Prädikate sind Funktionen. Prädikatenlogik. Quantoren. n stellige Prädikate. n stellige Prädikate:

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1 Aussagenlogik: Aussagen Ausssageformen Prädikatenlogik beschäftigt sich mit Aussagen sind Sätze die entweder wahr oder falsch sind sind Sätze mit Variablen, die beim Ersetzen dieser Variablen durch Elemente einer vorgegebenen Grundmenge G in eine Aussage übergehen. Prädikate sind Funktionen Prädikatsymbole werden als Funktionen von G nach B = {w,f} interpretiert : Bsp: Prim(x) sei: x ist eine Primzahl w wenn x Primzahl ist f Prim : B; x! f sonst 5 ist eine Primzahl ist eine Aussage x ist eine Primzahl ist eine Aussageform (Grundmenge ) Beide Sätze haben die gleiche Struktur : Term Prädikat wobei 5 bzw. x für Term stehen und... ist Primzahl für Prädikat. Führt man die abkürzende Schreibweise Prim(x) für x ist eine Primzahl ein, dann ist Prim ein Prädikatsymbol und Prim(x) eine atomare prädikatenlogische Formel. Falls für ein a aus G Prim(a) = w ist, so sagt man Prim gilt für a x 5 6 Prim(x) 5 ist Primzahl 6 ist Primzahl f Prim (x) Die Belegungen, die aus Prim (x) eine wahre Aussage machen, heißen Lösungen der Formel, die aus den Lösungen gebildete Teilmenge von G heißt Lösungsmenge L. Formeln mit L = heißen unerfüllbar, solche mit L! heißen erfüllbar. Wenn L = G gilt, nennt man die Formel allgemeingültig. Zwei Formeln P(x) und Q(x) mit gleicher Grund- und Lösungsmenge heißen (prädikatenlogisch) äquivalent, geschrieben: P(x) Q (x) w f n stellige Prädikate n stellige Prädikate: Ein Prädikatsymbol mit n Variablen heißt n - stelliges Prädikatsymbol. Die Grundmenge G ist eine Menge von n Tupeln. Bsp: P(x,y,z) : die Summe der Zahlen x und y ist gleich z f P : X X B; f p (x,y,z) = (x,y,z) (2,3,4) (3,5,8) P (x,y,z) : = = 8 w wenn x + y = z wahr und f wenn x + y = z falsch ist. f p (x,y,z) Es gibt Zahlentripel, für die beim Einsetzen in P(x,y,z) eine wahre Aussage entsteht aber nicht für alle möglichen Tripel (x,y,z) gilt P (x,y,z): Die Aussage Es gibt ein Tripel (x,y,z) mit P (x,y,z) ist also wahr. Die Aussage Für alle Tripel (x,y,z) gilt P (x,y,z) ist falsch. f w Quantoren Durch Voranstellen von Es gibt ein x mit bzw. Für alle x gilt vor eine atomare Formel entstehen eine Existenz- bzw. eine Allaussage; Bsp: Prim(x) : x ist eine Primzahl at. Formel über Es gibt ein x aus für das gilt x ist Primzahl Existenzaussage Für alle x aus gilt x ist Primzahl Allaussage Kurzschreibweise mit Quantoren: x.p(x) bedeutet: Für alle x aus G gilt P(x) x.p(x) bedeutet: Es gibt (mindestens) ein x aus G mit P(x) : Allquantor : Existenzquantor Der Übergang von einer Formel P(x) zur Formel x.p(x) oder x.p(x) heißt Quantifizieren. Die Variable x wird dabei gebunden. Man unterscheidet in Formeln mit Quantoren gebundene und frei auftretende Variablen. x. P(x,y) x ist gebunden, y ist frei (x,y). P(x,y) x und y sind gebunden Eine Formel ohne freie Variable heißt geschlossen. Geschlossene Formeln sind Aussagen, man kann ihnen einen Wahrheitswert zuordnen.

2 Prädikatenlogische Formeln Aus Termen kann man neue Terme aufbauen, Formeln können mit den bekannten aussagenlogischen Junktoren,, ;, verknüpft werden; dadurch entstehen neue Formeln,... Ähnlich wie in der Aussagenlogik muss man man die Sprache der Prädikatenlogik durch eine Formulierung ihrer Syntax und die Festlegung der Semantik beschreiben; dies ist jedoch wesentlich aufwändiger als dies bei der Aussagenlogik der Fall war. Wir beschränken uns an dieser Stelle auf ein intuitives Verständnis. Bsp.: x und 5 sind Terme; auch x +5, 5 * (x + 5) sind Terme... 2<3 ; 5 ist Primzahl ; x. x+1 >x ; x + y = 12 ; 4 teilt x sind Formeln. Auch x+1 >x x + y = 12 ist eine Formel, denn mit,,,, verknüpfte prädikatenlogische Formeln sind wiederum Formeln. Auch x. x+1 >x ist eine Formel, denn wenn F eine Formel ist und x eine Variable, dann ist auch x. F eine Formel. Mehr über Quantoren.. Quantifizierte Aussageformen über endlichen Grundmengen können als aussagenlogische Terme geschrieben werden: x {a 1, a 2,, a n }. P(x) P(a 1 ) P(a 1 ) P(a n ) x {a 1, a 2,, a n }. P(x) P(a 1 ) P(a 1 ) P(a n ) Dualität: Verschachtelung: Quantoren können geschachtelt werden: y. ( x.p(x,y)) bzw. x.( y.p(x,y) ) Vorsicht: ( x.p(x)) = x. P(x) ( x. P(x)) = x. P(x) Reihenfolge wichtig, im allgemeinen sind die Aussagen y. ( x.p(x,y)) und x.( y.p(x,y) ) verschieden!! (Überlege für P(x,y) = x teilt y ) Algebraische Gesetze der Prädikatenlogik x P(x) P(a) P(a) x.p(x) x. P(x) = ( x.p(x)) x. P(x)) = x. P(x) x. P(x) = ( x. P(x)) x. P(x) = x. P(x) x. P(x) = x. P(x) x.p(x) q = x.(p(x) q) x.p(x) q = x.(p(x) q) x.p(x) q = x.(p(x) q) x.p(x) q = x.(p(x) q) x.p(x) x.q(x) = x.(p(x) Q(x)) x.p(x) x.q(x) x.(p(x) Q(x)) x.(p(x) Q(x)) x.p(x) x.q(x) x.p(x) x.q(x) x.(p(x) Q(x)) Mengen: Elemente, Mächtigkeit, leere Menge... Eine Menge ist eine Zusammenfassung von wohlbestimmten und wohlunterschiedenen Objekten zu einem Ganzen (Cantor, 1883). Mengen können beschrieben werden durch 1. Aufzählen: {1,4,0,6} 2. ein Prädikat: {x / x ist rational und x ist positiv} 3. Muster: {2n +1 / n } 4. Muster und Prädikat: {m+2n / n, m ; 0 <n < m <5} Jedes Element einer Menge wird nur einmal in aufgeführt! Die Reihenfolge des Aufzählens spielt keine Rolle. Elementbeziehung Für ein beliebiges Objekt a gilt: entweder a ist ein Element von M (a M) oder a ist nicht Element von M (a M). Mächtigkeit/Kardinalität: Die Anzahl der Elemente in einer Menge M bezeichnet man als ihre Mächtigkeit oder Kardinalität, geschrieben: M Leere Menge Die Menge, die kein Element enthält, heißt leere Menge ( oder {} ); ihre Mächtigkeit ist 0: = 0

3 Mengen: Gleichheit, Teilmengen, Potenzmenge Gleichheit: Zwei Mengen A und B sind gleich, genau dann wenn sie die gleichen Elemente enthalten, die Reihenfolge der Elemente spielt keine Rolle: A = B x.(x A x B) Teilmenge: Die Menge A ist Teilmenge einer Menge B (A B ), genau dann wenn (gdw.) jedes Element von A auch Element von B ist: A B x. (x A x B) Echte Teilmenge: Eine Teilmenge A von B heißt echte Teilmenge, gdw. A ungleich B ist: A B (A B) (A B) Potenzmenge Die Menge aller Teilmengen einer Menge A heißt Potenzmenge von A " (A) = {S S A}; Es gilt : " (A) = 2 A Alternative Schreibweise für "(A) : 2 A Mengen: Vereinigung Vereinigung zweier Mengen A und B: Die Vereinigung zweier Mengen A und B enthält alle Objekte, die in A oder in B enthalten sind A B := {x x A x B} in der Sprache der Prädikatenlogik: x. (x A B) (x A x B) Vereinigung einer Menge von Mengen: Sei S eine Menge, die Mengen als Elemente enthält. Dann legt man fest: S := {x A S. x A} bzw.: x. (x S) ( A. A S x A) Bsp.: A ={1,2,3} B = {7,8,9} C = {3,4,5} A B ={1, 2, 3, 7, 8, 9} A C = {1,2,3,4,5} S= {A,B,C} S = A B C = {1, 2, 3 4, 5, 7, 8, 9} Mengen: Durchschnitt Durchschnitt (die Schnittmenge) zweier Mengen A und B Der Durchschnitt zweier Mengen A und B enthält alle Objekte, die in A und in B enthalten sind A B = {x x A x B} in der Sprache der Prädikatenlogik: x. (x A B) (x A x B) Durchschnitt einer Menge von Mengen: Sei S eine Menge, die Mengen als Elemente enthält. Dann legt man fest: S := {x A S. x A} Disjunkte Mengen: Zwei Mengen A und B mit A B = heißen disjunkte Mengen. Bsp.: A ={1,2,3} B = {1, 4, 7, 8, 9} C = {1,3,4,5} D ={5,6} A B = {1} A C = {1,3} B C = {1,4} B D= (disj.) S= {A,B,C} S = A B C = {1} Mengen: Differenz und Komplement Differenz zweier Mengen A und B Die Differenz zweier Mengen A und B enthält alle Elemente von A, die nicht in B enthalten sind: A \ B = {x x A x B} in der Sprache der Prädikatenlogik: x.( (x A \ B) (x A x B)) Komplement einer Menge A bezüglich einer Obermenge* G: Sei G eine Obermenge von A, z. Bsp. die in einer Situation aktuelle Grundmenge Das Komplement von A bezüglich G enthält die Elemente von G, die nicht in A enthalten sind: A C = G \ A (andere Schreibweise: A ) *: B ist Obermenge zu A gdw. A eine Teilmenge von B ist. Bsp.: A = {1, 2, 3} B = {1, 4, 7, 8, 9} C = {1,3,4,5} A \ B ={2, 3} A \ C = {2} B \ C = {7, 8, 9} Sei G =. Dann gilt A C = \ A = {0,4,5,6, } C C = \ C = {0,2,6,7,8, }

4 Problemstellung: Mengenkonstruktion Zur modellhaften Beschreibung eines Ausschnittes aus der Realität in mathematischer Notation benötigt man neue, noch nicht erklärte Mengen. Lösungsstrategie: a) Man führt neue Mengen z. Bsp. explizit durch Aufzählen ein b) Aus den in bekannten Mengen enthaltenen Objekten konstruiert man neue, strukturierte Objekte und fasst diese zu neuen Mengen zusammen. Bsp. : Auschnitt aus der Realität: eine Verkehrsampel Farben = {rot,gelb,gruen,blau,weiss,schwarz} rot Farben ; 4 Farben ; Ampelfarben = {rot, gelb, gruen} Ampelfarben Farben ; Farben \ Ampelfarben = {blau,weiss,schwarz} Ampelzustände = {{rot}, {gelb}, {gruen}, {rot,gelb}} Schaltungen ={({rot},{rot,gelb}),({rot,gelb},{gruen}),( {gruen},{gelb}),({gelb},{rot})} Geordnete Tupel Geordnete Paare Ein geordnetes Paar ist eine Struktur, die zwei Objekte enthält und bei der die Reihenfolge der Objekte eine Rolle spielt: (1,2) ist ein geordnetes Paar von Zahlen, ebenso (2,1). Da die Reihenfolge eine Rolle spielt, gilt (1,2)! (2,1). Zwei geordnete Paare(a,b) und (c,d) sind gleich, gdw. a = c und b =d gilt. Geordnete Tripel, Quadrupel,..., n- Tupel: Ein geordnetes Tripel (Quadrupel,..., n Tupel) ist eine Struktur, die drei (vier,..., n) Objekte enthält. Die n Tupel (a 1,a 2,..., a n ) und (b 1, b 2,..., b n ) sind genau dann gleich, wenn a 1 = b 1 a 2 =b 2,..., a n =b n. Kartesisches Produkt Die Menge der geordneten Paare mit erstem Partner aus A und zweitem Partner aus B heißt Kartesisches Produkt der Mengen A und B: A B = {(a, b) a A b B} n faches Kartesisches Produkt Kartesische Produkte Die Menge der geordneten n Tupel mit erstem Partner aus A 1, zweitem Partner aus A 2,, n- tem Partner aus A n heißt kartesisches Produkt der Mengen A 1,A 2,.., A n : A 1 A 2 A n = {(a 1, a 2,, a n ) a 1 A 1,, a n A n ) (n 0) Gilt A 1 = A 2.. = A n = A dann spricht man vom n fachen Produkt der Menge A ; Kurzschreibweise A n := A 1 A 2 A n A 1 := A A 0 enthält nur das leere Tupel () Kardinalität kartesischer Produkte: A 1 A 2 A n = A 1 A 2 A n A n = A n A 1 = A A 0 = 1 Bsp. : Farben = {rot,gelb,gruen,} A = {1,2} A Farben = {(1,rot), (1,gelb), (1,gruen), (2,rot), (2,gelb), (2,gruen)} A Farben = 2 3 = 6 (rot,rot,rot,rot,gelb) Farben 5 ((1,1,2),(2,2,1)) A 3 A 3 A 3 A 3 = A 3 A 3 = Mengen- bzw. Typkonstruktion in SML Einige Konzepte zur Konstruktion neuer Mengen aus bekannten Mengen und deren Elementen finden sich in SML bei der Ausweitung des Typsystems wieder. Ein neuer Typ farben kann durch die folgende Typdeklaration enumerierend datatype farben eingeführt = Rot werden: Gelb Gruen Folgende Deklarationen und Ausdrücke sind dann möglich: val ampel1:farben = Rot; val ampel2: farben = Gelb; If ampel1 = ampel2 then Ok else Vorsicht Kartesische Produkte können mit dem Typkonstruktor *, die zugehörigen Tupel mit den Wertkonstruktoren (..,...,.. ) realisiert werden: type vektor = real*real*real Folgende Deklarationen und Ausdrücke sind dann möglich: val v1:vektor =(3.1, 0.0, 2.7); if v1 = (3.2, 3.4, 2.3) then true else false; val ampel:farben * integer * vektor = (Rot,1,(2.1,3.0,4.0));

5 Mengensumme (disjunkte Vereinigung) Das mathematische Konzept der Menge sieht kein Mehrfachauftreten eines Objektes vor, alle Elemente sind verschieden: {1,2,3,4} {3,4,5,6} = {1,2,3,4,5,6} Benötigt man eine Vereinigung von Mengen mit gleichen Elementen, so ist dies nur mit der Zuteilung eines bezüglich der Herkunft diskriminierenden Attributes zu den Elementen möglich. Eine derartige Vereinigung bezeichnet man als disjunkte Vereinigung oder als Mengensumme. Vereinigungsoperator : + {1,2,3,4} + {3,4,5,6} : = {1 1,2 1,3 1,3 2,4 1,4 2,5 2,6 2 } Die den Elementen der Summe zugeordneten Markierungen bezeichnet man als Tags; es gibt unterschiedliche Notationen für Tags. Bem.: In der Literatur wird das Anbringen einer Markierung oft durch eine Schreibweise mit Tupeln ersetzt: A 1 + A 2 + A n = { (i, a) / i {1,, n} a A i } i wird dabei als Variantennummer bezeichnet, (1,a) und (2,a) sind verschiedene Varianten von a. Die Variantennummer ersetzt die Tags. Anwendungsbeispiel: Mengensummen in SML Bei der Temperaturmessung wird in Europa die Celsius Skala und in den USA die Fahrenheit Skala benutzt. Maßzahlgleiche Temperaturangaben gehören dabei zu unterschiedlichen physikalischen Temperaturen, z. Bsp. gilt 0 C! 0 F ; 0 C = 32 F; 19 C = 66.2 F... Eine Menge von Temperaturmessungen : {2 F, 17 C, 4.3 F, 17 F, -273 C} Hier eingesetzte Tags: C bzw. F Mengensumme in SML : Konstruktortypen datatype temperatur = C of real F of real; val messung1:temperatur = C 19.2 val messung2:temperatur = F 34.1 if messung1 < C 2.0 then Frostgefahr else keine Gefahr if messung2 = C 12.5 then F 34.4 else F 67.9; Aber: val tempsumme = C C 3.2 liefert eine Fehlermeldung! Eine Arithmetik für Temperaturen muß man selber konstruieren!