Lineare Differenzengleichungen und Polynome. Franz Pauer

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1 Lineare Differenzengleichungen und Polynome Franz Pauer Institut für Mathematik, Universität Innsbruck, Technikerstr. 13/7, A-600 Innsbruck, Österreich. Vortrag beim ÖMG-LehrerInnenfortbildungstag 009 in Wien 17. April 009 1

2 Einleitung Lehrplan 8. Klasse AHS: Beschreiben von Systemen mit Hilfe von... Differenzengleichungen oder Differentialgleichungen Lehrplan der Höheren Lehranstalt für Elektrotechnik, III. Jahrgang: Differenzengleichungen, Zahlenfolgen,... Ziele dieses Vortrags: einfache Darstellung der Theorie der linearen Differenzengleichungen (in einer Variablen, mit konstanten Koeffizienten) Lösungsverfahren mit Hilfe der Division mit Rest von Polynomen Aus Zeitgründen leider nicht: Modellierung von interessanten Problemen aus Wirtschaft, Technik und Naturwissenschaften

3 Inhalt: Folgen und ihre Darstellung, Rechnen mit Folgen Lineare Differenzengleichungen: Definition, Beschreibung der Lösungsmenge, Existenz von Lösungen Beschreibung von Differenzengleichungen mit Hilfe von Polynomen Lösen von Differenzengleichungen mit Hilfe der Division mit Rest von Polynomen Bemerkung: R könnte im weiteren immer durch C oder Q ersetzt werden. 3

4 Folgen Eine Folge in R ist eine Funktion von N nach R. Darstellung von Folgen: - f : N R, j f(j) ODER - (f 0, f 1, f, f 3,...) = (f j ) j N = (f(j)) j N ODER

5 (Genaue) Beschreibung von Folgen (durch endlich viele Daten) Durch Angabe eines Verfahrens, wie für jede Zahl j N das j-te Folgenglied f(j) berechnet werden kann. Zum Beispiel: Für alle j N sei f(j) := j 3j +. Oder: Für alle j N sei f(j) := 1 j! j. Durch Angabe von Bedingungen, die von genau einer Folge f erfüllt werden. Zum Beispiel: f(0) = 0, f(1) = 1, und für alle j N: f(j +) = f(j +1)+f(j). 5

6 Lineare Differenzengleichungen Eine lineare Differenzengleichung (der Ordnung n) ist die folgende Aufgabe: Gegeben sind reelle Zahlen c 0, c 1,..., c n mit c n 0 und eine Folge h in R. Gesucht ist eine gute Beschreibung der Menge L(c 0,..., c n ; h) aller Folgen f in R mit der Eigenschaft: für alle j N ist c 0 f(j)+c 1 f(j+1)+...+c n f(j+n) = h(j). Diese Folgen f heißen Lösungen der Differenzengleichung. Wenn h = 0 ist, heißt die Differenzengleichung homogen. 6

7 Interpretation als System von linearen Gleichungen mit unendlich vielen Unbekannten und unendlich vielen Gleichungen : c 0 f(0)+ c 1 f(1)+ c f()+ c 3 f(3)+... = h(0) c 0 f(1)+ c 1 f()+ c f(3)+... = h(1) c 0 f()+ c 1 f(3)+... = h() c 0 f(3)+... = h()... =... In jeder Zeile nur endlich viele Summanden 0! Unbekannte : f(0), f(1), f(),.... 7

8 Einschub 1: Rechnen mit Folgen Sei F die Menge aller Folgen in R. Für f = (f 0, f 1, f,...) F, g = (g 0, g 1, g,...) F und b R ist und f + g := (f 0 + g 0, f 1 + g 1, f + g,...) b f := (bf 0, bf 1, bf,...). Für + und in F gelten die Rechenregeln eines Vektorraums, also: Folgen sind Vektoren. 8

9 Wichtige Beobachtungen Gegeben seien reelle Zahlen c 0, c 1,..., c n mit c n 0. Wir betrachten die dadurch gegebene homogene lineare Differenzengleichung. Wenn f und g Lösungen dieser Differenzengleichungen sind, dann auch f + g. Wenn f eine Lösung ist und b eine reelle Zahl, dann ist auch b f eine Lösung. Also: L(c 0,..., c n ; 0) ist ein Untervektorraum von F! Er kann also durch Angabe (irgend)einer Basis gut beschrieben werden. 9

10 Gegeben seien reelle Zahlen c 0, c 1,..., c n mit c n 0 und eine Folge h. Wir betrachten die dadurch gegebene lineare Differenzengleichung. Wenn f und g Lösungen dieser Differenzengleichung sind, dann ist f g eine Lösung der entsprechenden homogenen Differenzengleichung. Wenn f (irgend)eine Lösung dieser linearen Differenzengleichung ist, dann erhält man alle Lösungen, indem man beliebige Lösungen der entsprechenden homogenen linearen Differenzengleichung zu f addiert. Also: L(c 0,..., c n ; h) kann durch Angabe (irgend)einer Lösung f und (irgend)einer Basis g 1,..., g k von L(c 0,..., c n ; 0) beschrieben werden. Dann ist L(c 0,..., c n ; h) = {f + k i=1 b i g i b 1,..., b k R }. 10

11 Existenz von Lösungen Es seien a 0,..., a n 1 reelle Zahlen ( Anfangsbedingungen ). Dann gibt es genau eine Folge f so, dass f(i) = a i, 0 i n 1, und c 0 f(j)+c 1 f(j +1) c n f(j +n) = h(j), j N, ist. Insbesondere: L(c 0,..., c n 1 ; h) ist nicht leer und L(c 0,..., c n ; 0) ist ein n-dimensionaler Vektorraum. Also: Der Lösungsraum einer linearen Differenzengleichung der Ordnung n ist n-dimensional. Zu vorgegebenen n Anfangsbedingungen gibt es genau eine Lösung einer linearen Differenzengleichungen. 11

12 Berechne f induktiv: f(0) = a 0,..., f(n 1) = a n 1, f(n) = c 1 n (h(0) c 0 f(0) c 1 f(1)... c n 1 f(n 1)) f(n + 1) = c 1 n (h(1) c 0f(1) c 1 f()... c n 1 f(n)) f(n + ) = c 1 n (h() c 0 f() c 1 f(3)... c n 1 f(n + 1)) f(n + 3) =... 1

13 Beispiel: a 0 = 0, a 1 = 1, f(j + ) f(j + 1) f(j) = 0, j N. f(0) = 0, f(1) = 1 f() = f(1) + f(0) = 1 f(3) = f() + f(1) = f(4) = f(3) + f() = 3 f(5) = f(4) + f(3) = 5... Diese Folge heißt Folge der Fibonacci-Zahlen. 13

14 Shifts Sei f eine Folge in R. Für l N sei s l f die Folge in R mit für alle j N ist (s l f)(j) := f(j + l) Beispiel: f = (1,, 1, 1,,,...) s f = (, 1, 1,,,...) s f = ( 1, 1,,,...) s 3 f = (1,,,...) 14

15 Beispiel: f s f s f

16 Einschub : Polynomfunktionen, Polynome Seien n N und c 0, c 1,..., c n R. Dann ist die Funktion p : R R, z c 0 + c 1 z + c z + + c n z n = eine Polynomfunktion von R nach R. n i=0 c i z i, Die Zahlen c 0,..., c n sind die Koeffizienten von p. Wenn c n 0 ist: grad(p) := n ist der Grad von f und lk(p) := c n der Leitkoeffizient von p. Wir schreiben für p im weiteren c 0 + c 1 s + c s c n s n oder n i=0 c i s i und sprechen dann von einem Polynom in der Variablen s mit Koeffizienten in R. Für die Menge dieser Polynome schreiben wir dann R[s]. 16

17 Für die Addition n i=0 c i s i + n i=0 und die Multiplikation d i s i := n i=0 (c i + d i )s i ( n c i s i ) ( n i=0 i=0 d i s i ) := n ( i i=0 j=0 c j d i j )s i gelten die gleichen Rechenregeln wie für die Addition und Multiplikation von ganzen Zahlen. 17

18 Beschreibung von Differenzengleichungen durch Polynome Für p := n i=0 c i s i und f F sei p f := Also: für alle j N ist n i=0 c i (s i f) F. (p f)(j) = n i=0 c i f(j + i). Sprechweise: die durch p und h gegebene lineare Differenzengleichung bedeutet die durch c 0, c 1,..., c n und h gegebene lineare Differenzengleichung. Statt L(c 0, c 1,..., c n ; h) schreiben wir dann einfach L(p; h). Es ist L(p; h) = {f F p f = h }. Beispiel: Die durch s s 1 gegebene Differenzengleichung ist die homogene Differenzengleichung, die durch, 1, 1 gegeben ist. 18

19 Noch einmal: Wichtige Beobachtungen Für Polynome p, q R[s], eine reelle Zahl b und eine Folge f ist und (bp + q) f = b(p f) + q f (pq) f = p (q f) = q (p f). Seien p, q R[s] und f F. Wenn p f = 0 ist, dann ist auch p (q f) = 0. L(p; 0) ist nicht nur ein R-Vektorraum, sondern sogar ein R[s]-Modul. 19

20 Einschub 3: Division mit Rest von Polynomen Satz: Zu je zwei Polynomen q und p mit p 0 gibt es eindeutig bestimmte Polynome m und r mit den Eigenschaften q = m p+r und [r = 0 oder grad(r) < grad(p)]. m... polynomialer Quotient von q und p r... Rest von q nach Division durch p Divisionsalgorithmus (Berechnung von m und r): Setze m := 0 und r := q. Solange r 0 und grad(r) grad(p) ist, ersetze r durch r t p und m durch m + t, wobei t := lk(r) lk(p) 1 s grad(r) grad(p) ist. 0

21 Beispiel: Seien q := s 4 +s 3 s +s 1 und p := s. Wir berechnen mit dem oben angegebenen Verfahren Polynome m und r mit q = m p + r und (r = 0 oder grad(r) < grad(b) = ). Dabei beginnen wir mit r := q und schreiben die Zwischenrechnungen platzsparend untereinander. s 4 +s 3 s +s 1 = (s + s)p + r s 4 +s +s 3 +s 1 s 3 +4s +5s 1 =: r Also ist m = s + s und r = 5s 1. 1

22 Lösen von Differenzengleichungen mit Hilfe der Division mit Rest Seien p = n i=0 c i s i R[s], c n 0, h F und a 0,..., a n 1 R. Sei f L(p; h) die Lösung mit Anfangswerten f(j) = a j, 0 j n 1. Für l n kann f(l) wie folgt berechnet werden: Dividiere s l mit Rest durch p : s l = m l p + r l und (r l = 0 oder grad(r l ) < n). Sei r lj der Koeffizient von r l bei s j, also r l = n 1 j=0 r lj s j. Dann ist f(l) = (m l h)(0) + n 1 j=0 r lj a j.

23 Denn: f(l) = (s l f)(0) = = ((m l p + r l ) f)(0) = = (m l (p f))(0) + (r l f)(0) = = (m l h)(0) + n 1 j=0 r lj a j. Beispiel: Sei f die Fibonacci-Folge. Der Rest von s 100 nach Division durch s s 1 ist (Berechnung in Maple mit rem(s 100, s s 1, s)) s , wegen f(0) = 0 und f(1) = 1 ist f(100) =

24 Beispiel: Lineare Differenzengleichungen 1. Ordnung Seien a, c R reelle Zahlen und h F. Berechne die Folge f mit (s c) f = h und f(0) = a! Anders formuliert: Für alle l N sei f(l + 1) c f(l) = h(l) und f(0) = a. Division mit Rest von s l durch s c ergibt s l = m l (s c) + r und r R. Daraus folgt und c l = 0 + r m l = sl c l l 1 s c = also ist für alle l N f(l) = l 1 j=0 j=0 c j s l 1 j, c j h(l 1 j) + c l a. 4

25 Beispiel: Homogene lineare Differenzengleichungen. Ordnung Sei p := s + c 1 s + c 0 R[s], c 0 0 und seien x 1, x die Nullstellen von p. Dann ist (x l i ) l N die Lösung der durch s x i gegebenen homogenen linearen Differenzengleichung mit Anfangswert 1. Wegen p f = ((s x 1 )(s x )) f = = (s x 1 ) ((s x )) f) = (s x ) ((s x )) f) sind (x l i ) l N Lösungen der durch p gegebenen homogenen Differenzengleichung, also auch alle Linearkombinationen davon. Fall 1: x 1 x. Dann sind (x l 1 ) l N und (xl ) l N linear unabhängig, bilden also eine Basis von L(p; 0). Fall : x 1 = x. Dann bilden (x l 1 ) l N und (lxl 1 ) l N eine Basis von L(p; 0). 5

26 Beispiel: Die Formel von Binet Die Fibonacci-Folge f ist die Lösung der durch p := s s 1 und f(0) = 0, f(1) = 1 gegebenen Differenzengleichung. Die Nullstellen von p sind also ist x 1 := 1+ 5 und x := 1 5, f = u (x l 1 ) l N + v (xl ) l N, mit u, v R so, dass 0 = f(0) = u + v und 1 = f(1) = u x 1 + v x ist. Man berechnet leicht: u = 1 und v = Das l-te Glied f(l) der Fibonacci-Folge ist somit ( ) l ( ) l