () +, = ; S ( ) Besonderheit: eit: Die beiden Geraden stehen in einem rechten Winkel.. c) ist Lösung dieser Ungleichung, denn -7 <,7. Alle anderen Ungleichungen (a,b,d) sind nicht wahr.

29 Weitere Downloads, E-Books und Print-Titel des umfangreichen Persen-Verlagsprogramms finden Sie unter Hat Ihnen dieser Download gefallen? Dann geben Sie jetzt auf direkt bei dem Produkt Ihre Bewertung ab und teilen Sie anderen Kunden Ihre Erfahrungen mit. Persen Verlag, Hamburg AAP Lehrerfachverlage GmbH Alle Rechte vorbehalten. Das Werk als Ganzes sowie in seinen Teilen unterliegt dem deutschen Urheberrecht. Der Erwerber des Werks ist berechtigt, das Werk als Ganzes oder in seinen Teilen für den eigenen Gebrauch und den Einsatz im Unterricht zu nutzen. Die Nutzung ist nur für den genannten Zweck gestattet, nicht jedoch für einen weiteren kommerziellen Gebrauch, für die Weiterleitung an Dritte oder für die Veröffentlichung im Internet oder in Intranets. Eine über den genannten Zweck hinausgehende Nutzung bedarf in jedem Fall der vorherigen schriftlichen Zustimmung des Verlags. Sind Internetadressen in diesem Werk angegeben, wurden diese vom Verlag sorgfältig geprü ft. Da wir auf die externen Seiten weder inhaltliche noch gestalterische Einflussmöglichkeiten haben, können wir nicht garantieren, dass die Inhalte zu einem späteren Zeitpunkt noch dieselben sind wie zum Zeitpunkt der Drucklegung. Der Persen Verlag ü bernimmt deshalb keine Gewähr fü r die Aktualität und den Inhalt dieser Internetseiten oder solcher, die mit ihnen verlinkt sind, und schließt jegliche Haftung aus. Satz: Satzpunkt Ursula Ewert GmbH Bestellnr.: 78DA

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