Prinzipiell die gleichen Regeln wie bei Bruchzahlen! z.b. zum Addieren und Subtrahieren: Erweitern auf den Hauptnenner

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1 Gmnasium Stein Grundwissenkatalog Mathematik Jahrgangsstufe 8 Wissen/Können Rehnen mit Bruhtermen (Grundrehenarten) Lösen von Bruhgleihungen Einfaher Spezialfall: Auflösen von Formeln Funktionen Zur Angabe einer Funktion gehören Definitionsmenge D Funktionsvorshrift: Einer Größe wird eindeutig eine Größe zugeordnet: a o Funktionsterm f() o Funktionsgleihung f() Aus diesen Angaben ergibt sih die Wertemenge W Wihtigster Spezialfall: Die lineare Funktion Funktionsgleihung m + t Steigung m -Abshnitt t Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade Spezialfall: Die direkte Proportionalität Aufgaben und Beispiele Prinzipiell die gleihen Regeln wie bei Bruhzahlen! z.b. zum Addieren und Subtrahieren: Erweitern auf den Hauptnenner und vereinfahen: Multiplikation mit dem Hauptnenner; danah kürzen: Auflösen nah : Kreuzweise multiplizieren Auflösen von D F s s 0 b a a b b + a b a + b ab b b ab b ; ( + ) ; ( )( ) ( )... D ; ( a b) ( ) 9 G Q D Q\{- ; 0} L { } G Q D Q\{ 0 ; } L {9} F D s s0 F... s + s D nah s : ( ) 0 Auflösen von U U R 0 nah R ges : U0 R f ges U0 U R U U 0 0 R ges R R ges U U0 Beispiel: Ein Stein fällt aus einer Höhe von 80 m in s zu Boden. Für Zeit in Sekunden gilt hier also D [0 ; ] Jedem Zeitpunkt kann eindeutig 80 eine Höhe zugeordnet werden! Wertetabelle (z.b. aus Eperiment): 60 in s 0 in m ( ) 80 5 (Zuordnung hier als Gleihung) 80 5 W [0 ; 80] Bsp.: g: +,5 m ( ) t ( Menge der ),5 Zeihnen z.b. mit -Abshnitt und Steigungsdreiek P ( ) h: + P (,5) m m onst. ; Kurzshreibweise : Der Graph ist eine Gerade durh den Ursprung ( t 0 ; im Bsp. Gerade p ) 0 O Hinweis: zum Thema lineare Funktionen findet man ein ausführliheres Arbeitsblatt auf unserer Homepage: (unter Fahshaft Mathematik),5 g: + p:

2 Einfahe gebrohenrationale Funktionen (maimale) Definitionsmenge D Ahsenshnittpunkte Asmptoten Spezialfall: Die indirekte Proportionalität Funktionsgleihung f() bzw : Die Graphen heißen Hperbeln Lineare Ungleihungen Umkehrung des Ungleihungszeihens bei Multiplikation mit negativer Zahl bzw. Division durh negative Zahl auh graphishes Lösungsverfahren Intervalle als Lösungsmenge f() + verboten ist Nenner 0 Also: + 0 D Q \ { } senkrehte Asmptote: S : 0 0 S : S ( 0) S (0 ) (-). (-) 6 G f 6 - G f S S W Q \ { } f(000) 0,98 0,5 f( 000) 0,50 0,5 waagrehte Asmptote: 0,5 Zum Skizzieren des Graphen genügen jetzt wenige zusätzlihe Funktionswerte, z.b.: f( ),5 ; f( ),5 ; f ( ), onst. (Im nebenstehenden. 6 Beispiel für 6 an. 6 einigen Punkten des 6. 6 Graphen demonstriert). Kurzshreibweise: Asmptoten des Graphen: Ahsen des Koordinatensstems a) + < < < L a ] ; [ b) + 0. ( ) L b [ ; [ 6 Allgemein: f() Anwendungen: a) einfah zu berehnender Graphenpunkt b) direkte Ablesung von aus dem Graphen hier + < L a oder: hier L b + 0

3 Lineare Gleihungsssteme Rükführen auf eine Gleihung mit einer Variablen durh Elimination der anderen Variablen (z.b. mit Einsetzverfahren) I) II) 6 I) (I ) in (II) : ( ) 6.. in I L { ( ) } S( ) ( I ') ( II' ) Graphishe Lösung Jede Gleihung beshreibt eine Gerade. Die Koordinaten des Shnittpunkts der Geraden stellen die Lösung des Gleihungssstems dar. Sonderfälle für das a) Die beiden Geraden sind identish allgemeine Sstem Gleihungssstem ergibt allgemeingültige I) I) a + b + 0 Gleihung L {( ) a + b + 0} II) d + e + f 0 b) Die beiden Geraden sind parallel I) Gleihungssstem ergibt Widerspruh L { }. Strahlensatz: Werden die zwei Geraden einer Geradenkreuzung von zwei parallelen Geraden geshnitten, dann verhalten sih zwei beliebige Abshnitte auf der einen Kreuzungsgeraden genauso wie die entsprehenden Abshnitte auf der anderen Kreuzungsgeraden. hier: AB A'B' ZA ' : ZA ZB' : ZB und AA ' : ZA BB' : ZB usw.. Strahlensatz: Die ausgeshnittenen Parallelstreken verhalten sih dann genauso wie die Entfernungen entsprehender Strekenendpunkte zum Kreuzungspunkt. hier z.b.: AB A' B' A ' B' : AB ZB' : ZB Umkehrung des. Strahlensatzes: Verhalten sih zwei Abshnitte auf der einen Kreuzungsgeraden genauso wie die entsprehenden Abshnitte auf der anderen Kreuzungsgeraden, dann sind die zwei shneidenden Geraden parallel. Ähnlihkeit Kreis Fläheninhalt: A r π Umfang: U r π Laplae Wahrsheinlihkeit II) II) Bsp.) (zur V-Figur ) ZA 8m, ZA 6m BB ' m ZB? [ ZB 9m ] Bsp.) (zur X-Figur ) ZA ' 5m, AA 9m A ' B' 7m AB? [ AB 5,6 m ] Zwei Figuren heißen ähnlih, wenn sie in allen entsprehenden Winkeln und im Verhältnis aller entsprehenden Seiten übereinstimmen. Zwei Dreieke sind z.b. bereits dann ähnlih, wenn sie in zwei Winkeln übereinstimmen. In ähnl. Figuren gilt: entsprehende Streken haben das gleihe Längenverhältnis (k) entsprehende Flähen haben das gleihe Flähenverhältnis (k!), m Bsp.: Berehne Fläheninhalt und Umfang der nebenstehenden Figur! A. (,m). π. (,m). π 0,7m. π, m U..,m. π +.,m. π +,m,m (π + ) 9,9m Wenn alle Elementarereignisse gleih wahrsheinlih sind, dann gilt für jedes Ereignis A: Anzahl der für A günstigen Ergebnisse Wahrsheinlihkeit von A ; kurz: P(A) Anzahl aller möglihen Ergebnisse Bsp.: In einer Urne befinden sih 6 grüne und rote Kugeln. Wie groß ist die Wahrsheinlihkeit, bei zufälliger einmaliger Ziehung eine rote Kugel zu ziehen? [ 70%] 0 A A A Z B B Z B B A A Ω

4 Gmnasium Stein Wiederholungsaufgaben zum Grundwissenkatalog Mathematik der 8. Jahrgangsstufe 0 5 ) Vereinfahe so weit wie möglih: a) 05 0 (im Ergebnis höhstens Bruhterm) b) + ) + d) : e) f) i) 7 : +.. a a a a a + j) ( ) + g) h) : + + ) Gegeben ist der Term T(b) + b b a) Vereinfahe den Term! b) Berehne T( )! ) Bestimme jeweils die Definitionsmenge D und die Lösungsmenge L über G Q! 9 a) b) 9 ) 9 0 d) + 0 e) 9 + f) 9 g) ( 6 7,5 6) ( + 8) 0 h) + i) k) 5 l) + m) + 6,5 n) ) Gegeben ist die Formel P U. Wie verändert sih P (möglihst genaue Angabe), wenn R a) U verdreifaht wird und R unverändert bleibt? b) R verdreifaht wird und U unverändert bleibt? 5) Löse die Formel a f + k nah jeder der Variablen k, b und f auf! f b 6) Welhe der Gleihungen passt zur Geraden g, welhe zur Geraden h? (im Bild rehts; gleihe Einheiten auf den Ahsen) a) b) + 0 ) + d) e) + 0 f) + g) + h) i) 8 k) g h 7) a) Zeihne die Geraden g und h in ein Koordinatensstem (Gerade g mit Steigungsdreiek): g : 0,6,5 h : + 0 b) Bestimme mit Hilfe der Zeihnung die Lösungsmengen der beiden Ungleihungen I) 0,6,5 < II) 0,6,5 0 Überprüfe deine Lösung durh Rehnung! Lösungsmengen in Intervallshreibweise angeben! 8) Bestimme jeweils eine Gleihung für die folgenden Geraden g, h und f : a) g ist parallel zu der Geraden g mit der Gleihung + 7 und geht durh den Punkt A (0 ) b) h ist parallel zu der Geraden h mit der Gleihung +,6 und geht durh den Ursprung ) f ist die -Ahse Straße 9) Berehne die Steigung der Straße in der nebenstehenden 60 m Skizze! (Angabe in Prozent; Skizze niht maßstäblih!) km 0) Die Gerade g: wird gespiegelt: a) an der -Ahse an der -Ahse b) ) am Ursprung Gib jeweils die Gleihung der gespiegelten Geraden an! (Skizze niht verboten)

5 ) Gegeben sind die Punkte P ( 7 5 ), Q ( 5), R(00 99) und S(,5 5). a) Bestimme eine Gleihung für die Gerade g PQ sowie ihre Shnittpunkte mit den Ahsen! b) Untersuhe, ob R bzw. S auf (oder oberhalb oder unterhalb von) g liegt! ) a) Zeihne die zwei Geraden g und h mit den Gleihungen g: und h: + 8 0! b) Berehne den Shnittpunkt der Geraden und vergleihe mit der Zeihnung! ) Spiegle die Gerade g an der Geraden h (Zeihnung bzw. Konstruktion)! d) Gib die Gleihung einer Geraden durh den Ursprung an, die sih durh Spiegelung an g niht verändert! ) In der nebenstehenden Skizze (niht maßstabsgereht) sollen die mit gekennzeihneten Streken zueinander parallel sein. Berehne die Strekenlängen und aus den angegebenen Maßen! ) Berehne unter Verwendung geeigneter Strekenlängen die Entfernung XB des unzugänglihen Punktes X vom Punkt B! (vgl. nebenstehende Skizze) BC 0m ; BD m Es gilt dabei: [DE] [BC] DE 5m ; DC m 5) Die Familien Vielfraß und Dikbauh nutzen die Eröffnungsangebote beim Shnellrestaurant Mäki. Familie Vielfraß vertilgt 5 Hamburger und 7 Portionen Pommes zusammen mit 5 Behern Cola, Familie Dikbauh hat am Ende 7 Hamburger, 6 Portionen Pommes und 8 Beher Cola auf der Rehnung. Familie Dikbauh zahlt,0, Familie Vielfraß zahlt 8,0. Was ist für einen Hamburger bzw. für eine Portion Pommes zu bezahlen, wenn ein Beher Cola 80 Cent kostet? m? 7m 5m X B D m m C? E 6) Gib für jeden Funktionsgraphen im nebenstehenden Diagramm eine Funktionsgleihung an! Hinweis: Die gepunkteten Geraden sind Asmptoten für den Graphen von b) a) b) ) d) 7) Gegeben ist die Funktion h mit 6+ a ; D D ma a) Bestimme die Shnittpunkte des Graphen von h mit den Ahsen! b) Gib für alle Asmptoten des Graphen von h je eine Gleihung an! ) Berehne den Funktionswert von h an der Stelle! An welher Stelle nimmt die Funktion h den Wert an? d) Skizziere den Graphen von h unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse! ) d) b) f ) e) 8) Gegeben sind die Funktionen f, g und h (Graphen: G f, G g und G h ) durh f() ; g() + und h() a) Berehne die Koordinaten des Shnittpunkts S von G g und G h und die Koordinaten aller Shnittpunkte von G f und G g! b) Überprüfe die Rehnung aus a) durh eine Zeihnung! ) Löse die Gleihung graphish! Überprüfe das Ergebnis durh rehnerishe Probe!

6 9) Martina hat die drei mündlihen Noten, und 5. Wie viele Einser in Folge müsste sie bekommen, damit sie einen mündlihen Notendurhshnitt von,00 oder besser erreiht? Löse mit einer Bruhgleihung! 0) Werner und Gudrun sind zusammen 8 Jahre alt. Vor vier Jahren war Werner eineinhalbmal so alt wie Gudrun. Wie alt sind beide jetzt? Nahvollziehbarer Lösungsweg, Antwortsatz. ) Bestimme die Lösungsmenge der folgenden Ungleihung und gib sie in Mengenshreibweise und Intervallshreibweise an: 9 ( 7 ) < 5 ( ) ) Bestimme jeweils die Lösungsmenge des Gleihungssstems: a) I) II) Welhe geometrishe Bedeutung hat die Lösungsmenge des Gleihungssstems b)? b) I) 5 II) 0, ( ) ) Setze für a, b,, d und e geeignete Zahlen so ein, dass das Gleihungssstem a) unendlih viele Lösungen hat und das Gleihungssstem b) die Lösung ( 0 0) hat! a) I) 7 + a 0 II) b b) I) II) d + + e 0 ) Berehne Umfang und Fläheninhalt der rehts gezeihneten Figur aus den angegebenen Maßen! Nahvollziehbarer Ansatz! Zaun Teih A?, m 5) Georg möhte den Fläheninhalt eines kreisrunden Teihs bestimmen. Da,0 m der Teih von einem Zaun umgeben ist, dessen Abstand zum Teih überall, m beträgt,0 m (messbar am Zugangsweg unten), misst Georg den Umfang des gesamten äußeren Zaunkreises (Zugangsweg weggedaht) mit einem langen Maßband und erhält dabei 9,6 m. Berehne aus diesen Angaben den gesuhten Fläheninhalt! 6) Ein Dreiek D mit Grundlinie g 5m und Höhe h m ist ähnlih zu einem anderen Dreiek D mit Fläheninhalt 90m. Berehne die Längen der entsprehenden Streken g und h im Dreiek D! 7) a) Für einen Goldwürfel mit Kantenlänge,00 m wurde eine Masse von 5 g gemessen. Berehne daraus die Masse eines Goldwürfels mit Kantenlänge,00 m! b) Eine kreisrunde Kartonsheibe mit Radius 7, m hat eine Masse von 8, g. Welhen Radius hat eine Kreissheibe aus dem gleihen Karton mit Masse 0,90 g? 8) Aus dem Wort SPIEGELEI wird zufällig ein Buhstabe ausgewählt. Wie groß ist die Wahrsheinlihkeit dafür, dass dabei a) ein G b) ein E ) ein I d) ein Konsonant gewählt wird? 9) Am Laplae-Gmnasium werden die Noten durh Würfeln (mit einem gewöhnlihen Würfel) ermittelt. Wie groß ist die Wahrsheinlihkeit (Angabe in Prozent) dafür, dass nah dieser Methode a) in einer Klasse mit 0 Shülern und 6 Jungen alle Mädhen die Note bekommen? b) Simon und sein Banknahbar die gleihe Note bekommen? ) Vitoria, Shorshi und Miha lauter vershiedene Noten bekommen? 0) Ein Multiple-Choie-Test besteht aus insgesamt 8 Fragen. Zu jeder Frage gibt es möglihe Antworten, von denen jeweils genau eine rihtig ist. Pia hat voll keine Ahnung und kreuzt deshalb völlig willkürlih jeweils eine der Antworten an. Mit welher Wahrsheinlihkeit hat sie a) alle Antworten rihtig b) alle Antworten falsh ) genau die ersten Antworten rihtig?