Maß- und Integrationstheorie

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1 Maß- und Integrationstheorie Manuskript zur Vorlesung in SS26 Bálint Farkas

2 Inhaltsverzeichnis Einführung Volumina, Vitali-Menge, Banach-Tarski Paradox 1 σ-algebren Algebra, σ-algebra, Eigenschaften, Mengenoperationen, Erzeugung von σ-algebren, Borel-Mengen, G δ - und F σ-mengen, Erzeugungssysteme für B(R). 2 Maße Maße, Maßräume, Dirac-Maß, Zählmaß, endliche und σ-endliche Maße, Stetigkeit nach unten und nach oben, Vervollständigung eines Maßraums. 3 Äußere Maße Äußere Maße, relative Äußere Maße, Konstruktion von äusseren Maßen, das n-dimensonale äussere Lebesgue-Maß, Satz von Carathédory, µ -messbare Mengen, metrische äußere Maße. 4 Lebesguesche Maße Lebesgue-Maß, Lebesgue-Nullmengen, Charakteriesierung von Lebesgue-Mengen, Translationsinvarianz, Regularität, Borel-Lebesgue Maße, Characterisierung Lebesgueschen Maßen, Transformationssatz 5 Meßbare Funktionen Messbare Funktionen, Borel- und Lebesgue-Messbarkeit, erweiterte reelle Zahlen, wesentliche Eigenschaften und Operationen, Grenzwert, Supremum, Infimum von Folgen messbaren Funktionen, Approximationssatz für einfache Funktionen 6 Integration positiver Funktionen Integral positiver Funktionen, Satz von Beppo Levi, Integration positiver Reihen, Lemma von Fatou, Konvergenzsätze fastüberall. 7 Integrierbare Funktionen Integral für R- und C-wertige Funktionen, Vektorraum Integrierbarer Funktionen, Satz von Lebesgue über dominierte Konvergenz, Vertauschen von Integral und Summe, Differenzierbarkeit von Parameterintegralen, Riemann- vs. Lebesgue-Integral 8 L p Räume Hölder-, Minkowski-Ungleichung, L p -Funktionen, Satz von Riesz Fischer, punktweise Konvergenz in L p, L -Raum, allgemeinere Hölder- und Interpolationsungleichung, Struktur von L p -Funktionen 9 Der Satz von Fubini und Anwendungen Sätze von Fubini und Tonelli, geometrische Bedeutung des Integrals, Cavalierisches Prinzip, Volumina von Zylindern, Kegeln und Kugeln. 1 Der Transformationssatz und Anwendungen Transformationssatz, Polarkoordinaten, Kugelkoordinaten, n-dimensionale Kugelkoordinaten, Volumina von Kugeln 11 Integration über Untermannigfaltigkeiten Oberflächeintegral, Oberflächeinhalt, Immersion Untermannigfaltigkeiten, metrische Fundamentalform, Beispiele, Normaleneinheitsfeld, Satz von Gauß

3 Ziel: Beschreibung von Volumina. Einführung Bezeichne mit P() die Potenzmenge, d.h., die Menge allen Teilmengen von. Suche µ : P(R n ) [, + ) mit folgenden Eigenschaften: i) Für E 1, E 2,..., E m,... endliche oder unendliche Folge von disjunkten Mengen ( ) µ E j = µ(e j ). j j ii) Sind E und F kongruent(translation, Rotation, Spiegelung), dann ist µ(e) = µ(f ). iii) µ([, 1] n ) = 1 (Normalisierung). Vitali-Menge: Wir definieren eine Äquivalenzrelation auf [, 1] durch x y Def. x y Q. Sei N [, 1] diejenige Menge, welche genau einen Representanten jeder Äquivalenzklasse enthält (Auswahlaxiom!). Wir setzen N p := {x + p : x N [, 1 p)} {x + p 1 : x N [1 p, 1)} für p Q [, 1). Wir haben N = (N [, 1 p)) (N [1 p, 1)), und so gilt µ(n) = µ((n [, 1 p)) (N [1 p, 1))) = µ(n [, 1 p)) + µ(n [1 p, 1)) Eigenschaft ii) ergibt µ(n) = µ(n [, 1 p)) + µ(n [1 p, 1)) = µ((n + p) [p, 1)) + µ((n + p) [, p)) = µ(n p ). Bemerke, dass N p N q = für p q, p, q Q [, 1]. Ist z N p N q, so ist z = x + p (oder z = x + p 1) und z = y + q (oder z = y + q 1) mit x, y N. So folgt x y Q, also ist x y. Daher gilt x = y und p = q, oder p 1 = q, oder p = q 1). Aber p, q [, 1) und so gilt p q < 1, d.h., p = q ist die einzige Möglichkeit. Ferner gilt [, 1) = p Q [,1). Denn sei x [, 1), so gibt ein y N mit x y. D.h. p := x y Q, also gilt x = y + p. Sei q = 1 + p falls p < und q = p sonst. Dann ist q Q [, 1) und gilt x N q. Nun verwendet man iii): ( ) µ([, 1)) = µ N p = µ(n p ) = p Q [,1) p Q [,1) So erhält man einen Widerspruch. p Q [,1) µ(n) = {, µ(n) = +, µ(n) >. Folgerung: Es gibt keine Funktion mit Eigenschaften i), ii) und iii). Banach Tarski Paradox: Eine Kugel in endlich vielen Teile zerlegt werden, aus denen sich zwei Kugeln von Größe des Originals zusammensetzen lassen. 1

4 Sei beliebige Menge. 1 σ-algebren 1.1. Definition. Ein Mengensystem A P() heißt σ-algebra (über ), falls gilt: i) A ii) A A = A c A iii) A j A für j N = j N A j A. Ein Mengensystem A P() heißt Algebra (über ), falls i), ii) und iii ) gelten, wobei iii ) A j A für j = 1,..., N = N Bemerkungen, Beispiele: a) iii) kann ersetzt werden durch A j A. A j A, j N = j N A j A [denn: A j = ( A c j )c ] b) A σ-algebra, A j A N N =, A j, A j, A j A d. h. σ-algebra ist abgeschlossen unter abzählbaren Mengenoperationen. Zum Beweis: N A j = { B Aj, 1 j N i mit B i :=, j > N c) Sei A eine Algebra. So ist A genau dann σ-algebra, wenn es unter abzählbaren disjunkten Vereinigungen abgeschlossen ist, d.h., für alle A j A disjunkte Folge gilt A j A. c) {, } und P() sind σ-algebren. d) {A : A oder A c abzählbar} ist σ-algebra. e) {A : A oder A c endlich} ist keine σ-algebra, falls überabzählbar. f) {A α, α I} Familie von σ-algebren über = α I A α ist σ-algebra über 1.2. Definition. Sei = E P(). Dann heißt A σ (E) := {A : A σ-algebra über, E A} die von E erzeugte σ-algebra über. Bemerkung: A σ (E) wegen 1 f) wohldefiniert und die kleinste σ-algebra über, die E enthält. Beispiel: i) E σ-algebra = A σ (E) = E ii) E = {A} = A σ (E) = {, A, A c, } 2

5 1. σ-algebren Definition. Sei R n (oder allgemein topologischer Raum) und Dann heißt: O := {G : G offen in R n }. B() := A σ (O ) Borelsche σ-algebra von. B Borelsche Teilmenge von (Borel-Menge) Def. B B(). Bemerkung: A ist eine G δ -Menge in, falls A := j N G j mit G j R n offen. B ist eine F σ -Menge in, falls B := j N F j mit F j R n abgeschlossen. δ Durchschnitt σ Summe Induktiv erhält man G δσ, F σδ, G δσδ, F δσδ, usw. Mengen Bemerkung. a) E F = E A σ (F) b) E F = A σ (E) A σ (F) Borelmengen spielen wichtige Rolle: Sie werden von folgenden Mengensystemen erzeugt Satz. B(R) wird erzeugt von jedem der folgenden Mengensysteme: i) offene Intervalle E 1 = {(a, b) : a < b} ii) abgeschlossene Intervalle E 2 = {[a, b] : a < b} iii) halboffene Intervalle E 3 = {(a, b] : a < b} oder E 4 := {[a, b) : a < b} iv) E 5 = {(a, ) : a R} oder E 6 := {(, a) : a R} v) E 7 = {[a, ) : a R} oder E 8 := {(, a] : a R} Beweis. Die Mengensysteme E j, j = 1,..., 8 sind alle in B(R) enthalten, denn für j 3, 4 die Mengen in E j sind offen oder abgeschlossen. Ferner sind die Mengen in E 3 und E 4 G δ -Mengen: (a, b] = n=1 (a, b + 1 n ). Also E j B(R), und aus 1.4 folgt A σ (E j ) B(R). Umgekehrt: jede offene Teilmenge G von R ist abzählbare Vereinigung von offenen Intervallen (ÜA), daher ist O A σ (E 1 ), und nach 1.4 gilt B(R) = A σ (O) A σ (E 1 ). D.h. A σ (O) = A σ (E 1 ), also folgt i). Ferner: (a, b) = n=1 [a + 1 n, b 1 n ] A σ(e 2 ). D.h. E 1 A σ (E 2 ), und wegen 1.4 ist A σ (E 1 ) A σ (A σ (E 2 )) = A σ (E 2 ). Schon bekannt ist B(R) = A σ (E 1 ), also folgt B(R) A σ (E 2 ) und damit ii) auch. Andere Fälle (analog) als ÜA Satz. f : Y wobei, Y beliebige nichtleere Mengen. Ist N eine σ-algebra auf Y, so ist {f 1 (A) : A N } σ-algebra auf. Beweis Satz. f : Y wobei, Y beliebige nichtleere Mengen. Ist M eine σ-algebra auf, so ist {A Y : f 1 (A) M} σ-algebra auf Y. Beweis.

6 2 Maße Es sei und A P() eine σ-algebra Definition. a) Eine Abbildung µ : A [, ] heißt Maß (auf A), falls i) µ( ) =, ii) A j A, j N, A j A k = für j k = µ( A j ) = µ(a j ). (diese Eigenschaft heißt σ-additivität) Eigenschaft ii) impliziert ii ) (endlich additiv): A j A, 1 j N, A j A k =, j k = µ( N A j ) = N µ(a j ). [Wähle für j > N, A j = und verwende i) und ii).] b) (, A, µ) heißt Maßraum, falls gilt α) A eine σ-algebra über β) µ Maß auf A. c) Ist µ() < +, so heißt µ endlich Ist µ() = 1, so heißt µ Wahrscheinlichkeitsmaß. d) Falls = j A j mit A j A, µ(a j ) < + für alle j N, so heißt µ σ-endlich Satz [positive Linearkombination von Maßen]. Sei beliebige Menge A σ-algebra über. Ferner sei µ α : A [, + ] Maß und c α für alle α I. Dann definiert auch ein Maß. µ(a) := α I c α µ α (A) Def. := sup { N } c αj µ αj (A), α j I, N N Konstruktion von Maßen ist schwierig, also zunächst einfache Beispiele Beispiele. Sei beliebige Menge A σ-algebra über. a) -Maß: Wir setzen ν(a) := für alle A A. b) -Maß: Wir setzen µ(a) := + für alle A A, A und µ( ) =. c) Dirac-Maß: Wir setzen δ x : P() R +, δ x (A) := So heißt µ := δ x Dirac-Maß oder Punktmaß im Punkt x. d) Zählmaß: Wir setzen µ(a) := { card(a), A endlich, +, Dann heißt µ : P() [, + ] Zählmaß. Es gelten 4 { 1, x A,, x A. A unendlich.

7 2. MASSE 5 α) µ = δ x. x β) µ ist endlich endlich. γ) µ ist σ-endlich abzählbar. e) Sei überabzählbar und {A : A oder A c abzählbar}. Wir setzen {, A abzählbar µ : A [, 1], µ(a) := 1, A überabzählbar. Grundlegende Eigenschaften von Maßen: 2.4. Theorem. Sei (, A, µ) Maßraum. Dann gilt für A, B A: a) (Monotonie): A B = µ(a) µ(b). b) µ(a) < +, A B = µ(b \ A) = µ(b) µ(a). c) µ(a B) + µ(a B) = µ(a) + µ(b). d) (σ-subadditivät): A j A = µ( A j ) µ(a j ). e) (Stetigkeit von unten): A j A, A 1 A 2 A 3... = µ( A j ) = lim j µ(a j ) f) (Stetigkeit von oben): A j A, A 1 A 2 A 3... und µ(a 1 ) < + = µ( A j ) = lim j µ(a j ). Beweis. a), b) A B = µ(b) = µ(a) + µ(b \ A) = µ(b) µ(a). Ist µ(a) < +, so gilt µ(b) µ(a) = µ(b \ A). c) A B = A (B \ A) und B = (A B) (B \ A) µ(a B) = µ(a) + µ(b \ A) und µ(b) = µ(a B) + µ(b \ A) Ist µ(b \ A) < + = µ(a B) = µ(b) µ(b \ A) = µ(a B) + µ(a B) = µ(b) µ(b \ A) + µ(a) + µ(b \ A) = µ(a) + µ(b). Ist µ(b \ A) < +, so ist µ(b) = µ(b A) = + und c) trivial. d) Wir setzen B 1 := A 1, B k := A k \ k 1 A j für k > 1. Dann gilt B k A k und B j B k =, j k. Für n N gilt n A j = n B j. Daher µ( A j ) = µ( B j ) = µ(b j ) µ(a j ). e) Setze A =, B k := A k \ A k 1 für k 1. Dann B j B k =, j k und A m = m k=1 B k, somit ist k=1 B k = k=1 A k. Also m µ( A k ) = µ( B k ) = µ(b k ) = lim µ(b k ) = lim µ(a m). m m k=1 k=1 k=1 f) Setze B j = A 1 \ A j. So ist B j B j+1, und damit ist e) verwendbar: µ(a 1 ) µ( A j ) = µ(a 1 \ A j ) = µ (A 1 ( ) ) ( ) ( ) c A j = µ A 1 A c j = µ A 1 A c j ) = µ ( A 1 \ A j = lim µ(a 1 \ A n ) = µ(a 1 ) lim µ(a n). n n k=1

8 2.5. Definition. Sei (, A, µ) Maßraum. a) N A heißt µ-nullmenge, falls µ(n) =. b) µ heißt vollständig, falls alle Teilmengen von µ-nullmengen zu A gehören Satz. Sei (, M, µ) ein Maßraum. Dann existiert ein vollständiger Maßraum (, M, µ ) mit M M und µ M = µ. Beweis. 6

9 3 Äußere Maße Ziel dieses Paragraphen ist es Techniken zu entwickeln um Maße zu konstruieren Definition. Sei, E P() mit E. Eine Funktion µ : E [, + ] heißt relativ äusseres Maß (outer measure) auf, falls i) µ ( ) =, ii) (Monotonie): A B = µ (A) µ (B), iii) (Subadditivität): A j P(), für alle j N = µ ( A j ) µ (A j ). Ist E = P(), dann heißt ein relativ äusseres Maß auf E äusseres Maß über. Bemerkung: Jedes Maß ist ein relativ äusseres Maß Theorem [Konstruktion äusseren Maßen]. Sei E P() mit E. Sei ρ : E [, ] so daß ρ( ) =. Für A definiere { } µ (A) := inf ρ(e j ); E j E und A E j (Hier benutzt man die Konvention inf = +.) Dann ist µ ein äußeres Maß auf. Beweis. Klar ist µ ( ) =. Zur Monotonie: A B und B j N B j mit B j E = A j N B j mit B j E. Zur Subadditivität: Seien A j P()m und ε >. Wenn µ (A j ) = + für ein j N, dann ist die Ungleichung in iii) trivial. Also für jede N existiert E k j E mit Ferner A j k=1 A j k=1 E k j Ej k = µ( A j ) und ρ(ej k ) µ (A j ) + ε 2 j. k=1 k=1 ρ(ej k ) Da hier ε > beliebig ist, erhält man die Behauptung Beispiel. Für a, b R n nennen wir vol n (a, b) := ( µ (A j ) + ε ) = 2 j µ (A j ) + ε. n (b j a j ) falls a b sonst das n-dimensionale Volumen des Intervalls (a, b). Ferner sei J n := {(a, b) : a, b R n, a b}. Für A R n nennen wir { } λ (A) := inf vol n (I j ) : I j J n und A I j das n-dimensionale äußere Lebesguesche Maß (nach 3.2 wohldefiniert, wobei = R n und E = J n ) Satz. Es gelten λ n([a, b]) = vol n (a, b), λ n((a, b)) = vol n (a, b), λ n([a, b)) = vol n (a, b) und λ n((a, b]) = vol n (a, b). 7

10 3. ÄUSSERE MASSE 8 Beweis. Für ein Intervall I bezeichnen wir mit I ε das um das Mittepunkt des Intervals durch (1 + ε) vergrößerte Intervall. Zum Beispiel für I = [a, b] ist I ε = [a ε b a 2, b + ε b a 2 ]. Wir betrachten das Intervall [a, b], a b. Setze r = (b a)/2 R n und sei ε >. Betrachte die Überdeckung [a, b] (a εr, b+εr) mit (a εr, b+εr) J n und vol n (a εr, b+εr) = (1+ε) n vol n (a, b). Dies gilt für ε > beliebig, so folgt λ n([a, b]) vol n (a, b). Sei jetzt ε > und [a, b] j N I j, I j J n eine Überdeckung mit vol n (I j ) λ n([a, b]) + ε. Da [a, b] kompakt ist können wir eine endliche Teilüberdeckung (a, b) N I j wählen b I j a a j = (a j , a j 2) b j = (b j 1, b j 2) a Ĩ i1,i2 I j b a j = (a j 1, a j 2) b j = (b j 1, b j 2) Hier sind I j = (a j 1, bj 1 ) (aj n, b j n), j = 1,..., N. Setze k := {a j k : a k a j k b k, 1 j N} {b j k : a k a j k b k, 1 j N} die Mengen allen kten Koordinaten der Intervallen. Wir nennen die Elementen in k {a k, b k } um: k = {a k =: t k < t1 k < t2 k < < tn k k := b k }, k = 1,..., n. Wir setzen weiter Ĩi 1,i 2,...,i n := (t i 1 1 1, t i ) (t i n 1 n, t i n 1 n ), 1 i k N k, 1 k n. So ist jedes Intervall Ĩi 1,i 2,...,i n mit mindestens einem I j überdeckt. Ferner sind Ĩi 1,i 2,...,i n paarweise disjunkt. So erhält man vol n (a, b) = i 1,i 2,...,i n vol n (Ĩi 1,i 2,...,i n ) N vol n (I j ) vol n (I j ) λ n([a, b]) + ε. Sei δ >. Durch die Vergrößerung der Intervallen erhalten wir eine Überdeckung [a, b] mit vol n (a, b) i 1,i 2,...,i n vol n (Ĩδ i 1,i 2,...,i n ) = (1 + δ) n i 1,i 2,...,i n Ĩ δ i 1,i 2,...,i n i 1,i 2,...,i n vol n (Ĩi 1,i 2,...,i n ) (1 + δ) n (λ n([a, b]) + ε). Dies gilt für alle δ >, also vol n (a, b) λ n([a, b]) + ε. Da hier ε > beliebig ist, so folgt vol n (a, b) λ n([a, b]). Die andere Fälle kann man mit ähnlichen Techniken beweisen. In Korollar 3.1 geben wir einfachere Beweise. Bemerkung: Das Argument im obigen Beweist zeigt, dass für E = {[a, b] : a, b R n, a b}, und ρ = vol n bekommt man, dasselbe äußere Maß λ n Definition [Carathéodory-Messbarkeit]. Sei µ äußeres Maß auf. A heißt µ Def. -messbar: µ (H) = µ (H A) + µ (H A c ) für alle H.

11 3. ÄUSSERE MASSE 9 Bemerkung: a) H = (H A) (H A c ) = µ (H) µ (H A) + µ (H A c ), d.h., A ist µ -messbar µ (H) µ (H A) + µ (H A c ) für alle H. b) A ist µ -messbar A c µ -messbar Theorem [Carathéodory, 1918]. Es sei µ äußeres Maß auf und M µ := {A : A µ -messbar}. Dann ist M ist σ-algebra über und µ := µ M ist vollständiges Maß auf M (das von µ induzierte Maß). Beweis. Klar ist M µ. Die obige Bemerkung b) gibt, dass A c M µ, falls A M µ. Zunächst zeigen wir, dass M µ eine Algebra ist. Sei also A, B M µ und H beliebig. Es gilt µ (H) = µ (H A) + µ (H A c ) = µ (H A B) + µ (H A B c ) + µ (H A c B) + µ (H A c B c ) µ (H (A B)) + µ (H (A B) c ). So aus Bemerkung a) folgt, A B M µ. Es bleibt zu zeigen, dass M µ unter abzählbaren, disjunkten Vereinigung abgeschlossen ist. Bemerke, dass für A, B M µ mit A B = gilt µ (A B) = µ (A) + µ s (B). In der Tat, für solchen A und B haben wir µ (A B) = µ ((A B) A) + µ ((A B) A c ) = µ (A) + µ (B). Nun seien A j M µ, j N paarweise disjunkt. Zu zeigen ist A j M µ. Setze B n := n A j und B := B j. Für H gilt µ (H B n ) = µ (H B n A n ) + µ (H B n A c n) = µ (H A c n) + µ (H B n 1 ), so erhält man induktiv Da M µ Daraus folgt µ (H B n ) = eine Algebra ist, gilt B n M µ. Daher n µ (H A j ). µ (H) = µ (H B n ) + µ (H B c n) = µ (H) n µ (H A j ) + µ (H B c ). µ (H A j ) + µ (H B c ) σ-subadd. µ ( n µ (H A j ) + µ (H Bn) c H A j ) + µ (H B c ) = µ (H B) + µ (H B c ). So folgt die µ -Messbarkeit von B und µ (B) = µ (B j ) auch. Zur Vollständigkeit: Sei N M µ mit µ (N) = und A N. Dann gilt µ (H) µ (H A) + µ (H A c ) µ (N) + µ (H) = + µ (H). Es gilt hier überall =, und so ist A M µ.

12 3. ÄUSSERE MASSE 1 Notation: Es seien A, B R n. Wir setzen dist(a, B) := inf a b, a A, b B diam(a) := sup x y x,y A 3.7. Definition. Sei µ äußeres Maß auf R n. Dann heißt µ metrisch, falls µ (A B) = µ (A) + µ (B) für alle A, B R n mit dist(a, B) > Satz. Sei µ äußeres Maß auf R n. Dann gilt B(R n ) M µ µ ist metrisch. Beweis. : Es seien A, B R n mit dist(a, B) >. Dann A B =, und nach Voraussetzung gilt A M µ. D.h. µ (A B) = µ ((A B) A) + µ ((A B) A c ) = µ (A) + µ (B). : Wir zeigen, dass, wenn G offen ist, gilt G M µ. Setze G k := {x G : dist(x, R n \ G) 1 k }. Sei ferner U k := G k \ G k 1. Für alle H R n und m N gilt H G = H G m k=m+1 H U k. Setze a k := µ (H G k ). So erhält manµ (H G) µ (H G m ) + k=m+1 a k. Falls k a k < +, dann gilt µ (H G) lim m µ (H G m ). Falls k a k = +, dann gilt k a 2k = + oder k a 2k+1 = +. Wegen Symmetrie können wir OBDA annehmen k a 2k = +. Bemerke, dass dist(u 2k, U 2l ) > falls k l. Nach Voraussetzung ist µ metrisch, also gilt N a 2k = k=1 N N µ (H U 2k ) = µ ( H U 2k ) µ (H G 2N ). k=1 So folgt lim N µ (H G 2N ) = +, und damit µ (H G) lim m µ (H G m ). Wir haben gezeigt, dass µ (H G) lim m µ (H G m ). Daraus folgt: k=1 µ (H) µ ((H G m ) (H \ G)) = µ (H G m ) + µ (H \ G). Für m erhält man µ (H) lim m µ (H G m ) + µ (H \ G) µ (H G) + µ (H \ G), damit die Behauptung Satz. Das n-dimensionale äußere Lebesguesche Maß ist ein metrisches äußeres Maß. Beweis. Es seien A, B R n mit dist(a, B) >. Sei jetzt < δ < dist(a,b) 2. Betrachte den Gitter mit n Seitenlange δ. Wähle die abgeschlossene Würfeln I j, j = 1,..., N bzw. J i, i = 1,..., M in diesem Gitter mit I j A und J i B. Dann sind I j J i = (denn diam(i j ) = diam(j i ) = δ/2 < d). Somit gilt A und N I j, B M J i, i=1 A B N M I j J i, i=1 N M vol n (I j ) + vol n (J i ) λ n(a) + λ n(b). i= A dist(a, B) B δ δ Daher erhält man λ n(a B) λ n(a) + λ n(b). Dies zusammen mit Subadditivität liefert die Behauptung.

13 3. ÄUSSERE MASSE Korollar. Es gelten λ n([a, b]) = vol n (a, b), λ n((a, b)) = vol n (a, b), λ n([a, b)) = vol n (a, b) und λ n((a, b]) = vol n (a, b). Beweis. Den Fall [a, b] wissen wir schon. Die andere Behauptungen folgen daraus, denn gelten: (a, b) = [a + 1 n 1, b 1 n 1], [a, b) = [a, b 1 n 1], n=1 n=1 (a, b] = n=1 [a + 1 n1, b],. So kann man die Monotonie des Maßes λ n B(R n ) verwenden.

14 4 Lebesguesche Maße 4.1. Definition. a) Das vom äußeren Lebesgueschen Maß λ n induzierte Maß λ n heißt n-dimensionales Lebesguesches Maß. b) L n := {A R n : A ist λ n -messbar} heißt die σ-algebra der Lebesgue-messbaren Teilmengen von R n. Folgender Satz läßt sich mit Resultaten aus 3 beweisen Theorem. Es gilt i) (R n, L n, λ n ) ist ein σ-endlicher vollständiger Maßraum mit B(R n ) L n. ii) Für jedes Intervall [a, b] mit a, b R n, (a b) gilt iii) K R n ist kompakt = λ n (K) < +. λ n ([a, b]) = vol n (a, b) = n (b n a n ). k=1 Beweis. Nur iii) is noch nicht bewiesen. Sei K R n kompakt. Dann existieren a, b R n mit K [a, b]. Die Monotonie von λ n liefert λ n (K) λ n ([a, b]) < Korollar. Sei N R n. Dann gilt: N ist Lebesgue-Nullmenge, d.h. λ n (N) = für alle ε > existiert eine Folge von offenen Intervallen (I j ) j 1 mit N I j und vol n (I j ) < ε. Beweis. Da λ n(n) = λ n (N) =, die Behauptung folgt aus der Definition von λ n (siehe 3.2) Korollar. A R n ist abzählbar = A ist Lebesgue-Nullmenge. Beweis. Wir zeigen, dass für x R n gilt λ n ({x}) =. In der Tat: {x} (x ε1, x + ε1), und λ n ((x ε1, x + ε1)) = (2ε) n. Also ist λ n ({x}) =, und die Behauptung folgt aus der σ-additivität von λ n. (Hier ist 1 = (1, 1,..., 1) R n.) 4.5. Satz. Für A L n gilt: λ n (A) i) = inf{λ n (G) : G R n offen, A G} ii) = sup{λ n (K) : K R n kompakt, K A}. Beweis. i): Da A G impliziert λ n (A) λ n (G), so ist offensichtlich. Ist λ n (A) = + so folgt sogar =. Sei also λ n (A) < + und ε >. Nach Definition existiert eine Überdeckung A j N I j, I j J n, mit j N vol n(i j ) λ n (A) + ε. Setze G := j N I j, so ist G R n offen, und wegen σ- Subadditivität gilt λ n (G) j N λ n(i j ) und so λ n (A) λ n (A) + ε. Dies gilt für alle ε >, also ist in i) bewiesen. 12

15 4. LEBESGUESCHE MASSE 13 ii): Sei zunächst A beschränkt. Dann existiert ein C R n kompakt mit A C. Es gilt dann R n \ C L n. Für ε > existiert G R n offen mit C \ A G und λ n (G) λ n (C \ A) + ε (siehe Teil i)). Setze K := C \ G, dann ist natürlich K kompakt und gilt K A, C K G. Ferner λ n (C) λ n (K) + λ n (G) λ n (K) + λ n (C \ A) + ε = λ n (K) + λ n (C) λ n (A) + ε. Damit erhalten wir λ n (A) ε λ n (K), und so folgt die Behauptung. Sei jetzt A unbeschränkt. Setze A j := A (B(, j + 1) \ B(, j)), welche Mengen natürlich disjunkt sind. Für ε > und j N existiert nach dem Obigen K j A j mit λ n (K j ) λ n (A j ) ε/2 j. Wir setzen H N := N K j. Dann ist H N A kompakt und gilt λ n (H N ) λ n ( N A j) ε. Die Stetigkeit von des Maßes λ n liefert λ n (A) = lim n λ n ( N A j), und so die Behauptung Lemma. Sei A L n. Dann existiert eine F σ -Menge F und eine G δ -Menge G derart, dass F A G und λ n (F ) = λ n (A) = λ n (G). Beweis. Sei erst λ n (A) < +. Für jede j N erhält man durch das Verwenden von 4.5 kompakte Mengen K j und offene Mengen G j, mit K j A G j, K j K j+1, G j G j+1 und λ n (A) 1 j λ n(k j ) λ n (A) λ n (G j ) λ(a) + 1 j. Somit hat man für F = j N K j und G := j N G j, dass λ n (F ) = lim j λ n (K j ) = λ n (A) und λ n (G) = lim j λ n (G j ) = λ n (A). Sei jetzt λ n (A) = +. So gilt λ n (G) λ n (A) = + für alle G A G δ -Mengen. Wähle K j K j+1 A kompakt mit λ n (K j ) j (siehe 4.5). Setze F = j N K j. Die Stetigkeit des Maßes λ n von unten liefert λ n (F ) = lim j λ n (K j ) = λ n (A) = +. Bemerkung: In obigen Satz kann F als abzählbare Vereinigung kompakten Mengen gewählt werden (dies ist eigentlich im Beweis gezeigt). Solche Mengen nennen wir σ-kompakt Satz. Für A R n gilt: A L n A = S N, wobei N Lebesgue-Nullmenge und S als abzählbare Vereinigung von kompakten Mengen dargestellt werden kann. Beweis. : Sei S und N wie in der Aussage, so gilt S B(R n ) L n, und so S N L n. : λ n ist σ-endlich: A = j N A j mit λ n (A j ) < +. Für alle j N existiert S j A j, S j abzählbare Vereinigung kompakten Mengen und λ n (S j ) = λ n (A j ). Setze N j := A j \ S j. So gilt λ n (N j ) = λ n (A j \ S j ) =, und N := j N N j ist auch eine Lebesgue-Nullmenge (σ-subadditivität). Es gilt A = j N N j S j = j N N j j N S j = N S, mit S = j N S j. Hier ist S auch abzählbare Vereinigung von kompakten Mengen, also folgt die Behauptung Definition. Sei (R n, A, µ) Maßraum. Das Maß µ heißt (Borel)-regulär, falls i) B(R n ) A (d.h. alle Borel-Mengen sind messbar). ii) µ(a) = inf{µ(g) : G R n offen, A G} = sup{µ(k) : K kompakt, K A} für alle A A. Gilt außerdem iii) µ(k) < + für alle K R n kompakt,

16 4. LEBESGUESCHE MASSE 14 so heißt µ Radon-Maß. Ferner definiert man: Die Restriktion des Lebesguemaßes λ n auf B n heißt n-dimensionales Borel-Lebesgue-Maß. Wir betrachten nun maßtheoretische und topologische Eigenschaften gemeinsam. Erinnerung: Sei R n. f : R n heißt Lipschitz-stetig, falls L existiert mit f(x) f(y) L x y für alle x, y Satz. Sei N R n eine Lebesgue-Nullmenge und f : N R n Lipschitz-stetig. = f(n) ist eine Lebesgue-Nullmenge. Beweis. Wir betrachten auf R n die -Norm: x := max{ x 1, x 2,..., x n } (auf R n sind alle Norme äquivalent). Nach Voraussetzung gibt es ein L mit (1) f(x) f(y) L x y für alle x, y N. Da N eine Nullmenge ist, existiert eine Überdeckung N I j mit j N vol n(i j ) < ε. OBDA können wir annehmen, dass I j alle Würfel mit Kantenlänge l j sind. Wegen (1) existiert ein W j Würfel mit Kantenlänge L l j so, dass f(n I j ) W j. Dann gilt f(n) = f( j N N I j ) = j N f(n I j ) j N W j, und j N vol n (W j ) j N L n l n j = L n j N l n j = L n j N vol n (I j ) < L n ε. Hier ist ε > beliebig, somit folgt die Behauptung Lemma. Jede offene Teilmenge U von R n kann dargestellt werden als abzählbare Vereinigung paarweise disjunkter Intervalle der Form [a, b) mit a, b Q n, oder als abzählbare Vereinigung nicht unbedingt disjunkter aber kompakter Intervalle [a, b] mit a, b Q n. Beweis Satz. Sei G R n offen, f C 1 (G, R n ) (f : G R n stetig differenzierbar) und N G eine Lebesgue-Nullmenge. = f(n) ist eine Lebesgue-Nullmenge. Beweis. Wir schreiben G = j N I j mit I j = [a j, b j ] kompakt (siehe 4.1). Die Ableitung f : G L(R n ) ist nach Voraussetzung stetig, so ist sie auf den kompakten Menge I j beschränkt: f (x) L(R n ) C j für alle x I j. Der Mittelwertsatz zeigt, dass f(x) f(y) sup x Ij x y C j x y. So ist f auf I j Lipschitz, und aus Satz 4.9 folgt, dass f(n I j ) =. Somit ist f(n) = f(n j N I j) = j N f(n I j) = Korollar. Sei G R n, f C 1 (G, R n ) und M G sei Lebesgue-messbar. = f(m) ist Lebesgue-messbar. Beweis. Nach Satz 4.7 läßt M sich als M = S N mit S σ-kompakt und N Lebesgue-Nullmenge zu schreiben. So ist S = j N K j mit K j kompakt, und f(m) = f(s) f(n) = j N f(k j) f(n). Hier ist f(k j ) kompakt (denn f ist stetig) und f(n) Lebesgue-Nullmenge (verwende Satz 4.11). Dies zeigt f(m) L n Satz. (R n, L n, λ n ) ist translationsinvariant, d.h. für alle a R n und A L n gilt a + A L n und λ n (a + A) = λ n (A). Ferner A B(R n ) = a + A B(R n ).

17 4. LEBESGUESCHE MASSE 15 Beweis. Klar, dass vol n translationsinvariant ist. = λ n translationsinvariant = (λ n translationsinvariant und A L n impliziert a + A L n ). Sei a R n. Trivial ist: G offen = a+g offen. Setze f : R n R n, f(x) = x a. So ist f 1 (x) = x+a. Sei ferner A := {A R n : f 1 (A) B(R n )}. Dann ist A eine σ-algebra, und enthält alle offene Mengen, so ist B(R n ) A (siehe 1.4) Theorem [Charakterisierung des Lebesgue Maßes]. Das n-dim. Borel-Lebesgue Maß ist das einzige reguläre, translationsinvariante Maß auf B(R n ) mit µ([, 1)) = 1. Beweis. Schritt 1: Sei a, b Q n mir a b. Translationsinvarianz = µ([a, b)) = µ([, b a) + a) = µ([, b a)). Da b a Q n, so ist b a = ( m 1 m, m 2 m,..., m n m ) für ein m j, m Z. D.h. [, b a) ist darstellbar als paarweise disjunkte Vereinigung von m 1 m 2 m n Intervallen, welche aus [, 1 m1) durch Translation entstehen. Wegen Translationsinvarianz erhalten wir µ([, b a)) = m 1 m 2 m n µ([, 1 m 1)). Schritt 2: Wir bestimmen zunächst µ([, 1 m 1)). Da µ([, 1)) = mn µ([, 1 m 1)), so gilt µ([, 1 m 1) = 1 Dies mit Schritt 1 zeigt µ([a, b)) = µ([, b a)) = m 1m 2 m n m = λ n n ([, b a)) = λ n ([a, b)). Schritt 3: Lemma 4.1 gibt dass λ n (G) = µ(g) für alle G R n offen. Die Regularität liefert dann λ n (B) = µ(b) für alle B B(R n ) Satz. Sei T L(R n ) und A L n. Dann gilt: λ n (T (A)) = det T λ n (A). Beweis. Schritt 1: Sei erst det T. D.h. T : R n R n is invertierbar und sogar ein Homöomorphismus. So gilt B B(R n ) T (B) B(R n ). Setze µ(b) := λ n (T (B)) für alle B B(R n ). Dann ist µ ein Borel-Maß. Ferner ist µ regulär: µ(b) = λ n (T (B)) = inf{µ(g) : T (B) G, G offen} = inf{µ(g) : B T 1 (G), G offen} = inf{µ(g ) : B G, G offen}; µ(b) = λ n (T (K)) = sup{µ(k) : K T (B), K kompakt} = sup{µ(k) : T 1 (K) B, K kompakt} = inf{µ(k ) : K B, K kompakt}. µ ist auch translationsinvariant (bemerke, dass B Borel = B + a Borel): µ(b + a) = λ n (T (B + a)) = λ n (T (B) + T a) = λ n (T (B)) = µ(b). So gilt nach Theorem 4.14 µ(b) = µ([, 1)) λ n (B). für alle B B(R n ). Ferner für A L n gilt A = B N mit B B(R n ) und N Lebesgue-Nullmenge. So folgt λ n (T (A)) = λ n (T (B N)) = λ n (T (B) T (N)) = λ n (T (B)) = µ([, 1))λ n (B) = µ([, 1))λ n (A), wo wir haben auch benutzt, dass T (N) wegen 4.11 eine Lebesgue-Nullmenge ist. Schritt 2: Nun bestimmen wir µ([, 1)), zunächst in speziellen Fällen. Betrachte Matrizen der folgenden Form: a α) Permutationsmatrix, β) 1, oder γ) Sei erst T der Form α). Dann ist T ([, 1)) = [, 1), und somit µ([, 1)) = λ n ([, 1)) = 1 = det(t ). Sei jetzt T der Form β) mit a. Dann ist { [, a) [, 1) [, 1) für a > T ([, 1)) = (a, ] [, 1) [, 1) für a <. m n.

18 So gilt µ([, 1)) = λ n (T ([, 1))) = a = det(t ). Sei T der Form γ). Betrachte e j Standardbasisvektoren und x = x 1 e 1 + x 2 e x n e n [, 1). Dann ist T x = (x 1 + x 2 )e 1 + x 2 e 2 + x n e n. Also gilt Wir setzen T ([, 1)) = {x R n : x j 1, j = 1,..., n, x 2 x 1 < x 2 + 1}. B 1 := {x R n : x j 1, j = 1,..., n, x 2 x 1 < 1} B 2 := {x R n : x j 1, j = 1,..., n, 1 x 1 < 1 + x 2 }. und So gilt T ([, 1)) = B 1 B 2. Ferner ist B 1 (B 2 e 1 ) = [, 1). Wegen Translationsinvarianz und B 1 B 2 = = B 1 (B 2 e 1 ) gilt µ([, 1)) = λ n (T ([, 1)) = λ n (B 1 B 2 ) = λ n (B 1 ) + λ n (B 2 ) = λ n (B 1 ) + λ n (B 2 e 1 ) = λ n (B 1 (B 2 e 1 )) = λ n ([, 1)) = 1 = det(t ). So haben wir gesehen, dass für solche Matrizen T gilt µ([, 1)) = det(t ) und somit µ(b) = det(t )λ n (A) für alle A L n. [,1) 11 1 B B e B B 1 T([,1)) e 1 Schritt 3: Zunächst Erinnerung an Linear Algebra: jede Matrix läßt sich als Produkt T = T 1 T 2 T k von Matrizen T j der Form schreiben α), β) oder γ). So gilt µ(a) = λ n (T (A)) = λ n (T 1 T 2 T k (A)) = det(t 1 )λ n (T 2 T k (A)) = det(t 1 ) det(t 2 )λ n (T 3 T k (A)) = = det(t 1 ) det(t 2 ) det(t k )λ n (A) = det(t ) λ n (A). Schritt 4: In dem Fall det T =, ist T (A) in einem Unterraum V R n enthalten. Damit ist λ n (T (A)) λ n (V ). Wir zeigen nun, dass λ n (V ) = gilt für alle Unterräume V R n mit d := dim V n, und daher folgt die Behauptung auch für det T =. Man betrachtet eine orthonormale (unitäre) Transformation O mit O(V ) = R d {}. So ist λ n (O(V )) = det O λ n (V ) = λ n (V ). Es ist einfach λ n (O(V )) = λ n (R d {}) = zu zeigen. 16

19 5 Meßbare Funktionen Vorbemerkung, siehe 1.6: f : Y wobei, Y beliebige nichtleere Mengen Ist N eine σ-algebra auf Y, so ist {f 1 (A) : A N } σ-algebra auf Definition. a) Sei eine nichtleere Menge, M eine σ-algebra auf. Dann heißt (, M) messbarer Raum. b) Seien (, M) und (Y, N ) messbare Räume. Eine Abbildung f : Y heißt (M, N )-messbar (oder kurz messbar), falls f 1 (E) M für alle E N Lemma. Sei N = A σ (E) die von E P(Y ) erzeugte σ-algebra. Dann gilt: f : Y ist (M, N )-messbar f 1 (E) M für alle E E. Beweis. Setze A := {A Y : f 1 (A) M}. Dann ist A eine σ-algebra auf und E A. So gilt nach 1.4 A σ (E) A Korollar. Sei f : R n R m stetig (allgemeiner: f : Y, wobei, Y topologische Räume). = f ist (B(R n ), B(R m ))-messbar. Beweis. Die Borel-σ-Algebra wird von den offenen Mengen O erzeugt: B(R n ) = A σ (O). Ferner ist das Urbild f 1 (G) einer offenen Menge G R m offen, denn f ist stetig. So endet Lemma 5.2 den Beweis. Weitere Notationen: a) Sei f : K, wobei (, M) messbarer Raum und K = R oder C. Dann heißt f M-messbar oder einfach messbar, falls f (M, B(R)) bzw. (M, B(C))-messbar ist. b) Insbesondere gilt: f : R n C heißt Lebesgue (Borel)-messbar, falls f (L, B(C))-messbar ((B, B(C))-messbar) ist. Vorsicht: f, g Lebesgue-messbar f g Lebesgue-messbar Bemerkung. a) Sei (, M) messbarer Raum, Y = R n, Z = R m und f : Y M-messbar, g : Y Z stetig. Dann ist g f : Z M-messbar. b) Sei (, M) messbarer Raum und f = (f 1,..., f n ) : K n. Dann gilt f messbar f j messbar für j = 1,..., n Folgerungen. Sei (, M) messbarer Raum. Dann gilt: i) f : K n messbar = f : R messbar. ii) f : C messbar = Rf, If : R messbar. iii) f, g : K n messbar = f + g, αf : K n messbar, α K. (Vektorraum-Struktur) iv) f, g : K messbar = f g : K messbar. (Algebra-Struktur) Beweis. Man verwendet Bemerkung 5.4. Zum Beispiel: iii) Betrachte die stetige Funktion P : R n R n R n, P (x, y) = x + y und die, nach Bemerkung 5.4 b) messbare Funktion F : R n R n, F (x) = (f(x), g(x)). So ist f + g = P F, und die Messbarkeit folgt aus Bemerkung 5.4 a) Satz. Sei (, M) messbarer Raum und f : R. Äquivalent sind: 17

20 5. MESSBARE FUNKTIONEN 18 i) f ist M-messbar. ii) f 1 ((a, )) M für alle a R. iii) f 1 ([a, )) M für alle a R. iv) f 1 ((, a]) M für alle a R. v) f 1 ((, a)) M für alle a R. Beweis. Folgt aus 1.5 und Bemerkung. Wir betrachten R = [, + ] und definieren B(R) := {A R : A R B(R)}. (Dies stimmt mit üblichen Definition von Borel-Mengen überein, denn R ist ein metrischer Raum mit d(x, y) = arctg x arctg y.) a) Dann wird B(R) erzeugt durch Intervalle (a, + ] oder [, a), a R. b) f : R heißt M-messbar falls (M, B(R))-messbar. c) f : R ist M-messbar f 1 ({+ }), f 1 ({+ }), f 1 (B) M für alle B B(R). d) 5.5 bleibt richtig für R-wertige Funktionen, wenn die Operationen + bzw. sinnvoll sind. Wir verabreden weiterhin die Konvention =. e) Für f : R definieren wir f + := max{f, }, f := max{ f, }. Es gelten f = f + f, f = f + + f, f = sgn f f Satz. Seien f n : R messbar. Dann sind a) sup n N f n, b) inf n N f n, c) lim sup n f n, d) lim inf n f n auch messbar. Beweis. a) Setze f = sup n N f n. Nach 5.6 ist {x : f(x) > α} M für α R zu zeigen. Es gilt {x : f(x) > α} = {x : existiert n N mit f n (x) > α} = n N{x : f n (x) > α}. Da nach Voraussetzung ist {x : f n (x) > α} M für n N, die Behauptung folgt. c) Ähnlich zu a): setze f = lim sup n f n. Nach 5.6 ist {x : f(x) > α} M für α R zu zeigen. Es gilt {x : f(x) > α} = {x : existieren unendlich vielen n N mit f n (x) > α} = {x : f k (x) > α}. }{{} n N k n M }{{} } M {{ } M Die Andere Aussagen lassen sich analog beweisen Satz. Seien f, f n : R messbar für alle n N. Falls f(x) := lim n f n(x) existiert für alle x, so ist f messbar. Beweis. Folgt aus 5.8 Wir betrachten nun die grundlegenden Funktionen für das Integral.

21 5. MESSBARE FUNKTIONEN Definitionen + Bemerkung. Sei (, M) messbarer Raum und A. a) Die charakteristische Funktion χ A von A (Indikationsfunktion von A, 1 A, etc.) ist definiert durch { 1, x A, χ A (x) :=, sonst. b) ϕ : K heißt einfach, falls ϕ ist messbar und ϕ() ist endliche Teilmenge von K. ϕ ist endliche Linearkombination von χ A mit A M und Koeffizienten aus K. c) ϕ ist einfach = ϕ = N a j χ Aj mit ϕ() = {a 1, a N } und A j := ϕ 1 ({a j }). [Standard-Darstellung] Theorem [Approximationssatz]. Sei (, M) messbarer Raum. a) f : [, + ] ist messbar existiert eine Folge (ϕ n ) von einfachen Funktionen mit ϕ 1 ϕ 2 f und ϕ n f punktweise. b) f : K ist messbar Folge (ϕ n ) von einfachen Funktionen mit ϕ 1 ϕ 2 f und ϕ n f punktweise. Beweis. a) : Folgt aus 5.9. : Für n N und j = 1, 2,..., n2 n setze A j n := f 1 ([ j 1 2 n, j 2 n )), und B n := f 1 ([n, + ]). Dann gilt A j n, B n M für n, j N. Setze ferner ϕ = und ϕ n := n2 n j 1 2 n χ A j n + nχ B n, n 1. Natürlich ist ϕ n einfach und gilt ϕ ϕ 1 ϕ 2 f. Sei x f 1 ([, + )), dann existiert n x N mit f(x) ϕ n (x) 1/2 n für n n x. Ist f(x) = +, dann für ϕ n (x) = n für alle n N. Zusammenfassend: ϕ n (x) f(x) für n und alle x. b) Sei f = g + ıh. Wir wenden Teil a) auf g +, g, h + und h an. So erhält man ξ n g +, ψ n g, η n h +, ζ n h. Setze ϕ n := ξ n ψ n + ı(η n ζ n ). So gilt ϕ n f punktweise für n. Ferner gilt für x ϕ n (x) ϕ n+1 (x) f(x). [n, + ) [n, + ) f f [ i 1 2 n, i 2 n ) [ i 1 2 n, i 2 n ) ϕ n [ j 1, j 2 n [, 1 ) 2 n 2 n ) [ j 1, j 2 n [, 1 ) 2 n 2 n ) A 1 n A i n A j n B n A 1 n A i n A j n B n

22 6 Integration positiver Funktionen In diesem Abschnitt sei (, M, µ) ein Maßraum. Ferner sei M + := {f : [, + ], f messbar}. Erinnerung: ϕ M einfach = ϕ besitzt Standard-Darstellung N ϕ = a j χ Aj, wobei rg(f) := f() = {a 1, a N } und A j = f 1 ({a j }) Definition. a) Sei ϕ M + einfach mit Standard-Darstellung. Wir setzen N ϕ dµ := a j µ(a j ) und nennen diesen Ausdruck das Lebesgue-Integral von ϕ bzgl. µ. b) Falls A M, so nennen wir ϕ dµ := das Lebesgue-Integral von ϕ über A bzgl. µ. A ϕχ A dµ Bemerkung: Sei ϕ = M b k χ Bk k=1 nicht unbedingt in standard Darstellung, b k, dann gilt M ϕ dµ = b k µ(b B k ). B k= Lemma. Seien ϕ, ψ M + einfach. Dann gilt: a) Für α ist αϕ dµ = α ϕ dµ. b) (ϕ + ψ) dµ = ϕ dµ + ψ dµ. c) ϕ ψ = ϕ dµ ψ dµ. d) Die Abbildung A A dµ ist Maß auf M. Beweis. a) Trivial aus Definition. b) Sei ϕ = N a j χ Aj und ψ = M b k χ Bk, mit A j bzw. B k paarweise disjunkt. Dann gilt ϕ dµ + ψ dµ = = k=1 N M a j µ(a j ) + b k µ(b k ) = M k=1 k=1 N N (a j + b k )µ(a j B k ) = a j M k=1 ϕ + ψ dµ, µ(a j B k ) + M N b k k=1 µ(a j B k ) 2

23 6. INTEGRATION POSITIVER FUNKTIONEN 21 wobei wir haben auch benutzt, dass A j = M k=1 (A j B k ) und B k = N (A j B k ). c) Analog zu Teil b): Sei ϕ = N a j χ Aj und ψ = M b k χ Bk, mit A j bzw. B k paarweise disjunkt. Dann gilt ϕ dµ = N a j µ(a j ) = N k=1 k=1 M a j µ(a j B k ) N M M b k µ(a j B k ) = b k µ(b k ) = k=1 wo a j = ϕ(x) ψ(x) = b k für x A j B k gilt nach Voraussetzung. k=1 ψ dµ, d) Sei B = n=1 B n, B n M und B n B k =, n k. Zu zeigen ist B ϕ dµ = n=1 B n ϕ dµ. Wir schreiben einfach die Definition hin: N N N ϕ dµ = a j µ(b n A j ) = a j µ(b n A j ) = a j µ(b A j ) = ϕ dµ. n=1 B n=1 n=1 n B Wir dehnen nun den Integralbegriff aus auf M Definition. Sei f M +, B M. Dann heißt { } f B dµ := sup ϕ dµ : ϕ f, ϕ einfach das Lebesgue-Integral von f über B bzgl. µ. Bemerkung: a) Sei f M + einfach = die Definitionen 6.1 und 6.3 stimmen überein. B b) Definition impliziert, dass für f, g M + gilt f g = f dµ g dµ und αf dµ = α f dµ, α. Erstes fundamentales Resultat ist folgender Konvergenzsatz Theorem [Beppo-Levi, monotone Konvergenz]. Es seien f 1 f 2 f n messbar f = lim f n. n = f ist messbar und f dµ = lim fn dµ. n Beweis. Nach Voraussetzung wissen wir f n dµ f n+1 dµ, also existiert lim n f n dµ. Wegen 5.9 ist f = lim n f n messbar. Ferner gilt f n f und so f n dµ f dµ. Sei jetzt ϕ f einfache Funktion und < α < 1. Definiere die Mengen A n := {x : f n (x) αϕ(x)}. Es gilt = n=1 A n. Denn ist f(x) =, so folgt ϕ(x) auch und damit x A n. Falls f(x) >, so gilt αϕ(x) < f(x) und deswegen f n (x) > αϕ(x) für n genug groß, d.h. x A n. Offensichtlich ist A n A n+1. Theorem 2.4 und Lemma 6.2 d) geben dann α ϕ dµ = lim αϕ dµ lim f n dµ lim f n dµ. n A n n A n n Dies gilt für alle α (, 1) und ϕ f einfach, also nach Definition f dµ lim n f n dµ.

24 6. INTEGRATION POSITIVER FUNKTIONEN 22 Bemerkung: f dµ ist definiert als sup über riesige Menge = f dµ ist schwierig direkt zu berechnen. Theorem 6.4 besagt f dµ = lim f n dµ, wobei f n einfach mit f n f. Der Approximationssatz besagt, dass solche Folgen existieren. Eine Anwendung von 6.4 ist: 6.5. Satz. Sei (f n ) Folge in M + und f = n N f n. = f dµ = n fn dµ. Beweis. Zunächst zeigen wir, dass das Integral endlich additiv ist. Sei ϕ n j f j, j = 1..., N mit ϕ n j ϕn+1 j f j punktweise (siehe Theorem 5.11). Lemma 6.2 b) gibt ϕ n 1 dµ + ϕ n 2 dµ + + ϕ n N dµ = ϕ n 1 + ϕ n ϕ n N dµ. Für n konvergiert hier die linke Seite gegen f f N dµ und die rechte Seite gegen f f n dµ (verwende Theorem 6.4). Nun definiere g n := n f j, dann ist g n g n+1 und Theorem 6.4 liefert n f j dµ = lim g n dµ = lim g n dµ = lim f j dµ = f j dµ. n n n 6.6. Lemma [Fatou]. Sei (f n ) Folge in M +. Dann ist lim inf f n dµ lim inf n n f n dµ. Beweis. Sei g n := inf j n f j, und g := lim inf n f n = lim n g n. Dann g n g und für j n gilt g n f j, und so g n dµ f j dµ. Daher g n dµ inf j n fj dµ, und aus Theorem 6.4 folgt lim inf f n dµ = lim g n dµ = lim g n dµ lim inf f j dµ = lim inf f n dµ. n n n n n j n 6.7. Notation. Es seien f, f n, g : K messbar. a) f = g fast überall, falls eine Menge N M existiert mit µ(n) = und f(x) = g(x) für alle x N c. b) f n f fast überall, falls eine Menge N M existiert mit µ(n) = und f n (x) g(x) für alle x N c Satz. Für f M + gilt f dµ = f = fast überall. Beweis. Sei zunächts f einfach, f = n a jχ Aj. Dann f dµ = a j = oder µ(a j ) =. Also folgt die Behauptung in diesem speziellen Fall. : Sei f = fast überall. Dann für die einfache Funktionen ϕ f gilt ϕ = fast überall, also ϕ dµ = und so f dµ =. : Sei A n := {x : f(x) 1 n }. Dann gilt {x : f(x) > } = n=1 A n. Ist µ(a n ) > für ein n N, so folgt f dµ > 1 n µ(a n) >. D.h. unter die Bedingung f dµ = gilt µ(a n ) = und somit f = fast überall.

25 6. INTEGRATION POSITIVER FUNKTIONEN Korollar. Sei (f n ) M +, f M + und f 1 f 2 f 3 f n fast überall und f n f fast überall. = f dµ = lim f n dµ. Beweis Korollar. Sei (f n ) M +, f M +, f n f fast überall. = f dµ lim inf n fn dµ. Beweis Satz. Sei f M + mit f dµ < + {x : f(x) = + } ist µ-nullmenge. Beweis.

26 7 Integrierbare Funktionen Es sei (, M, µ) ein Maßraum. Wir dehnen den Integralbegriff aus auf messbare Funktionen f : K Definition. Sei f : R messbar mit f + dµ < + und f dµ < +. Wir definieren f dµ := f + dµ f dµ, und nennen obigen Ausdruck Lebesgue Integral von f. In diesem Fall heißt f integrierbar Satz. L 1 (µ, R) := {f : R, f integrierbar} ist Vektorraum und es gilt: f + αg dµ = f dµ + α g dµ. Beweis. Es gilt f +αg f + α g, also ist f +βg integrierbar, und α g = αg, damit ist L 1 (µ, R) Vektorraum wegen Lemma 6.2. Ferner sei h := f + g mit f, g integrierbar. Dann h + h = f + f + g + g, also h + + f + g = h + f + + g +. Satz 6.5 gibt h + + f + g = h + f + + g +, also h = h + h = f + f + g + g = f + g Definition. a) Sei f : C messbar. Dann ist f integrierbar, falls f dµ < +. b) Allgemeiner, für A M heißt f integrierbar über A, falls f dµ < +. A c) Falls f integrierbar über A ist, so heißt A f dµ := A Rf dµ + ı A If dµ das Lebesgue Integral von f bzgl. µ über A. Bemerkung: a) f Rf + If 2 f, also f integrierbar Rf und If integrierbar. b) Wie in 7.2 zeigt man, dass L 1 (µ, C) := {f : C, f integrierbar} ist ein C-Vektorraum Satz. Für f L 1 gilt: f dµ f dµ. Beweis. Ist f =, so folgt die Behauptung. Sei f : R. Dann f = f + f f + + f = f. Sei f : C und f. Setze α = f / f. Dann f = α f = αf = R αf = Rαf Rαf αf = f Korollar. Seien f, g L 1. Dann gilt: f dµ = g dµ A M A A f g dµ = f = g fast überall 24

27 7. INTEGRIERBARE FUNKTIONEN 25 Beweis. Nur die erste Äquivalenz ist zu zeigen. : Gilt f g dµ =, so ist f = g fast überall, und so A f dµ = A g dµ für alle A M. : Wir zeigen z.b., dass Rf = Rg fast überall (If = Ig geht genau so). Nach Voraussetzung A Rf dµ = R A Rg dµ für alle A M. Insbesondere gilt dies für A + := {x : Rf(x) > Rg(x)} und A := {x : Rf(x) < Rg(x)}. So erhält man µ(a ) = und µ(a + ) =, und somit die Behauptung Theorem [Lebesgue, Dominierte Konvergenz]. Sei (f n ) L 1 derart, dass i) Es existiert messbare Funktion f mit f n f fast überall ii) Es existiert g L 1, g mit f n g fast überall für alle n N. = f L 1 und f = lim fn. n Beweis. Es gilt f L 1, denn f g fast überall. Es gilt f n f f n + f 2g, also gilt h n := 2g f n f. Wende nun Lemma von Fatou auf h n an: 2g dµ = lim inf n dµ Fatou lim inf 2g f f n dµ = 2g + lim inf n n n f n f dµ = 2g lim sup n f n f dµ. Dies zeigt, dass lim sup n fn f dµ =, und so lim n fn f dµ =. Also f n dµ f dµ 7.2 = f n f dµ f n f dµ für n. Bemerkung: Existenz einer Majorante in Theorem 7.6 ist wesentlich. Beispiel: = R, µ = λ 1, f n = nχ (, 1 ]. Dann f n punktweise aber n [,1] f n dλ 1 = 1. Anwendung auf gliederweise Integration von Reihen Satz. Sei (f n ) L 1 mit n=1 f n dµ < +. = n=1 f n konvergiert f.ü. gegen ein f L 1 (, µ) und f n dµ = f n dµ. n=1 n=1 Beweis. Setze g := n=1 f n. Satz 6.5 gibt g = f n < +. Satz 6.11 liefert dann f n (x) < + fast überall, und konvergiert f n (x) fast überall. Ferner gilt N f j g für alle N N. Lebesgue-Satz 7.6 zeigt f n = f n Satz [Differenzierbarkeit von Parameterintegralen]. Seien a, b R, a < b, (, M, µ) Maßraum und f : [a, b] C. Es gelte i) f(, t) L 1 (µ, C) für alle t [a, b]. ii) f t existiert auf (a, b) und es existiert g L1 (µ, R) mit f t (x, t) g(x) für alle (x, t) [a, b].

28 7. INTEGRIERBARE FUNKTIONEN 26 Dann ist F : [a, b] C definiert durch F (t) := differenzierbar auf (a, b) und es gilt df dt (t) = d dt f(x, t) dµ(x) f(x, t) dµ(x) = d f(x, t) dµ(x) dt Beweis. Es gilt f t (x, t f(x,t ) = lim n) f(x,t ) tn t t n t, also ist x f t (x, t) für alle t (a, b) messbar. Der Mittelwertsatz und ii) geben f(x, t n) f(x, t ) f (x, s) g(x). t n t So folgt nach dem Satz von Lebesgue 7.6 F f(x, t n ) f(x, t ) f (t ) = lim dµ(x) = t n t t n t t (x, t ) dµ(x). (Dies gilt für alle (t n ) n N mit t n t, und so folgt die Behauptung.) Diskussion [Zusammenhang mit Riemann-Integral]: Sei t = a < t 1 < < t n = b Partition P von [a, b]. Sei f : [a, b] R beschränkt. Setze n n O P f := M j (t j t j 1 ), U P f := m j (t j t j 1 ), wobei M j := sup f(x), and m j := inf f(x) x [t j 1,t j ] x [t j 1,t j ] Falls inf P O P f = sup P U P f, so heißt f Riemann-integrierbar und b a f(s) dx := inf P O P f = sup P U P f heißt das Riemann-Integral von f Theorem. Sei f : [a, b] R beschränkt. Dann gilt: a) f Riemann integrierbar = f ist Lebesgue-messbar (daher auch Lebesgue-integrierbar) und b f(t) dt = f dλ. a [a,b] b) f Riemann integrierbar Menge der Unstetigkeitsstellen von f ist Lebesgue-Nullmenge. Beweis. a) Sei f Riemann-integrierbar, setze G P := n M jχ (tj 1,t j ], g P := n m jχ (tj 1,t j ]. Dann O P f = G P dλ und U P f = g P dλ. Dies gilt für alle Partitionen P von [a, b]. Nun wähle Partitionen P n P n+1 mit O Pn f b a f(x) dx und U P n f b a f(x) dx. Setze G := lim n G Pn und g := lim n g Pn. Dann sind G, g messbar und gilt g f G. Daher b a b a f(x) dx = lim U P n n f = lim n f(x) dx = lim O P n n f = lim n g Pn dλ Lebesgue = G Pn dλ Lebesgue = lim g P n n d = lim G P n n dλ = g dλ und G dλ, d.h. G dλ = g dλ (denn G g), somit G = g fast überall. Ferner g f G, so g = f = G fast überall. Da (R, L, λ) ist vollständig, ist auch f messbar und Integrale stimmen überein. b) Ohne Beweis.

29 7. INTEGRIERBARE FUNKTIONEN 27 Beispiel: f[, 1] [, 1] und Q := Q [, 1]. Dann χ Q ist nicht Riemann-integrierbar (da überall unstetig), aber χ Q = fast überall, also ist auch Lebesgue-Integrierbar und χ Q dλ =. Bemerkung: Vergleich Riemann Integral - Lebesgue-Integral. Riemann: Zerlege Definitionsbereich [a, b] in Teilintervalle und approximiere f von unten nach oben durch Funktion, welche konstant auf jeden Teilintervall ist. Lebesgue: Wähle Folge von einfachen Funktionen (ϕ j ) mit ϕ j f. Wähle ϕ j, insbesondere wie in Approximationssatz 5.11, d. h. zerlege Wertebereich von f in Teilintervalle I j und approximiere f durch Konstante auf f 1 (I j ). Vorteil der Lebesgue-Theorie: Konvergenzsätze wichtige Funktionsräume versehen mit Integralnormen sind vollständig bzgl. Lebesgue-Integral, aber nicht bzgl. Riemann-Integral. Beispiel: L 2 Quantenmechanik.

30 8 L p Räume L p -Räume verallgemeinern L 1 und spielen eine wichtige Rolle in der modernen Analysis. In diesem Abschnitt sei (, M, µ) ein Maßraum Definition. ( a) Sei 1 p <. Setze f p := b) Sei 1 p <. Definiere f p dµ) 1/p. L p := L p (, M, µ, K) := { f : K messbar und f p < + } Bemerkung. a) Sei f L p, f p = f N (µ) := {f : f messbar und f = µ-fast überall}. [ : f p = f p = f p = f.ü. f N (µ). : Klar] b) L p ist ein Vektorraum. [f, g L p f + g p (2 max{ f, g }) p 2 p ( f p + g p ).] c) Notation f p deutet auf Norm hin. f p = f = fast überall, aber f nicht notwendigerweise. d) N (µ) ist Untervektorraum vom Vektorraum aller messbaren Funktionen. f g Def. f g N (µ) ( f = g µ-fast überall) definiert eine Äquivalenzrelation Definition. Für 1 p < definieren wir den Faktorraum L p (, M, µ, K) := L(, M, µ, K)/N (µ) Abkürzende Schreibweise: L p (µ), L p (), L p, usw. STILLSCHWEIGENDE ÜBEREINKUNFT: Anstatt [f] = f + N (µ) schreibt man kurz f, d. h. wir identifizieren Funktionen miteinander, welche µ fast überall übereinstimmen Satz [Höldersche Ungleichung]. Es sei 1 < p, q < mit 1/p + 1/q = 1 (konjugierte Exponente). Dann für alle f L p (, µ) und g L q (, µ), gehört f g zu L 1 (, µ) und f g 1 f p g q. Ferner gilt = genau dann, wenn α f p = β g q fast überall für α, β. Zum Beweis zunächst ein Lemma: Lemma [Youngsche Ungleichung]: Sei a, b R +. Dann gilt = gilt genau dann, wenn a = b. Beweis. ab ap p + bq q, mit 1 p + 1 q = 1. 28

31 8. L p RÄUME 29 Bewies der Hölder-Ungleichung: Natürlich ist fg messbar. Seien G := g/ g q und F := f/ f p (falls wir mit dividieren sollten, folgt g = oder f = fast überall, und die behauptete Ungleichung ist trivial). Anwenden der Young-Ungleichung in jedem Punk x gibt nach Integration f(x)g(x) f p g q dµ = und die Behauptung folgt. F (x)g(x) dµ(x) F (x) p dµ(x) + p G(x) q dµ(x) = 1 q p + 1 q = 1, 8.5. Satz [Minkowskische Ungleichung]. Sei 1 p < und f, g L p (, µ). Dann f + g p f p + g p. Beweis. Verwende die Höldersche Ungleichung: f + g p p f f + g p 1 dµ + g f + g p 1 dµ f p (f + g) p 1 q + g p (f + g) p 1 q = ( f p + g p ) f + g p/q p. Die Behauptung folgt nach Dividieren mit dem rechten Term und p p/q = Korollar. Die Abbildung p : L p (, µ) R + ist eine Norm und (L p, p ) ist ein normierter Vektorraum. Beweis. i) f p = f = fast überall ii) αf p = α f p, α K iii) Dreiecksungleichung: f + g p f p + g p (Minkowski-Ungleichung). Es gilt sogar mehr: Erinnerung: Ein vollständiger normierter Vektorraum (d.h., in dem jede Cauchy Folge konvergiert) heißt Banachraum. Zunächst ein Hilffsatz: 8.7. Satz. Sei (E, ) normierter Vektorraum. Dann ist E vollständig jede absolut konvergente Reihe konvergiert, d.h. für alle (x n ) E mit n=1 x n < + existiert ein x E mit lim m m n=1 x n x =. Beweis. : Da ( m n=1 x ) n eine Cauchyfolge ist, folgt die Behauptung. m : Sei (x n ) eine Cauchyfolge. Zu ε k := 2 k wähle N k N mit x n x m 2 k falls n, m N k. Dann existiert es eine Teilfolge (x nk ) mit x nk+1 x nk 2 k für alle k N. Sei y k := x nk+1 x nk. Dann k=1 y k < +. Nach Voraussetzung existiert es y E mit y m y k = y (xnm+1 x n1 ) als m. k=1 Eine Teilfolge von (x n ) konvergiert und (x n ) ist Cauchy, also konvergiert auch (x n ) Satz [Riesz Fischer]. Sei 1 p <. Dann ist L p (, µ) vollständig.