Vom Strahlensatz zum Pythagoras

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1 Vom Stahlensatz zum Pythagoas Maio Spengle Zusammenfassung Eine mögliche Unteichtseihe, um die Satzguppe des Pythagoas unte Umgehung de Ähnlichkeitsabbildungen diekt aus den Stahlensätzen hezuleiten. Liteatuangaben beziehen sich ausschließlich auf Lambache Schweize, Mathematisches Unteichswek fü das Gymnasium, LS9, Klett, Stuttgat Die Abbildungen wuden mit geogeba ezeugt. 1 Reelle Zahlen Einfühung de Quadatwuzel übe Intevallschachtelung 2 Rechengesetze mit Quadatwuzeln 3 Zentische Steckung Definition laut LS9, Seite 104 Satz 1 zu Geadenteue laut LS9, Seite 107 Satz 2 zum Längenvehältnis laut LS9, Seite Längen, Winkel, Flächen Satz 1 zu Längenvehältnis- und Winkelteue laut LS9, Seite 111 Satz 2 zum Flächenvehältnis laut LS9, Seite Stahlensätze 1. Stahlensatz und 2. Stahlensatz laut LS9, Seite 114,115. 1

2 2 6 Ähnlichkeit entfällt als eigenes Thema. Zwei Deiecke heißen ähnlich, wenn sie in entspechenden Winkeln übeeinstimmen. 7 Satzguppe des Pythagoas Gegeben ist ein echtwinkliges Deieck ABC, dessen Höhe F C das Deieck in zwei ähnliche Deiecke AF C und F BC unteteilt. (Beweis übe Winkelsummensatz) Da in allen dei Deiecken die Innenwinkel gleich goß sind, kann man jeweils zwei ähnliche Deiecke so aufeinande legen, dass eine Stahlensatzfigu entsteht. Das folgende Abeitsblatt kann kopiet und den Schülen ausgeteilt weden mit dem Auftag, die unteen Teildeiecke sogfältig auszuschneiden, zu coloieen und auch die Rückseite de Deiecke innehalb beschiften.

3 3

4 4 7.1 Heleitung des Höhensatzes Man lege die beiden Teildeiecke nach folgende Skizze so aufeiande, dass de 1. Stahlensatz angewendet weden kann q h = h p = q p = h2 7.2 Heleitung de Kathetensätze Man lege die beiden Teildeiecke nach folgende Skizze so in das goße Ausgangsdeieck, so dass de 2. Stahlensatz angewendet weden kann p a = a c = a2 = p c q b = b c = b2 = q c 7.3 Heleitung des Satzes von Pythagoas Die Heleitung efolgt ein algebaisch aus den beiden Kathetensätzen a 2 = p c b 2 = q c Addiet man nun beide Gleichungen, so ehält man a 2 + b 2 = p c + q c = (p + q) c = c 2 8 Ähnlichkeitssätze Voausgesetzt ist de Satz vom Umfangswinkel (Veallgemeineung des Satzes von Thales) Soll beispielsweise de Sekantensatz aus folgende Skizze hegeleitet weden, so sind zunächst keine Paallelen zu ekennen.

5 5 Da in den beiden Deiecken P AD und P BC jedoch die Winkel bei Punkt P übeeinstimmen und die Winkel übe deselben Sehne AC gleich goß sein müssen, liegen ähnliche Deiecke vo. Eine Achsenspiegelung an de Winkelhalbieenden ezeugt die gesuchte Stahlensatzfigu. P A P C = P D P B = P A P C = P D P B = P A P B = P C P D ode laut LS9, Seite 130: Schneiden sich zwei Sekanten eines Keises außehalb in einem Punkt P, so sind die Podukte de vom Scheitel aus gemessenen Sekantenabschnitte gleich goß.

6 6 9 Keisumfang und Keisfläche Sei es zu Neueinfühung, sei es zu Wiedeholung: Höhensatz, Kathetensatz und Pythagoas lassen sich gut anwenden, um Keisumfang und Keisfläche übe einbeschiebene Vielecke anzunähen. Gleichzeitig weden Temumfomungen, Gleichungen mit Fomvaiablen und geschachtelte Wuzeln wiedeholt. Die Beechnung des nummeischen Wets geschachtelte Wuzeln stellt fü viele Schüleinnen und Schüle beeits hohe Anfodeungen an die Bedienung des Taschenechnes unte Vewendung de eingebauten Speiche fü Zwischenegebnisse. 9.1 Heleitungen Sind Seite a n und Höhe h n des Teildeiecks eines n-ecks bekannt, so ist nach dem Kathetensatz die Seite a 2n des 2n-Ecks zu beechnen. In de linken Skizze liegt das goße Deieck im Thaleskeis, seine Basis ist de Keisduchmesse. Dann gilt: (a 2n ) 2 = ( h n ) = a 2n = 2 2 h n Die Höhe h 2n des 2n-Ecks in de echten Skizze läßt sich nach dem Satz des Pythagoas beechnen: (h 2n ) 2 = 2 ( a2n 2 )2 = h 2n = 4 ( a2n )2 9.2 Egebnisse Elegante Statwete zu einem Näheungsvefahen zu π-bestimmung ehält man, wenn einem Keis mit dem Radius ein Quadat ode ein egelmäßiges Sechseck einbeschieben wid. Beim egelmäßigen Sechseck ist a n gleich dem Keisadius, die Höhe eines Teildeiecks beechnet sich nach dem Satz des Pythagoas zu h n = 3. Duch ekusives Einsetzen von a n und h n weden die Seiten und Höhen de Teildeiecke des 2n-Ecks beechnet.

7 7 n a n h n Keisumfang und Keisfläche weden duch die n-fache Seitenlänge a n bzw. duch die Fläche von n Teildeiecken bestimmt. Ausgehend vom 6-Eck übe 12- Eck, 24-Eck, 48-Eck, 96-Eck, 192-Eck ehält man beim 384-Eck beeits eine gute Näheung fü die Zahl π. n u n = n a n A n = n an hn 2 6 6, , , , , , , , , , , , , , Ohne weitee Heleitungen sieht man das Bildungsgesetz de geschachtelten Wuzeln. So können leicht die Teme fü das 768-Eck, 1536-Eck u.s.w. notiet weden. Die gößeen Schwieigkeiten teten im Unteicht efahungsgemäß beim ichtigen Umgang mit dem Taschenechne auf

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